第四章格林函數(shù)法

1、西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系調(diào)和函數(shù)：調(diào)和函數(shù)：1 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）方程的基本解）方程的基本解 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的調(diào)和方程的連續(xù)解；或滿具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的調(diào)和方程的連續(xù)解；或滿足足Laplace方程的函數(shù)。方程的函數(shù)。三維三維Laplace方程的基本解：方程的基本解：022200011( , , )()()()MMu x y zrxxyyzz特點(diǎn)：除特點(diǎn)：除 點(diǎn)外，任一點(diǎn)滿足點(diǎn)外，任一點(diǎn)滿足Laplace方程。方程。0000(,)Mxyz同學(xué)們自己驗(yàn)證。同學(xué)們自己驗(yàn)證。西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、系二維二維Laplace方程的基本解：方程的基本解：0220011( , )lnln()()MMu x yrxxyy特點(diǎn)：除特點(diǎn)：除 點(diǎn)外，任一點(diǎn)滿足點(diǎn)外，任一點(diǎn)滿足Laplace方程。方程。000(,)Mxy同學(xué)們自己驗(yàn)證。同學(xué)們自己驗(yàn)證。問題：基本解是否為整個(gè)區(qū)域內(nèi)的解？問題：基本解是否為整個(gè)區(qū)域內(nèi)的解？2 Green公式公式（1）奧高公式（高斯公式）：設(shè)）奧高公式（高斯公式）：設(shè) 是有界區(qū)域，是有界區(qū)域， 是其是其邊界曲面且足夠光滑，邊界曲面且足夠光滑， 在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則( , , ),( , , ),( , , )P x y zQ x y

3、 zR x y z西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系()(coscoscos )PQRdPQRdSxyz 推導(dǎo)：令推導(dǎo)：令其中其中 是是 的外法線方向。的外法線方向。cos , cos, cos n（2）第一）第一Green公式：設(shè)公式：設(shè) 是有界區(qū)域，是有界區(qū)域， 是其邊界曲面且是其邊界曲面且足夠光滑，足夠光滑， 及其一階偏導(dǎo)數(shù)在及其一階偏導(dǎo)數(shù)在 上連上連續(xù)，在續(xù)，在 內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則( , , ), ( , , )u x y zv x y z()vu vuvu vu vdudSdnxxyyzz ,vvvPuQuRuxyz代入高斯公式，并注意方向?qū)?shù)公式

4、即可得。代入高斯公式，并注意方向?qū)?shù)公式即可得。西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系（2）第二）第二Green公式：設(shè)公式：設(shè) 是有界區(qū)域，是有界區(qū)域， 是其邊界曲面且是其邊界曲面且足夠光滑，足夠光滑， 及其一階偏導(dǎo)數(shù)在及其一階偏導(dǎo)數(shù)在 上連上連續(xù)，在續(xù)，在 內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則( , , ), ( , , )u x y zv x y z()()vuu vv u duvdSnn 推導(dǎo)：由第一推導(dǎo)：由第一Green公式，有公式，有()vu vuvu vu vdudSdnxxyyzz ()uu vuvu vv udvdSdnxxyyzz 兩式相減即可得。兩式相減即可

5、得。西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系3 調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式意義意義：調(diào)和函數(shù)在：調(diào)和函數(shù)在 內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值可用其邊界上的函數(shù)值內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值可用其邊界上的函數(shù)值及其法向?qū)?shù)值表示。及其法向?qū)?shù)值表示。定理定理：設(shè)：設(shè) 在有界區(qū)域在有界區(qū)域 內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，且在內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，且在 上上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ，有，有( , , )u x y z0M000111()() ()()()4MMMMu Mu Mu MdS Mn rrn 證明：證明：0M如圖作球如圖作球0MK 01MMvr取取則則 和和 在在 內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)，內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)，由第二由第

6、二Green公式有公式有uv0MK西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系0011()0MMMMuudSn rrn在在 上（其外法線方向如何？）上（其外法線方向如何？）01()MMn r0022111()MMMMr rr于是于是0222111()44MMudSudSuun r0114MMuuudSdSrnnn西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系代入上式，得代入上式，得0011()440MMMMuuudSun rrnn令令 ，則，則00()uu M0()u Munn從而得證從而得證000111()() ()()4MMMMu Mu Mu MdSn rrn 西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工

7、大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系4 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)：設(shè) 在有界區(qū)域在有界區(qū)域 內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，且在內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，且在 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則( , , )u x y z證：令證：令1v 0udSn將將 代入第二代入第二Green公式即可。公式即可。, u v推論推論1：諾伊曼問題：諾伊曼問題0,( , , )ux y zufn 有解的必要條件是有解的必要條件是0fdS同學(xué)們考慮為什么？同學(xué)們考慮為什么？西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系021()4au MudSa性質(zhì)性質(zhì)2（平均值定理）（平均值定理）：設(shè)：設(shè) 在有界區(qū)域在有界區(qū)域 內(nèi)為調(diào)和內(nèi)為調(diào)

8、和函數(shù)，函數(shù)， ， 是以是以 為球心，以為球心，以 為半徑的球面，則為半徑的球面，則有有0M( , , )u x y z0M a a意義：球平均值意義：球平均值證明：將調(diào)和函數(shù)積分表達(dá)式用于此球面上，有證明：將調(diào)和函數(shù)積分表達(dá)式用于此球面上，有而而000111()()4aMMMMuu MudSn rrn 002111()()aaMMMMn rr ra 為什么？為什么？西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系于是于是0110aaMMuudSdSrnan為什么？為什么？021()4au MudSa性質(zhì)性質(zhì)3（極值原理）（極值原理）：若：若 在有界區(qū)域在有界區(qū)域 內(nèi)為調(diào)和函內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，在數(shù)，在

9、 上連續(xù)，且不為常數(shù)，則其最大值、最小值只能上連續(xù)，且不為常數(shù)，則其最大值、最小值只能在邊界在邊界 上上 達(dá)到。達(dá)到。( , , )u x y z推論推論1：設(shè)：設(shè) 在有界區(qū)域在有界區(qū)域 內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，在內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，在 上連上連續(xù)，若在續(xù)，若在 上上 有有 ，則在，則在 內(nèi)也有內(nèi)也有, u vuvuv證明從略證明從略西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系證明：用反證法證明：用反證法若在若在 內(nèi)有內(nèi)有 ，即，即 ，而在邊界上，而在邊界上 ，說明說明 在內(nèi)部可能取最大值。在內(nèi)部可能取最大值。uvuv0uv0uv推論推論2：狄利克萊問題：狄利克萊問題0,( , , )ux y zuf 的解唯

10、一。的解唯一。證明：證明：12uuu1u設(shè)設(shè) 和和 均為該問題的解，則均為該問題的解，則 滿足滿足2u由極值原理，由極值原理，0,( , , )0ux y zu 0u 西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系推論推論3：對(duì)狄利克萊問題：對(duì)狄利克萊問題0,( , , )()ux y zua 常數(shù)有有ua西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系1 Green函數(shù)的引入函數(shù)的引入對(duì)狄利克萊問題對(duì)狄利克萊問題0,( , , )ux y zuf 由調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式，其解可以表示成由調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式，其解可以表示成0M000111()()4MMMMuu MudSn rrn 00111()4

11、MMMMufdSn rrn （1）西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系（1）式（）式（2）式，得）式，得為此，引入為此，引入Green函數(shù)的概念。函數(shù)的概念。un但在邊界上，但在邊界上， 未知，不能用上述公式求解，必須消去未知，不能用上述公式求解，必須消去un取取 均為區(qū)域均為區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且在內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且在 上有一階連續(xù)上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則由第二的偏導(dǎo)數(shù)，則由第二Green公式，有公式，有, u v()0vuuvdSnn（2）000111() ()()44MMMMvuu MuvdSnn rrn（3）000111()()4MMMMuu MudSn rrn （1）西安理工大

12、學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系令令v選選 ，使，使 ，則（，則（3）式變成）式變成014MMvr（4）0011()()4MMvu MudSnn r01()4MMuv dSnr 001(,)4MMG M Mvr則（則（4）式表示為）式表示為0()Gu MudSn （5）于是狄利克萊問題的解可表示為于是狄利克萊問題的解可表示為稱為稱為Green函數(shù)函數(shù)0()Gu MfdSn 稱為稱為Green函數(shù)法函數(shù)法西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系v在上面的分析中，我們要求在上面的分析中，我們要求 應(yīng)滿足應(yīng)滿足0(,)G M Mv問題：?jiǎn)栴}：Green函數(shù)函數(shù) 如何構(gòu)造？即如何構(gòu)造？即 如何構(gòu)

13、造？如何構(gòu)造？這又是一個(gè)狄利克萊問題。如何求解？這又是一個(gè)狄利克萊問題。如何求解？00,( , , )14MMvx y zvr 西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系2 Green函數(shù)的靜電學(xué)意義函數(shù)的靜電學(xué)意義014MMr設(shè)在設(shè)在 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，則其在空間任一點(diǎn)處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，則其在空間任一點(diǎn) 處所處所產(chǎn)生的電場(chǎng)電位為產(chǎn)生的電場(chǎng)電位為0MM0001(,)(,)4MMG M Mg M Mr其中其中 表示導(dǎo)電面上感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位。表示導(dǎo)電面上感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位。0(,)g M M0M若在若在 點(diǎn)的點(diǎn)電荷是包圍在一個(gè)封閉的導(dǎo)電面內(nèi)，而這個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)電荷是包圍在一個(gè)封閉的導(dǎo)電面內(nèi)，

14、而這個(gè)導(dǎo)電面又是接地的，此時(shí)在導(dǎo)電面上的電位恒等于零，在導(dǎo)電面又是接地的，此時(shí)在導(dǎo)電面上的電位恒等于零，在導(dǎo)電面內(nèi)任一點(diǎn)導(dǎo)電面內(nèi)任一點(diǎn) 的電位由兩部分組成：的電位由兩部分組成：M（該函數(shù)結(jié)構(gòu)即是（該函數(shù)結(jié)構(gòu)即是Green函數(shù)）函數(shù)）西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系可見只要將可見只要將 確定了，則確定了，則 也就確定了。也就確定了。0(,)g M M0(,)G M M0(,)g M M0(,)g M M 如何確定呢？根據(jù)如何確定呢？根據(jù)Green函數(shù)的結(jié)構(gòu)，函數(shù)的結(jié)構(gòu)， 必須必須滿足滿足我們采用如下方法獲得我們采用如下方法獲得0(,)g M M001(,)4MMg M Mr假設(shè)區(qū)域外

15、也有一個(gè)點(diǎn)電荷（不一定單位電荷），它對(duì)自由假設(shè)區(qū)域外也有一個(gè)點(diǎn)電荷（不一定單位電荷），它對(duì)自由空間的電場(chǎng)也產(chǎn)生一個(gè)電位。設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位空間的電場(chǎng)也產(chǎn)生一個(gè)電位。設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位在導(dǎo)電面上恰好抵消，則這個(gè)假想的點(diǎn)電荷在區(qū)域內(nèi)電位就在導(dǎo)電面上恰好抵消，則這個(gè)假想的點(diǎn)電荷在區(qū)域內(nèi)電位就等于感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位，這樣就得到了。等于感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位，這樣就得到了。0(,)g M M這種獲得的方法稱為靜電源象法（鏡象法）這種獲得的方法稱為靜電源象法（鏡象法）0(,)g M M西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系那么，這個(gè)假想的點(diǎn)電荷應(yīng)在區(qū)域外的什么位置，所帶電量那么，這個(gè)

16、假想的點(diǎn)電荷應(yīng)在區(qū)域外的什么位置，所帶電量又如何呢？又如何呢？這個(gè)點(diǎn)應(yīng)是關(guān)于邊界曲面的對(duì)稱點(diǎn)。但是，對(duì)一般這個(gè)點(diǎn)應(yīng)是關(guān)于邊界曲面的對(duì)稱點(diǎn)。但是，對(duì)一般區(qū)域而言，這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)并不易得到。下面看兩個(gè)特殊問題。區(qū)域而言，這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)并不易得到。下面看兩個(gè)特殊問題。0M1 半空間上半空間上Green函數(shù)及狄利克萊問題的解函數(shù)及狄利克萊問題的解如我們研究上半空間如我們研究上半空間( , , )0,x y zzx y 0000(,)Mxyz用靜電源象法求其用靜電源象法求其Green函數(shù)：函數(shù)：在關(guān)于邊界曲面的對(duì)稱點(diǎn)為在關(guān)于邊界曲面的對(duì)稱點(diǎn)為1000(,)Mxyz0M0z 在放置一單位負(fù)電荷，則它們所形成的靜電

17、場(chǎng)的電位在邊在放置一單位負(fù)電荷，則它們所形成的靜電場(chǎng)的電位在邊界上恰好為零。界上恰好為零。1M0z 為什么？為什么？西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系對(duì)狄利克萊問題對(duì)狄利克萊問題00,0( , ),zuzuf x yx y 則其用則其用Green函數(shù)表示的解為：函數(shù)表示的解為：因此上半空間的因此上半空間的Green函數(shù)為：函數(shù)為：010111(,)()4MMMMG M Mrr又為什么？又為什么？00()zGu MfdSn 而在該邊界上有而在該邊界上有0zGGnz 為什么？為什么？西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系0100033222 3/2000011()42()()MMM

18、Mzzzzzzrrxxyyz 從而從而00222 3/20001()( , )2()()zu Mf x ydxdyxxyyz 0222000()()()MMrxxyyzz1222000()()()MMrxxyyzz注：注：西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系yxyxfyxuzyxzuyuxu,),()3 ,(3, 0222222)6 ,(0001zyxM104141),(0MMMMrrMMG00(,)()()dG M Mu Mf MSn 20202020202064141zzyyxxzzyyxx03(,)|( , )zG M Mf x y dxdyz 例例1 求解下列定解問題求解下列定

19、解問題解：解：0000(,)Mxyz對(duì)稱點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)為故其故其Green函數(shù)為函數(shù)為該問題的解為該問題的解為西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 球域上的球域上的Green函數(shù)及狄利克萊問題的解函數(shù)及狄利克萊問題的解用靜電源象法求其用靜電源象法求其Green函數(shù)：函數(shù)：我們采用下面的方法找關(guān)于邊界球面的對(duì)稱點(diǎn)：如圖我們采用下面的方法找關(guān)于邊界球面的對(duì)稱點(diǎn)：如圖1M0M設(shè)球域?yàn)樵O(shè)球域?yàn)?222( , , )x y zxyzR 0000(,)MxyzOM0M1M在半射線上截線段，使在半射線上截線段，使1OM0OM_201OMOMRK采用下面的方法找電荷所帶采用下面的方法找電荷所帶電量（應(yīng)使球

20、面上的電位為零）：電量（應(yīng)使球面上的電位為零）：1MMK作三角形如圖作三角形如圖01,OMMOMMSS_201OMOMR_0_1OMRROM_0_1OMOMOMOM01OMMOMMSS西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系_1_00MMOMOMMM_100_00OMRMMMMMMOM應(yīng)使球面上的電位為零，必有應(yīng)使球面上的電位為零，必有011044MMMMqrr將距離關(guān)系式代入，可得將距離關(guān)系式代入，可得0Rq 于是球域上的于是球域上的Green函數(shù)為函數(shù)為0100111(,)()4MMMMRG M Mrr西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系西安理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系對(duì)狄利克萊問題對(duì)狄利克萊問題222222220,( , , )xyzRuxyzRuf x y z 其用其用Green函數(shù)表示的解為：函數(shù)表示的解為：0()KGu MfdSn 該該Green函數(shù)又可表示為：函數(shù)又可表示為：01002222420000111(,)()411()42cos2cos