6.1平方根、立方根講解與例題

1、數(shù)學試卷6.1平方根、立方根1了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義和性質(zhì)，會用根號表示非負數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根2能利用平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義和性質(zhì)解題3知道開方是乘方的逆運算，會用開方求某些非負數(shù)的平方根4能運用算術(shù)平方根解決一些簡單的實際問題1平方根(1) 平方根的概念：一般地，如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做a的平方根，a也叫做二次方根換句話說，如果x2 a，那么 x 叫做 a 的平方根，例如 22 4，( 2)24，則 4 的平方根是2 和 2( 也可合寫為± 2) ， 2 和 2 都是 4 的平方根(2) 平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相

2、反數(shù)；0 的平方根是0；負數(shù)沒有平方根(3) 平方根的表示：正數(shù) a 有兩個平方根，一個是a 的正的平方根，記作“a”，讀作“根號 a”，另一個是 a 的負的平方根，記作“a”，讀作“負根號 a”，這兩個平方根合起來可記作“±a”，讀作“正、負根號 a”，其中 a 叫做被開方數(shù)【例 1 1】求下列各數(shù)的平方根：363 2(1)0.64 ； (2)25； (3) 2分析： 要求一個數(shù)的平方根，我們可以根據(jù)平方根的概念，首先找到一個數(shù)，使它的平方等于已知的數(shù)，然后就可以求出這個數(shù)的平方根解： (1) ( ±0.8) 20.64 ， 0.64 的平方根是± 0.8 6

3、236366(2) ± 5 25， 25的平方根是± 5.2 3 2(3) ±22，3323 2的平方根是± 2.求一個數(shù)的平方根，必須牢記正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，不會因32為表達形式的改變而改變，如 2是個正數(shù)，那么它有兩個平方根，不要錯誤地認為它的3平方根僅有 2.【例 1 2】下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，求出它的平方根；若沒有，請說明理由252(1) 16； (2)0 ； (3) 4； (4) 0.49 ；(5)( 3)分析：數(shù)學試卷數(shù)的序號存在情況原因(1)有 2個因為是正數(shù)，所以有兩個平方根(5) 有 2個(3)無因為是負數(shù)，所以沒有

4、平方根(4)無(2)有 1個0 的平方根是它本身2525解： (1) 因為 16是正數(shù)，所以 16有兩個平方根5 225255由于 ±4 16，所以 16的平方根是± 4.(2)0 只有一個平方根，是它本身(3) 因為 4 是負數(shù)，所以 4 沒有平方根(4) 因為 0.49 是負數(shù)，所以 0.49 沒有平方根(5) 因為 ( 3) 2 9，所以 ( 3) 2 為正數(shù)，有兩個平方根 由于 9 的平方根是± 3， 所以 ( 3) 2 的平方根是± 32算術(shù)平方根的概念正數(shù) a 的正的平方根 a叫做 a 的算術(shù)平方根 .0 的算術(shù) 平方根是 0. 因此如果 x

5、2a，那么正數(shù) x 叫做 a 的算術(shù)平方根平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系(1) 區(qū)別：表示方法不同：正數(shù)a 的平方根表示為±a；正數(shù) a 的算術(shù)平方根表示為a.個數(shù)不同： 一個正數(shù)的平方根有兩個， 它們互為相反數(shù)； 一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個性質(zhì)不同： 一個正數(shù)的平方根有兩個，可以是負數(shù)； 一個非負數(shù)的算術(shù)平方根一定是非負數(shù)平方根等于本身的數(shù)只有一個數(shù)，這個數(shù)是0；算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有兩個：0和 1(2) 聯(lián)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根的一個；平方根和算術(shù)平方根都只有 非負數(shù)才有負數(shù)沒有平方根和算術(shù)平方根；0的平方根和算術(shù)平方根都是0.【例 2】求下列各數(shù)的算術(shù)

6、平方根：(1)196 ； (2)1716.； (3)9x，使 x2分析： 根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求正數(shù)a 的算術(shù)平方根，也就是求一個非負數(shù)a，則 x 就是 a 的算術(shù)平方根(1)因為 142 196，所以 196 的算術(shù)平方根是147164 21616474(2)因為 19 9，3 9 ，所以 9 的算術(shù)平方根是3，即 19的算術(shù)平方根是 3.(3)因為要求的是16的算術(shù)平方根，所以要先算出16，再求算術(shù)平方根 .16表示的是 16 的算術(shù)平方根，所以 16 4由于 22 4，所以 4 的算術(shù)平方根是 2，即 16的算術(shù)平方根是 2解： (1)19614(2)1716 4.993(3)因為16

7、4,4的算術(shù)平方根是2，所以 16的算術(shù)平方根是 2求正數(shù) a 的算術(shù)平方根，只需找出平方等于a 的正數(shù)求一個分數(shù)的算術(shù)平方根或平方根， 當這個分數(shù)是帶分數(shù)時，要先化成假分數(shù)，再求這個數(shù)的算術(shù)平方根或平方16 4根，不要出現(xiàn)149 17的錯誤3開平方數(shù)學試卷(1) 求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方(2) 用計算器求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根及近似值用計算器求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根，只需直接按書寫順序按鍵即可例如，用計算器求 529 與 44.81 的算術(shù)平方根：在計算器上依次鍵入529 ，顯示結(jié)果為23，因此529 的算術(shù)平方根為529 23在計算器上依次鍵入44.81 ，顯示結(jié)果為6.940 2

8、71 88，如果要求精確到 0.01 ，那么44.81 6.94 (1) 平方根是一個數(shù)，是開平方的結(jié)果；而開平方是和加、減、乘、除、乘方一樣的一種運算，是求平方根的過程(2) 開平方是平方的逆運算我們可以用平方運算來檢驗開平方的結(jié)果是否正確(3) 平方和開平方之間的關(guān)系，我們可以這樣來理解：已知底數(shù)和指數(shù)2，求冪，是m平方運算，即2a 和指數(shù) 2，求底數(shù)，是開平方，即2m ( ？ ) ；已知冪( ？ ) a.(4) 選用的計算器不同，按鍵的順序也不同，因此應(yīng)該仔細閱讀計算器的說明書，按照要求操作【例 3】求下列各式中未知數(shù)的值：(1) x2 25； (2)(2 a 3) 2 16分析： 如果

9、一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a 的平方根， 它有一正一負兩個值(1) 因為 x2 25，所以 x 就是 25 的平方根，有兩個，是± 5；(2) 將 2a 3 看成一個整體，根據(jù)平方根的定義易知2a3 就是 16的平方根，是± 4，即 2a 3± 4，在此基礎(chǔ)上，分兩種情況分別求出a 的值即可解： (1)因為 ( ±5) 225，所以 x± 5(2) 因為 ( ±4) 2 16，所以 2a 3± 41當 2a 3 4 時，解得 a 2.當 2a3 4 時，解得 a72.故所求17a 的值是 或 .22利用開平方解方程的

10、方法是：先把方程化為x2m( m0) 的形式，然后根據(jù)開平方得到 x± m. 特別地，要注意整體思想的應(yīng)用4立方根(1) 立方根的概念：一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做 a 的立方根 ( 也叫做三次方根 ) 也就是說，如果x3 a，那么 x 叫做 a 的立方根(2) 立方根的表示方法：數(shù)3a”，讀作“三次根號a”，其中 a 是被a 的立方根記為“開方數(shù)， 3 是根指數(shù)，這里的根指數(shù)“ 3”不能省略【例 4】求下列各數(shù)的立方根：3(1)27 ； (2) 27； (3)3 8； (4) 0.064 ； (5)0 ； (6)5分析： 求一個數(shù) a 的立方根，關(guān)鍵是求出滿足等式

11、x3a 中 x 的值，同時在學習了立方根的表示方法后，應(yīng)用符號表示解題過程比語言敘述更為簡潔解： (1)因為 33 27，所以327 3(2) 因為 ( 3)3 27，所以3 27 3數(shù)學試卷3273327333(3)因為 38 8，而 28，所以382.(4)因為 ( 0.4)3 0.064 ，3所以 0.064 0.4(5) 因為 03 0，所以 3 0 0.(6)35 的立方根是 5.開方開不盡的數(shù)，保留根號，如本題3(6) ， 5 的立方根是 5.5開立方(1)求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方開立方與立方互為逆運算 我們可以根據(jù)這種關(guān)系求一個數(shù)的立方根或檢驗一個數(shù)是否是某個數(shù)的立方根被

12、開立方的數(shù)可以是正數(shù)、負數(shù)和 0；求一個帶分數(shù)的立方根時，必須把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再求它的立方根(2) 用計算器求一個數(shù)的立方根及近似值用計算器求一個數(shù)的立方根的操作過程和求平方根操作過程基本相同，主要差別是先按 2ndf鍵，再按書寫順序按鍵即可例如用計算器求31 845 ，在計算器上依次鍵入 2ndf3845 ，顯示結(jié)果為12.264 940 82，若計算結(jié)果要求精確到0.01 ，則 1 8451的立方根為 12.263，即 1 845 12.26 【例 5】解方程：(1)125x3 27 0；(2)(5 3) 3 343x分析： (1)把原方程變形為x327 后，可知 x 是27的立方根

13、(2) 把 5x 3 看做整體，125125則易知它是343 的立方根，其值可求，在此基礎(chǔ)上可求x.解： 因為 125x3 27 0，所以3273x.故.125x5(2) 因為 (5 x 3) 3343，3所以 5x 3343 7，即 5x 10故 x 2利用開立方解方程的方法：先把方程化為x3 m的形式， 然后根據(jù)開立方得到3xm. 特別地，要注意整體思想的應(yīng)用6立方根的性質(zhì)正數(shù)的立方根是一個正數(shù)，負數(shù)的立方根是一個負數(shù)，0 的立方根是0.(1) 立方根的符號與被開方數(shù)的符號一致；(2) 一個數(shù)的立方根是唯一的；(3) 3 a 3 a， 3 a3 a， ( 3 a) 3 a.【例 6】下列語

14、句正確的是() A64的立方根是2B 3 是 27 的立方根數(shù)學試卷1255C216的立方根是±6D ( 1)2 的立方根是 1解析： 因為 64 8，而 2 的立方等于 8，所以64的立方根是2，即 A 正確，解答時不要把“求 64的立方根”誤解為“求64 的立方根”； 因為 3 的立方是 27，所以 3 是 27的立方根是錯誤的；因為51251255的立方是，所以的立方根是 ，因此 C 是錯誤的；因為 ( 621621661) 2 1，它的立方根是 1，而不是1，所以 D 是錯誤的故本題選A答案： A(1) 任何數(shù)都有立方根，而負數(shù)沒有平方根；(2) 任何數(shù)的立方根只有一個，而正

15、數(shù)有兩個平方根7用平方根與立方根的定義及性質(zhì)解題已知一個數(shù)的平方根或立方根求原數(shù)是利用平方根與立方根的定義及性質(zhì)解題中的常見題型(1) 一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，而互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零33(2) 對于立方根來說， 任何數(shù)的立方根只有一個，根據(jù)立方根的定義可知， aa，也就是說， 求一個負數(shù)的立方根時，只要先求出這個負數(shù)的絕對值的立方根，然后再取它的相反數(shù)即可(3) 當兩個數(shù)相等時，這兩個數(shù)的立方根相等反之，當兩個數(shù)的立方根相等時，這兩個數(shù)也相等這與平方根不同，在平方根的計算中，若兩數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù)時，這兩個數(shù)相等；若這兩個數(shù)相等時，則兩數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù)【例 7

16、1】已知2x 1 和 x 11 是一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)分析：因為 2 1和x 11 是一個數(shù)的平方根，根據(jù)平方根的定義，可知2x 1 和xx11 相等或互為相反數(shù)當2x 1 和 x 11 相等時，可列出方程2x 1x 11，當 2x 1 和x 11 互為相反數(shù)時，可列出方程2x 1 x 11 0，從而求出 x 的值，進一步可求出這個數(shù)解： 根據(jù)平方根的定義，可知2x 1 和 x 11 相等或互為相反數(shù)2 441；當 2x 1 x 11 時， x 10，所以 2x1 21，這時所求的數(shù)為 ( 21)當 2x 1 x 11 0 時， x 4，所以 2x1 7，這時所求的數(shù)為 72 49綜上可知

17、，所求的數(shù)為49 或 441【例 7 2】若 32a 1 35a 8，求 a2 012 的值分析： 根據(jù)立方根的唯一性和33a，可知 2a 1 與 5a 8 互為相反數(shù)， 從而可 a構(gòu)造出關(guān)于 a 的一元一次方程2a 1 (5 a8) 進一步可求出a2 012 的值解：因為32a 135a 8，所以32a13a，即 2a 1 (5 a 8) 解得 a 1故 a2 012 ( 1) 2 012 18非負性的應(yīng)用非負數(shù)指的是正數(shù)和零，常用的非負數(shù)主要有：(1) 絕對值 | a| 0；(2) 平方 a20；(3) 算術(shù)平方根 a具有雙重非負性： a本身具有非負性，即 a0；算術(shù)平方根a的被開方數(shù)具有

18、非負性，即a0.非負數(shù)有如下性質(zhì)：數(shù)學試卷若兩個或多個非負數(shù)的和為0，則每個非負數(shù)均為0.在解決與此相關(guān)的問題時，若能仔細觀察、 認真地分析題目中的已知條件，并挖掘出題目中隱含的非負性，就可避免用常規(guī)方法造成的繁雜運算或誤解，從而收到事半功倍的效果與算術(shù)平方根和平方數(shù)的非負性相關(guān)的求值問題，一般情況下都是它們的和等于0 的形式此類問題可以分成以下幾種形式：) 20，| |一是算術(shù)平方根、平方數(shù)、絕對值三種中的任意兩種組成一題| (0，( ) 2 0，甚至同一道題目中出現(xiàn)這三個內(nèi)容 | ( )20；二是題目中沒有直接給出平方數(shù)，而是需要先利用數(shù)學公式把題目中的某些內(nèi)容進行變形，然后再利用非負數(shù)的

19、性質(zhì)進行計算【例 8 1】如果 y 2x 11 2x2，則 4xy 的平方根是 _ 1解析：因為 2x10且 12x0，所以 2x 1 1 2x0，即 x2. 于是 y2x 111 2x2 2因此 4x y4× 22 4故 4x y 的平方根為± 2答案： ±2x2 44x22的值【例 8 2】如果 yx 2 2 012 成立，求 x y3x240,4 x20，因此，只有x2 40，分析： 由算術(shù)平方根被開方數(shù)的非負性知即 x± 2；又 x20，即 x 2，所以 x 2， y 2 012 ，于是得解解： 由題意可知 x240且 4 x20，因此 x24

20、0，即 x± 2又 x20，即 x 2， x 2， y 2 012故 x2 y 3 22 2 012 32 013 【例 8 3】已知 1( 2)20，求 ( ) 2 012 的值abab分析： a 1表示 a 1 的算術(shù)平方根，所以a1為非負數(shù)因為 ( b 2)2 為偶次冪，所以 ( b 2) 2為非負數(shù) 由于兩個正數(shù)相加不能為0，所以這兩項都為0，因此解方程求值即可解：因為 a 10， ( b2) 20，且a 1 ( b 2) 2 0，所以a 1 0，( b 2) 2 0，解得 a 1， b 2故 ( ab) 2 012 (1 2) 2 012 19利用方根探索規(guī)律(1) 可以利

21、用計算器探究被開方數(shù)擴大( 或縮小) 與它的算術(shù)平方根擴大( 或縮小) 的規(guī)律規(guī)律：如果將被開方數(shù)的小數(shù)點向左( 右 ) 每移動2 位， 則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向同一方向移動1 位即當被開方數(shù)擴大( 或縮小 )100 倍時，其算術(shù)平方根相應(yīng)地擴大( 或縮小 )10 倍；當被開方數(shù)擴大 ( 或縮小 )10 000倍時，其算術(shù)平方根相應(yīng)地擴大( 或縮小 )100 倍.(2) 可利用計算器探究被開方數(shù)擴大 ( 或縮小 ) 與它的立方根擴大 ( 或縮小 ) 的規(guī)律規(guī)律：如果將被開方數(shù)的小數(shù)點向左( 右 ) 每移動 3 位，則它的立方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向同一方向移動1 位即當被開方數(shù)擴大( 或縮小 )1 000 倍時，其立方根相應(yīng)地擴大( 或縮小 )10 倍；當被開方數(shù)擴大 ( 或縮小 )1 000 000倍時，其立方根相應(yīng)地擴大( 或縮小 )100 倍.(3) 還可利用方根為問題背景進行規(guī)律的探索【例 9】 (1) 觀察下列各式：1111111323，2 434，35 45，請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自數(shù)學試卷然數(shù) n( n1) 的等式表示出來_(2) 借助計算器可以求出42 32， 442332， 4442 3332，觀察上述各式特點，猜想： 44423332 _.n個n個解析： (1)第一個等式右邊的 2 比左邊被開方數(shù)里的 1