數(shù)值分析6數(shù)值積分PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)值分析數(shù)值分析6數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分第1頁(yè)/共45頁(yè)依據(jù)積分中值定理，對(duì)于連續(xù)函數(shù)依據(jù)積分中值定理，對(duì)于連續(xù)函數(shù) f（x），在），在a，b內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn)，成立，成立 就是說(shuō)，底為就是說(shuō)，底為 b- a 而高為而高為 f（）的矩形面積恰等于所求曲邊梯形的面積）的矩形面積恰等于所求曲邊梯形的面積 I.問(wèn)題在于點(diǎn)問(wèn)題在于點(diǎn) 的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確地算出的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確地算出 f（）的值）的值.我們稱(chēng)我們稱(chēng) f（ ）為區(qū)間）為區(qū)間 a，b上的平均高度上的平均高度.這樣，只要對(duì)平均高度這樣，只要對(duì)平均高度 f（）提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法）提供一

2、種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法. bafabdxxf)()()( 第2頁(yè)/共45頁(yè) 分別用分別用 f (a)，f (b) 和和 近似近似 f ( ) 可得可得2)(baf)()(d)(afabxxfba)()(d)(bfabxxfbababafabxxf2)(d)(左矩形公式左矩形公式右矩形公式右矩形公式中中矩形公式矩形公式第3頁(yè)/共45頁(yè) 若用若用 f (a) 和和 f (b) 的算術(shù)平均值近似的算術(shù)平均值近似 f ( )，則可則可得得)()(2)(d)(bfafabxxfba 梯形公式梯形公式 若用若用 f (a) , f (a+b/2)和和 f (b) 的加權(quán)平均值近似的加權(quán)平均值

3、近似 f ( )， 則可得則可得)()2(4)(6)(d)(bfbafafabxxfba 辛甫生公式辛甫生公式第4頁(yè)/共45頁(yè)q 更一般地，可以用更一般地，可以用 f (x) 在在 a, b 上的一些離散點(diǎn)上的一些離散點(diǎn)上的值上的值加權(quán)平均加權(quán)平均作為作為 f ( ) 的近似值，從而構(gòu)造出的近似值，從而構(gòu)造出nkkkbaxfAxxf0)(d)(求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)求積系數(shù)機(jī)械求積法機(jī)械求積法：求積系數(shù)僅僅與結(jié)點(diǎn)求積系數(shù)僅僅與結(jié)點(diǎn)xk的選取有關(guān)，而不依賴(lài)于被積函數(shù)的選取有關(guān)，而不依賴(lài)于被積函數(shù)f(x)的具體形式的具體形式第5頁(yè)/共45頁(yè)第6頁(yè)/共45頁(yè)定義定義如果對(duì)于所有次數(shù)不超過(guò)如果對(duì)于所

4、有次數(shù)不超過(guò) m 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 f (x) ，公式，公式精確成立，但對(duì)于某一次數(shù)為精確成立，但對(duì)于某一次數(shù)為 m+1 的多項(xiàng)式不精確成的多項(xiàng)式不精確成立，則稱(chēng)該求積公式的代數(shù)精度為立，則稱(chēng)該求積公式的代數(shù)精度為 m 次。次。 nkkkbaxfAxxf0)(d)(q 要要驗(yàn)證一個(gè)求積公式具有驗(yàn)證一個(gè)求積公式具有 m 次代數(shù)精度，只需驗(yàn)證次代數(shù)精度，只需驗(yàn)證對(duì)對(duì) f (x)1, x, x2, , xm 精確成立，但對(duì)精確成立，但對(duì) f (x)xm+1 不不精確成立即可，即：精確成立即可，即： 2d 1d 22101110mabxxxAkabxxxAmmbamnkmkkkkbaknkkkk( k

5、 = 0, 1, , m )第7頁(yè)/共45頁(yè)已知：求積公式對(duì)于已知：求積公式對(duì)于xk（k=0，1，m）均能準(zhǔn)確成立）均能準(zhǔn)確成立求證：求積公式對(duì)于對(duì)于次數(shù)不超過(guò)求證：求積公式對(duì)于對(duì)于次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立證明：證明： 由已知條件知由已知條件知 njkjjnjjjbakbaxAxfAdxxdxxf00)()(（k=0，1，m）證明兩種說(shuō)法的等價(jià)性證明兩種說(shuō)法的等價(jià)性第8頁(yè)/共45頁(yè)則njjjnjmjmjjnjmjjmnjjjnjjbammbababammxfAxaxaaAxAaxAaAadxxaxdxadxadxxaxaa0010001001010)()(11)(即

6、：求積公式對(duì)于對(duì)于次數(shù)不超過(guò)即：求積公式對(duì)于對(duì)于次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立第9頁(yè)/共45頁(yè)q 例：例：試確定系數(shù)試確定系數(shù) i ，使得下面的求積公式具有盡可能，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。 )1()0()1( d)(21011fffxxf 解：解：將將 f (x)1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立得代入求積公式，使其精確成立得 3/23/ )( 02/ )( 21/ )( 3320222011210ababab 解得解得 0 =1/3, 1 =4/3, 2 =1/3，所以求積

7、公式為，所以求積公式為3 )1()0(4)1( d)(11fffxxf 易驗(yàn)證該公式對(duì)易驗(yàn)證該公式對(duì) f (x)x3 也精確成立，但對(duì)也精確成立，但對(duì)f (x)x4 不精確成立，所以此求積公式具有不精確成立，所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。第10頁(yè)/共45頁(yè)q 容易容易驗(yàn)證：驗(yàn)證：左矩形公式左矩形公式 和和 右矩形公式右矩形公式 具有具有 零次零次 代數(shù)精度代數(shù)精度中矩形公式中矩形公式 和和 梯形公式梯形公式 具有具有 一次一次 代數(shù)精度代數(shù)精度q 特別地，特別地，具有具有 m ( 0 ) 次代數(shù)精度的次代數(shù)精度的求積公式滿(mǎn)足求積公式滿(mǎn)足： ,0 niiabA辛甫生公式辛甫生公

8、式具有具有 三次三次 代數(shù)精度代數(shù)精度第11頁(yè)/共45頁(yè)我們可以用代數(shù)精度作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)構(gòu)造求積公式我們可以用代數(shù)精度作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)構(gòu)造求積公式.譬如兩點(diǎn)公式譬如兩點(diǎn)公式式中含有兩個(gè)待定參數(shù)式中含有兩個(gè)待定參數(shù) A0，A1，令它對(duì)于令它對(duì)于 f（ x）=1，f（ x）= x 準(zhǔn)確成立，有準(zhǔn)確成立，有)5()()()(10 babfAafAdxxf第12頁(yè)/共45頁(yè)解之得解之得 A0=A1=（b-a）/2.這說(shuō)明，形如（這說(shuō)明，形如（5）且）且具有一次代數(shù)精度的求積公式必為梯形公式具有一次代數(shù)精度的求積公式必為梯形公式（1）.這一論斷從幾何角度來(lái)看是十分明顯的這一論斷從幾何角度來(lái)看是十分明顯的.如何求解

9、求積公式如何求解求積公式 )(21221010abbAaAabAA第13頁(yè)/共45頁(yè)如何求解求積公式如何求解求積公式第14頁(yè)/共45頁(yè)如果求積節(jié)點(diǎn)并沒(méi)有確定，則待定參數(shù)有幾個(gè)如果求積節(jié)點(diǎn)并沒(méi)有確定，則待定參數(shù)有幾個(gè)？有2n+2個(gè)能夠達(dá)到的代數(shù)精度是多少能夠達(dá)到的代數(shù)精度是多少？2n+1個(gè)此時(shí)的方程為非線性方程此時(shí)的方程為非線性方程思考題思考題第15頁(yè)/共45頁(yè)基本思想基本思想由已知的n+1個(gè)點(diǎn)以及在這n+1個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，作拉格朗日插值，得到pn(x)則 nkbakknkbakkbaknkkbanbadxxlydxxlydxyxldxxpdxxf000)()()()()(第16頁(yè)/共45頁(yè)q

10、設(shè)設(shè) f (x) 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)上的函數(shù)值為值為 f (xi)，作，作 n 次拉格朗日插值多項(xiàng)式次拉格朗日插值多項(xiàng)式 niiinxfxlxP0)()()(于是有于是有 niniiibaiibanbaxfAxxlxfxxPxxf00)(d)()(d)(d)(其中其中 。 baiixxlAd)(插值型求積公式插值型求積公式q 誤差：誤差： xxPxffRband )()( xxxnfniiband )( )!1()(0)1( 第17頁(yè)/共45頁(yè)由于由于 n 次拉格朗日插值對(duì)次拉格朗日插值對(duì) f (x)1, x, x2, , xn 精確成精確成立，所以立，所以 n 次插值型求積公式的代數(shù)精度

11、至少為次插值型求積公式的代數(shù)精度至少為 n 次。次。q 代數(shù)精度：代數(shù)精度：反之，如果求積公式反之，如果求積公式 的代數(shù)精度至的代數(shù)精度至少為少為 n 次，則它必定是插值型的。次，則它必定是插值型的。 niiibaxfAxxf0)(d)(簡(jiǎn)證簡(jiǎn)證：求積公式對(duì)拉格朗日插值基函數(shù)：求積公式對(duì)拉格朗日插值基函數(shù) lk (x)精確成立，精確成立，即有即有 niikibakxlAxxl0)(d)(kiikxl )( bakkxxlAd)(定理定理 求積公式求積公式 至少具有至少具有 n 次代次代數(shù)精度的充要條件是：它是插值型的。數(shù)精度的充要條件是：它是插值型的。 niiibaxfxxf0)(d)( 第1

12、8頁(yè)/共45頁(yè)定理 1 形如（4）的求積公式至少具有 n 次代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型的.問(wèn)題：?jiǎn)栴}：（1）如何判定一個(gè)求積公式是插值型的？）如何判定一個(gè)求積公式是插值型的？（2）如何求作一個(gè)插值型的求積公式？）如何求作一個(gè)插值型的求積公式？第19頁(yè)/共45頁(yè)試檢查下列求積公式的代數(shù)精度： 10)43(32)21(31)41(32)(fffdxxf解 直接檢查易知，原式對(duì)于 準(zhǔn)確成立，但當(dāng) 時(shí)其左端=1/5，而32, 1xxxf 4xf 444)43(32)21(31)41(32右端= 左右兩端不相等，故所給求積公式僅有三階精度。第20頁(yè)/共45頁(yè)試構(gòu)造下列求積公式，使其代數(shù)精度盡量

13、高，并證明所構(gòu)造出的求積公式是插值型的：1010)43()41()(fAfAdxxf第21頁(yè)/共45頁(yè)解 令原式對(duì)于 f=1,f=x 準(zhǔn)確，可列出方程 110 AA 21434110AA 解之得 2110 AA 例題2第22頁(yè)/共45頁(yè)這樣構(gòu)造出的求積公式是 10)43(21)41(21)(ffdxxf 注意到節(jié)點(diǎn)43,4110 xx的拉格朗日插值基函數(shù) 212)(,232)(10 xxlxxl 直接計(jì)算知 10110021)()(dxxldxxl 故所構(gòu)造出的求積公式是插值型的。 第23頁(yè)/共45頁(yè)構(gòu)造下列形式的插值型求積公式，并指明該求積公式所具有的代數(shù)精度： 10210)43()21()

14、41()(fAfAfAdxxf第24頁(yè)/共45頁(yè)解 按題設(shè)原式是插值型的，故有 10032)4341)(2141()43)(21(dxxxA 10131)4321)(4121()43)(41(dxxxA 第25頁(yè)/共45頁(yè)考慮到對(duì)稱(chēng)性，顯然有20AA ，于是有求積公式 10)21(31)43()41(32)(fffdxxf 由于原式含有 3 個(gè)節(jié)點(diǎn)， 按定理 1 它至少有 2 階精度。 考慮到其對(duì)稱(chēng)性，可以猜到它可能有 3 階精度。事實(shí)上， 對(duì)于3xf 原始左右兩端相等。此外，容易原式對(duì)于 4xf 不準(zhǔn)確，故所構(gòu)造出的求積公式確實(shí)有 3 階精度。 第26頁(yè)/共45頁(yè) 試設(shè)計(jì)求積公式 10210

15、)43()21()41()(fAfAfAdxxf第27頁(yè)/共45頁(yè)解 令原式對(duì)于2, 1xxf 準(zhǔn)確成立，可列出方程組 3116941161214321411210210210AAAAAAAAA 第28頁(yè)/共45頁(yè)考慮到對(duì)稱(chēng)性，令20AA，則下列前兩個(gè)方程是同解方程： 314185212112101010AAAAAA 解之得 31,32120AAA 第29頁(yè)/共45頁(yè)這樣所構(gòu)造的插值公式是 )43(32)21(31)41(32)(10fffdxxf 當(dāng)4xf時(shí)上式左端=1/5，而 右端=444)43(32)21(31)41(32 其左右兩端不相等， 故所構(gòu)造出的求積公式具有 3 階精度。 第3

16、0頁(yè)/共45頁(yè)試設(shè)計(jì)求積公式 )()0()()(22101hhhfAfAhfAhdxxf 第31頁(yè)/共45頁(yè)解 不妨令 h=1,否則作變換 x=ht,原式化為 22101) 1 ()0() 1()(fAfAfAdxxf 考慮到求積公式內(nèi)在的對(duì)稱(chēng)性，顯然有11AA ，這時(shí)對(duì)奇函數(shù)的3, xxf 自然準(zhǔn)確；令對(duì)2, 1 xf 準(zhǔn)確成立，可列出方程 316242101AAA 第32頁(yè)/共45頁(yè)因之有 34,38011AAA 這樣構(gòu)造出的求積公式是 )(38)0(34)(38)(22hhhffhfhdxxf 易知它對(duì)于4xf 不準(zhǔn)確， 故所構(gòu)造出的求積公式具有 3 階精度。 第33頁(yè)/共45頁(yè) 試設(shè)計(jì)

17、求積公式10210)0() 1 ()0()(fBfAfAdxxf第34頁(yè)/共45頁(yè)解 令對(duì)2, 1xxf 準(zhǔn)確，可列出方程 3121110110ABAAA 第35頁(yè)/共45頁(yè)解之有 61,31,32010BAA 于是有求積公式 10)0(61) 1 (31)0(32)(fffdxxf 易知它對(duì)于3xf 不準(zhǔn)確，故該求積公式僅有 2 階精度。 第36頁(yè)/共45頁(yè)試設(shè)計(jì)求積公式)()2()()2()()(212210bfBbafBafBbfAbafAafAdxxfba）（第37頁(yè)/共45頁(yè)解 引進(jìn)變換tabbax22將求積區(qū)間a,b變到0，1，則原式化為如下形式 ) 1 () 0 () 1(1) 0 () 1()(21112210fBfBfBfAfAfAdxxf）（ 第38頁(yè)/共45頁(yè)這一求積公式含有 6 個(gè)待定系數(shù)， 考慮到對(duì)稱(chēng)性有0,12020BBBAA這時(shí)對(duì)53,xxxf自然準(zhǔn)確；再令對(duì)于42, 1xxf 準(zhǔn)確，可列出方程組 5282324222000010BABAAA 第39頁(yè)/共45頁(yè)解之得 0,151,1516,157120120BBBAAA 于是這樣設(shè)計(jì)出的求積公式是 )()(60)(7)2(16)(7 30)(2bfafabbfbafafabdxxfba）（ 易知它對(duì)于6xf 不準(zhǔn)確，故所設(shè)計(jì)的求積公式有5 階精度。 第40頁(yè)/共45頁(yè)試設(shè)計(jì)求積公式