由一道解析幾何高考題引發(fā)的幾點(diǎn)思考.docx

1、由一道解析幾何高考題引發(fā)的幾點(diǎn)思考謝承缺。徐正2東省珠海市第三中學(xué)S1900D；2J”東省珠海市教研中心51900D）摘要圓錐曲線的定值問題L向是高考的熱門問題，一般以開放型或證明題出現(xiàn)，主要考查學(xué)生圓錐曲線的基本知識(shí)、基本運(yùn)算能力、字母運(yùn)算能力及探充探索能力這類問題往往有一定的難度所以教師在日常教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生思考不只是就題論題還要依題論道就題論法多角度發(fā)散性的思考從而使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升.關(guān)鍵詞杷考核心素養(yǎng)皿）年高考收稿日期aim1-11作者簡(jiǎn)介醐承斌大學(xué)本利，學(xué)士學(xué)位，中學(xué)高級(jí)教師_圓錐曲線的定值問題，-向是高考的熱門問題，如直線過定點(diǎn)、斜率之積之和為定值還有長度、面積一定等等H般

2、以開放型或證明題出現(xiàn),主要考查學(xué)生圓錐曲線的基本知識(shí)、基本運(yùn)算能力、字母運(yùn)算能力及探究探索能力這類問題往往有一定的難度所以教師在口常教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生思考不只是就題論題還要依題論道就題論法，多角度發(fā)散性的思考從而使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升正如新課標(biāo)立）17年版）所強(qiáng)調(diào)的：對(duì)于新的數(shù)學(xué)問題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學(xué)命題.對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題能夠通過構(gòu)建過渡性命題，探索論證的途徑解決問題并會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)論證過程1NBD年高考題呈現(xiàn)題目1年全國I卷文21.題，理多題）已知A，B分別為橢圓E+y=l61）的左、右頂點(diǎn)G為E的上頂點(diǎn)，忌圣=8,P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另

3、一交點(diǎn)為C,FB與E的另一交點(diǎn)為D.（I）求E的方程：II正明：直線CD過定點(diǎn).解析（I注/=1解法略）.解法1（II）設(shè)P&t）,又AG,（）,則直線APy=+3）,由g重V=gR+3）,xo-9得9+&X+3=1整理得fr好-si=o,由韋達(dá)定理得x+xetrAc_.7tr-no，則x=217-27c-+3=，ir-bO將Xc代入直線方程v=E&+3）得所以點(diǎn)C同理可設(shè)直線BPy=-k-3,與橢圓方程客葉=i聯(lián)立可得x+x=3+x_rnnotr+1xD33ar3-黃即DC,工)，所以kco=.，直線V+lt+19-2tCD方程為y+y-tr-4-l0-3717-+-1._a_=XXl12.

4、又C，D兩點(diǎn)均在橢圓E上，所以9X7X；?乂由)式有或=y氣+3一)35.代入式，可得15交+x)IZ即直線8過定點(diǎn)尋0)務(wù)，_茶霍x一坦=電即直線8恒過點(diǎn)夸Q)x=解法2設(shè)Ci，yQ，D、)，由題設(shè)可得綜上所述，直線8恒過定點(diǎn)尊Q).直線AP方程為廣當(dāng)33)，直線BP方程.為：因直線AP與直線BP交于點(diǎn)PMP在直線x=6上，則由方程組尸巖2X=5，可得茅鬲Xo3m線CD垂直于x軸f有=一*此時(shí)直線8過定點(diǎn)蘆Q)_當(dāng)直線燙快直于x軸時(shí)直線CD方程為y-yyQx).Xox(猜想直線8也過點(diǎn)？Q)，下面給出證明.當(dāng)v=()時(shí)，必有x-在直線CD方程中令v-O得yyz、-ViX-X1)-XXi結(jié)合Q

5、)式可得2關(guān)于定點(diǎn)的思考如果改變題設(shè)中的部分條件，定點(diǎn)會(huì)不會(huì)存在？如果存在，定點(diǎn)會(huì)有什么樣的變化？定點(diǎn)與長軸長、短軸長、焦距及定直線有何關(guān)聯(lián)？基于以上幾點(diǎn)，筆者有以下幾點(diǎn)思考與探索.思考1如果改變橢圓長軸長軸長不變)，定點(diǎn)有何變化？橢圓方程為E么1)，a點(diǎn)尸在定直線X=%61)上運(yùn)動(dòng),PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D,直線8是否過定點(diǎn)？參考題目1中解法可得直線PA方程為y=V，a),直線P8方程為y=Za),i2Si聯(lián)立x=雖,可得Xix-a當(dāng)8垂直于x抽時(shí)，直線8過定點(diǎn)昌Q).2當(dāng)直線CD不垂直于X軸時(shí)，可得&X：耳1的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在定直線1）上運(yùn)動(dòng),PA與E的另一交點(diǎn)為

6、C，PB與E的另一交點(diǎn)為D，直線8恒過定點(diǎn)顯Q）_同理，當(dāng)直線:,恒過定點(diǎn)Ix=-Z時(shí)直線CD2思考2如果同時(shí)改變橢圓愴軸與短軸線淀點(diǎn)有何變化？當(dāng)橢圓方程為Escbrdl寸即氏半軸長為a短半軸長不一定是l%b）時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P在直線X=Z上運(yùn)動(dòng)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D，此時(shí)直線CD是否也過定點(diǎn)？首先考慮胃殊情況擋CD垂直于x軸時(shí)，可知且線碼蕊靠直于x軸時(shí)，同樣在直線y（）CD方程vx-xt中令V=O可得以x（）=-X（-5又飛匚*x,-naXoaV1=ty-溪），2g七一a（fy=b1oSL可得,、人、4kx=b.xi+-G）角）G）巨Q）聯(lián)立可得xc卸直線CD過定c-結(jié)論2

7、己知AQ分別為桶圓$+、廠=1scbr幺to）的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)喜P在定直線x=z上運(yùn)動(dòng)直線CD恒過定點(diǎn)2O_同理，當(dāng)直線X=蟲時(shí)，直線CD恒過定點(diǎn)（rQ）_不難發(fā)現(xiàn),橢圓的短軸長與直線I過定點(diǎn)無關(guān).思考3如果橢圓方程仍然為一般方程，而直線方程變化，直線CD是曾氣舟？（己知AB分別為橢圓ETabatO）的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在直線x=maO）Gi為常數(shù)）上運(yùn)動(dòng),FA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D那么直線CD是否也過某個(gè)定點(diǎn)？設(shè)C父y）,D父y），由題設(shè)可得直線AP1122方程為v=x、e&+a）,直線BP方程為v=以一-a）,因直線AP與直線BP交于點(diǎn)P,且XCO上則由方程組y=xax=

8、ma，可得IT=布一眼0）當(dāng)直線段垂而有Xl=x2y.:一y，由0）解得X=X=全，此時(shí)宜線8過定點(diǎn)212m當(dāng)直線CD不垂直于*軸時(shí)，直線CD方程為y_yyy=x-X!Xi此時(shí)可令y=O,考查x=是否恒成立.m令v=o,得聯(lián)立（7）式可得2_,寮2W將變形為6n-ly7_6ily過某個(gè)定點(diǎn).聯(lián)立上式化筒可得Nnxx=a6i”十1)i+x)Mm-&)聯(lián)立&如可a*夫ix)攻a&珠a&正苗十成2而1X驀XSim可知，直線CD恒過定點(diǎn)目Q）_m結(jié)論3已知A，B分別為橢圓巳+、廠=1ertr6bO）的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在直線x=ma&iO）上運(yùn)動(dòng),PA與E的另一交點(diǎn)為C，F(xiàn)B與E的另一交點(diǎn)為D，那么直線

9、8恒過定點(diǎn)昌Q）Gi為m常數(shù)）同理，當(dāng)直線x=-ra時(shí)，直線8恒過定點(diǎn)Q）.m特別地，當(dāng)m=l時(shí)，直線的方程為x=a,這時(shí)直線I與橢圓E相切,有一個(gè)公共點(diǎn)，直線CD過定點(diǎn)幺Q）_思考4在結(jié)論3中，當(dāng)橢圓變成圓時(shí)，即a=b時(shí)，定點(diǎn)有何變化？經(jīng)過論證，有結(jié)論4.結(jié)論4已知A舊分別為圓與x軸的左、右交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F*在定直線x=ma&iO上運(yùn)動(dòng),PA與E的另一交點(diǎn)為C，F(xiàn)B與E的另一交點(diǎn)為D，宜線8過定點(diǎn)目Q）Gi為常數(shù)）.m思考5在結(jié)論3中將橢圓左、右頂點(diǎn)改為上、下頂點(diǎn)其它條件不變直線8是否還過某個(gè)定點(diǎn)呢？這里可利用幾何畫板容易得知直線CD并不過某個(gè)定點(diǎn)L般情況也容易證明讀者不妨一試.思考6在結(jié)論3中

10、，將橢圓左、右頂點(diǎn)改為左、右焦點(diǎn)，其他條件不變段橢圓E每心STkxO）的左、右焦點(diǎn)分別是F!，F(xiàn)2，P為直線XOn為常數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn),PF|與E的另一交點(diǎn)為C,PF.與E的另一交點(diǎn)為D么直線8是否也過某個(gè)定點(diǎn)？利用幾何畫板，作動(dòng)態(tài)圖何以跟蹤軌跡），如圖2、圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在I上運(yùn)動(dòng)時(shí)，易知直線CD不思考7如果將橢圓改變?yōu)殡p曲線，即雙曲線ek_y=io）,bo）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P為直線x=maO）上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，F(xiàn)B與E的另一交點(diǎn)為DJJK么直線CD是否也過一個(gè)定點(diǎn)？重復(fù)思考3的解析過程可以得出直線CD過定點(diǎn)目Q）.特殊情況是當(dāng)PA或田與其中一條m漸近線平行時(shí)直線CD不

11、存在也就無所謂定點(diǎn)如圖4、圖5所示，當(dāng)P點(diǎn)在直線X=5上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線8與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)Xr=O7B始終不變.圖4圖5結(jié)論5己知A舊分別為雙曲線E?-2=af1（）bO）的左、右頂點(diǎn)點(diǎn)P在直線x=ma61O）上運(yùn)動(dòng),PA與E的另一交點(diǎn)為C，F(xiàn)B與E的另一交點(diǎn)為D,那么直線8恒過定點(diǎn)目Q）Gim為常數(shù)）.同理，當(dāng)直線x=g時(shí)，直線8恒過定思考8在結(jié)論3中，只改變直線I的方程，其他條件不變，足否有類似的結(jié)論？已知A舊分別為橢圓E-=1bo）的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在aj7b7直線y=ma61O）上運(yùn)動(dòng),PA與E的另一交點(diǎn)為CFB與E的另一交點(diǎn)為D，那么直線8是否恒過定點(diǎn)呢？這里可由幾何畫板作動(dòng)態(tài)分析，如圖

12、6、圖7所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線y=5上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線CD與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都不是定值直線CD方程處于變化中，即不過定點(diǎn)_圖7思考9前面8點(diǎn)思考變換中，點(diǎn)P都是在某一條定直線上運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P不是在定直線上運(yùn)動(dòng)，而是平面直角坐標(biāo)系中除原點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，情形又如何呢？醴*考成瞑B魏騷備麋竺：=lOtoO）的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PA與E的另一交點(diǎn)為C，直線PB與E的另一交點(diǎn)為D，那么直線8恒過點(diǎn)目，O），當(dāng)m為非零m常數(shù)時(shí)，&Q）為定點(diǎn).m結(jié)論7己知A，B分別為橢圓Esctr*（）的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)P如;t）的直線PA與E的另一交點(diǎn)為C，直線R與E的另一交點(diǎn)為D，那么直線8恒過點(diǎn)目,O）,當(dāng)m為非零常數(shù)m時(shí)

13、，目Q）為定點(diǎn).m結(jié)論8在平面直角坐標(biāo)系中己知拋物線E：y自0）的頂點(diǎn)為。，過。任意作一直線交E于點(diǎn)Cy,另外一點(diǎn)D&工，”）在6上，過D作一條平行于x軸的直線交直線OC于P點(diǎn),設(shè)則直線8過點(diǎn)GsQ）_下面給出結(jié)論3的證明:解析由題意可得xTs,yT，直線CD方程為St/、y-=t=xx）_XiXz當(dāng)8垂直于X軸，即時(shí),y】=t，有SXi即直線8過點(diǎn)（SQ）當(dāng)CD不垂直于x軸時(shí),在直線CD方程中令y=O,則X,X）芝x=十Xn=+XnSX|七*A寸一yXjS*即直線8過點(diǎn)當(dāng)s為定值時(shí)，直線8過定點(diǎn)GsQ）_題目2正是這結(jié)論的體現(xiàn).題目2S年全國高考舊課程卷19題）設(shè)拋物線5=中0）的焦點(diǎn)為F,

14、經(jīng)過F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，且BC介軸，證明直線AD必過原點(diǎn)。_以上9點(diǎn)思考，從不同角度來理解猝D年這道關(guān)于圓錐曲線中的定值問題試圖變換定點(diǎn)、變換定直線,變換曲線類型從這些變換中找到一般性的結(jié)論,有的成功了有的不成功，但.我們從中更加深刻理解解析幾何的本質(zhì),更加深刻休會(huì)到在尋找中的樂趣,從高考題看本質(zhì)為今后的學(xué)習(xí)提供了很好的參考.3關(guān)于解題方法的思考解題方法的多樣性是拓展思維的一個(gè)很好的途徑對(duì)于高考解析幾何試題而言其解法一定是多樣的但講究通性通法是最根本的，當(dāng)然也要注重多入口、多思路這樣既能考查基礎(chǔ)知識(shí)，也能考查基榔僦幽g曲啪排霸醐虹因?yàn)榫陀?jì)算的通性通法而言，數(shù)學(xué)計(jì)算的規(guī)

15、律是相當(dāng)明顯的，特別是可以供計(jì)算機(jī)使用的那些方法”七注意到題目1解法1思路簡(jiǎn)單用直線方程與曲線方程聯(lián)立，分別求出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)僉參數(shù)燃后由兩點(diǎn)式求出直線CD方程，變形后得到直線過定點(diǎn)字母運(yùn)算較多運(yùn)算能力差或者頭腦不清晰的學(xué)生,難以掌控解法2則利用兩條動(dòng)直線PA與PB交于定直線，而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)一定，找到C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系式，首先考慮特殊情況，找到定點(diǎn)然后猜想出一般情況再給出證明，其中充分運(yùn)用設(shè)而不求、密體代換的思想,使得運(yùn)算變得簡(jiǎn)便易行，不易出錯(cuò).無獨(dú)有偶，題目1與NDQ年江蘇高考第13題，都是考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，并旦考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力特別第

16、3問的問題與解法與題目1第2問的問題與解法十分類似.題目3）1（）年高考江蘇卷第題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖3已知順網(wǎng)3,NL*），其中mOy.O,火=求點(diǎn)P的軌跡；。=2,=,；設(shè)KX，3求點(diǎn)丁的坐標(biāo)3設(shè)求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)英坐標(biāo)與m無關(guān)）_解析點(diǎn)P的軌跡為直線x=_2點(diǎn)丁的坐標(biāo)為0,里）.點(diǎn)丁的坐標(biāo)為Gm）_直線MTA方程為VOx+39mO9+3即V=R+3）直線NTB方程為yQx3m-O9-3即=也么一3）_6xV分別與橢乳+匚=1聯(lián)立方程組，I司時(shí)考慮954m、到x=-3x3解得M布i&r帚，衫e”一N）am）方法1當(dāng)XiHXz時(shí)，直線MN方程為點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)_

17、一-m令y=O,解得x=l,此時(shí)必過點(diǎn)D).當(dāng)Xi=Xo時(shí)，直線MN方程為X=1，與X軸交點(diǎn)為DQQ)_所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)DQ).方法2若XiD則由20-311_破一OD如E%撾*修用方#Q，此時(shí)直線MN的方程為若X炎-3n，_D-m，直線ND的斜率23imN_IQn:孫一OO-m-1得Xmd=Rnd，所以直線MN過D點(diǎn).因此，直線MN必過x軸上的點(diǎn)DQ).此題正好也驗(yàn)證了結(jié)論3或結(jié)論7.題目4設(shè)A，B分別是直線y=rx和、=2孕fLx上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且|AB|=G,動(dòng)點(diǎn)P滿足fX=51CP=CACB_。求動(dòng)點(diǎn)F的軌跡方程；S記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E，己知點(diǎn)Q是直線X=4上異于點(diǎn)40的任

18、意一點(diǎn)點(diǎn)A,A2是曲線E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為RS衣證：直線FS與x軸交于定引起學(xué)生的注意如果大家在教學(xué)中注意到這個(gè)問題或者說對(duì)題目3有所反思，那么題目1就會(huì)容易解答，二者兒乎是同一道題.只有在教學(xué)中不斷反思才能做到舉一反三才能使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提高.4對(duì)于教學(xué)的思考數(shù)學(xué)是思維的藝術(shù)，突出理性思維在新的課程標(biāo)準(zhǔn)白317年版)中，強(qiáng)調(diào)六核心”和四基”四能”，其中邏輯推理是核繁瑣心素奔之一，包括兩類:-是從特殊到-般的推理，主要是歸納、類比；一是從一般到特殊的推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生去思考從小處著眼，無論例題還是習(xí)題筆者在講解高中數(shù)學(xué)疑修5G教A版)第31頁糧坐標(biāo)與參數(shù)方程”習(xí)題2時(shí)，曾引導(dǎo)學(xué)生多方面思考，并提煉成文，起到很好的教學(xué)效果山，所以不要怕怨多了”，對(duì)于數(shù)學(xué)問題，如果真想多了”，