理論力學(xué) 點的合成運動

1、 動坐標系動坐標系：固結(jié)于相對于地面運動物體上的坐標系。 簡稱動系動系（Oxyz） 。 前兩章中我們研究點和剛體的運動，都是以地面為參考體。然而在實際問題中，還常常要在相對于地面運動著的參考系運動著的參考系上觀察和研究物體的運動。如從行駛的汽車上觀看飛機的運動，坐在行駛的火車內(nèi)看下雨的雨點等。本章研究同一物體同一物體相對于不同參考系不同參考系的運動及其相互關(guān)系。8-1 相對運動相對運動牽連運動牽連運動絕對運動絕對運動一一. 坐標系：坐標系：靜坐標系靜坐標系：固結(jié)于地面上的坐標系。簡稱靜系靜系（Oxyz）。 例如例如，下雨時，地面上的觀察者看雨滴是鉛垂向下的，但對正在行進的車上的觀察者來說，雨滴

2、則是傾斜向后的。 同一物體的運動對于不同的參考體來說是不同的同一物體的運動對于不同的參考體來說是不同的。 又如，又如，沿直線軌道滾動的車輪，站在地面上的人看輪緣上點M的運動軌跡是一旋輪線，而在行駛著的車中的人看M點，其軌跡則是一個圓。1. 絕對運動絕對運動：動點相對于靜系的運動。2. 相對運動相對運動：動點相對于動系的運動。3. 牽連運動牽連運動：動系相對于靜系的運動。絕對運動中動點的速度與加速度稱絕對速度絕對速度 與絕對加速度絕對加速度相對運動中動點的速度和加速度稱相對速度相對速度 與相對加速度相對加速度牽連運動中牽連點牽連點的速度和加速度稱牽連速度牽連速度與牽連加速度牽連加速度aaevea

3、rvraav點的運動點的運動剛體的運動剛體的運動二二. . 動點動點：三三. . 三種運動及三種速度與三種加速度三種運動及三種速度與三種加速度在任意瞬時，動坐標系中與動點相重合的點叫牽連點牽連點。所要研究的運動著的點。 選擇對動系、靜系都為運動的點，例如主動件與從動件的連接點。 動點對動系有相對運動，且相對運動的軌跡是已知的，或者是能直接看出的。四四. . 動點的選擇原則：動點的選擇原則：五五. 動系的選擇原則動系的選擇原則：下面舉例說明以上概念：下面舉例說明以上概念：動點：動點：動系：動系：靜系：靜系：AB桿上A點固結(jié)于凸輪上固結(jié)在地面上絕對運動絕對運動：直線運動相對運動相對運動：圓弧運動牽

4、連運動牽連運動：直線平動牽連速度牽連速度 ：ev絕對速度絕對速度 ：avrv相對速度相對速度 ：絕對加速度：絕對加速度：aa相對加速度：相對加速度：ra牽連加速度：牽連加速度：ea動點：擺桿上 A1點動系：圓盤靜系：機架動點：圓盤上 A點動系：OA 擺桿靜系：機架絕對運動：圓周運動相對運動：直線運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動絕對運動：圓弧運動相對運動：曲線運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動注意：要指明動點在哪個注意：要指明動點在哪個物體上，且動點不能選在物體上，且動點不能選在動系上。動系上。動點：A(在AB桿上) 動系：偏心輪靜系：地面絕對運動：直線運動相對運動：圓周運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動若動點若動點A在偏心輪上

5、時在偏心輪上時A（在偏心輪上）AB桿地面圓周運動（紅虛線）曲線運動（未知）平動當t t+t 時 ABA B ， MM也可看成M M M8-2 點的速度合成定理點的速度合成定理 點的速度合成定理將建立動點的絕對速度、相對速度和牽連速度之間的關(guān)系。1MMMM1MMMM 為絕對位移M1M 為相對位移 設(shè)有一動點M按一定規(guī)律沿著固連于動系Oxyz 的曲線AB運動, 而曲線AB同時又隨同動系Oxyz 相對靜系Oxyz運動。 點的速度合成定理是瞬時矢量式，共包括大小、方向 六個元素，已知任意四個元素，就能求出其它兩個。 即在任一瞬時動點的絕對速度等于其牽連速度與相對速度即在任一瞬時動點的絕對速度等于其牽連

6、速度與相對速度的矢量和，這就是點的速度合成定理。的矢量和，這就是點的速度合成定理。 aervvv11000limlimlimtttM MM MM Mttt 將上式兩邊同除以t，取t 0時的極限，得說明說明： 點的速度合成定理適用于牽連運動（動系的運動）為任何運動的情況。 1MMMM1MM應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 例例1 橋式吊車。已知：小車水平運行，速度為v平，物塊A相對小車垂直上升的速度為v。求物塊A的運行速度。 動點動點：物塊A 動系動系：小車 靜系靜系：地面相對運動相對運動：直線； 相對速度 vr =v 方向牽連運動牽連運動：平動； 牽連速度 ve=v平 方向絕對運動絕對運動：曲線； 絕對速度

7、va 的大小、方向待求。解解：選取22Aaervvvv平vv1tg作出速度平行四邊形作出速度平行四邊形如圖示，則物塊A的速度大小和方向為由速度合成定理：由速度合成定理：reavvv22vv平11 evO A則 sineavv相對速度vr = ? 方向/O1B（ ） 例例2 曲柄擺桿機構(gòu)。已知已知：OA= r 、 、 OO1=l，圖示瞬時，OAOO1 。求求：擺桿O1B的角速度1。解解：取OA桿上A點為動點，擺桿O1B為動系，基座為靜系。絕對速度va = r ，方向 OA牽連速度ve = ? 方向O1B22rrrl222rrl222221rrlrl222rrl由速度合成定理 作出速度平行四邊形

8、如圖所示。reavvv23 ( )3ABve（翻頁請看動畫） 0tan 30aevv 例例3 圓盤凸輪機構(gòu)已知：已知：OCe , , （勻角速度）圖示瞬時, OCCA 且 O、A、B三點共線。求：求：從動桿AB的速度。eR3解：解：動點動點取直桿上A點，動系動系固結(jié)于圓盤， 靜系靜系固結(jié)于基座。絕對速度 va = ? 待求，方向/AB相對速度 vr = ? 未知，方向CA牽連速度 ve = OA =2e, 方向 OA323e 由速度合成定理 作出速度平行四邊形 如圖所示。reavvv動點、動系和靜系須分別屬于三個不同的物體動點、動系和靜系須分別屬于三個不同的物體，否則絕對、相對運動中就缺少一種

9、運動，不能成為合成運動。動點相對動系的運動（即相對運動）軌跡易于直觀判斷動點相對動系的運動（即相對運動）軌跡易于直觀判斷（除已知絕對運動和牽連運動求解相對運動的問題外）。由上述例題知求解合成運動的速度問題的一般步驟一般步驟為：動點、動系和靜系的選擇原則：動點、動系和靜系的選擇原則：恰當?shù)剡x擇動點、動系和靜系是求解合成運動問題的關(guān)鍵。選取動點、動系和靜系。對三種運動及其速度進行分析。根據(jù)速度平行四邊形，求出未知量。根據(jù)速度合成定理 作出速度平行四邊形。reavvv 例例4 已知： 凸輪半徑 r , 圖示時速度 v ， 300 ；桿OA靠在凸輪上。 求：桿OA的角速度。 分析分析：相接觸的兩個物體

10、的接觸點位置在各自物體上都隨時間而變化，因此若選兩物體的接觸點為動點，則相對運動的分析會較困難。根據(jù)上述動點、動系和靜系的選擇原則，在此情況下，可選擇滿足上述兩條原則的非接觸點為動點。解解：取凸輪上C點為動點動點, 動系動系固結(jié)于OA桿上, 靜系靜系固結(jié)于基座。絕對運動絕對運動： 直線運動， 絕對速度： va =v ，方向相對運動相對運動： 直線運動， 相對速度： vr 未知，方向 OA牽連運動牽連運動: 定軸轉(zhuǎn)動, 牽連速度：OCOCve方向待求未知 , , 2eevvOCrvvvae33tg（）1323vr36vr根據(jù)速度合成定理 作出速度平行四邊形如圖所示。aervvv8-3牽連運動為平

11、動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理reavvvddd dddrxyzvijkttt而d d d dddaOxyzvvijkttt兩邊對 t 求導(dǎo)：ddaavat 設(shè)有一動點M按一定規(guī)律沿著固連于動系Oxyz 的曲線AB運動, 而曲線AB同時又隨同動系Oxyz 相對靜系Oxyz平動。由速度合成定理注意到牽連運動為平動牽連運動為平動，故 , OeOeaavv222222ddddddddOvxyzijktttt222222ddddddddddaOavvxyzaijktttttd ,dOOevaat又其中， 為動系坐標軸的單位矢量，由于動系為平動，故其方向不變是常矢量，所以 。d

12、 d d 0, 0, 0d d d ijktttijk、 、reaaaa 即牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。 牽連運動為平動時點的加速度合成牽連運動為平動時點的加速度合成定理定理 naaanrrneenaaaaaaaa又可寫為：222222ddddddrxyzaijkttt 例例5 圖示曲柄滑道機構(gòu)中，曲柄長OA0.1m，繞O軸轉(zhuǎn)動。當 時，其角速度 1 rad/s，角加速度 a 1 rad/s2，求導(dǎo)桿AB的加速度和滑塊A在滑道中的相對加速度。o30 取OA上的A點為動點動點，導(dǎo)桿AB為動系動系，定系定系固連在地面上。2）分析三種運動和三種加速度。 絕對

13、運動：即動點A的圓周運動，絕對加速度可分解為切向加速度和法向加速度 ，大小為解：解： 1）選取動點和動系。20.1 10.1 m/ saaOAa 2220.1 10.1m/ snaaOA方向如圖 b）所示。 220.1 m/ s0.1m/ sanaaa 相對運動 即沿滑道的往復(fù)直線運動，故相對加速度 的方向為水平，大小為未知。ra 牽連運動 即導(dǎo)桿的直線平動，動點A的牽連加速度 為鉛垂方向，大小為待求。 eanaaaeraaaaa作加速度合成圖，如圖b）。3）根據(jù)牽連運動為平動時的加速度合成定理oosin30cos30naaeaaa220.0366m/s () , 0.1366m/s ()re

14、aa 求出的 為正值，說明圖示方向即為實際方向，而 即為導(dǎo)桿AB在此瞬時的平動加速度。 reaa、eanaaeraaaa代入oocos30sin30naaraaa將其分別投影到x 和h 軸上,得220.1 m/ s , 0.1m/ snaaaa最后得: 注意：注意：不要將加速度合成定理的投影式寫成“投影的代數(shù)和為零”的平衡式。解解：取頂桿AB上的A點為動點動點， 動系動系與凸輪固連。 例例6 已知：凸輪半徑 求： =60o時, 頂桿AB的加速度。ooRva、請看動畫由速度合成定理aervvv做出速度平行四邊形,如圖示。sinervv相對速度vr = ? , 方向CA； 相對加速度ar = ?

15、方向CA , 方向沿CA指向CRvarnr/2絕對速度va = ? , 方向 AB ；絕對加速度aa= ?, 方向 AB，待求。牽連速度ve=v0 , 方向 ； 牽連加速度 ae=a0 , 方向002sin 603ovv因牽連運動為平動，牽連運動為平動， 故有nrearaaaa2 /nrravR其中作加速度矢量圖加速度矢量圖如圖示，將上式投影到法線 n 上，得nreaaaacossin(cos)/sinnaeraaa整理得)38(33200RvaaaaABn202() /3vR2043vR2004(cos60)/sin603vaR8-4牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速

16、度合成定理上一節(jié)我們證明了牽連運動為平動時點的加速度合成定理，那么當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，上述的加速度合成定理是否還適用呢？下面我們來分析一特例。 設(shè)如圖圓盤以勻角速度 繞定軸順時針轉(zhuǎn)動，盤上圓槽內(nèi)一點M以大小不變的相對速度 vr 沿槽作圓周運動，那么M點相對于靜系的絕對加速度應(yīng)是多少呢？Rvavrrr2, 常數(shù)有相對運動相對運動為勻速圓周運動，（方向如圖）由速度合成定理可得出 aerrvvvRv為常數(shù)選點選點M為動點，動系固結(jié)與圓盤上為動點，動系固結(jié)與圓盤上，則M點的牽連運動牽連運動為勻速轉(zhuǎn)動。2, eevRaR（方向如圖）即絕對運動絕對運動也為勻速圓周運動，所以方向指向圓心點。2aavaR2(

17、)rRvR222rrvRvR 可見，當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度并不當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度并不等于牽連加速度和相對加速度的矢量和。等于牽連加速度和相對加速度的矢量和。那么它們之間的關(guān)系是什么呢？ 2 vr 又是怎樣出現(xiàn)的呢？它是什么呢？下面我們就來討論這些問題，推證牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理。earaaa分析上式：22, /erraRavRrrraavRvRRvRRva2)(2222還多出一項 2 vr 。速度分析速度分析牽連速度牽連速度相對速度相對速度絕對速度絕對速度 t 瞬時在位置t+t 瞬時在位置IIevrvreavvvreavvvevrv 可以看出，經(jīng)過t

18、 時間間隔，牽連速度和相對速度的大小、方向都發(fā)生了變化。 設(shè)桿OA在圖示平面內(nèi)以勻角速度 繞軸O轉(zhuǎn)動，套筒M（可視為點M）沿直桿作變速運動。取套筒取套筒M為動點，動系固結(jié)于桿為動點，動系固結(jié)于桿OA上，上，靜系固結(jié)于機架。靜系固結(jié)于機架。 相對速度相對速度：由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取 長度后， 分解為 和rrrvvv、rvrvrvrv rv rrrvvv 即其中 在t內(nèi)相對速度大小的改變量，它與牽連轉(zhuǎn)動無關(guān)。 在t內(nèi)由于牽連轉(zhuǎn)動而引起的相對速度方向的改變 量，與牽連轉(zhuǎn)動的 的大小有關(guān) 。 rv rv 牽連速度牽連速度： 由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取 長度后，將 分解為 和 ，

19、eeevvv、evevevev ev eeevvv 即 t 時間間隔內(nèi)的速度變化分析時間間隔內(nèi)的速度變化分析其中: 表示t內(nèi)由于牽連轉(zhuǎn)動而引起的牽連速度方向的改 變量，與相對運動無關(guān)。 表示t內(nèi)由于相對運動而引起的牽連速度大小的改 變量，與相對速度 有關(guān)。ev evrvtvvvvtvvareretaata)() (limlim00tvtvtvvvvrtetrreet000limlim)()(limtvtvtvtvrtrtetet limlim limlim0000加速度分析加速度分析上式中各項的物理意義各項的物理意義如下：第一項正是 t 瞬時動點的牽連加速度 。ea第三項恰是瞬時動點的相對加速

20、度 。ra第二項大小：tOMOMtvvtvteetetlimlim lim000rrtvvtMM方向 , lim10該項為由于相對運動的存在而引起牽連速度的大小改變的加速度。第四項大小：00limlim , rrrrttvvvvtt 方向。這一項表明由于牽連轉(zhuǎn)動而引起相對速度方向改變的加速度。0000limlimlimlimeerrattttvvvvatttt 最后，有加速度合成定理kreaaaaa 即牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度、牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度、相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。相對加速度和科氏加速度三者的矢量和?；?qū)懗蒶nrrneen

21、aaaaaaaaa一般情況下，科氏加速度可以表示為rkva2 由于第二項和第四項表示的加速度的大小、方向都相同，可以合并為一項，用 表示，稱為科氏加速度科氏加速度。ka: 2sinkrav大小方向：按右手螺旋法則確定。0 180 , / ,rv當或時90 , ,rv當時0ka 2krav（常見）DABCasin211vak)/( 022vak 例例7 矩形板ABCD以勻角速度 繞固定軸 z 轉(zhuǎn)動，點M1和點M2分別沿板的對角線BD和邊線CD運動，在圖示位置時相對于板的速度分別為 和 ，試計算點M1 、 M2的科氏加速度大小, 并標明方向。1v2v點M2 的科氏加速度:垂直板面向里。 解解：科氏

22、加速度為rkva2點M1的科氏加速度:解：rkva222 rv根據(jù) 作出速度平行四邊形reavvv coseavva22evO A22krav方向與 相同。ev 例例8 曲柄擺桿機構(gòu)。已知O1Ar， 1， ；取O1A桿上A點為動點，動系固結(jié)在O2A上，試求動點A的科氏加速度。1sin(),rsinarvva1cos()r2 2krav1sinsin()cosrr1sin()sincos21sin 2() sincosr解解: 動點: 頂桿上A點； 動系: 凸輪； 靜系: 地面。 例例9 凸輪機構(gòu)以勻角速度 繞O軸轉(zhuǎn)動，圖示瞬時OA= r ，A點處曲率半徑為 ， 為已知。求該瞬時頂桿 AB的速度

23、和加速度。絕對運動: 直線運動; 絕對速度: va= ? 待求, 方向/AB;牽連運動: 定軸轉(zhuǎn)動; 牽連速度: ve= r ， 方向OA， 。相對運動: 曲線運動; 相對速度: vr= ? 方向n;2222: /(cos), nrravr n相對加速度方向沿: ? , /aaAB絕對加速度方向nar方向 ?2: 0 , , neeaarO牽連加速度方向指向軸心 。tgABaevvv/cosrevv根據(jù)速度合成定理reavvv作速度平行四邊形。2: 22/ cos , / / , kravrnn科氏加速度方向指向與相反。 tg ( )r /cosr由牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理牽連運動為轉(zhuǎn)

24、動時的加速度合成定理kneaaaaaarr作出加速度矢量圖加速度矢量圖如圖示。22222 (cossec/2sec )/cosABaaarrr 232(1sec/2sec)rr 向 n 軸投影：knreaaaaacoscos22/ cos ,kar222/(cos),nrar 2 ,ear代入：牽連運動為轉(zhuǎn)動時reavvvreaaaa第八章點的合成運動習(xí)題課第八章點的合成運動習(xí)題課)2( rkkreavaaaaa一概念及公式一概念及公式 點的絕對運動為點的相對運動與牽連運動的合成。2. 速度合成定理速度合成定理3. 加速度合成定理加速度合成定理牽連運動為平動時1. 一點、二系、三運動一點、二系

25、、三運動4. 作加速度分析，畫出加速度矢量圖，求出有關(guān)的加速度、 角加速度未知量。二解題步驟二解題步驟1. 選擇動點、動系、靜系。2. 分析三種運動：絕對運動、相對運動和牽連運動。3. 作速度分析, 畫出速度平行四邊形,求出有關(guān)未知量 (速度、 角速度）。2. 牽連運動為轉(zhuǎn)動時作加速度分析不要丟掉科氏加速度 。ka三注意問題注意問題1. 牽連速度及加速度是牽連點相對靜系的速度及加速度。3. 加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜力平衡方程 的投影式不同。22/navRR4. 圓周運動時，2/nav非圓周運動時，（ 為曲率半徑）牽連運動：平動，牽連運動：平動，)( OAlva方向2 () (

26、)anaalOAalAOO方向沿指向鉛直方向 ? ?rrav? ? eeva水平方向，待求量。 例例1 曲柄滑桿機構(gòu)。已知: OAl ， = 45o 時，、 ;求：小車的速度與加速度。解解：動點：動點：OA桿上桿上 A點點;動系：固結(jié)在滑桿上動系：固結(jié)在滑桿上;靜系：固結(jié)在機架上。靜系：固結(jié)在機架上。絕對運動：圓周運動，絕對運動：圓周運動，相對運動：直線運動，相對運動：直線運動，小車的速度小車的速度：evv 根據(jù)速度合成定理 作速度平行四邊形, 如圖示。reavvvcoseavv向x軸投影：cossinnaaeaaa2 cos45sin45eall方向如圖示。22()2l小車的加速度小車的加速

27、度：eaa 根據(jù)牽連平動的加速度合成定理renaaaaaa作出加速度矢量圖如圖示。2cos45 ()2ll牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動，牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動，, aavvaa?,rrav2? ; ? neeaODOAaODO指向?, evODOA 例例2 搖桿滑道機構(gòu)。已知 h、 、v、a，求OA桿的、 。解解：動點動點: BC上銷子上銷子D ; 動系動系: 固結(jié)于固結(jié)于OA；靜系；靜系: 固結(jié)于機架。固結(jié)于機架。絕對運動：直線運動，絕對運動：直線運動，沿OA 線相對運動：直線運動，相對運動：直線運動，2 kravOA，2krav向x 軸投影：keaaaacoscoseakaaaeaOD（）根據(jù)牽連轉(zhuǎn)動的

28、加速度合成定理牽連轉(zhuǎn)動的加速度合成定理krneeaaaaaacoscos ,eavvv/evOD（）sinsinravvv2cos/coc s sohvvh2cos2sinvvh222cossincosvah2222coscossin2avhh根據(jù)速度合成定理速度合成定理 作速度平行四邊形作速度平行四邊形，如圖所示。reavvv2neaOD23cosvh請看動畫請看動畫解解：動點動點: O1A上上A點點; 動系動系: 固結(jié)于固結(jié)于BCD上上, 靜系固結(jié)于機架上。靜系固結(jié)于機架上。牽連運動：平動牽連運動：平動;AOrva11 , ? / rvBC?ev絕對運動：圓周運動絕對運動：圓周運動;相對運

29、動：直線運動相對運動：直線運動;方向水平 例例3 曲柄滑塊機構(gòu)曲柄滑塊機構(gòu)。已知：O1A = r ， 1、 、 h；圖示瞬時O1A / O2 E，求該瞬時 O2 E 桿的 2 。作出速度平行四邊形。作出速度平行四邊形。reavvv再選動點：再選動點：BCD上上F點，點，動系：固結(jié)于動系：固結(jié)于O2E上，上，靜系固結(jié)于機架上。靜系固結(jié)于機架上。sineavv根據(jù)根據(jù)作速度平行四邊形。作速度平行四邊形。FrFeFavvvsineFaFvv222, /sineFvO FO Fh又 根據(jù)根據(jù)2? /rFvO E1sin ()aFvr2? eFvO E絕對運動：直線運動，絕對運動：直線運動，相對運動：直

30、線運動，相對運動：直線運動，牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動，211sinsinsinrr22eFvO F）（21sinsinrh1sinr31sinrh絕對運動絕對運動: 直線運動，直線運動，相對運動相對運動: 直線運動，直線運動，牽連運動牽連運動: 定軸轉(zhuǎn)動，定軸轉(zhuǎn)動，, aavvaa? ? /rrvaOA方向? evOC方向 例例4 凸輪機構(gòu)。凸輪機構(gòu)。已知凸輪半徑為R，圖示瞬時O、C在一條鉛直線上， 、v 、a 已知。求該瞬時OA桿的角速度和角加速度。 由于兩個物體上的接觸點位置均是變化的，故不宜選接觸點為動點。; ?2OOCane指向?eaOC方向OC請看動畫請看動畫解解: 取凸輪上取凸輪上C點為動點，點為動點， 動系固結(jié)于動系固結(jié)于OA桿上，桿上， 靜系固結(jié)于地面上。靜系固結(jié)于地面上。分析分析:0, , sin/sinereavvvvvvvOCRR作出速度平行四邊形，知根據(jù)reavvv根據(jù)krneeaaaaaa作出加速度矢量圖。02 ,sin)sin(sin22rknevaRvRvRa向 軸投影：coscossinnaeeaaatgneaeaaa2222tgsin/