《應(yīng)用泛函分析》習(xí)題解答

1、泛函分析與應(yīng)用-國(guó)防科技大學(xué)3.設(shè)Xk是賦范空間E中的Cauchy列，證明xj有界，即supXk|<3°。證明：Vs>0,三N0,當(dāng)m,n>N0時(shí)，有|xIxnl_|xmll不妨設(shè)>|Xm|則Xn<S+XNo|<c,n>1oa典%，0。取m=No：,XNo,XNo6.設(shè)E是Banach空間，E中的點(diǎn)列滿足Xkk100<°°（此時(shí)稱級(jí)數(shù)Zxk絕對(duì)收QO斂)，證明存在XWE,使X=lim£xkn.k1（此時(shí)記證明：令ynk1對(duì)收斂，則它的一般項(xiàng)n二乙xk'則|yn4p-ynQOx為£Xkkmn

2、*|xkhkT由k1QO,即x=£Xk).k1oO由于Z|xk|<g絕k=1XkT0o因此w>0,總3N0,當(dāng)n,p之N0時(shí)，有yn4P-yn|<鞏所以yn是E中的Cauchy歹U,又因?yàn)镋是Banach空間，則必存在x匚E,使得x=lim£xk=Zxk。n.kkkW：k=19.（Hamel基）設(shè)A是線性空間E的非空子集，若關(guān)的，則稱A是線性無(wú)關(guān)的。若A是線性無(wú)關(guān)的，A中任意多個(gè)元素都是線性無(wú)且spanA=E,則稱A是E是的一個(gè)Hamel基。此時(shí)若A是無(wú)窮集，則稱E是無(wú)窮維的；若A是有限集，則稱E是有限維的，并定義E的維數(shù)為A中所含有的元素個(gè)數(shù)。通常用di

3、mE表示E的維數(shù)，并約定當(dāng)E=0時(shí)，dimE=0,可以證明任何線，f空間都存在Hamel基。證明酉空間Cn的維數(shù)為n,并問(wèn)當(dāng)視Cn為實(shí)線性空間時(shí)，其維數(shù)是多少？第k項(xiàng)證明：設(shè)x,ywCn,a,BwC,則有ux+PyWCn。令ek=Q二QJ_0L二0),共n項(xiàng)n則對(duì)任意的x=(xi,X2，Xn),必有x=£Xkek,因此e：,e2,，en是空間CnkV的基，則dimCn=n。當(dāng)視Cn為實(shí)線性空間時(shí)X=(X:，X2，Xn),n_diCm=2n?？闪罨鶠?,，en,iei,，ien,則對(duì)任意的x='Re(Xk)ek'Img(Xk)(ieJk=110.證明dimCa,b=00

4、,這里a<b。證明：取xk(t)=tk,k之0,twa,b,Vn之0,令£ckxk=0。則£ckxk只需證X0,Xi1線性無(wú)關(guān)。為此對(duì)n次求導(dǎo)=0=n!cn=0ncn=0。因此必有kdkdn1工ckXk=0,求該式求n-1導(dǎo)后有（n-1）!酬=0n冊(cè)=0。依次類推，有kTg=g,=c°=0,所以對(duì)任意的n之0,都有Xo,Xi，Xn線性無(wú)關(guān)，即dimCa,b=二2.（點(diǎn)到集合的距離）設(shè)A是E的非空子集,d（x,A尸infy-x|yA證明：XE。定義X到A的距離為:1)2)3)解:X是A的內(nèi)點(diǎn)ud(x,A)A0；x是A的孤立點(diǎn)uxwA,且d(x,Ax是A的外點(diǎn)u

5、d(x,A)>0OX)>0；B(x,w)uA二B(x,與仆Ac二中=VywAc,者B有y二x=iny-X|yAc0=d(x,Ac)>0。-二1解：U0,1-=0,1)。kJk距離的定義充分性：d(x,Ac)>0=五，使得B(x,8)仆Ac=G="，使得內(nèi)點(diǎn)的定義B(x,e)cAnx是A的內(nèi)點(diǎn)。孤立點(diǎn)的定義2 )必要性：x是A的孤立點(diǎn)=xwA,且山，使得B(x,£)nA=x=xwA,且女，使得距離的定義B(x,曠A/x=中=xwA,且d(x,Ax)>0。距離的定義充分性：xWA,且d(x,Ax)>0=至，使得孤立點(diǎn)的定義B(x,豺"

6、;A/x=三"使得B(x,8戶A=x=x是A的孤立點(diǎn)。外點(diǎn)的定義3)必要性：x是A的外點(diǎn)="，使得B(x,8)nA=g=VyWA,都距離的定義有y"xninf|y¥|ywA)>0=d(x,A)a0。距離的定義外點(diǎn)的定義充分性：d(x,A)>0=*，使得B(x口a=G=x是A的外點(diǎn)。3 .設(shè)A是E中的非空閉集，證明：xwAud(x,A)70。解：必要性：xwAn三ywA,使得距離的定義y=xni®f|y干A)=0=d(x,A)=0。距離的定義充分性：d(x,A)=0=inf|yx|yWA)=0=1xkuA,使得A是閉集xkTxnxWA

7、o7 .舉例說(shuō)明無(wú)窮多個(gè)閉集之并不一定是閉集。8 .證明A=aUao證明：設(shè)xwAnmxjuA,使得xkTx。若5xk中有無(wú)窮項(xiàng)互異，則xwA'；否則有無(wú)窮多相取同一個(gè)值，則xwA,由此可知：xEA'Ua,則ACaUA'。另一方面，由于A二A且AuA,所以aUA'ua。綜上所述，有A=AA。9 .證明：1)A的內(nèi)部是含于A的最大開(kāi)集，即intA=UB|B是開(kāi)集，且BuA);2)A的閉包是包含A的最小閉集，即A=仆B|B是閉集，且BnA)。證明：1)設(shè)G是含于A的最大開(kāi)集，則intA=AnintAuG。設(shè)G是開(kāi)集_GUAxwG=韭，使得B(x,町二G二左，使得內(nèi)點(diǎn)

8、的B(x,a)匚A=xiA。斷以GuintA。綜上所述，G=intA,則表明A的內(nèi)部是含于A的最大開(kāi)集。2)設(shè)G是包含A的最小閉集，且AuA=Gu:。設(shè)xw入二三xjuA,A6_G是閉集_使彳導(dǎo)xkTx=三xkuG,使得xkTxnxWG,所以AuG。綜上所述，G=A,則表明A的閉包是包含A的最小閉集。10.利用習(xí)題9的結(jié)論證明：1)(A)c=int(Ac),2)(intA)c=(Ac)。證明：1)AuAn(A)cuAco(A是開(kāi)集，而由習(xí)題9的結(jié)論可知，int(Ac)是含于Ac的最大開(kāi)集，所以(A)cuint(Ac)o_intA(c)是開(kāi)集此外，設(shè)xintAc),而x正(A)c。由xWintA

9、c)二"，使得B(x3)匚intAcuAc二五，使得B(x)"1A=0。(1)而由x2(A)c=xWAnVs,都有B(x,a)PlA#，此與(1)式矛盾，故xw(A)c,所以int(Ac)a(A)c。綜上所述，有(A)c=int(Ac)。cccc2)intAuAnAuint(A)。這表明int(A)是包含A的閉集，而由習(xí)題9的結(jié)論可知，(Ac)是包含Ac的最小閉集，所以(Ac)a(intA)c。intA是開(kāi)集此外，設(shè)xjinA)c。由xinA)c=x堯inA=Vs,都有1B(x,a)遼AnV名，都有B(x,a)QAc=6。特別有B(x,一廣Ac/G,kWN,k因此取xk=B

10、(x)nAc,kWN,所以有x/uAc且xx,故x(Ac),k所以(intA)cu(Ac)o綜上所述，有(intA)c=(Ac)。12.設(shè)A=(x,y)|xw(0,2),0<y<sinxU(0,2)。試寫(xiě)出int(A),A及A2的孤立點(diǎn)的全體。解：31int(A)=(x,y)|x=(0,-),0<y<sinx；A=(x,y)|x0；,0«y«sinxU(0,2)；2A的孤立點(diǎn)=(0,2)。13.設(shè)A、B、C均是E的子集，且B=C,證明：1)若A在C中稠密，則A在B中稠密；2)若A不B中稠密，則A不在C中稠密。_B二C證明：1)A在C中稠密=Vx=C,

11、存在xjuA,使得xk->x=Vx=B,存在xk匚A,使得xktxnA在B中稠密。BC2)A不在B中稠密二三xWB和使得B(x,a)1A=G=三xC和匕使得E(x,名)仆A=C>=A不在C中稠密。第三節(jié)1_1_1_2.設(shè)T:AtB,G:BtC,且DUC,證明：(G°T)(D)=T(G(D)。證明：設(shè)x(GT)(D)=G(Tx)D=T(x)G,(D)二xT,G/(D)=(G叮)(D)二T(G/(D)；另一方面，設(shè)1_/_11_xT(G(D)=TxG(D)=(GT)(x)D=x(GT)(D)二111_T(G(D)匚(G：T)(D)。綜上所述，(g°t),(d)=t(

12、g(d)。4.設(shè)T:EtE1,x0wE,證明：1) T在Xo處連續(xù)u只要xjuE滿足xktXo,則TxktTx。；2) T在Xo處連續(xù)u對(duì)于任意8A0,存在6A0,使T(B(x。力)=B(TXo,£)。證明：1)必要性：若XkUE,且XkTXo=對(duì)于任意5A0,存在No,使得當(dāng)k>No時(shí)，有XkWB(x0,)。再由T在Xo處連續(xù)二對(duì)于任意82A0,存在6A0,使得當(dāng)xWB(xo,6),TxWB(TX02)。若取孫=6,則表明對(duì)于任意82A。，存在No,當(dāng)kANo時(shí)，有Txk乏E(Tx。產(chǎn)2),因此TxktTx。充分性：XkTX0二對(duì)于任意名a0,存在No,使得當(dāng)kANo時(shí)，有X

13、kE(Xo產(chǎn))；TXkTTx0n對(duì)于任意名>0,存在N1,使得當(dāng)k>N1時(shí)，有TXkwB(Tx。產(chǎn))，顯然對(duì)于特定的名=6,也存在N1,使得當(dāng)k>N1時(shí)，有TXkwB(Tx。/)。因此取N=max：No,N1),對(duì)于任意的名>0,存在6>0,使得當(dāng)x三B(x0,6),有TxWB(Tx0,6),所以T在x。處連續(xù)。2)必要性：T在x。處連續(xù)=對(duì)于V>0,存在6A0,使得當(dāng)x三B(x。©)時(shí),有TxwB(Txo,z)o所以對(duì)于Vy=TxwT(B(Xo,5),都有y=TxwB(Tx0,),因此T(B(x0,6)uE(Tx0通)。充分性：設(shè)xWB(xoQ)

14、=TxWT(B(xo,6)uB(Txo,8),由條件可知，V®>0,存在0>0,使得當(dāng)xwB(xo,6)時(shí)，都有TxwB(Tx°N),由T連續(xù)的定義可知，T在xo處連續(xù)。5 .(集合的邊界)稱集AintA為集合的邊界，記為紈，并稱紈中的點(diǎn)為A的邊界點(diǎn)。證明：1) M=AQac,即xW£Aux的任何領(lǐng)域內(nèi)既有A的點(diǎn)，又有Ac的點(diǎn)；c2) x=gAud(x,A)=0且d(x,A)=0。證明：1)必要性：x=A=>x=A且x=Ac。由xWAn三xkuA,使得xktx=Vs,存在N0,使得當(dāng)k>N0時(shí)，有xkwB(x,町=x的任何領(lǐng)域內(nèi)既有A的點(diǎn)。

15、由xwAc=存在xj匚Ac,且xkTx=Vz,存在N1,使得當(dāng)k>Ni時(shí)，有xk亡B(x,&)=x的任何領(lǐng)域內(nèi)既有Ac的點(diǎn)。充分性：顯然成立。2)必要性：xe徽=xeA且xWAc。由xWAnMxkuA,使得d的連續(xù)性xkTx,而d(x,A)=imd(xk,A)=0。由xwAc二三xQ=Ac,使得d的連續(xù)性xkTx,而d(x,Ac)=limd(xk,Ac)=0。充分性：由d(x,A)=inf|y-乂|ywA=0=Mxk仁A,使得xktxnxwA。由d(x,Ac)=inf|yx|ywAc=0=三xjuAc,使得xktx=xwAc。所以，x三AAc=x縱。6 .驗(yàn)證例4中構(gòu)造的泛函f滿

16、足題給條件。已知:f(x)=d(x,F1)d(x,F1)d(x,F2)F1和F 2是E中互不相交的非空閉集。驗(yàn)證：由于d(x,F1)>0,d(x,F2)2030Md(x,F1)<1,且當(dāng)d(x,F1)d(x,F2)xWF1時(shí)，f(x)=1；xWF2時(shí)，f(x)=0。9.證明開(kāi)集總可以表示為可列個(gè)閉集之并，而閉集總可以表示為可列個(gè)開(kāi)集之交。證明：1、(1)設(shè)F是閉集，不妨設(shè)F#。令Gn=x=E|d(x,F)<-,則Gn是開(kāi)nQ0集，且FUGn(n之1),于是FuClGn。nToO另一方面，設(shè)xWGGn=xWGn(n之1),即nd1 d的連F閉d(x,F)<-,(n_1)=

17、.d(x,F)=0=nna_CioO4xWF。因此nGnuF。綜上所述，F(xiàn)=nGn=G£G的可列交)。因此閉ndnW集總可以表示為可列個(gè)開(kāi)集之交。(2)利用(1)中的結(jié)論以及deMorgan公式，可得：00AFc=UG=G鼠G的可列并)。顯然Fc是開(kāi)集，G:是閉集，這表明開(kāi)集總可n1以表示為可列個(gè)閉集之并。10.設(shè)E,E1均是實(shí)賦范空間，t：EtE1是連續(xù)映射，且滿足可加性：對(duì)任意x,ywE,恒有T(x+y)=Tx+Ty。證明：T是線性算子。(提示：注意到非零有理數(shù)r形如色(nZ,mN,n與m互質(zhì))，先對(duì)有理數(shù)r說(shuō)明mT(rx)=Tf(x),然后利用連續(xù)性。)證明：令T(x+y)=T

18、x+Ty為(1)式。則在(1)式中，當(dāng)x=y=0時(shí)，有T0=0;當(dāng)y=x時(shí)，有T(_x)=-Tx,令此式為(2)式。此外利用(1)式還可得:T(nx)=nTx,n之1,令此式為(3)式。又1(3)式iii(3)式Tx=T(m(x)=mT(x),m_1Tx=T(x),m_1=mmmmnn式Tx=T(x),(m,n21)=VrwQ,且r>0,有T(rx)=rTx=Vr=Q,mm有T(rx)=rTx,令此式為(4)式。由Q在R中稠密=VotWR,MrnuQ,使得7->口。因此T連續(xù)T(x)=limT(rnx)二nT二rnQ=(limrn)Tx=aTx。ny-T(x+y)=Tx+Ty/由3

19、=>T是線性算子。T(ax)=aTx,awR第四節(jié)2.設(shè)Cka,b表示定義于a,b上“直至k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”的函數(shù)x(t)的全體，按通常函數(shù)的加法與數(shù)乘，Cka,b是線性空間。對(duì)xwCka,b,k|x|=Emaxx(i)(t),其中x(0)(t)表示x(t),則Cka,b成為賦范空間。證明它i=0a-是Banach空間。證明：(1)證明賦范空間。正定性與絕對(duì)齊性是顯然的。下證此范數(shù)滿足三角不等式。設(shè)x,yCka,bkx y ='、i 0kmx(i)+y a£kk所以按此范數(shù)它是賦范空間。=£maxx+zmaxy(i)(t)l=llxll+lyll0(2)證明完備性

20、。設(shè)xn是Cka,b中的Cauchy歹U。則V名0,左0,當(dāng)m,n之n0時(shí)，有k即Zmaxxi=0a乜蟲(chóng)(i)(i)/n (t ) - xm (t)；，(1 )式。特別的，對(duì)于每個(gè)i,(1)式都成立。所以燎是Cka,b中的Cauchy列。于是yi三Ca,b使nj：maxxni)(t)y(t)t0,所以"(t)一致收斂到y(tǒng)/t)。a<<l當(dāng)i=0時(shí)有，牛一萊公式tty0(t)y°(a)=nmjxn(t)4(a)=)”；平遙=a/；)(上通=fy1(Dd巴，所以y01)(t)=1。a同理可得：當(dāng)ia1時(shí)，有yi(2(t)=yi(t)。最終有y0k)(t)=yk(t)

21、wCa,b,所以y0(t)wCka,b。綜上所述，它是Banach空間。5.設(shè)A、B是賦范空間E的子集，且AuB,證明:(1) 若A是第二綱集，則B必是第二綱集；(2) 若B是第一綱集，則A必是第一綱集；證明：先證明(2)。B是第一綱集，則BCO=G nnVG n是稀疏集。令cdFn=GnA,則Fn也是稀疏的。下面來(lái)證A=UFn。設(shè)乂三A,按Fn的定ndoOQO義必有xWUFn,則AUUFn;另一方面，設(shè)n1ndoO得xWFn0,按Fn的定義有xWA,所以UFnUn1oOx三F F n ,則必存在n0，使 n=1cOA。由此可知：A = U F n onT所以A必是第一綱集。(1)若B必是第一

22、綱集的話，按(2)中的結(jié)論可知A必是第一綱集，此與A是第二綱集矛盾，所以A是第一綱集。6 .設(shè)A是賦范空間E中的閉集，且A不是稀疏集，證明A必包含E中某個(gè)閉球。證明：A不是稀疏集=存在E中某個(gè)開(kāi)集G,使得A在G中稠密。取_A閉xwG,r>0,使得B(x,r)uG,所以有B(x,r)uGuA=A。7 .設(shè)A是賦范空間E的真閉子空間，證明A是E中稀疏集。證明：由習(xí)題6的結(jié)論可知：如果A不是稀疏集，則Exo=E,r>0,使得，,rxB(x0,r)uA。因此WxE,有1ny+xo匚B(xO,r)uA,則xllxllA是子空間xW(Axo)U!=A,所以A=E，此與A是E的真閉子空間矛盾。由

23、此r可知：A是E中稀疏集。8 .證明Pa,b是Ca,b中的第一綱集。證明：用Pna,b表示次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式，則Pna,b是Ca,b的真閉子集，00由習(xí)題7的結(jié)論可知Pna,b在Ca,b是稀疏白勺。又Pa,b=UPna,b,這表n1明Pa,b是Ca,b中的第一綱集。第五節(jié)1 .證明緊集必是完備子集。證明：設(shè)A是緊集，且xk是A中的Cauchy序列。則卡名下0,3N0>0,>得當(dāng)k,laN0時(shí)，有|xk-xj|<屋又因?yàn)锳是緊集，則gxj及xo亡A,使i-)二二得xkiTXo。因此當(dāng)ki>No時(shí)，也有|xk-xkJ=|xk-x0|<君。由此可知：Xk收斂，且極限為

24、XowA。則A是完備子集。2 .證明緊集的閉子集是緊集，緊集必是閉集。證明：設(shè)A是緊集，且BUA是閉集。VxkuB,有A是緊集XkuAn出XkjuA,使得XkiTXonVXkuB,三子列Xki,使得Xki-Xo=B是列緊的(1)式。又因?yàn)锽是閉集，則x0wB是一(2)式。由(1)(2)式可知，B是緊集二緊集的閉子集是緊集。A是緊集設(shè)A是緊集。VXkUA,且XkTXo二三XkiUA，使得XkiTXi,且XiwAo由收斂序列的極限與其子列的極限一致，可知Xo=XiwA,由此可知A是閉集。3 .證明列緊集的閉包是列緊集，因而四緊集的閉包是緊集。證明：設(shè)A是列緊集。VxkuA,由接觸點(diǎn)的性質(zhì)，存在yk

25、二A,使得A是列緊|Xk-yk|<-,k>1(1)式。yk匚A=三yki匚A,使得k(1)式y(tǒng)kixX0一：三Xkiua,XkiTXo。因此:是列緊的。又入式閉集，則x°wA,所以又是緊集。4 .證明：若K是緊集，口WK,則口K也是緊集。證明：K是緊集nVxkuK,三子列xj,使得XkiTxo,且x°wK=寸xju«K,三子列«Xki,使得外、t陶。，且ax。w&K=aK是緊集。5 .證明緊集的有限并是緊集，緊集的任意交是緊集。n證明：設(shè)A，A2：，An是一列有限的緊集，記P=UAioVXkUP,則必i1存在整數(shù)j(1EjEn),使得

26、Aj含有xj的無(wú)窮多項(xiàng)，記為xjuAj。由Aj是緊集，則三xj的子列Xk.,使得,t%,且x°wAj。因此4xjuP,iijij都存在它的子列XkTX0,且X0WP。所以緊集的有限并是緊集。ijQ0設(shè)An|n21是一列緊集，iEQ=CAnOVXkcQ,則對(duì)任意整數(shù)j(j±1),n1都有XkUAj。由Aj是緊集，則MXk的子列Xki,使得XkiTX0,且oOXowAj(j之1),即XWP=nAno因此寸XkUP,都存在它的子列n1XkiTXo,且XoWP。所以緊集的任意交是緊集。6 .設(shè)Kn是E中一列不增的非空緊集，證明KKn¥力。若將條件中“緊集”n1改為“閉集”

27、，試問(wèn)結(jié)論是否成立？證明：由Kn非空，可取XnWKnO再由題意知K1二K2二二Kn二，則為WKn(i>n+1)o顯然li=XnuKi,由Ki是緊集，則弘的子列Xn1),使得X，)TX(1),且X(1)wK1；此外取12=X，)X1UK2,由K2是緊集，則m2的子列$2),使得X；2)TX，且XwK2。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則X=*出=x,且xWK1nK2。依此類推，當(dāng)i>2時(shí)，有h=汽：力*,，x“uKi,三h的子列x：，,使得xni)Tx(i),且XWKi。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則oOaoX(1)=X(2)=X(i9=X(i)=X。由此可知：XeKKn

28、,則1Kn#6。n1n17 .設(shè)A是E中的非空緊集，映射T：EtE1連續(xù)，證明T(A)是E1中的緊集，即緊集的連續(xù)像仍是緊集。證明：設(shè)丫/是丁(A)中的序列，由像與原像的性質(zhì)，可知5XkuA是yQ的原像，再由A是非空緊集，可知存在子列xkiTx0,而T是連續(xù)的，則yki=T(Xki)TT(Xo)=y°,因此T(A)是E1中的緊集。8 .設(shè)A是E中的緊集，映射T:EtE1連續(xù)，證明T在A上一致連續(xù)，即對(duì)于任何名a0,存在6>0,當(dāng)x,ywA,且|xy<6時(shí)，恒有|TxTy(名。證明：用反證法。3s>0,V6>0,當(dāng)x&y§AA,且|x-y)|&

29、lt;6時(shí)，恒有11TxTy,之名。不妨取6=-,則Xkyj<(1)式。由于x&是2切k""k緊集A中的序列，則必存在子列XkiTX。，由(1)式可知，yki-*X。再ij二二由T的連續(xù)性，則|TXki-Tykil-*|TX0-Ty0|=0，此與|TxaTy42名矛盾。所以T在A上一致連續(xù)。9.設(shè)A是E中的非空緊集，泛函f：AtR連續(xù)，證明f在A上有界，且f在A可達(dá)到其最大值和最小值。證明：由習(xí)題7結(jié)論可知，f(A)是緊集，則f(A)必有界。設(shè)a=sup(f(x),X三A則必存在一列xkuA,使得limf(Xk)=a。由A是緊集，則三Xki及X0wA,使彳導(dǎo)X

30、kitX0。由f的連續(xù)性，存在3f(Xki)及f(x0)wf(A),使得f(Xki)Tf(x0)。由此可知：=ikimf(Xk)=ijmf(Xki)=f(%)wa。同理可證：存在P=inf(f(x)=limf(xk)=limf(xk)=f(x1)wA。11.設(shè)K是E中的非空緊集，X°WE,證明存在y°wK使|x0y°|=d(X0,K)。證明：顯然泛函d:KtR連續(xù)，且K是非空緊集。再由d(x0,K)=inf(|%y|y三K),根據(jù)習(xí)題9的結(jié)論可知：必存在y0亡K,使得卜0-y01=d(x0,K)。第六節(jié)n5.設(shè)aij(i,j=12，n)是一組實(shí)數(shù)，滿足條件

31、3;(aj-6j)2<1,其中i,i'jli=j。證明代數(shù)方程組,jn、ajXj=b,(i=1,2,，n)j1<maxsin回0刀X(t)-y(t)22t0,11,axX(t)-y=萬(wàn)h-y(t)|。b=(“,，bn)TwR都存在唯一解。n分析：代數(shù)方程組zaijXj=bi,j1A=aijnM，x=(X1，Xn)T。顯然(i=1,2,，n)等價(jià)于Ax=bb-Ax+x=x,證明解的唯一性等價(jià)于證明映射Tx=b-(AI)x有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明：令T:RntRn的映射為Tx=b-(A-I)xn-2B=工(aijij)<1。i,j1112III2|Tx-Ty=1(A-I)(x

32、-y)|=(£aij(Xj-yj)2a2j(Xj-yj),£anj(Xj-yjjmj=i££(aj-Bj)(Xj-yj)|空£(imu生J坦aaijBij)2g(xj-yj)2=|xyZ(aij-ij)2所以T是C0,1tC0,1上的壓縮映射，且C0,1是完備的。由壓縮映射原理可知：映射T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)X0(t)wCQ1。7.XiXiQO設(shè)aj(i,jwN)是一組實(shí)數(shù)，滿足supZ|aj|<1。證明無(wú)窮代數(shù)方程:j.1a-be=£aijxj+bi,iwN,對(duì)任何j1明：令A(yù)=aji,j京,-be=Zajxj+>,iwN等

33、價(jià)與。j1b=(bi)el必存在唯一解x=(為產(chǎn)l。x=(Xk),oOsupZaj-1jW方程組(2)2=6|xy|。所以|Tx-Ty|<0|x-y|,0<6<1o上述推導(dǎo)過(guò)程中，(1)應(yīng)用了許瓦爾茲不等式，(2)利用了條件。由T是壓縮映射，且Rn是完備子空間，由壓縮映射原理可知：動(dòng)點(diǎn)。令T:1tl為Tx=Ax+bo則對(duì)Tx-Ty|A(x-y)x=和y=(yk)有:T存在唯一的不.16.已知中=C0,1,證明函數(shù)萬(wàn)程x(t)=sinx(t)十中(t)在0,1上存在唯一的2連續(xù)解。一人一一，1.證明：令T:C0,1tC0,1為:(Tx)(t)=-sinx(t)+(t)o2|(T

34、x)(t)-(Ty)(t)|=1sinX(t)-siny(t)=cosx13sinX一ycosx(t)ysinX(t)-y2=maXto,i2cosxymaxtqo,1=££aj(Xj-yjidjmJ°°wsupZIejTaijQOQ0=ZZaijIXiTjTp-yjjTyj0°=£jd1xj_yj£aj=T|x-y,0W6<1。由上述推導(dǎo)可知T是壓縮lTl上的壓縮映射，又l是完備的。所以T在l上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。8.(第二類Fredholm方程解的存在唯一性)設(shè)有線性積分方程：bx(t)=中代)十人k(t,s)x(s)

35、ds,a其中甲WL2(a,b),九是參數(shù)，積分核k(t,s)在a,bMa,b上連續(xù)，且滿足:ffk(t,s)dtds<"a七則上述積分方程對(duì)絕對(duì)值充分小的九,在L2(a,b)中存在唯一解。(提示：令M=maxk(t,s)|t,swa,b+1,證明：令T：L2a,bTL2a,b為:1九<。)M(b-a)b(Tx)(t)=(t)+九1k(t,s)x(s)ds。則a(Tx)(t)-(Ty)(t)='bTb彳平a«k(t,s)x(s)ydsJdb,k(t,s)(x(sa：t,s)(x充分大使九Mn(ba)n/n!<1。在利用定理4。)t證明：令映射T:Ca

36、,bTCa,b為(Tx)(t)=3lfk(t,s)x(s)ds+(t),且aM=maxk(t,s)|t,s三a,b。利用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n=1時(shí),(Tx2)(t)-(T)(t)<見(jiàn)maxI,1a«歸fk(t,s)(x2(s)-x1(S)dS=mmaxfk(t,s)(x2(s)x1(s)dsLa|1a<<aak(t,s)x2(s)x1(s)ds«|(Mamaxx2(s)x1(s)ds=WM(ta)x2-x-1m彳fbk(t,s)2dsdtJjx(s)y(s)上述推導(dǎo)過(guò)程中，(1)利用的Holder令M=max'k(t,s)|t,不等式。sa,b/1設(shè)|

37、(Tn,x2)(t)-(Tn/x1)(t)|W八|(Tnx2)(t)-(Tnx1)(t)P|T(T<1n1_(t-a)/(n-1)!x2-xn/x2)(t)-T(Tk)(t)Immaxfk(t,s)(Tn%)(s)-(T、)(s)cs<|?jMfa五Wa1'ama)Laa<<x(TnJx2)(s)-(TnJx1)(s)ds=M(b-a)顯然，一一1如果九<M(b-a)22T:La,bTLa,b上的壓縮映射，又因?yàn)?La,b存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。,則0<1。所以T是L2a,b是完備的，所以T在9.(Volterra積分方程解的存在唯一性)設(shè)k(t,s)在a

38、,b父a,b上連續(xù)，則Volterrab積分方程：x(t)=7/k(t,s)x(s)ds+邛(t)對(duì)任意中WCa,b及任何參數(shù)九都存1a在唯一的連續(xù)解(提示：令M=maxk(t,s)11,s=a,b,映射T:Ca,bTCa,b為t(Tx)(t)=九Jk(t,s)x(s)ds+平(t)。a然后用歸納法說(shuō)明|crnx2)(Tnx1)(t)|<|nMn(t-a)n/n!|x2-x1|。取ntMa(TnJx2)(s)-(Tn-1x1)(s)ds<九nMn(t-a)n!九InMnxR(n-1)!：(s_a)n'ds因此當(dāng)n充分大時(shí)，0E?/Mn(t-a)n/n!<1o所以Tn為

39、Ca,bTCa,b上的壓縮映射，又P30頁(yè)上的定理Ca,b是完備的，所以Tn在Ca,b上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。由書(shū)4可知：T在Ca,b上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。第七節(jié)2.設(shè)2(t)是a,b上的實(shí)函數(shù)，對(duì)xwCa,b,令(Tx)(t)=豆(t)x(t),ta,b,證明TwP(Ca,b等價(jià)于awCa,b。證明：充分性顯然。下證必要性。令x0(t)=1,則(Tx0)(t)=a(t),由于x0(t)WCa,b,且丁乏P(Ca,b,則s(t)=(Tx0)(t產(chǎn)Ca,b。S)(x(t)| 卜 01sx(s)ds =dst m0,i證明:0O= sup£ a* i* jToOw supZ aj - ji-1 j

40、 TQO=Zai°jjW13.定義T:C0,1tC0,1為(Tx)(t)=tx(s)ds,再定義S:C0,1tC0,1為(Sx)(t)=tx(t),試問(wèn)S與T是否可換(即S叮=T"S)?并求IISMITLISI及|T"S|。1注：定義域空間中的范數(shù)為：|x(t)|=(x(s)ds；值域空間中的范數(shù)為：lx卜隍ax(x21解：(SF(x(t)=S(T(x(t)=t(x(s)dso1(T*S)(x(t)=T(S(x(t)=t(sx(s)ds。取x0(t)三1,則一.一2t(SoT)(x0(t)=t#=(T：S)(x0(t),因此S與T是不可換。2(i)i(Sx)(t)

41、i=itx(t)=axtx(t)=maxdx(t)w禺a(chǎn)xx(t)=ix(t»,所以|S|M1；又當(dāng)x0(t)三1時(shí)，卜0卜1,故圖可Tx0=|t|=1。綜上所述，均=1。|(Tx)卜tix(s)d4=maxtx(s)ds<(x(s)ds)nmaxt=jx(s)ds1111111nlii|工0maxx(s)ds=|x|j0ds=|x|,所以ISMl；又當(dāng)x0(t)三1時(shí)，卜0(。|=1,故IT中乂0(拗成=1。綜上所述，|t|=1。(3).o1o11o1l(S°T)(x(t)ii=t口色網(wǎng)=tm0axt(x(s)ds(小色心喉祉=小出1 1.I.11.1IHHB

42、63;'maxx(s)ds=xdds=x，所以S'T<1；又當(dāng)x0(t)三1時(shí)，x°(t)=1,0s中0,i,1101,故SFn(S°T)(x0(t)»=1|=1。綜上所述，ST=1。(4)maxtysx(s)dswj|sx(s)ds<Jomaxsx(s)iiiiWU艱xX（s）sds=maxx（s）j0isds=2x，所以ITS|七；又當(dāng)X。三1.i1iii時(shí)，|x0（t）=1,故|tOS之|（T，S）（x0（t）|=t（sds=qt=-o綜上所述，什，S，oO4 .設(shè)無(wú)窮矩陣（aj）滿足：supZaj<8。定義丁：產(chǎn)一>

43、產(chǎn)為：對(duì)x=（卻）w產(chǎn),iej=iQOQOTx=(%),其中，=£a*,(i乞N)。證明：|T|=sup£|ajjTi三jTwsupZlaj(sup-j)i皂(jjQOOO=1xsupZaj。所以|T|WsupZa。另一方面，對(duì)任意固定的i021,i<Nj/i飲jTx°=(sgnai°j)wl",且|x°|<1o則忖|主|TxJ=(七asgia相odoO由i0的任意性，所以|t|supZaj。綜上所述，|T|=sup£|aiji-1j=1Uj)、25 .(Hilert-Schmidt)型積分算子)設(shè)k(t,s尸L

44、(a,bMa,b),令22b.T:La,bTLa,b為：(Tx)(t)=k(t,s)x(s)ds。證明a1|t|f|k(t,s)2dsdti!2。(提示：禾iJ用Holder不等式baf(t)g(t)三證明：口雙3=jk(t,s)x(s)11!k(t,s)x(s)dsdtjE(j|k(t,s)x(s)dsjdtJ<ii(1)利用了Holder不等式。1所以|T|<(jjk(t,s)|2dsdt：。上述推導(dǎo)過(guò)程中,6.設(shè)k(t,s)wC(a,bMa,b),定義T:Ca,bTCa,b為(Tx)(t)=fk(t,s)x(s)ds。證明：|t|=maxfk(t,s)dt。aa-：t<

45、ba證明：證明：必要性：f不連續(xù)二f無(wú)界=玉xk,且卜xk|=1,使得f(xk)之k。.f(x)一一Vx=E,令yk=x-xk，則ykwke(f),且yktx,由稠留性te義可f(xk)知：ker(f)在E中稠密。充分性：若f連續(xù)=ker(f)是E上的閉子空間。又因?yàn)閗er(f)在E中稠密，所以E=ker(f)=ker(f)=f=0。此與f#0矛盾。故若f不連續(xù)。第八節(jié)1.設(shè)k是非負(fù)整數(shù)，證明a,b上次數(shù)不超過(guò)k的多項(xiàng)式全體Pka,b是Ca,b的閉子空間。證明：容易3證Pka,b按Ca,b上的范數(shù)成為賦范空間，下面要證明它是閉的。令xn=tn(0<n<k,twa,b),則容易驗(yàn)證x

46、O,x；x&是Pka,b的基，且dimPka,b=k+1。又因?yàn)橛邢蘧S空間是閉集。所以Pka,b是Ca,b的閉子空間。(Tx)(t)=k(t,s)x(s)ds=maxLk(t,s)x(s)dsbmaxak(t,s)x(s)ds£maxak(t,s)maxx(s)ds-xmaxak(t,s)ds|t|maxak(t,s)dt。令一方面，令x0(t)三1|T|之kk(t,s)ds=m,ax'k(t,s)ds；再令'11aa曝<bLa則|x0(t)|=1O因此x0(t)三一1,又有2.證明定理3(賦范空間E是有限維的充要條件是：E中的有界閉集都是緊集。)證明：

47、不妨設(shè)dimE=n,e1,e2，en為它的基。構(gòu)造T:Etkn為nTx=£,r,，,這里x=£ek由此可知E與Kn拓?fù)渫瑯?gòu)。又因?yàn)镵n有界閉集都是緊集與Kn是有限維是等價(jià)的，所以E是有限維等價(jià)與E中的有界閉集都是緊集。itabkcsb=maxa(k(t,s)ds。由此可知:bmaxkk(t,s)a玉玉ads。綜上所述，|T=maxkk(t,s)dt。a哧:ba3.設(shè)dimE<g,A與B均是E的非空子集，且其中一個(gè)是閉集，另一個(gè)是緊集，證明存在XoA,y°wB,使|x0-y°|=d(A,B)。特別當(dāng)d(A,B)=0時(shí),A"1B"中

48、。證明：不妨設(shè)A是閉集，B是緊集。定義f:BtR為f(y)=d(y,A),由于d是連續(xù)映射，且緊集的連續(xù)像是緊集，則必存在y0wB,使得7.證明E上的非零線性泛函f不是連續(xù)白等價(jià)于ker(f)在E中稠密。明x0工c。證明：由習(xí)題4的結(jié)論可知:x0< c。二物”-丫尸物兇-丫=0 。 再由f(y。)=d(y°,A)=inff(y)=r。yiB令C=(yo，r+1)QA,則C是有界閉集，又因?yàn)镃是有限維的，所以C是緊集。由C的取法顯然有d(x0,C)=d(x0,A)。C緊=5xowc，使d(y。，C)=|x0y0bd(y。，A)=d(A,B)。第二章第一節(jié)4 .設(shè)賦范空間E#0,證

49、明：對(duì)于任何xwE,恒有l(wèi)lxll=supf(x)。腥證明：由P49頁(yè)的推論1可知：存在f0wE*,使得|f0|=1,且f0(x)=|N。fH另一方面有f(x)引小岡=f(x)|«|x|,所以|x|=sup|f(x)|oIfY5 .設(shè)M是賦范空間E中的子空間，x°wE。證明x°uMU只要fWE滿足f|m=0,則f(x0)=0。證明：必要性。用反證法。設(shè)三fuE滿足f|M=0,但f(x0)#0,由P50頁(yè)的推論2的結(jié)論可知x0更M,這與x0wM矛盾。所以只要x0wM這一條件成立，必可推出只要fWE滿足f|M=0,則f(x0)=0。充分性：同樣用反證發(fā)。x0星M則由P

50、50頁(yè)的推論2的結(jié)論可知：存在fwE滿足fIm=0,且f(x0)#0,顯然這與f(x0)=0矛盾。所以只要fuE滿足fIm=0,則f(x0)=0這一條件成立，必可推出x°wM。6 .設(shè)A是賦范空間E的非空集，x0亡E。證明x0可用A中元的有限線性組合逼近的充要條彳是：只要f亡E*滿足f|A=0,則f(x0)=0。證明：該題即要證明x0亡span(A)u只要feE*滿足f|A=0,則f(x0)=0。必要性。設(shè)x°Wspan(A)，則由習(xí)題5的結(jié)論可知：只要fwE滿足f1爪a產(chǎn)0,則f(x0)=0。而由span(A)的構(gòu)造可知：f|span(A)=0uf|A=0。充分性：由f|

51、span(A)=0£fIA=。以及習(xí)題5的結(jié)論直接可得。7 .設(shè)x1，x21，xn是賦范空間E中有限個(gè)線性無(wú)關(guān)向量，證明存在fi,f2,fn-E使fi(Xj)=3ij,i,j=1,2“，n。證明：以x1為例來(lái)說(shuō)明。令M=span(x2,xn),則它為E中的子空間。因?yàn)閤1，x2，xn線性無(wú)關(guān)，所以d(x1,M)>0。由泛函延拓定理知：mfwE，使得f1(xj=1,f1儲(chǔ)=0。再由M的構(gòu)造方法可知f(xj)=0,(j之2)。同理可得：fi(xj)=B。.一*''8 .設(shè)E是賦范空間，x0二E滿足條件只要fuE且|f=1,則f(x0)Wc,證I=supf(x0),又

52、由于f(x0)«c,所以卜。|I普-1第四節(jié)3 .設(shè)C0,1按范數(shù)|卜是Banach空間,且當(dāng)|xl乂1T0時(shí),對(duì)一切tw0,1恒有xk(t)x(t)T0。證明范數(shù)，1與范數(shù)|x=maxx(t)(xWC0,1)等價(jià)。(提示：先證I：(C0,1,|1)t(CI01)是閉算子，再用必圖像定理知該算子有界,最后用逆算子定理得結(jié)論。)證明：令I(lǐng):(C0,1J|)t(C0,1,|H1)為Ix=x。顯然I是線性雙映射。設(shè)xkU(C0,1川|),且xx,Ixy。由(C0,1,|)的完備性可知,xW(C0,1,|)。且(C0,1,|)中的收斂等價(jià)于一致收斂，所以xk(t)Tx(t)。此外乂-y1=X

53、k（t）Tx（t）,可得y=Ix。所以I是閉算子。根據(jù)閉圖像定理，則I是有界的。所以|lx|1=|岡1<|l|x|。又根據(jù)逆算子定理，I也是有界的。所以l-xHM紳1M。綜上所述，卜與范數(shù)忸=maxx（t）（x亡co,i）等價(jià)。4 .設(shè)E,Ei,E2均是Banach空間，AwPgE?）,BwP（EiE2）,若對(duì)于任意的xwE,方程Ax=By都有唯一的解y=Tx。證明TwP（E,E1）。證明：設(shè)xj仁E,且xktxo,Txkty0O由A,B的連續(xù)性意知T是連續(xù)的。由于E是Banach空間，所以x0wE。由解的唯一性可知：A,B連續(xù)Axk=BTxk=Ax0=By0=yo=Tx0。所以T是閉算

54、子。根據(jù)閉圖像定理，則TwP（E,Ei）。5 .設(shè)E是Banach空間，M、L均E的閉子空間，且E=M出L（即對(duì)于任意的xwE,x都有唯一的表示x=y+z,其中yWM,zL）。又設(shè)xk=yk+zk,yk乏M,Zk=L,k=1,21x0=y。+z°,y°匚M，z0匚L。證明：xkTx的充要條件是ykTy0且zkTz0。（提示：對(duì)x=y+zWE,其中ywM,zwL,令|x|1=|y+閆,說(shuō)明（E,|）是Banach空間。）證明：首先說(shuō)明（E，）是賦范空間。正定性和絕對(duì)齊性是顯然的。下面證明滿足三角不等式。設(shè)xiwE,則上“zIL=|yi+y2+乙+z2|1。由于y+y2WM,zi+z2=l,所以M,L是閉子空間|xi+x21i=|yi+y2|+|z+4|=IIxi+x2|li引,|+|丫2|+憶|+歸=跖+乙|1+匣+z2|1=阮|