材料力學(xué)_彎曲變形

1、xy第五章第五章 彎曲變形彎曲變形5.1撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 梁變形基本方程梁變形基本方程 EIxMx)()(1彎曲變形基本公式彎曲變形基本公式F撓度撓度：橫截面的形心在垂直于軸線橫截面的形心在垂直于軸線（x軸）方向的線位移，用軸）方向的線位移，用 y 表示表示 xy轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：橫截面在橫截面在 xy 平面內(nèi)的角位移平面內(nèi)的角位移,用用表示表示 梁變形后的軸線，稱為梁變形后的軸線，稱為撓曲線撓曲線 )(xyy 撓曲線方程撓曲線方程在小變形下：在小變形下：ytanyyyx 232)1 ()(1xy00 Myxy00 MyEIxMxyy)(dd22 梁變形基本方程梁變形基本方程（微分方程）（微分方程

2、）5.1撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 梁變形基本方程梁變形基本方程EIxMxyy)(dd22 qxyEIxxyEIxM222222dddddd)(qyEI)4(由基本方程兩次積分由基本方程兩次積分:1d)(CxEIxMy21dd)(CxCxEIxMy 式中積分常數(shù)式中積分常數(shù) C1 、C2 可由梁約束處的已知可由梁約束處的已知位移確定，這些已知位移條件稱為位移確定，這些已知位移條件稱為約束條件約束條件鉸支座處撓度為零鉸支座處撓度為零 ( y =0 )固定端處撓度和轉(zhuǎn)角均為零固定端處撓度和轉(zhuǎn)角均為零( y = 0 = 0 )()(xyxyy撓度方程和轉(zhuǎn)角方程撓度方程和轉(zhuǎn)角方程分段描述的撓曲線在交接處應(yīng)滿

3、足的位移條件稱為分段描述的撓曲線在交接處應(yīng)滿足的位移條件稱為連續(xù)條件連續(xù)條件yyyy約束條件和連續(xù)條件統(tǒng)稱為約束條件和連續(xù)條件統(tǒng)稱為邊界條件邊界條件利用微分方程和邊界條件，直接積分求得撓曲線方程而計算梁位移的方法稱利用微分方程和邊界條件，直接積分求得撓曲線方程而計算梁位移的方法稱為為積分法積分法，積分法可得到完整的位移分布，但有時較麻煩。，積分法可得到完整的位移分布，但有時較麻煩。例例:求圖示懸臂梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。求圖示懸臂梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。ABqlyx解：列出梁的彎矩方程解：列出梁的彎矩方程2222121)(21)(qlqlxq

4、xxlqxM由基本方程由基本方程222121)(qlqlxqxxyEI 1223212161)(CxqlqlxqxxyEI2122344161241)(CxCxqlqlxqxxEIy0)0()0(0)0(yy約束條件：約束條件：可求得：可求得：0021CC代入上式，整理得：代入上式，整理得：)33(6)()(22llxxEIqxxyx)64(24)(222llxxEIqxxy)(6)()(8)(34EIqllEIqllyyBBx例例:求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程。求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程。解：求彎矩方程較麻煩，可直接用四階微分方程積分求解：求彎矩方程較麻煩，可直接用四階微分方程

5、積分求解解lxkxqxyEIsin)()()4(連續(xù)積分四次連續(xù)積分四次1)3(cos)(ClxlkxEIylxkqsin0)()0(lyy位移邊界條件：位移邊界條件：可求得：可求得：00003412CCCCyxABl212sin)(CxClxlkxyEI 43223142161sin)(CxCxCxClxlkxyEI3221321cos)(CxCxClxlkxyEI力邊界條件：力邊界條件：0)()0( lyylxEIklxyxcos)()(33則有：則有：lxEIklxysin)(4444max)2()(EIkllyxy33max)()0()(EIkllx例例:求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角

6、方程，并求最大撓度求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求最大撓度| | y | |max、最大轉(zhuǎn)角、最大轉(zhuǎn)角| | |max和跨中撓度和跨中撓度y (l /2)。設(shè)。設(shè) a b 。解：分段列出梁的彎矩方程解：分段列出梁的彎矩方程)()()()0()(21lxaaxFxlFbxMaxxlFbxM分段對基本方程積分分段對基本方程積分)()()()(2121ayayayay由連續(xù)條件：由連續(xù)條件：xlFbxyEI )(11212)(CxlFbxyEI21316)(CxCxlFbxEIy)0(ax 可求得：可求得：2211DCDC)(lxa)()(2axFxlFbxyEI 1222)(22)(Dax

7、FxlFbxyEI21332)(66)(DxDaxFxlFbxEIy由約束條件：由約束條件：000)0(221DCy)(60)(22112bllFbDClyyxCABlFba例例:求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求最大撓度求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求最大撓度| | y | |max、最大轉(zhuǎn)角、最大轉(zhuǎn)角| | |max和跨中撓度和跨中撓度y (l /2)。設(shè)。設(shè) a b 。yx)()3()(36)()()(6)()0()3(6)()(6)(222222223222212221lxaxblaxblEIlFbxxxblaxblEIlFbxyaxxblEIlFbxxblEIlFbxx

8、y轉(zhuǎn)角為單調(diào)函數(shù)，最大值在兩端轉(zhuǎn)角為單調(diào)函數(shù)，最大值在兩端將積分常數(shù)代入，整理得：將積分常數(shù)代入，整理得：)0(0)()()(lxEIxMxyx CABlFba當當 a b 時，有時，有EIlalFabB6)(max)(6)()()(6)()0(21EIlalFablEIlblFabBA例例:求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求最大撓度求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求最大撓度| | y | |max、最大轉(zhuǎn)角、最大轉(zhuǎn)角| | |max和跨中撓度和跨中撓度y (l /2)。設(shè)。設(shè) a b 。yx相差不到相差不到 3%974. 01639)2/(maxyly20lx 0)()(11xx

9、y令令EIFllyy48)2(31max0)2(6)3(6)()(2222221laabbEIlFblabEIlFbaaCABlFba可求得：可求得：3220blx則：則：EIlblFbxyy39)()(32201max)()43(48)43(48)2()2(222221lbEIFblblEIFblyly2lab當當0b當當當簡支梁撓曲線無拐點時，可用跨中撓度代替最大撓度。當簡支梁撓曲線無拐點時，可用跨中撓度代替最大撓度。例例:求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求最大撓度求圖示簡支梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求最大撓度| | y | |max、最大轉(zhuǎn)角、最大轉(zhuǎn)角| | |max和跨中撓度和

10、跨中撓度y (l /2)。設(shè)。設(shè) a b 。yx用奇異函數(shù)描述的彎矩方程用奇異函數(shù)描述的彎矩方程則：則：12222)(CaxFxlFbxEI)()()(0dd11axaxnaxaxnxaxnnnCABlFba)0(0)(11lxaxFxlFbxM0)(0)0(lyy由由由奇異函數(shù)的定義，有由奇異函數(shù)的定義，有)()(11)(011d11axCaxnaxCaxnxaxnnn213366)(CxCaxFxlFbxyEI得得)(602212bllFbCC撓曲線方程撓曲線方程)0()(666)(2233lxxblEIlFbaxEIFxEIlFbxy5.2疊加法求梁的變形疊加法求梁的變形對于小變形條件下

11、的線彈性梁，可應(yīng)用疊加法求變形，常用于指定位移的計算對于小變形條件下的線彈性梁，可應(yīng)用疊加法求變形，常用于指定位移的計算)d)()d)(d)(d)(1111kkkllliiiCxEIxMCxEIxMCxEIxMCxEIxMy)dd)()dd)(dd)(212121kkkkkllllliiiCxCxEIxMCxCxEIxMCxCxEIxMy ABqlFABlABlMBFABqlMB)()()()(xyxyxyxyFMqyxABl例例:求圖示簡支梁的撓曲線方程。求圖示簡支梁的撓曲線方程。qad解：利用集中力撓曲線方程，采用疊加法求解解：利用集中力撓曲線方程，采用疊加法求解laxllEIllqxEI

12、qxEIllqxyxy)(6)(d6d6)(d)(d)(2233xblEIlbFaxEIFxEIlbFxy)(666)(d2233adqF lblallxllxlxllxEIq422423)(4)(241)(26bdqF 442232)2(224axlxbblxbEIlq當當 a = 0 ，有：，有：)2(24)(323llxxEIqxxylb例例:圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角A 、B 和跨中撓度和跨中撓度 yC 。l /4l /4l /4l /4CABF2 = F/2F1 = F/2解：所求位移等于兩個力單獨作用時相應(yīng)位移的疊加解：所求位移等于兩個力單獨作用時相應(yīng)位移的疊加查表查表21A

13、AA21BBB21CCCyyy)(2565)4(64432)(6222222EIFlllEIlllFblEIlbaFA)(2567)43(64342)(6211111EIFlllEIlllFblEIlbaFA)(6432EIFlA例例:圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角A 、B 和跨中撓度和跨中撓度 yC 。l /4l /4l /4l /4CABF2 = F/2F1 = F/2)(2567)43(64432)(6222222EIFlllEIlllFalEIlbaFB)(2565)4(64342)(6211111EIFlllEIlllFalEIlbaFB)(6432EIFlA)(6432EIFlB

14、例例:圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角A 、B 和跨中撓度和跨中撓度 yC 。l /4l /4l /4l /4CABF2 = F/2F1 = F/2)(4832114434842)43(48322212111EIFlllEIlFalEIaFyC)(6432EIFlA)(6432EIFlB)(4832114434842)43(48322222222EIFlllEIlFblEIbFyC)(4816113EIFlyCF記跨中作用集中力記跨中作用集中力 F 時，跨中撓度時，跨中撓度(最大撓度最大撓度)為為 yC0 ：688. 016110CCyyEIFlyC4830例例:求圖示變截面懸臂梁自由端的撓度

15、求圖示變截面懸臂梁自由端的撓度 yC 。ABl/2yxl/2C2EIEIFF)(163)2(2)2(22222EIFlEIlMEIlFoBFMo=Fl /2yC1yB2yC2B2/ lB解：先不考慮解：先不考慮 AB 段變形段變形(剛化剛化)，計算，計算 C 對對 B 的的相對撓度相對撓度解除解除 AB 段剛化，并令段剛化，并令 BC 段剛化，計算段剛化，計算 C 由由于于 AB 段變形而產(chǎn)生的牽連位移段變形而產(chǎn)生的牽連位移)(2432331EIFlEIlFyC)(965)3248()2(22)2(32333232EIFlEIFlEIFlEIlMEIlFyoB例例:求圖示變截面懸臂梁自由端的撓

16、度求圖示變截面懸臂梁自由端的撓度 yC 。ABl/2yxl/2C2EIEIFF)(16322EIFlBFMo=Fl /2yC1yB2yC2B2/ lB)(2431EIFlyC)(96532EIFlyB)(48723222EIFllyyBBC)(163321EIFlyyyCCC類似，若要求自由端轉(zhuǎn)角，有：類似，若要求自由端轉(zhuǎn)角，有：)(165)1638(222222221EIFlEIFlEIFlEIlFBCCC這種分析方法稱為梁的逐段剛化法這種分析方法稱為梁的逐段剛化法5.3簡單超靜定簡單超靜定梁梁ABql例：作圖示梁的內(nèi)力圖例：作圖示梁的內(nèi)力圖解：一次超靜定解：一次超靜定qX ( FBy )A

17、BFSq：ql+ +MX：Xl+ +- -+ +Mq：ql2 /2- -FSX：X- -0By多余約束處的位移條件多余約束處的位移條件BXqBByyyEIXlEIql383408343EIqlEIXl)(83qlXFBy基本方程基本方程(補充方程補充方程)XqSXSqSMMMFFF3ql/85ql/8+ +- -FS：M：9ql2/128ql2/8yxABqlAqAXAX (mA)q0A02433EIqlEIXlqyEIxq)4()()(82qlXmA)(85qlFAy)(83qlFBy1)3()(CqxyEIxFS21221)(CxCqxyEIxM 322132161CxCxCqxyEI43

18、223142161241CxCxCxCqxyEI0)(0)(0)0(0)0(lMlyyy0034CC021212ClCql0216124122314lClCql2218185qlCqlCyxABqlmAqlqxxFS85)(22818521)(qlqlxqxxM)6158(48)()(22llxxEIqxxyx)352(48)(222llxxEIqxxyqlFFSAy85)0(qllFFSBy83)(8)0(2qlMmAFAyFBy令令lxxFxMS850)(dd01289)85(2maxqllMMlxxxy578. 00)(dd0令令EIqllyy4max0054. 0)578. 0(EIq

19、lEIqly44max013. 03845簡支梁簡支梁:EIqlEIqly44max125. 08懸臂梁懸臂梁:128168)0(22maxqlqlMM例：求圖示組合結(jié)構(gòu)中桿例：求圖示組合結(jié)構(gòu)中桿1(EC 桿桿)和桿和桿2(FD 桿桿)的內(nèi)力的內(nèi)力ADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)解：一次超靜定，取靜定基解：一次超靜定，取靜定基2lyD位移協(xié)調(diào)條件：位移協(xié)調(diào)條件：2222222AEXaAElFlN其中：其中：用疊加法求用疊加法求AB 梁上梁上 D 處的撓度處的撓度 yDFXEIlFlEIlXFyD2)3)(3(3)3)(231EIXlEIFl81

20、162533Fl/3FXADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)2lyD位移協(xié)調(diào)條件：位移協(xié)調(diào)條件：2222222AEXaAElFlN其中：其中：EIXlEIFlyD811625331FX2Fl/3-Xl/3FXFX)3(3)3)(3132()3(2lEIlXlFllyCDEIXlEIFl8181233ADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)2lyD位移協(xié)調(diào)條件：位移協(xié)調(diào)條件：2222222AEXaAElFlN其中：其中：EIXlEIFlyD811625331FXFXEIXlEIFlyD81812332FX11

21、111111134622AEXaAEFaAElFlyNDXFllXlFFN233/3/21ADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)2lyD位移協(xié)調(diào)條件：位移協(xié)調(diào)條件：2222222AEXaAElFlN其中：其中：EIXlEIFlyD811625331FXFXEIXlEIFlyD818123321111346AEXaAEFayD321DDDDyyyy113221122113618)4(812AEFaEIFlXAEAEaAEAEEIl221122113113)4(812618AEAEaAEAEEIlAEaEIlFXFXADCBEFFl / 3l / 3l

22、/ 3aE1A1E2A2EIFEIAEAElAEAEaEIAEAElAaEAEAEaAEAEEIlEIlAEaFXFN/2)4(81)18/6(81)4(81218622113221122113222211221133112FEIAEAElAEAEaEIAEAElAaEAEAEaAEAEEIlEIlAEaFXFFN/2)4(81)27/3(81)4(8122732322113221122113112211221133221求桿求桿1和桿和桿2的內(nèi)力的內(nèi)力當當 EI E1A1E2A2 ，AB視為剛性梁視為剛性梁FAEAEAEFFAEAEAEFNN221122222111114643當當E1A10

23、 ，為靜定結(jié)構(gòu)，為靜定結(jié)構(gòu)FFFFNN5 . 12/3021同理，當同理，當E2A20 ，為靜定結(jié)構(gòu)，為靜定結(jié)構(gòu)0321NNFFF當當 E1A1 和和 E2A2 趨于無窮，為連續(xù)梁趨于無窮，為連續(xù)梁FFFFNN492321例：已知長度為例：已知長度為 l 的等直單跨梁的撓度方程為的等直單跨梁的撓度方程為)2(120)(42240lxlxEIlxqxy(1)求梁內(nèi)絕對值最大的剪力和彎矩求梁內(nèi)絕對值最大的剪力和彎矩(2)分析梁的支承和受載情況分析梁的支承和受載情況解：由梁的近似微分方程及梁的微分關(guān)系，可知梁內(nèi)無集中載荷，且有解：由梁的近似微分方程及梁的微分關(guān)系，可知梁內(nèi)無集中載荷，且有)65(12

24、0)()(42240lxlxEIlqxyxxlqxlqxyEIxM106)()(030 102)()(020lqxlqxMxFSxlqxFxqS0)()(1)令令0)()(xFxMSlx55得得有極值彎矩有極值彎矩755)55(20lqlM邊界處，有邊界處，有15)(0)0(20lqlMM剪力方程在梁內(nèi)為單調(diào)函數(shù)剪力方程在梁內(nèi)為單調(diào)函數(shù)0)()(xqxFS邊界處，有邊界處，有l(wèi)qlFlqFSS0052)(10)0(52)(15)(0max20maxlqlFFlqlMMSS經(jīng)比較，梁內(nèi)絕對值最大經(jīng)比較，梁內(nèi)絕對值最大的剪力和彎矩分別為的剪力和彎矩分別為例：已知長度為例：已知長度為 l 的等直單跨

25、梁的撓度方程為的等直單跨梁的撓度方程為)2(120)(42240lxlxEIlxqxy(1)求梁內(nèi)絕對值最大的剪力和彎矩求梁內(nèi)絕對值最大的剪力和彎矩(2)分析梁的支承和受載情況分析梁的支承和受載情況)65(120)()(42240lxlxEIlqxyxxlqxlqxyEIxM106)()(030 102)()(020lqxlqxMxFSxlqxFxqS0)()(0)(120)0(30lEIlq15)(0)0(20lqlMM梁內(nèi)有線性分布的載荷梁內(nèi)有線性分布的載荷邊界處，有邊界處，有0)(0)0(qlqqx = 0 處，可能為鉸支或集中力作用處處，可能為鉸支或集中力作用處lqlFlqFSS0052)(10)0(2)邊界處，有邊界處，有解：解：0)(0)0(lyyx = l 處，可能為鉸支或固定處，可能為鉸支或固定例：已知長度為例：已知長度為 l 的等直單跨梁的撓度方程為的等直單跨梁的撓度方程為)2(120)(42240lxlxEIlxqxy(1)求梁內(nèi)絕對值最大的剪力和彎矩求梁內(nèi)絕對值最大的剪力和彎矩(2)分析梁的支承和受載情況分析梁的支承和受載情況0)(120)0(30