第三章 平穩(wěn)隨機過程

1、2q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)第三章第三章 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程3q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)第三章第三章 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程4)cos()(tatX)cos()(tAtX)cos()(ta

2、tX)cos()(tAtXq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程00( )cos(),0,2 .( ),.X tataX t正弦型隨機相位信號其中 和為常數(shù)為上均勻分布的隨機變量求的均值 方差 和自相關(guān)函數(shù)dftataEtXE)()cos()cos()(00)20(21)(f0)sin(221)cos()(200200tadtatXE)cos()cos()()(),(20102121tataEtXtXEttRXq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.1)cos()cos(coscos2)cos()cos(),(2010221ttEattRX)(cos22)(co

3、s2)(cos2)(cos2),(21022102210210221ttEattEattttEattRX2sin)(sin2cos)(cos210210tttt00( )cos(),0,2 .( ),.X tataX t正弦型隨機相位信號其中 和為常數(shù)為上均勻分布的隨機變量求的均值 方差 和自相關(guān)函數(shù)q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.1722120120( , )cos()=cos()22XaaRt ttt2)(cos2)(2022attatX( )0E X t),()()()()(2222ttRtXEtmtXEtXXX00( )cos(),0,2 .( ),.

4、X tataX t正弦型隨機相位信號其中 和為常數(shù)為上均勻分布的隨機變量求的均值 方差 和自相關(guān)函數(shù)Exercise 3.1q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程8.)(),;,(),;,()(,21212121為嚴(yán)平穩(wěn)過程則稱維概率密度滿足的任意隨機過程如果對于任意的tXtttxxxftttxxxfntXnnXnnX.)(,階平穩(wěn)的是則稱時成立在而是僅都成立如果上式不是對任意的NtXNnnq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Definition3.1 (Strict-sense Stationary Stochastic Process)9.)()(),;,(),;,(:)()

5、(2121212121212121是聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)過程和則稱隨機過程概率密度滿足維聯(lián)合的任意和如果兩個隨機過程tYtXttttttyyyxxxfttttttyyyxxxfmntYtXmnmnXYmnmnXYDefinition3.2 (Joint Strict-sense Stationary Stochastic Process)q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程10q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程( , )( )XXfx tfx一階平穩(wěn)過程的概率密度滿足12tt 2)()(XXXmRC121212( , )( )( ,; , )( ,; )XXXXfx tfxfx x t

6、 tfx x二階平穩(wěn)過程的概率密度同時滿足22)0()0(,0XXXXmRC 時當(dāng)q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程( )( ), ( ).( ).X tAy tAy tX t隨機過程其中 是高斯變量為確定的時間函數(shù)判斷是否為嚴(yán)平穩(wěn)過程222)(21)(AAmaAAeaf).()(),()(222tyttymtmAXAX22222()( )22( )( ):11( , )=22( )XAXAx mx m y tytXXAX tfx teey t的一維概率密度為為高斯分布數(shù)為常在固定時刻)(,)(,tXtyq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.221221(

7、 ):( )( ),( ),( ,)( ).( )(),.XXXXX tE X tmtmE XtRt tRX ttt 若隨機過程滿足則稱為廣義 寬 平穩(wěn)隨機過程 式中Definition3.3 (Wide-sense Stationary Stochastic Process)q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程)cos()(tatX)cos()(tAtX)cos()(tatX)cos()(tAtXq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.3判斷圖示的四個隨機過程是否平穩(wěn)q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.3判斷圖示的四個隨機過程是

8、否平穩(wěn)( )0E X t222( ,)( )()cos()cos()cos(22)cos()2( )cos()2XXRt tE X t X tE attaEtaR 22( )(0)2XaE XtR 平穩(wěn))(tX)cos()(tatXq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.3判斷圖示的四個隨機過程是否平穩(wěn)( ) cos()E X tE At不是平穩(wěn)過程)(tX)cos()(tAtXq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.3判斷圖示的四個隨機過程是否平穩(wěn)( ) cos()E X tE at ( )X t 不是平穩(wěn)過程( )cos()X tat q

9、 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.3判斷圖示的四個隨機過程是否平穩(wěn)( )cos()cos()= cos()cossin()sin=0E X tE AtE AEtEtt 平穩(wěn))(tX)cos()(tAtXcos()cos cossin sin0,2 .cossin0EE 隨機變量 在上均勻分布q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.3判斷圖示的四個隨機過程是否平穩(wěn))cos()(tAtX2222( ,)( )()cos()cos() cos()cos()1= cos(22)cos()21( )cos()2XXRt tE X t X tE At

10、tE AEttE AEtRE AE q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.3判斷圖示的四個隨機過程是否平穩(wěn))cos()(tAtX2222( ,)( )()cos()cos() cos()cos()1= cos(22)cos()21( )cos()2XXRt tE X t X tE AttE AEttE AEtRE AE 221( )(0)2XE XtRE A 平穩(wěn))(tX1212( ),( ),.( )( ).X tY XttYYX tXt設(shè)有兩個隨機過程式中 是隨機變量試分析討論隨機過程和的平穩(wěn)性為平穩(wěn)隨機過程所以均與時間無關(guān)和常數(shù)常數(shù))(,),()()()(),

11、()() 1 (12112211121111tXttRtXEYEtXtXEttRYEtXEXX不是平穩(wěn)的隨機過程與時間有關(guān))()()2(22tXYtEtYEtXEq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.4( )sin,0,2 ,( ).(1),0,1,2,; (2),0,).X tutuX ttT TtT T設(shè)有隨機過程其中 是均勻分布于上的隨機變量試判斷下面二種情況下的平穩(wěn)性20( )( )sin11sin1cos(2)22XmtE X tEututduttq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.5( )sin,0,2 ,( ).(1),0

12、,1,2,; (2),0,).X tutuX ttT TtT T設(shè)有隨機過程其中 是均勻分布于上的隨機變量試判斷下面二種情況下的平穩(wěn)性2200( ,)( )()sinsin()1cos (2)cos()21111cos (2)cos2222sin2 (2)sin(2)4 (2)4XRt tE X t X tEututuEutuutduu dutt q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.5為平穩(wěn)過程)(0),(, 0)() 1 (tXttRtmXX不平穩(wěn)所以均與時間有關(guān)和)(,),()()2(tXttRtmXX( )sin,0,2 ,( ).(1),0,1,2,; (

13、2),0,).X tutuX ttT TtT T設(shè)有隨機過程其中 是均勻分布于上的隨機變量試判斷下面二種情況下的平穩(wěn)性q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.52522,0, 1, 2,0,:,0, 1, 2,kkkkXkE XE XXk 設(shè)是互不相關(guān)的隨機變量序列，且.證明是寬平穩(wěn)的隨機序列.2 :0,0 ,0, 1, 2,kXklkklE XRk lE X XklklXk 證明 即：相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)， 所以它是寬平穩(wěn)的隨機序列，也稱為離散白噪聲。 注:如果又是獨立同分布的，則它還是嚴(yán)平穩(wěn)序列。q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.6 0

14、0Nnkn kkE Ya E X證：001,0, 1, 2, 0, 1, 2,0, 1, 2,Nknkn kkNnXkYa XnNa aaY n 設(shè)是上例中的隨機序列，設(shè)，其中 是自然數(shù)， 而是常數(shù).證明：是平穩(wěn)序列,Ynn mRn nmE Y Y又相關(guān)系數(shù)00NNkn kjn mjkjEa Xa X00NNkjn kn mjkja a E XXnnY它與 無關(guān)，所以是平穩(wěn)序列。2 00Nkm kkm k Na a q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.727 0,S tTTX tS t設(shè)是一周期為 的函數(shù)， 是在上服從均勻分布的隨機變量，稱為隨機相位周期過程，試討

15、論它的平穩(wěn)性。 1 00 TTf解：由假設(shè)， 的概率密度為: 其他01TS tdT 1t TtSdT 01TSdT周期性常數(shù) ,E X tE S t于是q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.828 ,XRt tE S tS t所以隨機相位周期過程是平穩(wěn)的。 1t TtSSdT 01TS tS tdT 01TXSSdRT周期性記為 0,S tTTX tS t設(shè)是一周期為 的函數(shù)， 是在上服從均勻分布的隨機變量，稱為隨機相位周期過程，試討論它的平穩(wěn)性。q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.8 1 ,2, ,0,1,2,!0kX tIIP X

16、tIt tN t tN t teP N t tkkkX t 考慮隨機電報信號，信號由只取或的電流給出。而正負(fù)號在區(qū)間內(nèi)變化的次數(shù)是隨機的，且假設(shè)服從泊松分布，即：其中是單位時間內(nèi)變號次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，試討論的平穩(wěn)性.t( )x tq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.9 022IIE X tI P X tII P X tI 解： 2222I P X t X tII P X t X tI 0, ,XRt tE X t X t設(shè) 2,X t X tIt t事件等價于電流在內(nèi)變號偶數(shù)次， 20,2kP X t X tIP N t tk因此202!kkekq 3.1 3.1

17、平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.9221200,2!21 !kkXkkeeRt tIkk 所以2220!kkI eI ek 220,XtttRt tE X tX tI e 此結(jié)果與 無關(guān)，若只要令則有22,.XRt tI e綜合得，僅與 有關(guān)，故是平穩(wěn)過程。 20,21kP X t X tIP N t tk 同理21021 !kkekq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.9321111( )( ),:( ,)( ) ()( )( )( ),.XYXYX tY tRt tE X t Y tRX tY t當(dāng)兩個隨機過程和分別是廣義平穩(wěn)過程時 若它們的互相關(guān)

18、函數(shù)滿足則稱和是聯(lián)合廣義平穩(wěn)過程 或稱為聯(lián)合寬平穩(wěn)過程q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程- -聯(lián)合平穩(wěn)聯(lián)合平穩(wěn)Definition3.4 (Joint Wide-sense Stationary Stochastic Process)( )sincos ,( )cossin , ,6,( )( )?X tUtVtY tWtVtU V WX tY t已知平穩(wěn)過程式中是均值為零 方差為 的互相獨立的隨機變量 試問和聯(lián)合平穩(wěn)嗎聯(lián)合平穩(wěn)和則且都為廣義平穩(wěn)若)()()()()(,)(),(tYtXtYtXERtYtXXY)sin()cos(sincos)()(tVtWtVtUEtYtXE)si

19、n(sin)cos(sin)sin(cos)cos(cos2ttVttVWttUVttUWEq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.10)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(cos)()(2ttVEttVWEttUVEttUWEtYtXE2sin sin()6sin sin()( )XYE VttttR不是聯(lián)合平穩(wěn)過程和)()(tYtXq 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程Exercise 3.10( )sincos ,( )cossin , ,6,( )( )?X tUtVtY tWtVtU V WX tY t已知平穩(wěn)過程式中是均值為零 方

20、差為 的互相獨立的隨機變量 試問和聯(lián)合平穩(wěn)嗎35q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)第三章第三章 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程36Ot)(tXXmXXmXXmOt)(tYYmYYmYYm兩個平穩(wěn)過程的典型例子（相同的均值與方差）q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性l各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性37q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性l各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性

21、問題的提出：我們知道，隨機過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會提出這樣一個問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。 11211211,1NXkkNXkkkxtNRttxtxtN 12,nx txtxt如何根據(jù)實驗記錄確定平穩(wěn)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)呢？用統(tǒng)計實驗方法，均值和自

22、相關(guān)函數(shù)近似地為：按照數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)的定義，需要時一個平穩(wěn)過程重復(fù)進(jìn)行大量觀察，獲得一族樣本函數(shù)l各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性( )x tt平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化，根據(jù)這一特點，能否通過在一個很長時間內(nèi)觀察得到的一個樣本曲線來估計平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢？本節(jié)給出的各態(tài)歷經(jīng)定理證實，只要滿足某些條件，那么均值和自相關(guān)函數(shù)實際上可以用一個樣本函數(shù)在整個時間軸上的平均值來代替。l各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性l各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的

23、各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性Definition3.5 (Ergodic Stochastic Process)( ),( )( )1,( ).1:( )lim( )2XTTTX tX tE X tmX tX tX t dtT對于二階平穩(wěn)過程若以概率 成立則稱隨機過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性其中隨機時間過程的為均值定義q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性( ),( )()( )()( )1,( ).( ):1( )()lim( )()2XTTTX tX t X tE X t X tRX tX tX t X tX t X tdtT對于二階平穩(wěn)過程若以概率 成立

24、則稱隨機過程的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性其中隨機過時間自相程的為關(guān)函數(shù)定義Definition3.5 (Ergodic Stochastic Process)( ),( ),( ),.X tX tX t若的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性 且是廣義平穩(wěn)過程 則稱是廣義各態(tài)歷經(jīng)過程 簡稱為各態(tài)歷經(jīng)過程q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性( )( ),:1( ) ()lim( ) ()( )2.TXYTTX tY tX t Y tX t Y tdtRT如果兩個隨機過程和都是各態(tài)歷經(jīng)過程 且它們的時間互相關(guān)函數(shù)等于統(tǒng)計互相關(guān)函數(shù) 即則稱它們是聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)過程43 X t

25、acostX tX t X t。計算隨機相位正弦波：的時間平均即時間均值和時間自相關(guān)函數(shù) 1 2TTTX tlimacostdtT0Tacos sin TlimT2Ta sinTsinTlimT 將 看作一定值Exercise 3.11q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性 212TTTX t X tlima costcostdtT22acos2224TTTalimcostcosdtT 222222422TsinTsinTaa coslimT X tacostX tX t X t。計算隨機相位正弦波：的時間平均即時間均值和時間自相關(guān)函數(shù)Exercise 3.11q

26、 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性45 XXE X tX tRE X t X tX t X t對照前面講過的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)計算，可知： X tacostX tX t X t。計算隨機相位正弦波：的時間平均即時間均值和時間自相關(guān)函數(shù)Exercise 3.11q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性 1,12X tX tXP XX t 是隨機變量，試確定的均值是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 X tX是平穩(wěn)過程， 1122TTTTTTX tlimX t dtlimXdtXTT時間均值 0XtE X tEX因為 X t由定義知，的均值不具有各態(tài)歷

27、經(jīng)性 00XP X tP X即 2,1XRt tE X t X tE Xt與 無關(guān)11 1x t 2xtExercise 3.12q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性0( )cos().,0,2 .X tata討論隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性其中 為常數(shù)是在上均勻分布的隨機變量)cos(2)(, 0)(,)(02aRtXEtXX且為平穩(wěn)過程02)sin()sin(lim)sin(2lim)cos(21lim)(21lim)(000000TTTatTadttaTdttXTtXTTTTTTTTTT.)(, 0)()(的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性tXtXtXEExercise 3.1

28、3q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性48)()cos(2)cos(24lim)cos()22cos(4lim)cos()cos(2lim)cos()cos(21lim)()(21lim)()(020200020002000XTTTTTTTTTTTTTTTRaTTadtdttTadtttTadttataTdttXtXTtXtX歷經(jīng)性的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài))(tX為各態(tài)歷經(jīng)過程)(tXExercise 3.13q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性49( )() ,2 , 01,A ( ),(0,2 )0,X tAcosttxxAf x

29、 證明正弦波其中 是常數(shù)與 相互獨立在上均勻分布,其它是平穩(wěn)過程;并判斷其是否為各態(tài)歷經(jīng)過程.1212( , )( )( )XRt tE X t X t:( )( )XtE X t證明E Acost( ) 0E A E cost212 ()()E A E costcost212111()cos.()44costttt221201()()2E Acostcostd( )X t所以,是平穩(wěn)過程.Exercise 3.14q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性 12TTTX tlimAcostdtT0( )TAcos sin TlimE X tT2TA sinTsinT

30、limT 將A, 看作定值( ).X t即的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性Exercise 3.14q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性51 .X tX t的相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性所以,不是各態(tài)歷經(jīng)過程 2 12TTTx t X tlimA costcostdtT22Acos2224TTTAlimcostcosdtT 222222422TsinTsinTA cosAlimT 1cos( ,)4XRt tExercise 3.14q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性52)()(,)(:,)(2YEtXtXEYEtXEtX數(shù)為其數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)

31、函為平穩(wěn)過程YYdtTdttXTtXTTTTTT21lim)(21lim)(性的均值不具備各態(tài)歷經(jīng))(, )()(tXtXtXE不是各態(tài)歷經(jīng)過程)(tX( ),.X tY Y隨機過程是方差不為零的隨機變量 試討論其各態(tài)歷經(jīng)性Exercise 3.15q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性 2201102TXXTX tlimRdTT平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是： 1,0XXX tP X tE X tD X tX t 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的定義為： 下面只要計算的均值與方思路:差就可以了 12TTTE limX ttdtEXT 12TTTlimE X td

32、tT12TXXTTlimdtT 22XEXDXtt 2212TXTTElimX t dtT 21122214TTXTTTlim EX tdtX tdtT 21212214TTXTTTlimE X tX tdt dtT 22112214TTXXTTTlimRttdt dtT 續(xù)續(xù)Theorem 3.1 (均值遍歷)q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性11222122221212022222212122202,12,111224ttttTTTXXXTTTTt tlimdRdRdT 雅可比式0222222222201224TXXXTTlimT RdTRdT222222

33、22124XRTXXTTlimTRdT為偶函數(shù) 220112TXXTlimRdTT 220112TXXTlimRdTT 22010102TXXTDX tlimRdTT 即 2201102TXXTX tlimRdTT平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是：Theorem 3.1 (均值遍歷)q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性證畢！證畢！2t,T T1t,TT,T T,TT2t2 ,0T1t0, 2T0,2T2 ,0T 2201102TXXTX tlimRdTT平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是：Theorem 3.1 (均值遍歷)q 3.2 3.2 平穩(wěn)

34、隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性56 22limXXXXXlim RliRm R 均值在存在的條件下， 若,則定理一條件成立，即 若,則定理一條件不成立,具有各態(tài)歷經(jīng)性均值不具有各即態(tài)歷經(jīng)性Corollary 3.1 (均值遍歷)q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性 20XXXXXXXlim Rlim Clilim Rlim CliRtmm CXX t注意： 因此在或存在條件下，均值各態(tài)歷經(jīng)性的條件為：，即當(dāng)時間差 充分大時，和呈現(xiàn)不相關(guān)性對隨機相位正弦波而言，不存在，但它的均值是各態(tài)歷經(jīng)的 2211101111 102XXTTX tRlimBRdT

35、TBE X t X tX tX t平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是：其中 X tX t X t證明：在Theorem3.1的證明中，將換成，就可得到Theorem 3.2 (自相關(guān)遍歷)q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性 00001 ( ) 1 ( )() TTTTttX tlimX t dtTX t X tlimX t X tdtT 在實際應(yīng)用中通常只考慮定義在上的平穩(wěn)過程，此時上面的所有時間平均都應(yīng)以上的時間平均來代替。即 2011 10XTXXTP X tlimRdTT 2111011 10XTXTP X t X tRlimBRdTT 00

36、001 ( ) 1 ( )() TTTTttX tlimX t dtTX t X tlimX t X tdtT 在實際應(yīng)用中通常只考慮定義在上的平穩(wěn)過程，此時上面的所有時間平均都應(yīng)以上的時間平均來代替。即l各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)定理的重要價值在于它從理論上給出了如下保證：一個平穩(wěn)過程X(t)，若0t+，只要它滿足各態(tài)歷經(jīng)性條件，便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義，從一次試驗所得到的樣本函數(shù)x(t)來確定該過程的均值和自相關(guān)函數(shù)。 000,1( )11( ) ()( ) () 0XXTXTTXx tTRx t dtTRx t

37、 x tdtx t x tdtTTT如果試驗記錄只在時間區(qū)間上給出，則相應(yīng)的的無偏估計為： 0011 TxTTxTlimx t dtTlimx t x tdtRT即 l各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性60q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)第三章第三章 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程61 221. 00XXRE Xt , XYXYX tY tRRR設(shè)和是平

38、穩(wěn)相關(guān)過程，和分別是它們的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。相關(guān)函數(shù)具有如下的性質(zhì)： 2. , ,XXXXYYXRRRRR即是 的偶函數(shù)即互相關(guān)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) 222.3. 0 ,00 00 ,00XXXXXXYXYXYXYRRCCRRRCCC 此不等式表明：自相關(guān)自協(xié)方差 函數(shù)在處取得最大值。 見下頁q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)Proposition 3.1 (Autocorrelation Function of SSP ) 1212,1 4. , ,0XnnnXijiji jRt ttTna aaRtta a是非負(fù)定的，即對任意數(shù)組和任意 個 不

39、全為零的實數(shù)，都有： ,1,12,11 0nnXijijijiji ji jnnijijiii jiRtta aE X tX ta aEX tX ta aEX ta事實上， 。自相關(guān)函數(shù)的非負(fù)定性是平穩(wěn)過程最本質(zhì)的特性，因為任一連續(xù)函數(shù)，只要具有非負(fù)定型，那么該函數(shù)必是某平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù) , XYXYX tY tRRR設(shè)和是平穩(wěn)相關(guān)過程，和分別是它們的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。相關(guān)函數(shù)具有如下的性質(zhì)：q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)Proposition 3.1 (Autocorrelation Function of SSP )63 001,X tP X t

40、TX tTX t是平穩(wěn)過程，若滿足條件則稱周期為 的平為穩(wěn)過程。 0000:1.XXP XX ttTX tRTRTT 是周期為 的平穩(wěn)過程的充分必要條件是：其自相關(guān)函數(shù)是周期為即的函數(shù)。q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)Definition3.6 (Peroidic Stationary Stochastic Process)Theorem 3.3 (周期平穩(wěn))64 0000:1.XXP XX ttTX tRTRTT 是周期為 的平穩(wěn)過程的充分必要條件是：其自相關(guān)函數(shù)是周期為即的函數(shù)。q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù) 2000002

41、0220010,0. 0XXXXP X tTX tEX tTX tRTRE X t X tTE X t X tE X tX tTX tE X tX tTX tE XtEX tTX tRTR 周期平穩(wěn)定義證明： 因為 要證只要證 也即 而 故65 0000:1.XXP XX ttTX tRTRTT 是周期為 的平穩(wěn)過程的充分必要條件是：其自相關(guān)函數(shù)是周期為即的函數(shù)。q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù) 200200010020 2020 XXXXRXXP X tTX tEX tTX tEX tTX tRRTRRRT 為周期函數(shù) 要證要證 計算得66 應(yīng)用：應(yīng)用： 00

42、,0XXNVSNVSX tX tlim RlimCV tS tN tV tS tN tS tN tE N tlim RV tRRRRRV t在實際中，各種具有零均值的非周期性噪聲和干擾一般當(dāng)值適當(dāng)增大時，和呈現(xiàn)獨立或不相關(guān)，即設(shè)接收機輸出電壓是周期信號和噪聲電壓之和，又設(shè)和是兩個互不相關(guān)的各態(tài)歷經(jīng)過程，且則的自相關(guān)函數(shù)對于充分大的值，即如果將作為自相關(guān)分析儀的 SR輸入，則對于充分大的 值，分析儀記錄到的是函數(shù)的曲線。q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)67 2222222 ,02002 ,220aSNNSaVVaRcosRb eaaRbRaaRcosb ecosR

43、假設(shè)接收機輸出電壓中的信號和噪聲過程的自相關(guān)函數(shù)分別為：且噪聲平均功率遠(yuǎn)大于信號平均功率,則當(dāng) 充分大時,相關(guān)分析儀記錄到的，的圖形，當(dāng) 充分大后應(yīng)呈現(xiàn)正弦曲線，亦即從強噪聲中檢測到微弱的正弦信號。 VRcos下面水平部分時為三角周期函數(shù)q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)Exercise 3.1668q 3.1 3.1 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性q 3.3 3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)第三章第三章 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程q 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程6

44、9一維高斯（正態(tài)）分布：一維高斯（正態(tài)）分布： 222exp21axxpq 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程70高斯分布的統(tǒng)計特性高斯分布的統(tǒng)計特性 均值：均值： 方差：方差： 高斯分布的特點：全部統(tǒng)計特性由其均值高斯分布的特點：全部統(tǒng)計特性由其均值 和方差和方差 確定。確定。 （注意上圖中均值和方差的涵義）（注意上圖中均值和方差的涵義） aXE 22XEXEa2q 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程71 n 高斯隨機過程：隨機過程的任意高斯隨機過程：隨機過程的任意n n維概率密度具有如下的正態(tài)維概率密度具有如下的正態(tài)分布特性的隨機過程稱之。分布特性的隨機過程稱之

45、。 njnkkkkjjjjknnnnaxaxBBBtttxxxp1121212212121exp.21,.,.,q 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程72 n 高斯隨機過程（續(xù)）：高斯隨機過程（續(xù)）： 參數(shù)的涵義：參數(shù)的涵義： kjkkjjjknnnnatXatXEbbbbbbbB,1.1.121221112 的代數(shù)余子式的關(guān)于元素jkjkkkkkkbBBatXEtXEa2,Bq 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程73 n 高斯隨機過程（續(xù)）：高斯隨機過程（續(xù)）： 高斯隨機過程的特點：其統(tǒng)計特性完全由其一維、二維統(tǒng)計高斯隨機過程的特點：其統(tǒng)計特性完全由其一維、二維統(tǒng)

46、計值：值：完全確定。完全確定。 kjkkjjjkatXatXEb 2,kkkkkatXEtXEaq 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程74 n 高斯隨機過程的性質(zhì)：高斯隨機過程的性質(zhì)： （1 1）寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)等價。）寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)等價。 對于寬平穩(wěn)過程，其一階、二階的統(tǒng)計值滿足：對于寬平穩(wěn)過程，其一階、二階的統(tǒng)計值滿足： 對高斯過程，其統(tǒng)計特性完全由其一階、二階統(tǒng)計值確對高斯過程，其統(tǒng)計特性完全由其一階、二階統(tǒng)計值確定，所以寬平穩(wěn)的高斯隨機過程與嚴(yán)平穩(wěn)的高斯過程等價。定，所以寬平穩(wěn)的高斯隨機過程與嚴(yán)平穩(wěn)的高斯過程等價。jijkjijkttbttb, kkatXEq 3.4 3.4 高斯平穩(wěn)隨機過程高斯平穩(wěn)隨機過程75 n 高斯隨機過程的性質(zhì)：高斯隨機過程的性質(zhì)： （2 2）不相關(guān)與獨立等價。）不相關(guān)與獨立等價。 若隨機變量若隨機變量 兩兩