控制工程基礎(chǔ)課件 3系統(tǒng)~1

1、第三章 物理系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容： 1.建立數(shù)學模型的方法2.傳遞函數(shù)的定義與概念3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)4.傳遞函數(shù)方框圖的簡化本章重點與難點本章重點與難點1.如何建立系統(tǒng)的數(shù)學模型2.對傳遞函數(shù)的理解及方框圖的簡化3.1系統(tǒng)的數(shù)學模型 一數(shù)學模型的概念 數(shù)學模型是定量描述系統(tǒng)的動態(tài)性能，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動態(tài)性能之間關(guān)系的數(shù)學表達式。例如微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性式。 1.動態(tài)模型：微分方程（描述變量各階導數(shù)之間關(guān)系） 2.靜態(tài)模型：代數(shù)方程（變量的各階導數(shù)為零時，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程）n建立系統(tǒng)數(shù)學模型時，必須1.全面了解系統(tǒng)特性，確定研究

2、目的以及準確性要求，決定能否忽略一些次要因素而簡化系統(tǒng)的數(shù)學模型2.根據(jù)所應(yīng)用的系統(tǒng)分析法，建立相應(yīng)形式的數(shù)學模型 建立系統(tǒng)的數(shù)學模型有兩條途徑：1.分析法2.實驗法：根據(jù)對系統(tǒng)的觀察，通過測量得到輸入輸出數(shù)據(jù)，推斷出系統(tǒng)的數(shù)學模型。二.建立數(shù)學模型的步驟 1.分析系統(tǒng)的工作原理及系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量及輸出量 2.對系統(tǒng)作必要的簡化假設(shè)，略去次要的因素，便于分析和研究 3.根據(jù)物理學規(guī)律，依次列出系統(tǒng)中各部分的動力學方程 4.若出現(xiàn)非線性方程，可進行線性化 5.消去各方程的中間變量，即得描述系統(tǒng)輸入量與輸出量間關(guān)系得微分方程例1：設(shè)有由電感L、電容C和電阻R組成的電路，如圖1

3、所示。試列寫以輸出電壓為U2輸出變量和以輸入電壓 U1為輸入變量的運動方程。 圖1 3.1系統(tǒng)的數(shù)學模型三.線性系統(tǒng)已知系統(tǒng)輸入 和輸出 之間動態(tài)關(guān)系的微分方程 txbtxbtxbtxatxatxaiimimoonon0101 txi txo1.若系數(shù) 都不是 和 的函數(shù)，也不是它們導數(shù)的函數(shù)，也不是時間的函數(shù)，則此方程是線性定常的，相對應(yīng)的系統(tǒng)也就是線性定常系統(tǒng)；2.若 是時間 的函數(shù)，則該方程是線性時變的，相對應(yīng)的系統(tǒng)也就是線性時變系統(tǒng)；3.若 中只要有一個系數(shù)依賴于 ， 或它們的導數(shù)，或者是在微分方程中出現(xiàn) 的其他函數(shù)形式，則該方程是非線性的，相對應(yīng)的系統(tǒng)也就是非線性系統(tǒng)。), 2 ,

4、1 , 0(), 2 , 1 , 0(mjbniaji txi txojiba ,tjiba , txitxot txtxtxtxiooo42 txtxtxtxtxioooo23.2傳遞函數(shù) 一.傳遞函數(shù)的定義 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為初始條件為零時， 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比 sXsXtxLtxLsGioio sGsXsXio我們可以看出輸入信號經(jīng)系統(tǒng)傳遞，也就是乘上 即得輸出信號，所以我們把 叫做傳遞函數(shù)。可以用方框圖表示 sG sGG（s） six sxo二.傳遞函數(shù)的求法設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為在初始條件為零時，對上式進行拉氏變換系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 txbtxb

5、txbtxatxatxaiimimoonon0101 sXbsbsbsbsXasasasaimmmmOnnnn)()(01110111 01110111asasasabsbsbsbsGnnnnmmmm方法1：列寫系統(tǒng)的微分方程 消去中間變量，整理成系統(tǒng)的微分方程模型 在初始條件為零的情況下，取拉氏變換 求輸出與輸入拉氏變換之比，得到控制系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)方法2：列寫系統(tǒng)中各元件（各環(huán)節(jié)）的微分方程 在零初始條件下求拉氏變換 整理拉氏變換后的代數(shù)方程組，消去中間變量 整理成控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法： 三傳遞函數(shù)的特點1.微分方程左端階數(shù)及各項系數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的與外界無關(guān)的固有特性

6、，右端階數(shù)及各項系數(shù)取決于系統(tǒng)與外界之間的關(guān)系，所以傳遞函數(shù)的分母是系統(tǒng)的特征多項式，代表系統(tǒng)的固有特性。分子代表輸入與系統(tǒng)的關(guān)系，因此傳遞函數(shù)表達了系統(tǒng)本身的動態(tài)性能。2.傳遞函數(shù)不說明被描述系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。3.傳遞函數(shù)可以是無量綱的，也可以是有量綱的，這要看輸入量和輸出量二者的量綱及其比值4.傳遞函數(shù)是復(fù)變數(shù)S的有理分式，且分子、分母多項式的各項系數(shù)均為實數(shù)，分母多項式的次數(shù)n大于等于分子多項式的次數(shù)m。四傳遞函數(shù)的零點、極點和放大系數(shù) nmpspspszszszsksG2121 K為放大系數(shù) 為傳遞函數(shù)的極點， 為傳遞函數(shù)的零點 mjzsj2 , 1njpsj2 , 1 傳遞函數(shù)的零點和

7、極點的分布影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。 一般極點影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性， 零點影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。 系統(tǒng)的放大系數(shù)決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值。 3.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)。 一比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)） 只要輸出量與輸入量成正比，輸出不失真也不延遲而按比例的反映 輸入的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)。 其動力學方程為， 傳遞函數(shù) tkxtxio ksXsXsGio二慣性環(huán)節(jié)(一階慣性環(huán)節(jié)) 凡動力學方程為一階微分方程 形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。 其傳遞函數(shù)為 其中K為放大系數(shù)，T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。 iookxtxtxT 1TsksG三微分環(huán)節(jié)凡

8、具有輸出正比于輸入的微分，即微分方程為 的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù) T為微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)四積分環(huán)節(jié)凡具有輸出正比于輸入對時間的積分的環(huán)節(jié)。微分方程 傳遞函數(shù)為 T為積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù) txTtxio TssG dttxTtxio1 TssG1五振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)是二階環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為 無阻尼固有頻率 阻尼比對于二階環(huán)節(jié)作階躍輸入時，輸出有兩種情況 1. 當 輸出為一衰減振蕩過程，此時為振蕩環(huán)節(jié) 2. 當 時，輸出為一指數(shù)上升曲線而不振蕩，最后達到常值輸出。這時二階環(huán)節(jié)不是振蕩環(huán)節(jié)，而是兩個一階慣性環(huán)節(jié)的組合，可見振蕩環(huán)節(jié)是二階環(huán)節(jié)，但二階環(huán)節(jié)不一定是振蕩環(huán)節(jié)。 2222nnnsssGn101

9、六延時環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)是輸出滯后輸入時間 ，但不失真的反映輸入的環(huán)節(jié)。即輸出與輸入信號形狀完全相同，僅僅時間延遲 。延時環(huán)節(jié)一般與其它環(huán)節(jié)同時存在。傳遞函數(shù)為 sesG例1：求如圖1所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 圖1 例2：求如圖2所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)圖3 例3：求如圖3所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 圖2 圖3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)例4：求如圖4所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 圖4例5：求如圖5所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 圖53.4系統(tǒng)的方框圖及其連接 一.環(huán)節(jié)的基本聯(lián)系方式1.串聯(lián) 2.并聯(lián)并聯(lián)后等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之和。 串聯(lián)后等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于每個串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。 3.反饋聯(lián)接 反饋

10、回路傳遞函數(shù)（前向通道：由偏差信號至輸出信號的通道； 反饋通道：由輸出信號至反饋信號的通道）G(s)H(s) sXi sXo sE sB-前 前向通道傳遞函數(shù) ：它是輸出信號與偏差信號之比，即 反饋通道傳遞函數(shù) ：反饋輸出信號與輸出信號之比，即 開環(huán)傳遞函數(shù) ：前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積 或定義為反饋信號與偏差信號之比 sG sEsXsGo sH sXsBsHO sGk sHsGsGk sHsGsEsBsGk 3.反饋聯(lián)接 閉環(huán)傳遞函數(shù) ：閉環(huán)系統(tǒng)輸出與輸入之比 ，已知： 那么： s sXsXsio sBsXsEi sBsEsXi sHsGsGsEsBsEsXsBsEsXsXsX

11、sooio11負號對應(yīng)正反饋，正號對應(yīng)負反饋正反饋是反饋信號加強輸入信號，使偏差信號增大時的反饋負反饋是反饋信號減弱輸入信號，使偏差信號減小時的反饋若 1，稱為單位反饋系統(tǒng)以上引入開環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)傳遞函數(shù)的概念，這些都是對閉環(huán)系統(tǒng)而言的，今后若不加特別說明，當研究整個系統(tǒng)時，不論是開環(huán)系統(tǒng)還是閉環(huán)系統(tǒng)，均可以用 來表示整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù) sH sG4.干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng) - sNG1(s)H(s)G2(s) sXi sE sXo sB作用下系統(tǒng)的輸出 sXi sXsHsGsGsGsGsXi2121011作用下系統(tǒng)的輸出 sN sNsHsGsGsGsXo21221 對于同一個閉環(huán)系統(tǒng)，當輸入

12、的取法不同時，前向通道的傳遞函數(shù)不同， 反饋回路的傳遞函數(shù)不同，系統(tǒng)傳遞函數(shù)也不同，但傳遞函數(shù)的分母不變。 這說明了系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母確實反映了系統(tǒng)本身的固有特性，這個特性與 外界無關(guān)。而這一結(jié)論對開環(huán)系統(tǒng)并不適用。 二.方框圖的變換與簡化 1.方框圖的變換 變動后輸入和輸出都不變，變換前后的方框圖是等效的 （1）分支點等效移動規(guī)則 若將分支點從一函數(shù)方框的輸出側(cè)移至其輸入側(cè)，須在分出支路 中串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框； 若將分支點從一函數(shù)方框的輸入側(cè)移至其輸出側(cè)，須在分出支路 中串入具有相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的函數(shù)方框。 1.方框圖的變換 （2）相加點等效移動規(guī)則 若將相加點從一函數(shù)方框的輸

13、出側(cè)移至其輸入側(cè)，則需在移動后的一個相加支路中串入相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的函數(shù)方框。 若將相加點從一函數(shù)方框的輸入側(cè)移至其輸出側(cè)，則需在移動后的一個相加支路中串入相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框。 傳遞函數(shù)方框圖簡化的一般步驟 (1）確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量，如果作用在系統(tǒng)的輸入量有多個，則必須分別對每一個輸入量，逐個進行方框圖的簡化，求得各自的傳遞函數(shù)。對于具有多個輸出量的情況，也要分別進行變換，求取各自的傳遞函數(shù)。 (2）若方框圖中僅有多個無交叉回路，則按照先里后外的原則，逐個簡化，直至簡化成一個方框的形式。若方框圖中有交叉的連接，用如下的方法。方法一：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時滿足以下兩個條件 條件1，整個系統(tǒng)方框圖中只有一條前向通道； 條件2，各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。則可以直接用下列公式求解：前向通道的傳遞函數(shù)/(1+( 每一反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)) 括號內(nèi)每一項的符號是這樣決定的：在相加點處，對反饋信號為相加時取負號，對反饋信號為相減時取正號。2.方框圖的簡化 sXsXsGiO方法二：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時滿足以上兩個條件，則可通過相加點、分支點的前后移動等法則，將系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖化為同時滿足以上兩個條件的形式，然后應(yīng)用上述公式即可。 方法三：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時滿足以上兩