模糊數(shù)學(xué)教案03

1、模糊模型識(shí)別模糊模型識(shí)別第第 3 章章第一節(jié)第一節(jié) 模糊模型識(shí)別概述模糊模型識(shí)別概述1、模型識(shí)別、模型識(shí)別 已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的一個(gè)具體對(duì)象，問(wèn)把它歸到哪一模型，這就是模型識(shí)別一個(gè)具體對(duì)象，問(wèn)把它歸到哪一模型，這就是模型識(shí)別. . 模型識(shí)別在實(shí)際問(wèn)題中是普遍存在的模型識(shí)別在實(shí)際問(wèn)題中是普遍存在的. .例如，學(xué)生到野外采集到一個(gè)植物標(biāo)本，要識(shí)別它屬于例如，學(xué)生到野外采集到一個(gè)植物標(biāo)本，要識(shí)別它屬于哪一綱哪一目；投遞員哪一綱哪一目；投遞員( (或分揀機(jī)或分揀機(jī)) )在分揀信件時(shí)要識(shí)別在分揀信件時(shí)要識(shí)別郵政編碼等等，這些都是模型識(shí)別

2、郵政編碼等等，這些都是模型識(shí)別. .2 2、模糊模型識(shí)別、模糊模型識(shí)別 所謂模糊模型識(shí)別所謂模糊模型識(shí)別, ,是指在模型識(shí)別中是指在模型識(shí)別中, ,模型是模模型是模糊的糊的. .也就是說(shuō)也就是說(shuō), ,標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中提供的模型是模糊的標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中提供的模型是模糊的. . 本節(jié)介紹兩類模式識(shí)別的模糊方法。一類是元素本節(jié)介紹兩類模式識(shí)別的模糊方法。一類是元素對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問(wèn)題對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問(wèn)題 點(diǎn)對(duì)集點(diǎn)對(duì)集；另一類是模糊；另一類是模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問(wèn)題集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問(wèn)題 集對(duì)集集對(duì)集。例例1. 蘋(píng)果的分級(jí)問(wèn)題蘋(píng)果的分級(jí)問(wèn)題 設(shè)論域設(shè)論域 X = 若干蘋(píng)果若干蘋(píng)果。蘋(píng)果被摘下來(lái)后要分

3、級(jí)。蘋(píng)果被摘下來(lái)后要分級(jí)。一般按照蘋(píng)果的大小、色澤、有無(wú)損傷等特征來(lái)分級(jí)。一般按照蘋(píng)果的大小、色澤、有無(wú)損傷等特征來(lái)分級(jí)。于是可以將蘋(píng)果分級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)規(guī)定為于是可以將蘋(píng)果分級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)規(guī)定為 = 級(jí)，級(jí)，級(jí)，級(jí)，級(jí)，級(jí)，級(jí)級(jí)，顯然，模型顯然，模型級(jí)，級(jí)，級(jí)，級(jí)，級(jí)，級(jí)，級(jí)是模糊的。當(dāng)果農(nóng)拿到一個(gè)蘋(píng)果級(jí)是模糊的。當(dāng)果農(nóng)拿到一個(gè)蘋(píng)果 x0 后，到底應(yīng)將它放后，到底應(yīng)將它放到哪個(gè)等級(jí)的筐里，這就是一個(gè)到哪個(gè)等級(jí)的筐里，這就是一個(gè)元素（點(diǎn)）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊元素（點(diǎn)）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集集的識(shí)別問(wèn)題。的識(shí)別問(wèn)題。例例2. 醫(yī)生給病人的診斷過(guò)程實(shí)際上是模糊模型識(shí)別過(guò)程。醫(yī)生給病人的診斷過(guò)程實(shí)際上是模糊模型識(shí)別過(guò)程。

4、設(shè)論域設(shè)論域 X = 各種疾病的癥候各種疾病的癥候 (稱為癥候群空間稱為癥候群空間) 。各種。各種疾病都有典型的癥狀，由長(zhǎng)期臨床積累的經(jīng)驗(yàn)可得標(biāo)準(zhǔn)疾病都有典型的癥狀，由長(zhǎng)期臨床積累的經(jīng)驗(yàn)可得標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)模型庫(kù) = 心臟病，胃潰瘍，感冒，心臟病，胃潰瘍，感冒，顯然，這些模顯然，這些模型型(疾病疾病)都是模糊的。病人向醫(yī)生訴說(shuō)癥狀都是模糊的。病人向醫(yī)生訴說(shuō)癥狀(也是模糊的也是模糊的)，由醫(yī)生將病人的癥狀與標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)的模型作比較后下診由醫(yī)生將病人的癥狀與標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)的模型作比較后下診斷。這是一個(gè)模糊識(shí)別過(guò)程，也是一個(gè)斷。這是一個(gè)模糊識(shí)別過(guò)程，也是一個(gè)模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集糊集的識(shí)別問(wèn)題。的識(shí)別

5、問(wèn)題。3、模型識(shí)別、模型識(shí)別的原理的原理 為了能識(shí)別待判斷的對(duì)象為了能識(shí)別待判斷的對(duì)象x = (x1, x2, xm)T是屬于是屬于已知類已知類A1, A2, An中的哪一類？中的哪一類？ 事先必須要有一個(gè)一般規(guī)則事先必須要有一個(gè)一般規(guī)則, 一旦知道了一旦知道了x的值的值, 便便能根據(jù)這個(gè)規(guī)則立即作出判斷能根據(jù)這個(gè)規(guī)則立即作出判斷, 稱這樣的一個(gè)規(guī)則為稱這樣的一個(gè)規(guī)則為判判別規(guī)則別規(guī)則. 判別規(guī)則往往通過(guò)的某個(gè)函數(shù)來(lái)表達(dá)判別規(guī)則往往通過(guò)的某個(gè)函數(shù)來(lái)表達(dá), , 我們把它我們把它稱為稱為判別函數(shù)判別函數(shù), 記作記作W(i; x). 一旦知道了一旦知道了判別函數(shù)并確定了判別函數(shù)并確定了判別規(guī)則，最好

6、將判別規(guī)則，最好將已知類別的對(duì)象代入檢驗(yàn)，這一過(guò)程稱為已知類別的對(duì)象代入檢驗(yàn)，這一過(guò)程稱為回代檢驗(yàn)回代檢驗(yàn)，以便檢驗(yàn)?zāi)愕囊员銠z驗(yàn)?zāi)愕呐袆e函數(shù)和判別函數(shù)和判別規(guī)則是否正確判別規(guī)則是否正確. 第二節(jié)第二節(jié) 最大隸屬原則最大隸屬原則1、模糊向量、模糊向量 定義定義 稱向量稱向量a = (a1, a2, , an)是是模糊向量模糊向量, 其中其中0ai1. 若若ai 只取只取0或或1, 則稱則稱a = (a1, a2, , an)是是Boole向量向量. 設(shè)設(shè) a = (a1, a2, , an), b = (b1, b2, , bn)都是模糊向量，都是模糊向量，則定義則定義 內(nèi)積內(nèi)積： a b =

7、(akbk) | 1kn； 外積外積： a b = (akbk) | 1kn.例例 . a= ( 0.1, 0.5, 0, 0.6) b = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3) 求向量求向量a和和b的內(nèi)積與外積的內(nèi)積與外積解：內(nèi)積解：內(nèi)積： a b = (akbk) | 1kn = 0.3 ； 外積外積：a b = (akbk) | 1kn = 0.2 .1 ()ccca bab性質(zhì)()cccabab令11, nnkkkkaaaa aaFa和 分別叫做 集 的峰值和谷值。2 ; .a aaaaa性質(zhì) ,1 , 01 , 0 a上定義“余”運(yùn)算：上定義“余”運(yùn)算：如果在閉區(qū)間如果在閉區(qū)間aa

8、c 13;.aba ba abb性質(zhì)114;.22cca aaa性質(zhì)5,.aba cb cacbc性質(zhì)并且模糊向量集合族模糊向量集合族 設(shè)設(shè)A1, A2, , An是論域是論域X上的上的n個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集, ,稱以模稱以模糊集糊集A1, A2, , An為分量的模糊向量為為分量的模糊向量為模糊向量集合族模糊向量集合族，記為記為A = (A1, A2, , An). .例：小麥有早熟優(yōu)良品種，是模糊集，描述早熟的每個(gè)例：小麥有早熟優(yōu)良品種，是模糊集，描述早熟的每個(gè)特征也是個(gè)模糊集。特征也是個(gè)模糊集。A(早熟早熟)(A1(抽穗期抽穗期), A2(株高株高), A3(百粒重百粒重) A3(有效穗

9、有效穗數(shù)數(shù))若若X 上的上的n個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集A1, A2, , An的隸屬函數(shù)分別為的隸屬函數(shù)分別為A1(x), A2(x) , , An(x),則定義模糊向量集合族則定義模糊向量集合族 A = (A1, A2, , An)的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為A(x) = A1 (x1), A2 (x2) , , An(xn) 或者或者A(x) = A1 (x1) + A2 (x2) + + An(xn)/n.其中其中x = (x1, x2, , xn)為普通向量為普通向量.模糊向量集合族的隸屬度模糊向量集合族的隸屬度2、最大隸屬原則、最大隸屬原則 最大隸屬原則最大隸屬原則 設(shè)論域設(shè)論域X =x1,

10、 x2, , xn 上有上有m個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集A1, A2, , Am( (即即m個(gè)模型個(gè)模型),),構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù), ,若對(duì)任一若對(duì)任一x0X, ,有有k1, 2, , m , ,使得使得Ak(x0)=A1(x0), A2(x0), , Am(x0)，則認(rèn)為則認(rèn)為x0相對(duì)隸屬于相對(duì)隸屬于Ak . . 例例1 1 在論域在論域X=0,100X=0,100分?jǐn)?shù)上建立三個(gè)表示學(xué)習(xí)成分?jǐn)?shù)上建立三個(gè)表示學(xué)習(xí)成績(jī)的模糊集績(jī)的模糊集A=“A=“優(yōu)優(yōu)”,B =“,B =“良良”,C =“,C =“差差”. .當(dāng)一位同當(dāng)一位同學(xué)的成績(jī)?yōu)閷W(xué)的成績(jī)?yōu)?888分時(shí)分時(shí), ,這個(gè)成績(jī)是屬

11、于哪一類？這個(gè)成績(jī)是屬于哪一類？.100901,9080,1080,800,0)(xxxxxAA(88) =0.8;10095,0,9585,1095,8580, 1,8070,1070,700,0)(xxxxxxxxBB(88) =0.7.100800,8070,1080,700, 1)(xxxxxCC(88) =0 根據(jù)最大隸屬原則根據(jù)最大隸屬原則, 88分這個(gè)成績(jī)應(yīng)隸屬于分這個(gè)成績(jī)應(yīng)隸屬于A,即為即為“優(yōu)優(yōu)”.例例2 2 細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別 細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別就是幾何圖形的模糊細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別就是幾何圖形的模糊識(shí)別識(shí)別,而幾何圖形常?；癁槿舾蓚€(gè)

12、三角圖形而幾何圖形常?；癁槿舾蓚€(gè)三角圖形,故設(shè)論域?yàn)楣试O(shè)論域?yàn)槿切稳w三角形全體.即即X= (A,B,C )| A+B+C =180, ABC 標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)=E(正三角形正三角形),R(直角三角形直角三角形), I(等腰等腰三角形三角形),IR(等腰直角三角形等腰直角三角形),T(任意三角形任意三角形). 某人在實(shí)驗(yàn)中觀察到一染色體某人在實(shí)驗(yàn)中觀察到一染色體的幾何形狀，測(cè)得其三個(gè)內(nèi)角分別的幾何形狀，測(cè)得其三個(gè)內(nèi)角分別為為94,50,36,即待識(shí)別對(duì)象為即待識(shí)別對(duì)象為x0=(94,50,36).問(wèn)問(wèn)x0應(yīng)隸屬于哪一種應(yīng)隸屬于哪一種三角形？三角形？先建立標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中先建立標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中各種

13、三角形的隸屬函數(shù)各種三角形的隸屬函數(shù). 直角三角形的隸屬函數(shù)直角三角形的隸屬函數(shù)R(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條應(yīng)滿足下列約束條件：件： (1) 當(dāng)當(dāng)A=90時(shí)時(shí), R(A,B,C)=1; (2) 當(dāng)當(dāng)A=180時(shí)時(shí), R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1. 因此，不妨定義因此，不妨定義R(A,B,C ) = 1 - - |A - - 90|/90. 則則R(x0)=0.955. 或者或者. 0, 1, 0,901),(1pppCBARp其中其中 p = | A 90| 則則R(x0)=0.54. 正三角形的隸屬函數(shù)正三角形的隸屬函數(shù)E(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：應(yīng)滿足下

14、列約束條件：(1) 當(dāng)當(dāng)A = B = C = 60時(shí)時(shí), E(A,B,C )=1;(2) 當(dāng)當(dāng)A = 180, B = C = 0時(shí)時(shí), E(A,B,C)=0;(3) 0E(A,B,C)1. 因此，不妨定義因此，不妨定義E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.則則E(x0) =0.677. 或者或者. 0, 1, 0,1801),(1pppCBAEp其中其中 p = A C 則則E(x0)=0.02. 等腰三角形的隸屬函數(shù)等腰三角形的隸屬函數(shù)I(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：應(yīng)滿足下列約束條件：(1) (1) 當(dāng)當(dāng)A = B 或者或者 B = C時(shí)時(shí), I(A,B,C )=1;(2

15、) (2) 當(dāng)當(dāng)A = 180, B = 60, C = 0時(shí)時(shí), I(A,B,C ) = 0;(3) (3) 0I(A,B,C )1. 因此，不妨定義因此，不妨定義I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60.則則I(x0) =0.766. 或者或者. 0, 1, 0,601),(1pppCBAIp p = (A B)(B C)則則I(x0)=0.10.等腰直角三角形的隸屬函數(shù)等腰直角三角形的隸屬函數(shù)(IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);(IR) (x0)=0.7660.955=0.766.任意三角形的隸屬函數(shù)任意三角形的隸屬函數(shù)T(A,B,C) = Ic

16、RcEc= (IRE)c.T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045. 通過(guò)以上計(jì)算通過(guò)以上計(jì)算, ,R(x0) = 0.955最大最大, ,所以所以x0應(yīng)隸屬于直應(yīng)隸屬于直角三角形角三角形. 或者或者(IR)(x0) =0.10; T(x0)= (0.54)c = 0.46. 仍然是仍然是R(x0) = 0.54最大最大, ,所以所以x0應(yīng)隸屬于直角三角形應(yīng)隸屬于直角三角形.最大隸屬原則最大隸屬原則 設(shè)論域設(shè)論域X上有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型上有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型A, ,待識(shí)別待識(shí)別的對(duì)象有的對(duì)象有n個(gè)：個(gè)：x1, x2, , xnX, 如果有某個(gè)如果有某個(gè)xk滿

17、足滿足A(xk)=A(x1), A(x2), , A(xn), 則應(yīng)優(yōu)先錄取則應(yīng)優(yōu)先錄取xk . .例例3 論論域域 X = x1(71), x2(74), x3(78)表示三個(gè)學(xué)生的成表示三個(gè)學(xué)生的成績(jī)績(jī), ,那一位學(xué)生的成績(jī)最差？那一位學(xué)生的成績(jī)最差？C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,根據(jù)最大隸屬原則根據(jù)最大隸屬原則， x1(71)最差最差.100800,8070,1080,700, 1)(xxxxxC例例4 4 大學(xué)生體質(zhì)水平的模糊識(shí)別大學(xué)生體質(zhì)水平的模糊識(shí)別. . 陳蓓菲等人在福建農(nóng)學(xué)院對(duì)240名男生的體質(zhì)水平按中國(guó)學(xué)生體質(zhì)健康調(diào)查研究手冊(cè)上的規(guī)定,

18、從18項(xiàng)體測(cè)指標(biāo)中選出了反映體質(zhì)水平的4個(gè)主要指標(biāo)(身高、體重、胸圍、肺活量),根據(jù)聚類分析法,將240名男生分成5類：A1(體質(zhì)差),A2(體質(zhì)中下),A3(體質(zhì)中),A4(體質(zhì)良),A5 (體質(zhì)優(yōu)),作為論域U(大學(xué)生)上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù),然后用最大隸屬原則,去識(shí)別一個(gè)具體學(xué)生的體質(zhì). 5類標(biāo)準(zhǔn)體質(zhì)的4個(gè)主要指標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表所示.身高身高(cm) 體重體重(kg) 胸圍胸圍(cm)肺活量肺活量(cm3)A1158.43.047.98.484.22.43380184A2163.44.850.08.689.06.23866800A3166.93.655.39.488.37.04128526

19、A4172.64.657.78.289.26.44349402A5178.44.261.98.690.98.04536756 現(xiàn)有一名待識(shí)別的大學(xué)生現(xiàn)有一名待識(shí)別的大學(xué)生x = x1, x2, x3, x4 = 167.8, 55.1, 86, 4120，他應(yīng)屬于哪種類型？，他應(yīng)屬于哪種類型？n因?yàn)楦鞣N標(biāo)準(zhǔn)體質(zhì)的身高(Ai1)，體重(Ai2)，胸圍(Ai3) ，肺活量(Ai4)均為正態(tài)模糊集，相應(yīng)的隸屬函數(shù)為20 | 2()1 | 22jjjijjjjjjjjxxsA xxxxxss1,2,3,4,5;1,2,3,4ij411( )()4iijjjA xA x令具體計(jì)算如下11111111()

20、(167.8)0(| |167.8 158.4| 32 )AxAxxs因?yàn)?1221255.1 47.9()(55.1)10.26538.4AxA 2132138684.2()(86)10.43752.4AxA 14414444()(4120)0(| |41203380| 1842)AxAxxs 因?yàn)?1( )(00.26530.43750)0.17574A x 因此2345( )0.6184( )0.9572( )0.5812( )0.4242A xA xA xA x同理可得，xA3根據(jù)最大隸屬原則，待識(shí)別的大學(xué)生 =(167.8,55.1,86,4120)屬于(體質(zhì)中等)3、閾值原則、閾值

21、原則 設(shè)論域設(shè)論域X =x1, x2, , xn 上有上有m個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集A1, A2, , Am( (即即m個(gè)模型個(gè)模型),),構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù), ,若對(duì)任若對(duì)任一一x0X, ,取定水平取定水平 0,1. 若存在若存在 i1, i2, , ik, ,使使Aij(x0) ( j =1, 2, , k),則判則判決為：決為： x0相對(duì)隸屬于相對(duì)隸屬于.21kiiiAAA 若若Ak(x0)| k =1, 2, , m , ,則判決為：不能識(shí)別則判決為：不能識(shí)別, ,應(yīng)當(dāng)找原因另作分析應(yīng)當(dāng)找原因另作分析. 該方法也適用于判別該方法也適用于判別x0是否隸屬于是否隸屬于標(biāo)準(zhǔn)

22、模型標(biāo)準(zhǔn)模型Ak. .若若Ak(x0) , ,則判決為：則判決為：x0相對(duì)隸屬于相對(duì)隸屬于Ak; 若若Ak(x0) , ,則判則判決為：決為： x0相對(duì)不隸屬于相對(duì)不隸屬于Ak. .例例 5 對(duì)于例對(duì)于例2 之三角形識(shí)別問(wèn)題，若給定之三角形識(shí)別問(wèn)題，若給定 1= 0.9，則因則因R (94, 50, 36) = 0.9551，所以所以 (94, 50, 36) 可認(rèn)為屬于可認(rèn)為屬于“近似直角三角形近似直角三角形”。 若給定若給定 2= 0.7, 則因則因 I (94, 50, 36) = 0.7662， R (94, 50, 36) = 0.9552 ，所以所以 (94, 50, 36) 可認(rèn)

23、為既屬于可認(rèn)為既屬于“近似等腰三角形近似等腰三角形”又屬于又屬于“近似直角三角形近似直角三角形”。 這就是說(shuō)在模糊集的識(shí)別問(wèn)題中，有時(shí)也不這就是說(shuō)在模糊集的識(shí)別問(wèn)題中，有時(shí)也不是唯一的，也存在著是唯一的，也存在著“亦此亦彼亦此亦彼”的情況。的情況。例例 6 已知已知 “青年人青年人” 模糊集模糊集 Y，其隸屬度規(guī)定，其隸屬度規(guī)定為為對(duì)于對(duì)于 x1 = 27 歲及歲及 x2 = 30 歲的人來(lái)說(shuō)，若取閾歲的人來(lái)說(shuō)，若取閾值值.20025,5251,250, 1)(12xxxxY1 = 0.7，則因則因 Y(27) = 0.862 1，而而 Y(30) = 0.5 2，而而 Y(30) = 0.5

24、 = 2 ，故認(rèn)為故認(rèn)為 27 歲和歲和 30 歲的人都屬于歲的人都屬于“青年人青年人” 范疇。范疇。第三節(jié)第三節(jié) 貼近度貼近度表示兩個(gè)模糊集接近程度的度量，稱為貼近度。表示兩個(gè)模糊集接近程度的度量，稱為貼近度。正如正如 “距離距離” 的概念一樣，貼近度也有公理化的數(shù)的概念一樣，貼近度也有公理化的數(shù)學(xué)定義。學(xué)定義。定義定義 映射映射 ： F (X)F (X) 0, 1(A, B) (A, B)，稱為貼近度稱為貼近度(函數(shù)函數(shù)) ，如果它滿足條件：如果它滿足條件：( 1 ): (A, A) =1， (, X) = 0；( 2 ): (A, B) = (B, A)；( 3 ): ABCF (X)

25、(A, C) (A, B) (B, C)稱稱 (A, B) 為為 A 與與 B 的貼近度。若將的貼近度。若將 1 換為下面的換為下面的 4 ，則則稱稱 為為 嚴(yán)嚴(yán)格格貼近度函數(shù)貼近度函數(shù)，( 4): (A, B) =1 A = B，且且 (, X) = 0。( 3): 設(shè)設(shè) A，B，CF (X)，若它們滿足若它們滿足| A(x)C(x)| | A(x)B(x)| ( x X )，則有則有 ( A, C ) ( A, B)。用模糊集的內(nèi)積與外積來(lái)表示貼近度用模糊集的內(nèi)積與外積來(lái)表示貼近度定義定義 設(shè)設(shè) A，B F (X)，稱稱為為 A 與與 B 的的內(nèi)積內(nèi)積，稱，稱 A B=為為 A 與與 B

26、的的外積外積。按上述定義可知，模糊集的內(nèi)積與外積是兩個(gè)實(shí)數(shù)。按上述定義可知，模糊集的內(nèi)積與外積是兩個(gè)實(shí)數(shù)。( ( )( )x XA xB x( ( )( )x XA BA xB x 若若 X =x1, x2, xn，記記 A(xi) = ai，B(xi) = bi，則則與經(jīng)典數(shù)學(xué)中的向量與經(jīng)典數(shù)學(xué)中的向量 a = a1, a2, an 與向量與向量 b = b1, b2, bn 的內(nèi)積的內(nèi)積 比較，可以看出比較，可以看出 A B 與 ab 十分相似，只要把經(jīng)十分相似，只要把經(jīng)典數(shù)學(xué)中的內(nèi)積運(yùn)算的加典數(shù)學(xué)中的內(nèi)積運(yùn)算的加 “+” 與乘與乘 “ ” 換成邏換成邏輯加輯加 “” 與邏輯乘與邏輯乘 “

27、” 運(yùn)算，就得到運(yùn)算，就得到 A B。.1iinibaBAiniibaba1若若 AF (X)，記記 A 的的 “高高” 為為 Ah ，A 的的 “低低” 為為 Ab即即 Ah= A(x) | xX , Ab= A(x) | xX , 則則 A B = ( AB )h， A B= ( AB )b。 為方便起見(jiàn)，我們?cè)陂]區(qū)間為方便起見(jiàn)，我們?cè)陂]區(qū)間 0，1 中定義中定義 “余余” 運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù) a0，1，稱稱 ac =1a為為 a 的余的余。命題命題 內(nèi)積與外積運(yùn)算有以下性質(zhì)：內(nèi)積與外積運(yùn)算有以下性質(zhì)：(1) ( A B)C=AC BC，( A B)= AC BC；(2)

28、 A B Ah Bh， A B AbBb；(3) A A =Ah， A A = Ab， A AC ， A AC ；(4) 0, 1，則則 (A) B= ( A B)= A (B)；(5) A B 則則 A C B C， A C B C 。例例 設(shè)設(shè) X =x1, x2, x3, x4, x5, x6,則則 A B,6 . 08 . 018 . 06 . 04 . 0,4 . 06 . 08 . 018 . 06 . 0654321654321xxxxxxBxxxxxxA ,8 . 06 . 04 . 08 . 06 . 018 . 08 . 016 . 08 . 04 . 06 . 0BA ,

29、6 . 06 . 04 . 08 . 06 . 018 . 08 . 016 . 08 . 04 . 06 . 0定義定義 設(shè)設(shè) A，BF (X)，稱稱 L( A，B) = ( AB) ( A B)C (1)或或 L( A，B) =1/2 ( AB) + ( A B)C (2)為用內(nèi)積、外積表示的貼近度為用內(nèi)積、外積表示的貼近度 ( 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱內(nèi)、外積貼近內(nèi)、外積貼近度度)。(1) 式定義的內(nèi)、外積貼近度又稱為式定義的內(nèi)、外積貼近度又稱為格貼近度貼近度。注：注：這里定義的內(nèi)、外積貼近度僅是一種習(xí)慣稱這里定義的內(nèi)、外積貼近度僅是一種習(xí)慣稱呼，它們并不滿足貼近度定義呼，它們并不滿足貼近度定義 的所有

30、公理的所有公理。事實(shí)事實(shí)上定義上定義 (1) 和定義和定義 (2) 式都不滿足貼近度定義的公式都不滿足貼近度定義的公理?xiàng)l件理?xiàng)l件 ( 1 )，即即 ( A，A) 1。但是，當(dāng)?shù)牵?dāng) A F (X)，A1 ，supp A X 時(shí)，也即時(shí)，也即 Ah=1，Ab= 0時(shí)，時(shí)，定義定義 (3.5.45) 滿足貼近度定義的公理?xiàng)l件滿足貼近度定義的公理?xiàng)l件 ( 1 ) ( 2 ) ( 3)。由于上述定義計(jì)算方便，所以在實(shí)際由于上述定義計(jì)算方便，所以在實(shí)際應(yīng)用中常被選用。應(yīng)用中常被選用。命題命題 內(nèi)、外積貼近度有以下性質(zhì)：內(nèi)、外積貼近度有以下性質(zhì)：(1) 0 L( A，B) 1， L(，X) = 0 ;(

31、2) L( A，B) = L( B，A );(3) L( A，A) = Ah (Ab)C，特別特別 Ah=1，Ab= 0 時(shí)時(shí), L( A, A ) =1;(4) 若若 A B C，則則 L( A, C) L( A, B) L( B, C)證明從略。證明從略。例例 設(shè)設(shè) A，BF (R)，A、B 均為正態(tài)型模糊集，其隸均為正態(tài)型模糊集，其隸屬函數(shù)如圖屬函數(shù)如圖ABCDE0ax*bx正態(tài)型模糊集正態(tài)型模糊集 A、B 2212,.x ax bA xeB xe由由 AB = ( AB )h式知，式知， AB 應(yīng)為應(yīng)為 ( AB )h，隸隸屬度曲線屬度曲線CDE 部分的峰值，即曲線部分的峰值，即曲線

32、A(x) 與 B(x) 的的交點(diǎn)交點(diǎn) x* 處的縱坐標(biāo)。為求處的縱坐標(biāo)。為求 x*，令令 2212,.x ax bA xeB xe,2221bxax解得解得于是于是類似地，由于類似地，由于22112expexpxabaA B ,0limlimxBxAxx,2112bax故故 A B=0。 由此，求得內(nèi)、外積貼近度為由此，求得內(nèi)、外積貼近度為 L(A, B) = (AB) (A B)C 212212exp0exp.Cbaba4. 貼近度的其它表示方法貼近度的其它表示方法定義定義 可以用下列各公式定義貼近度：可以用下列各公式定義貼近度：11111,;22,;3,;24,;niiiniiiniiin

33、iiibiiabiiabiiabiiaAxBxABAxBxAxBxABAxBxAxBxd xABAxBxd xAxBxd xABAxBxd x 11/ 2111/ 222111/ 21/ 2225,;6,;7,;8,;niiiniiiniiinniiiibiiabiiabiiabbiiaaAxBxA BAxBxAxBxA BAxBxAxBxdxA BAxBxdxAxBxdxA BAxdxAxdx 式式 (1) 和和 (2) 定義的是嚴(yán)格貼近度。以上各貼近度的定義的是嚴(yán)格貼近度。以上各貼近度的公式，有的不滿足條件公式，有的不滿足條件 (3), 但它滿足條件但它滿足條件 (3) ： 若若 A B

34、C，則則 ( A, C ) ( A, B) ( B, C ) 。 在實(shí)際應(yīng)用中，要根據(jù)具體情況來(lái)選擇適當(dāng)?shù)脑趯?shí)際應(yīng)用中，要根據(jù)具體情況來(lái)選擇適當(dāng)?shù)馁N近度。貼近度。1. 擇近原則擇近原則已知已知 n 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型 ( 模糊集模糊集 ) ( 模型庫(kù)模型庫(kù) ) : A1，A2，An F (X)。待識(shí)別對(duì)象（不是待識(shí)別對(duì)象（不是 X 中的元素中的元素 x，而而）是是 X 上的模糊集上的模糊集 BF (X)， 為為F (X) 上的貼近上的貼近度，若對(duì)度，若對(duì) Ai 有有則認(rèn)為則認(rèn)為 B 與與 Ai 最貼近，判定最貼近，判定 B 屬于屬于 Ai 一類。一類。,2, 1,max,nkBABAki例例

35、 一個(gè)公司在社會(huì)上的聲譽(yù)是一個(gè)模糊概念，一個(gè)公司在社會(huì)上的聲譽(yù)是一個(gè)模糊概念，它是由多個(gè)因素決定的。如公司的它是由多個(gè)因素決定的。如公司的 x1：管理水平；管理水平； x2：?jiǎn)T工才能；員工才能； x3：長(zhǎng)期投資價(jià)值；長(zhǎng)期投資價(jià)值；x4：財(cái)務(wù)健全；財(cái)務(wù)健全； x5：善用公司資產(chǎn)；善用公司資產(chǎn)；x6：產(chǎn)品產(chǎn)品/服務(wù)質(zhì)量。服務(wù)質(zhì)量。 這樣公司在社會(huì)上的聲譽(yù)就可以看作是論這樣公司在社會(huì)上的聲譽(yù)就可以看作是論域域 X =x1，x2，x3，x4，x5，x6 上的一個(gè)模糊上的一個(gè)模糊集。集。 現(xiàn)有現(xiàn)有 4 個(gè)公司的個(gè)公司的 “聲譽(yù)聲譽(yù)” 模型模型 A1，A2，A3，A4，與其相應(yīng)的管理模式為與其相應(yīng)的管理模

36、式為 D1，D2，D3，D4，以及待識(shí)別的某公司的以及待識(shí)別的某公司的 “聲譽(yù)聲譽(yù)” B。試。試用用擇近原則擇近原則識(shí)別識(shí)別 B 的管理模式。的管理模式。指標(biāo)指標(biāo)類型類型x1x2x3x4x5x6管理模式管理模式A10.920.830.880.900.830.90D1A20.880.860.850.960.920.90D2A30.890.860.860.940.860.88D3A40.350.340.320.400.480.40D4B0.910.850.880.900.850.90？假設(shè)用貼近度公式假設(shè)用貼近度公式 ( A，B) =1/2 ( AB) + ( A B)C 計(jì)算得：計(jì)算得： ( A

37、1, B) = 1/2 0.91 + (10.85) = 0.53； ( A2, B) = 0.52； ( A3, B) = 0.52； ( A4, B) = 0.32。根據(jù)擇近原則根據(jù)擇近原則，B 與與 A1 最貼近，即最貼近，即 B 與與 A1 采取的管采取的管理模式最靠近。理模式最靠近。例例 巖石類型識(shí)別問(wèn)題巖石類型識(shí)別問(wèn)題 巖石按抗壓強(qiáng)度可以分成五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型：很差巖石按抗壓強(qiáng)度可以分成五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型：很差(A1)、差、差(A2)、較好、較好(A3)、好、好(A4)、很好、很好(A5)。它們都是。它們都是 X = 0, +) 上的模糊集，其隸屬度如圖所示上的模糊集，其隸屬度如圖所示A(x)

38、A1(x) A2(x)A3(x)A4(x)A5(x)040020060090011001800 2000 x(kg/m2)1231 ,0100 ,1200,100200 ,1000 ,200 ;,0200 ,2001 ,200400 ,1600,400600 ,2000 ,600;1400,400600 ,2001 ,600900 ,1900,9001100 ,2000 ,xAxxxxxxxAxxxxxxxAxxx其 它 ；今有一種巖體，經(jīng)實(shí)測(cè)，得出其抗壓強(qiáng)度為今有一種巖體，經(jīng)實(shí)測(cè)，得出其抗壓強(qiáng)度為 X 上的上的模糊集模糊集 B，隸屬函數(shù)為下圖，隸屬函數(shù)為下圖 .2200,1,22001800

39、,18004001,1800,0,0,20001800,22004001,18001100,1,1100900,900200154xxxxxAxxxxxxA其它；B(x)B(x)080071290010001120 x(kg/m2) 其它,0,11201000,11201201,1000800,1,800712,712881xxxxxxB試問(wèn)巖體試問(wèn)巖體 B 應(yīng)屬于哪一類？應(yīng)屬于哪一類？ (1) 計(jì)算計(jì)算 B 與與 Ai (i=1, 2,5) 的內(nèi)、外積貼近度的內(nèi)、外積貼近度L( A，B) = ( AB) ( A B)C ，得，得 L(A1, B) = 0， L(A2, B) = 0， L(A

40、3, B) = 1， L(A4, B) = 0.68， L(A5, B) = 0.按擇近原則按擇近原則，B 應(yīng)屬于應(yīng)屬于A3 類，即類，即 B 屬于屬于“較好較好”類的巖石。類的巖石。 (2) 若用貼近度公式若用貼近度公式 ，計(jì)算得，計(jì)算得 (A1, B) = 0， (A2, B) = 0， (A3, B) = 0. 607， (A4, B) = 0.1256， (A5, B) = 0。按擇近原則按擇近原則，同樣應(yīng)判定，同樣應(yīng)判定 B 屬于屬于“較好較好”一類一類。 1122,niiiniiiA xB xA BA xB x蠓的分類蠓的分類 左圖給出了左圖給出了9只只Af和和6只只Apf蠓的觸角長(zhǎng)和翼長(zhǎng)蠓的觸角長(zhǎng)和翼長(zhǎng)數(shù)據(jù)數(shù)據(jù), , 其中其中“”表示表示Apf,“,“”表示表示Af. .根據(jù)觸根據(jù)觸角長(zhǎng)和翼長(zhǎng)來(lái)識(shí)別一個(gè)標(biāo)本是角長(zhǎng)