數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)4-5)

1、2022-5-131第四節(jié) 隱函數(shù)、參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對數(shù)求導(dǎo)法二、對數(shù)求導(dǎo)法三、參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題 2022-5-132一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :.)(0),(稱為隱函數(shù)所確定的函數(shù)由方程xyyyxF.稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù) 122 yx隱函數(shù)的顯式化隱函數(shù)的顯式化1例例，21xy .12xy 或或2022-5-1331例例2222111xyxyyx ，022 yyx,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對xyxy 122 yxyxy 21xy 2122xxy

2、 問題問題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?2022-5-134.,020 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)所確定的所確定的求由方程求由方程例例解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 x解得解得,yxexyedxdy ,0時時由由原原方方程程知知 x0 xdxdy. 1 00 yxyxexye, 0 y隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo).yxy xe 0 yye 2022-5-135.,)23,23(,3333線線通通過過原原點點在在該該點點的的法法并并證證明明曲曲線

3、線的的切切線線方方程程點點上上求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線例例CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對x)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點. 23xyy 23 y3yx 32022-5-136上例中上例中.333的圖像的曲線方程為Cxyyx. 03 yx2022-5-137例例4 4., 144yyxyx 求求設(shè)設(shè)解解:求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對方程兩邊對x 34x3344yxyxy 233333)4()4()4()4()4(yx

4、yxdxdyxyxyxdxdy )(yxy yy 340 232332)4()121()4()4()12(yxyyyxyxyx 2022-5-138例例4 4., 144yyxyx 求求設(shè)設(shè)解解2求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對方程兩邊對x04433 yyyxyx求導(dǎo)得求導(dǎo)得將方程兩邊再對將方程兩邊再對 x 04)(122123222 yyyyyxyx3344yxyxy 32224)(12212yxyyyxy 333442333624212844864192yxxyyyxyxyxyxy 2022-5-139二、對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù)xexxxy23)4(1)1( .y 求求解解142)1(3111)

5、4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyyy2022-5-1310二、對數(shù)求導(dǎo)法方法方法: : 先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍: :函函數(shù)數(shù)的的冪冪，）多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘或或商商或或（12022-5-1311yxyx 求求例例, 5sin)(xfa )(xf指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)冪指函數(shù)冪指函數(shù)xxylns

6、inln 解：解：.y6 求求，已已知知：例例xyyxxxxx1sinlncosyy )sinln(cosy sinxxxxxx .)()(的情形的情形冪指函數(shù)冪指函數(shù)xvxu對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍(2):(2):2022-5-1312三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t借助第三變量描寫函數(shù)借助

7、第三變量描寫函數(shù)y(x)2022-5-1313),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx2022-5-1314例例7 7解解 dtdxdtdydxdy.2)cos1()sin(處處的的切切線線方方程程在在求求擺擺線線 ttayttaxttcos1sin tasin2 tdxdy. 1 taacos 2

8、cos12sin 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即,2時時當(dāng)當(dāng) t ayax)12( 2022-5-13152a2 a0yx ax = a (t sint)y = a (1 cost)aa圓上任一點所畫出的曲線。圓上任一點所畫出的曲線。旋輪線或擺線旋輪線或擺線.一圓沿直線無滑動地滾動，一圓沿直線無滑動地滾動，dtdxdtdydxdy )cos1(sintata 2022-5-1316xyo323232ayx 33sincosayaxa a0 2 或或.P .一圓沿另一圓一圓沿另一圓內(nèi)緣內(nèi)緣無滑動地?zé)o滑動地滾動，動圓圓周上任一點滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線

9、。所畫出的曲線。.星形線星形線(圓內(nèi)旋輪線圓內(nèi)旋輪線)2022-5-1317例例8 8解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdxdyta2sin3ttan tdxyd222sec dtdxdtdytcos ta2cos3)sin(t (22dxddxyd dxdy)! ! !的函數(shù)的函數(shù)ttdxdtyd22sec 2022-5-1318例例8 8解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )cos()tan(

10、3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 22dxyddtdxtdtd)tan( 2022-5-1319ytytxtt 求求二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù))()(,)(),( )(22dxdydxddxyd )()(ttdxd )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即)()(ttdxdy dxdtttdtd)()( dtdxttdtd1)()( )(tx 22dxyd )()( ttdtd dtdx)()()()()()()(2ttttttty ?2022-5-1320例例 9 9解解.)2(;)1(,21sin,c

11、os,002000的速度大小的速度大小炮彈在時刻炮彈在時刻的運動方向的運動方向炮彈在時刻炮彈在時刻求求其運動方程為其運動方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計空氣的阻力不計空氣的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(0可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt gtvvdtdydtdxv sin,cos,00 cossintan00vgtv2020)cos()sin( vgtvv2022-5-1321.,01sin231002 tydxdyytetx求求例例t t, 20 tdtd

12、x26 tdtdx0cossin dtdytetdtdyeyy得得代入代入又又)2(, 0 t1 y)2()1(由由(1)得得等式等式(2)兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得求導(dǎo)得00 tdtdye.20edxdyt 2022-5-1322四、變化率與相關(guān)變化率),(tvdtdS 的變化率的變化率關(guān)于關(guān)于運動方程運動方程ttSS),( 稱為相關(guān)變化率問題稱為相關(guān)變化率問題 實際問題中，經(jīng)常遇到幾個變量之間有相互聯(lián)系，實際問題中，經(jīng)常遇到幾個變量之間有相互聯(lián)系，能不能從已知變化率求出未知變化率能不能從已知變化率求出未知變化率? 一個變量相對于另一個變量的變化快慢稱為變化一個變量相對于另一個變量的變化快慢稱

13、為變化率，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如：率，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如：. )(22tadtSddtdv 2022-5-1323人與船的距離人與船的距離秒米/2米20秒米/3人與船分離速度人與船分離速度,)3()2(20222ttS ,134002tdtddtdS s?/320/210是是多多少少秒秒末末人人與與船船的的分分離離速速度度垂垂直直方方向向前前進(jìn)進(jìn)，求求第第五五秒秒的的速速度度沿沿與與橋橋米米以以在在此此人人正正下下方方有有一一小小船船米米的的橋橋，秒秒的的速速度度通通過過一一高高為為米米一一人人以以例例解解t 時刻時刻,2tX 人走的距離人走的距離,3tY 船走的距離船走的距離2022-5-1324五

14、、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo);對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則;.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy dxdtdtdydxdy )()(tt ,)()(中中在方程在方程 tytx尤其要注意參數(shù)方程的高階導(dǎo)尤其要注意參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)數(shù)2022-5-1325思考題思考題設(shè)設(shè) )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對對嗎

15、嗎？2022-5-1326思考題解答思考題解答不對不對 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即2022-5-1327練練 習(xí)習(xí) 題題2022-5-1328二二 、 求求下下列列方方程程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù) y y 的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三三 、 用用對對數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .20

16、22-5-13292022-5-13302022-5-1331一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yxcyx ； 3 3、322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案2022-5-1332三、三、1 1、)1ln2(12 xxx； 2 2、1534)2(21)1()3(254 xxxxxx； 3

17、 3、)1(2cot11sin21xxxeexxexx . .四、四、1 1、tab32sin； 2 2、)(1tf . .五、五、3481tt . . 六、六、212x . .七、七、-2.8(-2.8(公里公里/ /小時小時).).八、八、204. 02516 ( (米米/ /分分).).2022-5-1333第五節(jié) 函數(shù)的微分一、微分的定義一、微分的定義二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義三、基本初等函數(shù)的微分公式三、基本初等函數(shù)的微分公式 與微分運算法則與微分運算法則四、微分在近似計算中的應(yīng)用四、微分在近似計算中的應(yīng)用五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題 2022-5-1334一、微分的定義

18、實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變變到到設(shè)設(shè)邊邊長長由由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax .,很很小小時時可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0)( xo 2022-5-1335再例如再例如,.,03yxxxy 求求函函數(shù)數(shù)的的改改變變量量時時為為處處的的改改變變量量在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 30)(xxy.)()(3332020 xxx

19、xx )1()2(.320 xxy 既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: :這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?30 x;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)yx .,很很小小時時可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx :)1(:)2(2022-5-1336定義定義內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，在某在某設(shè)設(shè))( )( 0 xUxfy , A常數(shù)常數(shù)若若 成立，成立，使得使得)( xoxAy 則稱則稱. )(0可可微微在在 xxfdyxA 并記并記. )(

20、 0的微分的微分在在為為xxf注意：注意：可微的定義可微的定義)( xoxAy ?)( xoxAy ?xAy 0 xxAy2022-5-1337:)(0可可微微的的充充要要條條件件是是在在點點函函數(shù)數(shù)xxf定理定理證證可可微微在在點點0)(xxf)( xoxAy xxoAxy )(Axyx 0lim).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點即函數(shù)即函數(shù),)(0處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點 xxf).(0 xfA 且且0 x )( xo xAdyxoxAy ，則，則若若)( 2022-5-1338可導(dǎo)可導(dǎo)可微可微dxxfdy)( :)(0可微的充要條件是可微的充要條件是在點在點函數(shù)函數(shù)xxf,

21、)(0處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點 xxf).(0 xfA 且且定理定理.,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量).(xfdxdy .微微商商導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也叫叫xAdy 代入上式代入上式取取xy dxxfdy)(0 且且2022-5-1339例例1 1解解.02. 0, 23時的微分時的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 2022-5-1340 xyoMN.y = f (x)dy ?)(0 xf)(dxoyy 很很小小時時當(dāng)當(dāng) x xxf )(00 xxx 0)(

22、0 xf.用用切線切線增量增量近似近似曲線曲線增量增量dy函數(shù)在函數(shù)在x0點的微分點的微分dy=tan x二、微分的幾何意義 y. x tan y？)( xo x2022-5-1341xyoMN.y = f (x)很很小小時時當(dāng)當(dāng) x 0 x.用用直線直線(切線切線)近似近似曲線曲線dy二、微分的幾何意義 y.xxfxfxf )()()(00 xxxfxf )()(002022-5-1342三、微分的計算法三、微分的計算法dxxfdy)( 2022-5-13431.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式 )(sec)(tan)(sin)(xdxdxdCd )(xad )(arcsinxd

23、 )(arctanxd )(log xda )(arccosxd )(ln xd )(xed )( xd )(cos xd )(cot xd )(csc xd )cot(xarcd21xdx 21xdx 0 xdxcosdxx1 xdxsin xdx2secxdx2csc xdxxtansecadxaxlnxdxxcotcsc dxexdxaxln1xdx21xdx 21xdx 2022-5-13442. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則 )(vud )(Cud )(uvd vuddvdu Cduudvvdu 2vudvvdu dxvu)( dxvu)( 2022-5-

24、13452022-5-1346.ln12dyxxy求微分求微分，若若例例 dxxxdy)ln(2 dxxxx)ln2( 22lnlnxdxxdxdy xdxxdxxx2ln12 解法解法1（求導(dǎo)法）（求導(dǎo)法）解法解法2（微分法）（微分法）dxxxx)ln2( udvvduuvd )(2022-5-1347例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) 221xxe .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx ,3)(3131xxee dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos

25、3(31dxxxex ,2xexy .sin)(cosxx 2022-5-1348dyeyx，求，求設(shè)設(shè)1sin2 dyx1sin2 x1cos dxx)21(23 例例4 4)(,)(,)(,)(xwwvvuufy 設(shè)設(shè)的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(xfy dxdwdwdvdvdududydxdy .)(dxdxdwdwdvdvdududydy xe1sin2ue 2v wsin x1 解解2022-5-13493. 復(fù)合函數(shù)的微分法與微分形式不變性;)(,)1(dxxfdyx 是自變量時是自變量時若若)(),(,)2(tfytxtx 則則的可微函數(shù)的可微函數(shù)即是另一變量即是另一變

26、量是中間變量是中間變量若若),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)dtydy ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( dttxf)()( 2022-5-13503. 復(fù)合函數(shù)的微分法則與微分形式的不變性2022-5-1351例例3 3解解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) )12cos( xdydxxdxx)12cos(22)12cos( 例例4 4新的解法：新的解法：.,yxyey 求求設(shè)設(shè)對方程兩邊求微分對方程兩邊求微分xdyy

27、dxdyey xeydxdyy xeyyy 故故)12( xd2022-5-1352例例5 5解解在等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式使等式成立成立.cos)(tdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt );sin1(td +C).cos)sin1(tdtCtd 即即Cttdt sin1cos2022-5-1353用微分不變性，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：用微分不變性，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：.,12sinyeyx 求求dxdytbytax，求求 cossin22sinsin2xdedyx xdxxex2cos2sin2 dxdy.cos22

28、2sinxxedxdyx dttbsin dttacostabtan 22sincos2dxxex 2022-5-1354用微分不變性，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：用微分不變性，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：.),(34242dxdydxdydxdyxiny、求求設(shè)設(shè)s s ).2(44)cos()(243344xinxxxxindxdys ss s 2dxdy).2(s4434xindxxdydxdy ).2(242xinx s 2dxxdxdy2xdx22022-5-1355導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 10000它它是是無無窮窮小小實實際際上上定定義義域域是是它它的的的的線線性性函函

29、數(shù)數(shù)是是而而微微分分處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是一一個個定定數(shù)數(shù)在在點點函函數(shù)數(shù)Rxxxxfdyxfxxf 0)(0 xxfdy .),()()(,),()()(,. 200000000處的縱坐標(biāo)增量處的切線在點在點是曲線微分處切線的斜率在點是曲線從幾何意義上來看xyxxfyxxxfdyyxxfyxf 2022-5-1356四、微分在近似計算中的應(yīng)用（一）計算函數(shù)增量的近似值（一）計算函數(shù)增量的近似值（二）計算函數(shù)的近似值（二）計算函數(shù)的近似值（三）誤差估計（三）誤差估計2022-5-1357（一）計算函數(shù)增量的近似值)( xodyy ),(,)(00 xfxxfy 導(dǎo)數(shù)為處的可導(dǎo)在點若.)(00 x

30、xfdyxx 0 xxy )1( ,xx 很小時當(dāng)2022-5-1358（一）計算函數(shù)增量的近似值?,01. 0,501問面積增大了多少厘米半徑伸長了厘米的金屬圓片加熱后半徑例解解,2rA 設(shè)設(shè).01. 0,50厘厘米米厘厘米米 rrdrrdAA 2 01. 0502 ).(2厘米厘米 2022-5-1359;)(.0附近的近似值在點用微分可求二xxfxffxf )0()0()(., 00 xxx 當(dāng)當(dāng).)()()(000 xxfxfxxf 時，時，當(dāng)當(dāng)1x ).()0()0()(xoxffxf 或或dyy .)()()(000 xxfxfxxf 2022-5-1360常用近似公式常用近似公式

31、)1(時時當(dāng)當(dāng)x.111)3(;1)2(;)1ln(tansin)1(xnxxexxxxnx 證明證明(3):,1)(nxxf 設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx xffxf )0()0()(等價無窮小.111xnxn 2022-5-1361xex 1xffxf )0()0()(xexf )( 設(shè)設(shè)xexf )(1)0( f1)0( fxy0 xey 1 xy時，時，當(dāng)當(dāng)0 x證明證明 xex 1xex1 )(1xoxex 2022-5-1362xffxf )0()0()()1ln()(xxf xy0)1ln()( xxf 設(shè)設(shè)很

32、小時，很小時，當(dāng)當(dāng) x )0(f)01ln( 0 )(xfx 111)0( f.)1ln(xx xy 證明證明.)1ln(xx 2022-5-1363例例2 2.計計算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e.235 . 1,1000)1(0 xx,)( 31xxf 設(shè)設(shè),101000)(310 xf,31)(32 xxf320100031)( xf100131 305 .998)( xxf)23(10013110 995. 9 .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x x 太大太大2022-5-1364例例2 2.計計算算下下列列各

33、各數(shù)數(shù)的的近近似似值值另解另解.)2(;5 .998)1(03. 03 e.0015. 0, 10 xx,)( 31xxf 設(shè)設(shè), 1)(0 xf,31)(32 xxf31)(0 xf300015. 01)( xxf)0015. 0(311 9995. 0 .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x 335 . 110005 .998)1( 30015. 0110 9995. 95 .9983 故故2022-5-136503. 0)2( e03. 0, 00 xx,)( xexf 設(shè)設(shè), 1)(00 exf,)(xexf 1)(00 exf03. 00)( exxf 1)03.

34、 0(1 .97. 0 xex 12022-5-1366 函數(shù)的局部線性化函數(shù)的局部線性化 圖形顯示：在局部范圍，可微曲線圖形顯示：在局部范圍，可微曲線 y=x2 的性態(tài)就象的性態(tài)就象一條直線一條直線2022-5-1367分析表示：分析表示： 曲線曲線 y=f(x) 在可微點在可微點 x=a 處的切線方處的切線方程是：程是：y = f (a) + f (a)(x-a)， 曲線的切線方程是一線性函數(shù)曲線的切線方程是一線性函數(shù)L(x) = f (a) + f (a)(x-a)， 它是曲線它是曲線 y=f(x) 的很好的近似。的很好的近似。)()()(axafafxf 即即2022-5-1368 數(shù)

35、值驗證：數(shù)值驗證： 在在x=處，近似式處，近似式 的精度的精度211xx近似值近似值真值真值- -近似值近似值10-210-310-500250. 12005. 01005. 1025. 1205. 0105. 110. 122 . 012 . 1 當(dāng)當(dāng)x的值離開較遠(yuǎn)時，誤差就加大了，例如的值離開較遠(yuǎn)時，誤差就加大了，例如對對x=2，線性化對，線性化對 的近似值為的近似值為2，連一位小數(shù)的，連一位小數(shù)的精度都沒有。精度都沒有。32022-5-1369.)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x 例例3 3.0360coso的近似值的近似值計算計算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360,30 xx)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 2022-5-1370（三）誤差估計由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，