竟賽數(shù)學(xué)整數(shù)的整除性講解ppt

1、LOREM IPSUM DOLOR LOREM 整數(shù)的整除性2預(yù)備知識整除的定義整除的定義：對于兩個整數(shù)a、b（b0），若存在一個整數(shù)c使得 成立，則稱b整除a，或a被b整除，記作d|a。否則，稱b不整除a，記作b a。bca 預(yù)備知識性質(zhì)一性質(zhì)一設(shè)設(shè)a、b、c是整數(shù)是整數(shù)1.a|a；2.若a|b，b|c，則a|c；3.若a|b，a|c，則對任意的整數(shù)m、n有a|bm+cn（這一性質(zhì)還可以推廣到更多項的和）；4.若b|a，則b|(-a)，且對任意的非零整數(shù)m有bm|am；5.若a|b，b|a，則|a|=|b|；性質(zhì)二1.若（a，b）=1，且a|bc，則a|c；2.若（a，b）=1，且a|c、b

2、|c，則ab|c；3.若a|bc，而a為素數(shù)，則a|b，或a|c預(yù)備知識性質(zhì)三性質(zhì)三設(shè)設(shè)m、n、 、 是整數(shù)是整數(shù)若等式 中，除某一項外，其余各項都能被c整除， 則這一項也能被c整除。 例如：若2|2a+4b-3c，則2|3c，即2|c m1in1jjibaiajb04數(shù)學(xué)歸納法02利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)Lorem ipsum 05反證法Lorem ipsum 03利用整數(shù)的奇偶性Lorem ipsum 01利用利用數(shù)的數(shù)的整除性整除性特征特征例例1、例、例2、例、例3整除性問題的證明方法Lorem ipsum 例題講解例1：如果u和v是整數(shù)， 能被9整除，那么，u和v都能被3整除。 22vu

3、vu例題講解例1：如果u和v是整數(shù)， 能被9整除，那么，u和v都能被3整除。 證明： 3是素數(shù) ，即 從而 ，故3|u或者3|v 當(dāng)3|u時，結(jié)合 3|（u-v） ，則3|v.問題得證。 22vuvu22222vuvu|3 uv3v-uvuvu 2v-u|3 v-u|3 2v-u|9 uv|3性質(zhì)三性質(zhì)三 性質(zhì)二（性質(zhì)二（3）性質(zhì)三性質(zhì)三例題講解例2：1987可以在b進(jìn)位制中寫成三位數(shù) ，如果請確定所有可能的x、y、z和b（加拿大，1987）解析：書本42頁例13xyz7891zyxxyz1987x2zybb25zyx分析：1987用b進(jìn)位制表示成三位數(shù) ，即 同時知道 ，將1987表示成b進(jìn)

4、制，如果求出b的值，那么x、y、z的值可直接求出。例題講解例3：一個八位數(shù)19abcd83能被1983整除求這個八位數(shù)。解：設(shè)這個八位數(shù)為A， 則： A=19abcd83=19000083+ 100 =19839581+960+ 100 =19839581+10（96+ 10） 因為1983|A，（1983，10）=1，所以1983|（96+ 10） 即：96+ 10=1983k （kZ） 10=1983k-96 等式左邊個位上是0，所以k的個位上應(yīng)該是2 （*） 又因為 1983k-96 100000，所以k50.47 （*）綜合（*）和（*）可知k能取2、12、22、32、42，相對應(yīng)的

5、的值可以為0387、2370、4353、6336、8319，故所求八位數(shù)可取：19038783、19237083、19455383、19633683、19831983 abcdabcdabcdabcdabcdabcdabcd04數(shù)學(xué)歸納法Lorem ipsum 02利用連續(xù)整利用連續(xù)整數(shù)之積的性數(shù)之積的性質(zhì)質(zhì)例例4、例、例505反證法Lorem ipsum 03利用整數(shù)的奇偶性Lorem ipsum 01利用數(shù)的整除性特征利用數(shù)的整除性特征例例1、例、例2、例、例3整除性問題的證明方法預(yù)備知識任意兩個連續(xù)整數(shù)之積必定是一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之積，因此一定可被2整除。任意三個連續(xù)整數(shù)之中至少有一個偶

6、數(shù)且至少有一個是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被23=6整除。這個性質(zhì)可以推廣到任意個連續(xù)整數(shù)之積。例題講解例4：設(shè)n是正整數(shù)，求證 可被30整除證明： 因為 是五個連續(xù)整數(shù)，故這五個整數(shù)中一定有2,3,5的倍數(shù)又因為2,3,5互素，所以30| ，同理可得6| ，即30| 因此30| -nn5) 1)(1(52n)2-)(1)(1()54-)(1)(1() 1)(1)(1() 1)(1(1-nn-nn222245nnnnnnnnnnnnnnnnnn）（）（)2)(1)(2)(1(nnnnn)2)(1)(2)(1(nnnnn) 1)(1(nnn) 1)(1(5n

7、nn-nn5例題講解例5 已知a，b，c是正整數(shù)，若6|a+b+c，則證明：因為由于3個連續(xù)的數(shù)既能被2整除，又能被3整除，所以故333cba|6) 1)(1( c) 1)(1(b) 1)(1(a c-cb-ba-acba-cba333333ccbbaa）（）（）（）（) 1)(1( c) 1)(1(b) 1)(1(a|6ccbbaa333cba|604數(shù)學(xué)歸納法Lorem ipsum 02利用連續(xù)整數(shù)利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)之積的性質(zhì)例例4、例、例505反證法Lorem ipsum 03利用整數(shù)的奇偶性利用整數(shù)的奇偶性例例6、例、例701利用數(shù)的整除性特征利用數(shù)的整除性特征例例1、例、例2、例

8、、例3整除性問題的證明方法例題講解例6：n個整數(shù)a1、a2、a3、a4、.an 其積等于n，其和等于0，試證4|n證明：假設(shè)n為奇數(shù)，由 ， 知 a1、a2、a3、a4、.an 全為奇數(shù)則 是奇數(shù)，與 矛盾，故2|n 假設(shè)4 n，那么a1、a2、a3、a4、.an 中只有一個偶數(shù)，不妨設(shè)a1是偶數(shù)，a2、a3、a4、.an 是奇數(shù)，則 是奇數(shù)即 與 矛盾綜上所述4|n nain1in1iia0an1iin2iia奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)n2ii1n1iiaaa0an1ii例題講解例7：設(shè)a、b、c是三個互不相等的正整數(shù)，求證a3b-ab3，b3c-bc3，c3a-ca3三個數(shù)中至少有一個數(shù)能被10整除 （

9、40頁，例9）例題講解例7：設(shè)a、b、c是三個互不相等的正整數(shù)，求證a3b-ab3，b3c-bc3，c3a-ca3三個數(shù)中至少有一個數(shù)能被10整除 整除10被三個數(shù)中至少有一個能ca-ac，bc-cb，ab-ba從而整除5中至少有一個能被ca-ac，bc-cb，ab-ba故整除5，必能被5或者0兩個其兩兩之差為從中，1,4,6,9的尾數(shù)為c、b、a整除，則5都不能被c、b、a若整除，則除，則結(jié)5中有一個能被c、b、a若整除2都是偶數(shù)，都能被ca-ac，bc-cb，ab-ba由上式知a-ca+caca-cac=ca-ac c-bc+bbcc-bbc=bc-cb b-ab+aabb-aab=ab-

10、ba 整除即可5和2被個數(shù)同所以只需證以只需證明 ，1=）2,5，（10=52證明：由于 333333333333222333333223322332233任?。ǎǎǎǎǎ〞r04數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法例例802利用連續(xù)整數(shù)利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)之積的性質(zhì)例例4、例、例505反證法Lorem ipsum 03利用整數(shù)的奇偶性利用整數(shù)的奇偶性例例6、例、例701利用數(shù)的整除性特征利用數(shù)的整除性特征例例1、例、例2、例、例3整除性問題的證明方法例題講解例8：設(shè)n是正整數(shù)，求證：512| 1-n24n32-32n2例題講解例8：設(shè)n是正整數(shù)，求證：512| 1-n24n32-32n2）成立（

11、）（，用數(shù)學(xué)歸納法證明）（設(shè)即可只需證明）（）（）（）（）（）成立，下證（假設(shè)）成立（）（，用歸納法證明）（證明：設(shè)1h|6401h1-8n-3nh1-8n-3|648645121-8n-388-n64-3 8241n232-3-3nf-1nf1nf |512nf |5121f |51201f1-n24n32-3nfn2n2n2n2n22n22n2例題解析例8：設(shè)n是正整數(shù)，求證：512| 1-n24n32-32n21-n24n32-3|5121-8n-3|641nh|64nh-1nh|64nh|6419996419991-981-988-38nh-1nh1nh|64n|642n2n23-n2-n1-n3-n2-n1-nnn2綜上所述）（根據(jù)性質(zhì)三可知：）（）（），且（又由假設(shè)）（）（）（）（）（）（）成立，下證（假設(shè)04數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法例例802利用連續(xù)整數(shù)利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)之積的性質(zhì)例例4、例、例505反證法反證法例例9、例、例1003利用整數(shù)的奇偶性利用整數(shù)的奇偶性例例6、例、例701利用數(shù)的整除性特征利用數(shù)的整除性特征例例1、例、例2、例、例3整除性問題的證明方法例題講解例9：證明對每個整數(shù)x，x2+5x+16不能被16