[理學]線性代數教程2chapterppt課件

1、教學要求：教學要求：1. 了解正交變換與正交矩陣的概念以及它們的了解正交變換與正交矩陣的概念以及它們的 性質性質. .正正交交矩矩陣陣的的定定義義與與性性質質一一 .正交變換正交變換二二 .正正交交矩矩陣陣的的定定義義與與性性質質一一1. 定義定義 . , 正正交交矩矩陣陣為為則則稱稱滿滿足足階階方方陣陣若若AEAAAn 2. 性質性質 ; 1 )1( A.)1, 1,(2 AAAEAA ;, )2(也是正交矩陣也是正交矩陣則則為正交矩陣為正交矩陣ABBA.)()()(EBBBAABABAB ; )3(1AAA 是是正正交交矩矩陣陣.)(EAA ; )4(也也是是正正交交矩矩陣陣是是正正交交矩

2、矩陣陣AA .)(1EAAAAAA .)( )5(量組量組向量組是正交的單位向向量組是正交的單位向行行的列的列是正交矩陣是正交矩陣方陣方陣AAProof. nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 設設),(21n nnnnnnaaaaaaaaaA212221212111 則則 n 21EAA Enn ,2121Ennnnnn 212221212111Ennnnnn ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111 ., 2 , 1, , 0 , 1),(njijijiji ex1. 以下矩陣是不是正交矩陣：以下矩陣是不是正交矩陣：,6222323

3、20021216521616121212121 )1( .102211403 )2( Solution.是是不是不是., . 2*也也是是正正交交矩矩陣陣則則為為正正交交矩矩陣陣若若AAexProof.,為正交矩陣為正交矩陣A. 1,1 AAA1* AAA又又 11*)( AAAAAA,AA 1 AAAA1 AAAA12 AAA.E . )1, 1, 1 , 1(,)1 , 1 , 1 , 1( . 321為前兩列的正交矩陣為前兩列的正交矩陣求以求以 exMethod1. )1 , 0 , 0 , 0(,)0 , 0 , 0 , 1(43 取取 .,4321線線性性無無關關顯顯然然 正交化正交

4、化, ,)1 , 1 , 1 , 1(11 取取 ),(),(1111222 則則 ,)1, 1, 1 , 1( ),(),(),(),(222231111333 ),0 , 0 ,21,21( ),(),(),(),(),(),(33334222241111444 ).21,21, 0 , 0(4 單位化單位化, ,)21,21,21,21(1 p ,)21,21,21,21(2 p ,)0 , 0 ,22,22(3 p .)22,22, 0 , 0(4 p .2202121220212102221210222121 PMethod2.則則正正交交與與設設,),(214321 xxxx 00

5、43214321xxxxxxxx 11111111A 11000011 44432221xxxxxxxx 11000011424321xxxxxx .)1, 1 , 0 , 0(,)0 , 0 , 1 , 1(43 取取單位化單位化, ,)21,21,21,21(1 p ,)21,21,21,21(2 p ,)0 , 0 ,22,22(3 p .)22,22, 0 , 0(4 p .2202121220212102221210222121 P .正交變換正交變換二二定義定義. 假設假設P為正交矩陣為正交矩陣, 那么線性變換那么線性變換y=Px稱為正交變換稱為正交變換. 定理定理. 正交變換不改

6、動向量的長度正交變換不改動向量的長度, 也不改動兩向量間也不改動兩向量間 的內積及夾角的內積及夾角.Proof. ,為正交變換為正交變換設設Pxy yyy , EPP 則則PxPx)( .xxxPxPx The end 教學要求：教學要求：1. 了解方陣的特征值和特征向量的概念及性質了解方陣的特征值和特征向量的概念及性質;2. 會求方陣的特征值和特征向量會求方陣的特征值和特征向量. .義義特征值與特征向量的定特征值與特征向量的定一一 .質質特特征征值值與與特特征征向向量量的的性性二二 .法法特征值與特征向量的求特征值與特征向量的求三三 .義義特征值與特征向量的定特征值與特征向量的定一一. ,

7、, 的特征向量的特征向量的對應于特征值的對應于特征值稱為稱為非零向量非零向量的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數這樣的數那末那末成立成立使關系式使關系式維非零列向量維非零列向量和和如果存在數如果存在數階方陣階方陣是是設設 AxAxAxxnnA 定義定義. 留意留意., 0言言的的特特征征值值問問題題是是對對方方陣陣而而特特征征向向量量 x .質質特特征征值值與與特特征征向向量量的的性性二二.)0( , . 10000的的特特征征向向量量的的對對應應于于也也是是則則的的特特征征向向量量的的對對應應于于特特征征值值是是如如果果 AkkpAp Proof. ,000pAp )()(00Apkkp

8、A )(00pk )(00kp .00的的特特征征向向量量的的對對應應于于是是 Akp. )0,( , . 20212211021特特征征向向量量的的的的對對應應于于也也是是不不同同時時為為則則的的兩兩個個特特征征向向量量的的對對應應于于特特征征值值是是與與如如果果 AkkpkpkApp Proof. ,101pAp )(2211pkpkA )()(202101pkpk )(22110pkpk ,202pAp )()(2211ApkApk .02211的的特特征征向向量量的的對對應應于于是是 Apkpk 推行推行:.)0,( ,012211021的的特特征征向向量量的的對對應應于于也也是是不不

9、同同時時為為則則非非零零線線性性組組合合的的特特征征向向量量的的對對應應于于是是如如果果 AkkpkpkpkApppssss ., , , 3.212121線線性性無無關關則則向向量量依依次次是是與與之之對對應應的的特特征征個個特特征征值值的的各各不不相相同同的的是是方方陣陣若若mmmppppppmA Proof. 使使設有常數設有常數mxxx,21. 02211 mmpxpxpx , 0 2211 mmpxpxpxA則則, 0 222111 mmmpxpxpx 即即類推之類推之, 有有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上述各式合寫成矩陣方式，得把上述各式合

10、寫成矩陣方式，得 mmmmmmmpxpxpx22111121121111 000于于是是有有可可逆逆從從而而該該矩矩陣陣該該行行列列式式不不等等于于不不相相等等時時當當各各式式列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號號左左端端的的系系數數矩矩., 0,i ,0,0,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21線線性性無無關關所所以以向向量量組組mppp留意留意(1) 屬于不同特征值的特征向量是線性無關屬于不同特征值的特征向量是線性無關的的(2) 屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的

11、特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量組合仍是屬于這個特征值的特征向量(3) 矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不獨一；值而言的，一個特征值具有的特征向量不獨一；一個特征向量不能屬于不同的特征值一個特征向量不能屬于不同的特征值 .法法特征值與特征向量的求特征值與特征向量的求三三, xAx ,)(OxAE ,解解即上述矩陣方程有非零即上述矩陣方程有非零Ox 也就是含有也就是含有n個未知數個未知數n個方程的方程組有非個方程的方程組有非0解解. . 0 AE 0 212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa

12、即即由此可求得特征值由此可求得特征值.; 的的特特征征多多項項式式叫叫做做AAE ; )(的的特特征征矩矩陣陣叫叫做做AAE . 0的的特特征征方方程程叫叫做做AAE .0 )( 解解的非的非特征向量即為特征向量即為OxAE ,)( OxAEi 代入方程代入方程現(xiàn)將已求得的特征值現(xiàn)將已求得的特征值 , 01 的的解解若若求求得得一一個個非非 的的全全部部特特征征向向量量為為則則對對應應于于i ).0( 1 kk , , 021 的解的解若求得兩個非若求得兩個非 的的全全部部特特征征向向量量為為則則對對應應于于i ).0,( 212211不不同同時時為為kkkk .)( , 21的的一一個個基基

13、礎礎解解系系就就是是且且OxAEi 求特征值與特征向量的步驟求特征值與特征向量的步驟: 0; )1( AEA 的的特特征征方方程程寫寫出出 ; 0 )2(iAE的的全全部部根根求求出出 . 0 , ,)( )3(的全部特征向量的全部特征向量線性組合即為對應于線性組合即為對應于其非其非求得一個基礎解系求得一個基礎解系代入代入將每個將每個iiOxAE . 1111111111111111 . 1量量的全部特征值與特征向的全部特征值與特征向求矩陣求矩陣 AexSolution. 1111111111111111 AE)2()2(3 ,0得得令令 AE . 2, 24321為為全全部部特特征征值值 .

14、)2(,2)1(1OxAE 有有時時當當 3111131111311113)2(AE而而 0000110010101001 44434241 xxxxxxxx從而從而 111144321xxxxx ).0( )1 , 1 , 1 , 1(21 kk的的全全部部特特征征向向量量為為對對應應于于 .)2(,2)2(432OxAE 有有時時當當 1111111111111111)2(AE而而 0000000000001111 4433224321 xxxxxxxxxx從而從而 1001010100114324321xxxxxxx 2的全部特征向量為的全部特征向量為對應于對應于 ).0,( )(1,0

15、,0,1)(1,0,1,0)0 , 0 , 1 , 1(321321不同時為不同時為kkkkkk .201034011 . 2的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 AexSolution. 的的特特征征多多項項式式為為A. 1, 2321 的的特特征征值值為為所所以以A. 0)2(,21 xAE解方程組解方程組時時當當 201034011 AE,)1)(2(2 001014013)2(AE 332100 xxxx從而從而.2)0(1111的的全全部部特特征征向向量量是是對對應應于于所所以以 kpk . 0)(,132 xAE解方程組解方程組時時當當 ,000010001 ,1003

16、321 xxxx,100 1 p基礎解系為基礎解系為 101024012)(AE 3332312xxxxxx從而從而.1)0(32222的的全全部部特特征征向向量量是是對對應應于于所所以以 kpk,000210101 ,121 2 p基基礎礎解解系系為為,1213321 xxxx留意留意: ,)1(0的特征值的特征值是是若若A AE0 則則)(0AEr OxAE )(0 , 0, n 有非有非0解解.的的為為則則稱稱重重根根的的為為若若00,0)2( kkAE .代數重數代數重數的的稱其為稱其為的個數為的個數為的基礎解系中所含向量的基礎解系中所含向量得得對應于對應于0000),( )(, AE

17、ranknOxAE .幾何重數幾何重數結論結論1. 方陣方陣A的特征值的幾何重數不超越的特征值的幾何重數不超越它的代數重數它的代數重數.結論結論2. 對角陣、上三角陣、下三角陣的特征值對角陣、上三角陣、下三角陣的特征值即為其主對角線上的元素即為其主對角線上的元素.結論結論3. .的特征值相同的特征值相同與與方陣方陣AA 結論結論4. ,)(21則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設設nijaAn ; )1(221121nnnaaa . )2(21An 結論結論5. 假設假設 是矩陣是矩陣 A的特征值的特征值, x是是 A的屬于的屬于 的特征的特征向量向量, 那么那么 .)1(是任意常數是任

18、意常數的特征值的特征值是是kkAk .,)3(11的的特特征征值值是是可可逆逆時時當當 AA .)2(是是正正整整數數的的特特征征值值是是mAmm .,)4(*1的的特特征征值值是是可可逆逆時時當當AAA .)()(,)5(的特征值的特征值是是為多項式函數時為多項式函數時當當Afff Proof. ,)1(xAx ),()(xkAxk ,)()(xkxkA .的的特特征征值值是是kAk ,)2(xAx xAAxA Ax x 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征征向向量量的的特特對對應應于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故mmmmAxA , 0,

19、)3( 可逆時可逆時當當A可得可得由由xAx ,11xAAxA ),(1xAx xxA11 .,1111的的特特征征向向量量對對應應于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA, 0,)4( 可逆時可逆時當當A可得可得由由xAx ,*xAAxA ),(*xAxA ,*xAxA .,*的的特特征征向向量量對對應應于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AAxAA(5) 類似可證類似可證, xEaAaAaxAfnnnn)()(011 ExaxAaxAannnn011 xaxaxannnn011 xaaannnn)(011 xf)( .)()(,)()(的的特特征征向向量量對對應應于于

20、是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 fAfxAff.5,5 , 2 , 1, 1 3 . 3*23EABAAABAex 與與的的特特征征值值計計算算設設矩矩陣陣的的特特征征值值為為階階矩矩陣陣已已知知Solution. , 22)1(1 A,* AA 的特征值的特征值. 1, 2 , 2 即即, 2 , 1, 1 時時的特征值為的特征值為當當 A, 8 , 1, 1 3 的特征值為的特征值為A, 4 , 1 , 1 2的特征值為的特征值為A,12, 6, 4 的特征值為的特征值為B288)12)(6)(4( B, 3, 6, 4 )5( 的的特特征征值值為為EA.72)3)(6)(4(5

21、 EA. 0,)2( . 10,(1) . 42的的特特征征值值全全為為則則若若和和的的特特征征值值只只有有則則若若AOAAAAexk Solution. 則則對應的特征向量為對應的特征向量為有特征值有特征值設設,xA xAx ,(1)得得左乘左乘A)(2xAxA x2 ,2AA 又又xAx2 xx2 , 0)1( x ,Ox 又又, 0)1( . 1, 0 或或,1(2)得得次左乘次左乘Ak xxAkk ,OAk ,Oxk ,Ox 又又. 0 . 0 , 0, . 5 則則若若的的特特征征值值為為方方陣陣設設AAexProof. xAx 法法1. , 0 反反設設)( 1xAx 則則, 0)

22、(1 xA . 0 矛盾矛盾與與 x . 0 法法2. , 0 反反設設, 0 xAx 則則, 0 x又又,00 解解有有非非則則 Ax, 0 A故故. 0 矛矛盾盾與與 A . 0 法法3. , 0 反反設設, 0)1(0 AAAEn故故. 0 矛矛盾盾與與 A . 0 法法4. , 021 nA . 0 i ex6. 設設A是是 階方陣，其特征多項式為階方陣，其特征多項式為n 0111aaaAEfnnnA .的特征多項式的特征多項式求求ATSolution. AEfTAT 0111aaannn TAE AE .1, 1, . 7的的特特征征值值是是證證明明已已知知AAEAAex Proof

23、. AEAEn )1(0 ? AAAAE 而而AEA)( AEA)( AEA)( AAE AE 0 AE0 AE.1的的特特征征值值是是即即A ., 0,2 , 03 :4的的一一個個特特征征值值求求滿滿足足條條件件階階方方陣陣設設 AAEAAAEAT思索題思索題., 0可逆可逆故故AA ,3的的一一個個特特征征值值是是A ,162 2 EAAEAATT得得又又由由,162 A即即.34有有一一個個特特征征值值為為故故A Solution.知知由由AEAE 303 , 4 A于于是是, 4 , 0 AA因此因此但但The end 教學要求：教學要求：了解類似矩陣的概念、性質及類似對角化的了解類

24、似矩陣的概念、性質及類似對角化的 充要條件充要條件. .相似矩陣的定義與性質相似矩陣的定義與性質一一 .矩陣的對角化矩陣的對角化二二 .相似矩陣的定義與性質相似矩陣的定義與性質一一1. 定義定義 ., ,1相相似似與與或或說說矩矩陣陣的的相相似似矩矩陣陣是是則則稱稱使使若若有有可可逆逆矩矩陣陣階階方方陣陣都都是是設設BAABBAPPPnBA . BA記記為為. ,1的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱為把稱為把可逆矩陣可逆矩陣進行相似變換進行相似變換稱為對稱為對進行運算進行運算對對BAPAAPPA 2. 性質性質; )1(AA.)(1AAEE ;, )2(ABBA則則若若,(1BAPP ,1

25、APBP .)(111ABPP 即即;, )3(CACBBA則則若若,(1BAPP ,1CBQQ ,11CAPQPQ .)()( 1CPQAPQ 即即 );)()4(2111211PAPPAPPAAP ;)5(21211122111PAPkPAPkPAkAkP .,21是是任任意意常常數數其其中中kk;, )6(BABA 則則若若,(1BAPP .)11APAPAPPB ;, )7(mmBABA則則若若,(1BAPP APPAPPAPPBm111 .)1PAPm ;, )8(11 BABA則則若若,(1BAPP .)111PAPB ;),()(, )9(為為多多項項式式函函數數其其中中則則若若

26、fBfAfBA ;, )10(的的特特征征值值相相同同與與則則若若BABA,(1BAPP APPEBE1 11APPEPP )(1PAEP .)AE 反之不一定成立反之不一定成立!.10111001 與與如如 ;, ),( )11(2121個特征值個特征值的的是是則則若若nAdiagAnn nAE 1( )()(1n .),01的的特特征征值值是是得得令令AAEn ., . 1相似相似與與證明證明可逆可逆如果如果BAABAexProof. ,)(1BAAABA .相相似似與與BAAB .矩陣的對角化矩陣的對角化二二 .,可可對對角角化化則則稱稱即即相相似似與與對對角角陣陣若若AAA ., 1對

27、對角角化化這這就就稱稱為為把把方方陣陣為為對對角角陣陣使使若若可可找找到到可可逆逆矩矩陣陣階階方方陣陣對對AAPPPAn 定理定理1.)(個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量有有能能對對角角化化即即與與對對角角陣陣相相似似階階方方陣陣nAAAnProof. ,),(21相相似似與與設設ndiagA .,1 APPP 使使則存在可逆陣則存在可逆陣 . PAP則則 .,21npppPP 用其列向量表示為用其列向量表示為把把 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 nnppp ,2211 ., 2 , 1 nipApiii 于于是是有

28、有.,的的特特征征向向量量的的對對應應于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見見iiiApPA ,可逆可逆又又P. 0 P.,21線線性性無無關關nppp.立立反反推推回回去去即即得得充充分分性性成成. ; .,1的特征值的特征值的對角線上的元素是的對角線上的元素是對角矩陣對角矩陣作為列構成作為列構成個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量的的由由陣陣的最簡單形式為對角矩的最簡單形式為對角矩的的滿足滿足可見可見AnAPBBAPP 留意留意P與與的對應寫法的對應寫法!結論結論1. 假設假設n階矩陣階矩陣A有有n個互不相等的特征值個互不相等的特征值, 那么那么A與對角

29、陣類似與對角陣類似.闡明闡明假設假設 的特征方程有重根，此時不一定有的特征方程有重根，此時不一定有 個線性無關的特征向量，從而矩陣個線性無關的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對角化，但假設能找到對角化，但假設能找到 個線性無關的特征向量，個線性無關的特征向量， 還是能對角化還是能對角化AAnnA結論結論2.重重數數的的幾幾何何重重數數等等于于其其代代數數的的每每個個特特征征值值與與對對角角陣陣相相似似階階矩矩陣陣iAAn 結論結論3. 實對稱矩陣一定可對角化實對稱矩陣一定可對角化. ., , 1, 2 , 1 , 0 . 2BEABnnAnex 求求相相似似與與且且方方陣陣個個特特征征值值

30、有有階階方方陣陣設設Solution.!321nnBE ex3. 判別以下實矩陣能否化為對角陣？判別以下實矩陣能否化為對角陣？ 242422221)1(A 201335212)2(ASolution.AE 由由)1( 722 0 242422221 . 7, 2321 得得 有有代代入入將將, 0221 xAE 442442221)2(AE 000000221 213)2(3 221 AEr的幾何重數為的幾何重數為 =其代數重數其代數重數.因此因此A可對角化可對角化. 有有代代入入將將, 073 xAE 542452228)7(AE 000110452 1)7(3 73 AEr的幾何重數為的幾

31、何重數為 =其代數重數其代數重數.201335212 )2( AE 31 . 1321 的的特特征征值值為為所所以以A 有有代代入入把把, 01 xAE .31)(3 1代代數數重重數數的的幾幾何何重重數數為為 AEr 故故 不能化為對角矩陣不能化為對角矩陣.A 101325213AE 000110101,163053064 . 4 Aex設設 A能否對角化？假設能對能否對角化？假設能對角化角化,那么求出可逆矩陣那么求出可逆矩陣P, .1為為對對角角陣陣使使APP Solution.163053064 AE 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值為為所所以以A 0121得得方方程

32、程組組的的系系數數陣陣為為代代入入將將 xAE 063063063)(AE 000000021 3322212xxxxxx得根底解系得根底解系,0121 .1002 10001232321xxxxx , 023得得方方程程組組的的系系數數陣陣為為代代入入將將 xAE 363033066)2(AE 000110101 333231xxxxxx.1113 .,321線線性性無無關關由由于于 ,110101102,321 P令令 .200010001 1 APP則則有有所以所以 可對角化可對角化.A 1113321xxxx得根底解系得根底解系留意留意 , ,213 P若若令令111 012 100.

33、 1 APP則則有有00 00002 11即矩陣即矩陣 P 的列向量和對角矩陣中特征值的位置的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應要相互對應,1111321 . 5 xxAex設設且知且知A有一特征值為有一特征值為1, 求求x的的值及值及A的其它特征值的其它特征值, 并判別并判別A能否能與對角陣類似？能否能與對角陣類似？ Solution. 0 , 1 AEA有有特特征征值值xxAE 11110320 而而)2)(12( xx.21 2 xx或或,211112321,2 Ax時時當當211112321 AE)4)(1)(1( . 4, 1, 1 321 特特征征值值為為.,2可對角化可對角

34、化時時且當且當Ax ,21111121321,21 Ax時時當當21111121321 AE)52)(1(212 .25, 1, 1 321 特特征征值值為為.,21可可對對角角化化時時且且當當Ax .,340430241 . 6100AAex求求設設 Solution.)5)(5)(1( AE. 5, 5, 1321 的的特特征征值值為為A.)1 , 2, 1( ,)2 , 1 , 2( ,)0 , 0 , 1( 321 ppp可分別求得特征向量可分別求得特征向量,120210121 P存在存在.500050001 1 APP使使得得,5152057510301 1 P而而1100100 P

35、PA,5152057510301500050001120210121100100 .5000501501100100100 The end 教學要求：教學要求：掌握實對稱矩陣的性質掌握實對稱矩陣的性質;2. 掌握用類似變換化實對稱矩陣為對角矩陣的掌握用類似變換化實對稱矩陣為對角矩陣的 方法方法. .特特征征向向量量的的性性質質實實對對稱稱矩矩陣陣的的特特征征值值與與一一 .實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化二二 .特特征征向向量量的的性性質質實實對對稱稱矩矩陣陣的的特特征征值值與與一一1.1.實對稱矩陣的特征值為實數實對稱矩陣的特征值為實數. .Proof. ,的特征值的特征值為為設設A .

36、 0, xxAx 則則, 的的表表示示用用 共共軛軛復復數數xAxA 則則 Ax ,1的的共共軛軛向向量量表表示示xxxxn .1為對應的特征向量為對應的特征向量 nxxx)( xxxx )(Axx xxA )( . xx xAx xxxx )(0)( xx 即即 nnxxxxxx11 而而011 nnxxxx . ., 0,0)( , 以取實向量以取實向量從而對應的特征向量可從而對應的特征向量可系系知必有實的基礎解知必有實的基礎解由由是實系數方程組是實系數方程組線性方程組線性方程組所以齊次所以齊次為實數為實數的特征值的特征值由于對稱矩陣由于對稱矩陣 AExAEAiii 2.2.實對稱矩陣的特

37、征向量為實向量實對稱矩陣的特征向量為實向量. .3.3.實對稱矩陣實對稱矩陣A A對應于不同特征值的特征對應于不同特征值的特征 向量是正交的向量是正交的. .Proof. ,21222111 且且pAppAp, ,AAA 對對稱稱于是于是212pp . 02121 pp ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 pp21App 21)(pAp 4.4.實對稱矩陣的每個特征值的代數重數實對稱矩陣的每個特征值的代數重數 與幾何重數相等與幾何重數相等. .221pp 21pAp 211)(pp .211pp .實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化二二., ),( ,111的的特特征征值值是是其其

38、中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階實實對對稱稱矩矩陣陣為為設設AdiagAPPPnAnn 定理定理.利用正交矩陣將實對稱矩陣對角化利用正交矩陣將實對稱矩陣對角化, ,其詳細步驟為：其詳細步驟為： ;, 0 )2(1niAxAE 的的特特征征向向量量求求出出由由 ; )1(iA 的的特特征征值值求求;, )3(11nnpp 單位化得單位化得正交化正交化將將 ).,( ),( )4(111nndiagAPPppP 則則令令利用可逆矩陣將實對稱矩陣對角化利用可逆矩陣將實對稱矩陣對角化, ,其詳細步驟為：其詳細步驟為： ;, 0 )2(1niAxAE 的的特特征征向向量量求求出出由由 ; )1(

39、iA 的的特特征征值值求求).,( ),( )3(111nndiagAPPP 則則令令 . 0111101111011110 . 11為對角陣為對角陣使使求一正交矩陣求一正交矩陣已知已知APPPAex Solution.)3()1(3 AE3, 14321 特特征征值值為為有有代代入入將將, 0)(11 xAE 1111111111111111AE 0000000000001111 4433224321xxxxxxxxxx求得根底解系求得根底解系,00111 ,01012 .10013 正交化正交化,)0 , 0 , 1 , 1(1 ,)0 , 1 ,21,21(2 .)1 ,31,31,31

40、(3 單位化單位化,)0 , 0 ,21,21(1 p,)0 ,62,61,61(2 p.)123,121,121,121(3 p有有代代入入將將, 0)(34 xAE 31111311113111133AE 0000110010101001 44434241xxxxxxxx求得根底解系為求得根底解系為)1 , 1, 1, 1(4 單位化單位化,)21,21,21,21(4 p,211230021121620211216121211216121 P令令.3000010000100001 1 APP則則 ., . 22OAOAAex 則則若若為為實實對對稱稱矩矩陣陣設設Proof. ,為實對稱矩

41、陣為實對稱矩陣A故存在正交矩陣故存在正交矩陣Q使使 ),(11ndiagAQQ 11),( QQdiagAn 從而從而(*)12212),( QQdiagAn 12可可逆逆得得與與及及由由 QQOAOQAQdiagn 21221),( , 02 i ), 2 , 1( 0nii . (*)OA 可得可得再由再由 . 1 1 . 3 或或的特征值為的特征值為試證實對稱的正交矩陣試證實對稱的正交矩陣AexProof. ,為實對稱正交矩陣為實對稱正交矩陣AEAAAAA 2 故故又由又由A為實對稱矩陣為實對稱矩陣, 故存在正交矩陣故存在正交矩陣Q使使 ),(11ndiagAQQ 11),( QQdia

42、gAn 從而從而EQQdiagAn 12212),( EQQdiagn 1221),( 故故, 12 i . 1 i . 1 , . 4 EAnAex證證明明其其特特征征值值全全為為非非負負數數階階實實對對稱稱矩矩陣陣為為設設Proof. ,為實對稱矩陣為實對稱矩陣A故存在正交矩陣故存在正交矩陣Q使使 ),(11ndiagAQQ 11),( QQdiagAn 從而從而11)1 , 1( QQdiagQQE11)1, 1( QQdiagEAn 11)1, 1( QQdiagEAn . 1)1()1(1 n . 0 i 不不妨妨設設ex5. 見見P95/例例4.4.2,例例4.4.3 思索題思索題

43、1.,111111111 A.00100100 nB.,是是否否相相似似判判斷斷下下列列兩兩矩矩陣陣BASolution.,)(1 nnAE . 0,21 nnA 的的特特征征值值為為使使得得存存在在可可逆逆矩矩陣陣是是實實對對稱稱矩矩陣陣又又,1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,)(1 nnBE 又又.有相同的特征值有相同的特征值與與即即AB,1, 02特征向量特征向量個線性無關的個線性無關的有有對應特征值對應特征值 nn 使使得得故故存存在在可可逆逆矩矩陣陣,2P, 212 PBP, 212111BPPAPP 從從而而, 121112BPAPPP 即即.相似相似與與故故BA

44、,)()( 1211121BPPAPP 即即The end 思索題思索題2. .2,2的值的值試求行列式試求行列式的秩為的秩為且且滿足滿足階實對稱矩陣階實對稱矩陣設設AErAAAAn Solution. , 0 1 2或或的的特特征征值值為為可可得得由由AAA .,000 1-階單位陣階單位陣是是其中其中rEEAPPrr 1122 PPPPAE E2 rnrEE200det.2rn 使使得得故故存存在在可可逆逆陣陣且且秩秩為為是是實實對對稱稱陣陣又又,PrAThe end 一、內容小結一、內容小結1. 正交矩陣的定義與性質正交矩陣的定義與性質3. 類似矩陣的定義與性質類似矩陣的定義與性質4.

45、矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件2. 特征值特征向量的定義與性質特征值特征向量的定義與性質5. 實對稱矩陣特征值特征向量的性質實對稱矩陣特征值特征向量的性質二、題型與方法二、題型與方法2. 判別矩陣能否可對角化，判別矩陣能否可對角化， 找可逆矩陣使其與對角陣類似找可逆矩陣使其與對角陣類似1. 求特征值特征向量求特征值特征向量3. 實對稱矩陣的對角化可逆變換與正交變換實對稱矩陣的對角化可逆變換與正交變換., ,4000000512422421.yxyxA求求相似相似與與設方陣設方陣一一 Solution.5242424254 xAE由由52424290931 xrr12444200913 x

46、cc)4(9x , 0 . 4 x得得124242421 AE由由12424250531 rr124242101)5( 324442001)5(13 cc8)3)(4)(5( )20)(5(2 )4)(5)(5( , 0 . 4, 5321 得得. 5 y; 321可可得得或或由由 A. 332211321可得可得或由或由aaa ., )2 , 1, 2( , )1 , 2, 2(, )2 , 2 , 1( ; 1, 0, 13.321321ApppA求求方方陣陣特特征征向向量量依依次次為為對對應應的的的的特特征征值值為為階階方方陣陣設設二二 Solution 1.,212122221),(3

47、21 pppP取取,1000000011 APP則有則有11212122221 P又又 636366663271,21212222191 1 PPA 21212222191100000001212122221 21212222120210220191.06663060391 或者或者 ),(),(332211321ppppppA ), 0 ,(31pp A1212122221202102201 A 21212222191202102201.06663060391 .,)1 , 1 , 1( 6, 3 , 3 , 63.1ApA求求矩矩陣陣的的特特征征向向

48、量量為為對對應應與與特特征征值值的的特特征征值值為為階階實實對對稱稱矩矩陣陣設設三三 Solution 1., ),(3321 xxxx對對應應的的特特征征向向量量為為設設特特征征值值, 0321 xxx則則有有 10101121kkx.)1 , 0 , 1(,)0 , 1 , 1( 332 pp的特征向量為的特征向量為故對應特征值故對應特征值,101011111),(321 pppP取取,3000300061 APP則有則有,121211111311 P又又1 PPA,12121111131300030006101011111 .411141114 Solution 2. ),(),(332

49、211321ppppppA .),(1332211 PpppA Solution 3., ),(3321 xxxx對對應應的的特特征征向向量量為為設設特特征征值值, 0321 xxx則則有有 10101121kkx. )1 , 0 , 1(, )0 , 1 , 1( 321 的的特特征征向向量量為為故故對對應應特特征征值值:, 21正交化得正交化得將將 ,)0 , 1 , 1(11 ,)1 ,21,21(),(),(1112122 :, 211單位化得單位化得將將 p,)31,31,31(1 ,)0 ,21,21(2 ,)62,61,61(3 ,62031612131612131),(321

50、P取取,626161021213131311 PP從而從而1 PPA.411141114 .56)(,122221212.8910AAAAA 設設四四Solution.0)1)(1)(5(122221212 AE由由, 1, 1, 5321 得得,)1 , 1 , 1( 511 p的的特特征征向向量量為為對對應應 , )0 , 1 , 1( 122 p的的特特征征向向量量為為對對應應 , )2, 1 , 1( 133 p的的特特征征向向量量為為對對應應 ,),(1321 APPpppP使得使得存在可逆陣存在可逆陣,1 PPA則則,100010005 且且 3161613267613131311

51、P891056)(AAAA 181911056 PPPPPP18910)56( PP1)1(000)1(000)5( PP 3161613267613131311200000000201111113 422000000201111113.844422422 The end 一、內容小結一、內容小結2. 類似矩陣的定義與性質類似矩陣的定義與性質3. 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件1. 特征值特征向量的定義與性質特征值特征向量的定義與性質4. 正交矩陣的定義與性質正交矩陣的定義與性質5. 實對稱矩陣特征值特征向量的性質實對稱矩陣特征值特征向量的性質1. 特征值特征向量的定義與性質特征值特征向

52、量的定義與性質. , , 的特征向量的特征向量的對應于特征值的對應于特征值稱為稱為非零向量非零向量的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數這樣的數那末那末成立成立使關系式使關系式維非零列向量維非零列向量和和如果存在數如果存在數階方陣階方陣是是設設 AxAxAxxnnA 定義定義. (1) 屬于不同特征值的特征向量是線性無關的屬于不同特征值的特征向量是線性無關的(2) 屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量組合仍是屬于這個特征值的特征向量(3) 矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具

53、有的特征向量不獨一；值而言的，一個特征值具有的特征向量不獨一；一個特征向量不能屬于不同的特征值一個特征向量不能屬于不同的特征值; 的的特特征征多多項項式式叫叫做做AAE ; )(的的特特征征矩矩陣陣叫叫做做AAE . 0的的特特征征方方程程叫叫做做AAE ,)1(0的特征值的特征值是是若若A AE0 則則)(0AEr OxAE )(0 , 0, n 有非有非0解解.的的為為則則稱稱重重根根的的為為若若00,0)2( kkAE .代數重數代數重數的的稱其為稱其為的個數為的個數為的基礎解系中所含向量的基礎解系中所含向量得得對應于對應于0000),( )(, AEranknOxAE .幾何重數幾何重

54、數結論結論1. 方陣方陣A的特征值的幾何重數不超越的特征值的幾何重數不超越它的代數重數它的代數重數.結論結論2. 對角陣、上三角陣、下三角陣的特征值對角陣、上三角陣、下三角陣的特征值即為其主對角線上的元素即為其主對角線上的元素.結論結論3. .的特征值相同的特征值相同與與方陣方陣AA 結論結論4. ,)(21則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設設nijaAn ; )1(221121nnnaaa . )2(21An 結論結論5. 假設假設 是矩陣是矩陣 A的特征值的特征值, x是是 A的屬于的屬于 的特征的特征向量向量, 那么那么 .)1(是任意常數是任意常數的特征值的特征值是是kkAk

55、.)2(是是正正整整數數的的特特征征值值是是mAmm .,)3(11的的特特征征值值是是可可逆逆時時當當 AA .,)4(*1的的特特征征值值是是可可逆逆時時當當AAA .)()(,)5(的特征值的特征值是是為多項式函數時為多項式函數時當當Afff 2. 類似矩陣的定義與性質類似矩陣的定義與性質 ., ,1相相似似與與或或說說矩矩陣陣的的相相似似矩矩陣陣是是則則稱稱使使若若有有可可逆逆矩矩陣陣階階方方陣陣都都是是設設BAABBAPPPnBA . BA記記為為; )1(AA;, )2(ABBA則則若若;, )3(CACBBA則則若若 );)()4(2111211PAPPAPPAAP ;)5(21

56、211122111PAPkPAPkPAkAkP .,21是是任任意意常常數數其其中中kk;, )6(BABA 則則若若 ;, )7(mmBABA則則若若 ;, )8(11 BABA則則若若 ;),()(, )9(為為多多項項式式函函數數其其中中則則若若fBfAfBA ;, )10(的的特特征征值值相相同同與與則則若若BABA ;, ),( )11(2121個特征值個特征值的的是是則則若若nAdiagAnn 3. 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件定理定理1.)(個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量有有能能對對角角化化即即與與對對角角陣陣相相似似階階方方陣陣nAAAn結論結論1. 假設假設

57、n階矩陣階矩陣A有有n個互不相等的特征值個互不相等的特征值, 那么那么A與對角陣類似與對角陣類似.結論結論2.重重數數的的幾幾何何重重數數等等于于其其代代數數的的每每個個特特征征值值與與對對角角陣陣相相似似階階矩矩陣陣iAAn 結論結論3. 實對稱矩陣一定可對角化實對稱矩陣一定可對角化. 4. 正交矩陣的定義與性質正交矩陣的定義與性質 . , 正正交交矩矩陣陣為為則則稱稱滿滿足足階階方方陣陣若若AEAAAn ; 1 )1( A ;, )2(也是正交矩陣也是正交矩陣則則為正交矩陣為正交矩陣ABBA ; )3(1AAA 是是正正交交矩矩陣陣 ; )4(也也是是正正交交矩矩陣陣是是正正交交矩矩陣陣A

58、A .)( )5(量組量組向量組是正交的單位向向量組是正交的單位向行行的列的列是正交矩陣是正交矩陣方陣方陣AA假設假設P為正交矩陣為正交矩陣, 那么線性變換那么線性變換y=Px稱為正交變換稱為正交變換. 正交變換不改動向量的長度正交變換不改動向量的長度, 也不改動兩向量間也不改動兩向量間的內積及夾角的內積及夾角.5. 實對稱矩陣特征值特征向量的性質實對稱矩陣特征值特征向量的性質(1) (1) 實對稱矩陣的特征值為實數實對稱矩陣的特征值為實數. .(2) (2) 實對稱矩陣的特征向量為實向量實對稱矩陣的特征向量為實向量. .(3) (3) 實對稱矩陣實對稱矩陣A A對應于不同特征值的特征對應于不

59、同特征值的特征 向量是正交的向量是正交的. .(4) (4) 實對稱矩陣的每個特征值的代數重數實對稱矩陣的每個特征值的代數重數 與幾何重數相等與幾何重數相等. ., ),( ,111的的特特征征值值是是其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階實實對對稱稱矩矩陣陣為為設設AdiagAPPPnAnn 定理定理.二、題型與方法二、題型與方法2. 判別矩陣能否可對角化，判別矩陣能否可對角化， 找可逆矩陣使其與對角陣類似找可逆矩陣使其與對角陣類似1. 求特征值特征向量求特征值特征向量3. 實對稱矩陣的對角化可逆變換與正交變換實對稱矩陣的對角化可逆變換與正交變換利用可逆矩陣將實對稱矩陣對角化利用可逆矩

60、陣將實對稱矩陣對角化, ,其詳細步驟為：其詳細步驟為： ;, 0 )2(1niAxAE 的的特特征征向向量量求求出出由由 ; )1(iA 的的特特征征值值求求).,( ),( )3(111nndiagAPPP 則則令令利用正交矩陣將實對稱矩陣對角化利用正交矩陣將實對稱矩陣對角化, ,其詳細步驟為：其詳細步驟為： ;, 0 )2(1niAxAE 的的特特征征向向量量求求出出由由 ; )1(iA 的的特特征征值值求求;, )3(11nnpp 單位化得單位化得正交化正交化將將 ).,( ),( )4(111nndiagAPPppP 則則令令1. 求特征值特征向量求特征值特征向量.201034011