《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》答案

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一章緒論1-1.研究誤差的意義是什么？簡(jiǎn)述誤差理論的主要內(nèi)容。答：研究誤差的意義為：(1)正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，以消除或減小誤差；(2)正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，以便在一定條件下得到更接近于真值的數(shù)據(jù)；(3)正確組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程，合理設(shè)計(jì)儀器或選用儀器和測(cè)量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)條件下，得到理想的結(jié)果。誤差理論的主要內(nèi)容：誤差定義、誤差來(lái)源及誤差分類等。1-2.試述測(cè)量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點(diǎn)是什么？答：測(cè)量誤差就是測(cè)的值與被測(cè)量的真值之間的差；按照誤差的特點(diǎn)和性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、粗大誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是在所處測(cè)量條件下，

2、誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定，或遵循一定的規(guī)律變化(大小和符號(hào)都按一定規(guī)律變化)；隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是在所處測(cè)量條件下，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化；粗大誤差的特點(diǎn)是可取性。1-3.試述誤差的絕對(duì)值和絕對(duì)誤差有何異同，并舉例說(shuō)明。答：(1)誤差的絕對(duì)值都是正數(shù)，只是說(shuō)實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸差別的大小數(shù)量，不反映是“大了”還是“小了”，只是差別量；絕對(duì)誤差即可能是正值也可能是負(fù)值，指的是實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就測(cè)量而言，前者是指系統(tǒng)的誤差未定但標(biāo)準(zhǔn)值確定的，后者是指系統(tǒng)本身標(biāo)準(zhǔn)值未定1-5測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為180°00'

3、02”，試求測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差解:相對(duì)誤差等于：2絕對(duì)誤差等于:180000021800220.000003086410.000031%180018060606480001-6.在萬(wàn)能測(cè)長(zhǎng)儀上，測(cè)量某一被測(cè)件的長(zhǎng)度為50mm已知其最大絕對(duì)誤差為1醫(yī)m,試問(wèn)該被測(cè)件的真實(shí)長(zhǎng)度為多少?解：絕對(duì)誤差=測(cè)得值一真值，即：AL=L-L0已知：L=50,L=1m=0.001mm測(cè)件的真實(shí)長(zhǎng)度L0=L41=500.001=49.999(mm1-7.用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量某壓力得100.2Pa,該壓力用更準(zhǔn)確的辦法測(cè)得為100.5Pa，問(wèn)二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差為多少？解：在實(shí)際檢定中，常把高一

4、等級(jí)精度的儀器所測(cè)得的量值當(dāng)作實(shí)際值。故二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差=測(cè)得值-實(shí)際值，即：100.2100.5=0.3(Pa)1-8在測(cè)量某一長(zhǎng)度時(shí)，讀數(shù)值為2.31m,其最大絕對(duì)誤差為20m,試求其最大相對(duì)誤差。1-9、解：2由g4向,得T2對(duì)g(；向進(jìn)行全微分，令h幾A,并令Vg,Vh,VT代替dg,dh,dT得從而VgVh2VT的最大相對(duì)誤差為:ghT_0.0000520.00051.042302.0480=5.3625104%,22-由g4（hl2h2）,得TJU,所以T2g由VgmaxgVhmax2VTmaxtT/hmaxgminr><"rT/"&q

5、uot;mingmax'有VTmaxmaxABS-（n-）,ABS-（n-工-）1-10檢定2.5級(jí)（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的示值誤差2V為最大誤差，問(wèn)該電壓表是否合格?該電壓表合格1-11為什么在使用微安表等各種表時(shí)，總希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用？答：當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)量的最大相對(duì)誤差：W改詈s%即：max詈s%A0A0A0所以當(dāng)真值一定的情況下，所選用的儀表的量程越小，相對(duì)誤差越小，測(cè)量越準(zhǔn)確。因此我們選擇的量程應(yīng)靠近真值，所以在測(cè)量時(shí)應(yīng)盡量使指針靠近滿度范圍的三分之二以上.1-12用兩種方法分別測(cè)量L1=50mmL2=80mm

6、測(cè)得值各為50.004mm80.006ms試評(píng)定兩種方法測(cè)量精度的高低。相對(duì)誤差50.00450/L1：50mmI1100%0.008%5080.00680.L2：80mm12100%0.0075%80I1I2所以L2=80mn法測(cè)量精度高。1-13多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過(guò)0.lkm,優(yōu)秀射手能在距離50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為2cm的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高？解:多級(jí)火前的相對(duì)t天差無(wú)2L0,000010.001%10000射手的相對(duì)誤差為：1cm0.01m0.00020.02%50m50m多級(jí)火箭的射擊精度高。1-14若用兩種測(cè)量方法測(cè)量某零件的長(zhǎng)度L

7、1=110mm其測(cè)量誤差分別為11m和9m;而用第三種測(cè)量方法測(cè)量另一零件的長(zhǎng)度L2=150mm其測(cè)量誤差為12m,試比較三種測(cè)量方法精度的高低。相對(duì)誤差I(lǐng)3I2I1第三種方法的測(cè)量精度最高第二章誤差的基本性質(zhì)與處理2-1.試述標(biāo)準(zhǔn)差、平均誤差和或然誤差的幾何意義。答：從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個(gè)從N維空間的一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離的函數(shù)；從幾何學(xué)的角度出發(fā)，平均誤差可以理解為N條線段的平均長(zhǎng)度；2-2.試述單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，兩者物理意義及實(shí)際用途有何不同。2-3試分析求服從正態(tài)分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在中的概率2-4.測(cè)量某物體重量共8次，測(cè)的數(shù)據(jù)（單位

8、為g）為236.45,236.37,236.51,236.34,236.39,236.48,236.47,236.40,是求算術(shù)平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差。2-5用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計(jì)算2-4,并比較2-6測(cè)量某電路電流共5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mA為168.41,168,54,168.59,168.40,168.50o試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差?；蛉徽`差：R0.6745x0.67450.0370.025(mA)平均誤差：T0.7979_0.79790.0370.030(mA)2-7在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重量測(cè)量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為mm為20.0015,20.001

9、6,20.0018,20.0015,20.0011。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以99%勺置信概率確定測(cè)量結(jié)果。-20.001520.001620.001820.001520.0011x5正態(tài)分布p=99%時(shí)，t2.58測(cè)量結(jié)果：XXlimx(20.00150.0003)mm2-7在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為mm為20.0015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確定測(cè)量結(jié)果。解：求算術(shù)平均值求單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差nli1n20.0015mmnn2i1"2610842.

10、5510mm確定測(cè)量的極限誤差因n=5較小，算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)按t分布處理?，F(xiàn)自由度為：丫=n1=4;=10.99=0.01,查t分布表有：ta=4.60極限誤差為寫(xiě)出最后測(cè)量結(jié)果LxlimX20.00155.24104mm2-9用某儀器測(cè)量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)差0.004mm,若要求測(cè)量結(jié)果的置信限為0.005mm,當(dāng)置信概率為99%外，試求必要的測(cè)量次數(shù)。正態(tài)分布p=99%時(shí)，t2.582-10用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差（7=0.001mm若要求測(cè)量的允許極限誤差為土0.0015mm而置彳B概率P為0.95時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次?解：根據(jù)極限誤差的意義，有根

11、據(jù)題目給定得已知條件，有查教材附錄表3有若n=5,v=4,a=0.05,有t=2.78,若n=4,v=3,a=0.05,有t=3.18,即要達(dá)題意要求，必須至少測(cè)量5次。2-12某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)（單位為Pa）為102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其權(quán)各為1,3,5,7,8,6,4,2,試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。2-13測(cè)量某角度共兩次，測(cè)得值為1241336,2241324'',其標(biāo)準(zhǔn)差分別為13.1，213.8,試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差

12、。2-14甲、乙兩測(cè)量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角各重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得值如下:試求其測(cè)量結(jié)果。7°2'20"60"35"20"15"57°2'30"乙：x乙7°2'25"25"20"50"45"7°2'33"2-15.試證明n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均值的權(quán)為n乘以任一個(gè)測(cè)量值的權(quán)證明:解：因?yàn)閚個(gè)測(cè)量值屬于等精度測(cè)量，因此具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差:n個(gè)測(cè)量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：/廠xx,n已知權(quán)與方差成反比，設(shè)單

13、次測(cè)量的權(quán)為P1,算術(shù)平均值的權(quán)為P2,則2-16重力加速度的20次測(cè)量具有平均值為9.811m/s2、標(biāo)準(zhǔn)差為0.014m/s2。另外30次測(cè)量具有平均值為9.802m/s2,標(biāo)準(zhǔn)差為0.022m/s2。假設(shè)這兩組測(cè)量屬于同一正態(tài)總體。試求此50次測(cè)量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。2-17對(duì)某量進(jìn)行10次測(cè)量,測(cè)得數(shù)據(jù)為14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,14.9,14.8,15.1,15.0,試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。X14.96按貝塞爾公式10.263310Vi按別捷爾斯法21.253-i10.2642,10(101)由二1u得u=10.0034110.67所以測(cè)量列

14、中無(wú)系差存在。2-18對(duì)一線圈電感測(cè)量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后6次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下(單位為mH：50.82,50.83,50.87,50.89;50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81。試判斷前4次與后6次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差。使用秩和檢驗(yàn)法：排序：序號(hào)12345第一組第二組50.7550.7850.7850.8150.82序號(hào)678910第一組50.8250.8350.8750.89第二組50.85T=5.5+7+9+10=31.5查表T14T30TT所以兩組間存在系差2-19對(duì)某量進(jìn)行10次測(cè)量,測(cè)得數(shù)據(jù)為14.

15、7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,14.9,14.8,15.1,15.0,試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。x14.96按貝塞爾公式10.263310Vi按別捷爾斯法21.253一i10.2642.10(101)由上1u得u=10.003411u0.67所以測(cè)量列中無(wú)系差存在。2-20.對(duì)某量進(jìn)行12次測(cè)量，測(cè)的數(shù)據(jù)為20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.11,20.14,20.18,20.18,20.21,20.19,試用兩種方法判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。解：(1)殘余誤差校核法V(0.0650.0550.0650.0450.

16、0250.005)(0.0150.0150.0550.0550.0850.065)0.54因?yàn)閂顯著不為0,存在系統(tǒng)誤差。(2)殘余誤差觀察法殘余誤差符號(hào)由負(fù)變正，數(shù)值由大到小，在變大，因此繪制殘余誤差曲線，可見(jiàn)存在線形系統(tǒng)誤差。所以不存在系統(tǒng)誤差2-22第三章誤差的合成與分配3-1相對(duì)測(cè)量時(shí)需用54.255mm的量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸為l140mm,I?12mm,1325mm,I41.005mmo經(jīng)測(cè)量，它們的尺寸偏差及其測(cè)量極限誤差分別為l10.7m,l20.5m,130.3m,140.1m,Iim110.35m,舟20.25m,局30.20m,/40.2

17、0m。試求量塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值及給相對(duì)測(cè)量帶來(lái)的測(cè)量誤差。修正值=(11121314)=(0.70.50.30.1)=0.4(m)測(cè)量誤差：_22221="1im111im121imb1imL=(0.35)2(0.25)2(0.20)2(0.20)2=0.51(m)3-2為求長(zhǎng)方體體積V,直接測(cè)量其各邊長(zhǎng)為a161.6mmb44.5mm,c11.2mm,已知測(cè)量的系統(tǒng)誤差為a1.2mm,b0.8mm,c0.5mm,測(cè)量的極限誤差為a0.8mm,bOBmm,c0.5mm,試求立方體的體積及其體積的極限誤差。體積V系統(tǒng)誤差V為:立方體體積實(shí)際大小為：VV0V77795.70(m

18、m3)測(cè)量體積最后結(jié)果表示為33長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)分別為a1,a2,“測(cè)量時(shí)：標(biāo)準(zhǔn)差均為叫標(biāo)準(zhǔn)差各為(X1、(72、a3o試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解:長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式為:Vaa2a3體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為:V2()2a2現(xiàn)可求出:V一a2a1a3；Va2a1a3；Va3a1a2(V)212(V)22a1a2(V)232a3v2()2a2V2()a33-4測(cè)量某電路的電流I22.5mA,電壓U12.6V,測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.5mA,u0.1V，求所耗功率PUI及其標(biāo)準(zhǔn)差p。PUI12.622.5283.5(mw)Pf(U,I)U、I成線性關(guān)系UI13-9.測(cè)量某電路電阻R兩端的電壓U,按式I=U/R計(jì)算出電

19、路電流，若需保證電流的誤差為0.04A,試求電阻R和電壓U的測(cè)量誤差為多少？角星：在I=U/R式中，電流I與電壓U是線性關(guān)系，若需要保證電流誤差不大于0.04A,則要保證電壓的誤差也不大于0.04XR3-12按公式V=tir2h求圓柱體體積，若已知r約為2cm,h約為20cm,要使體積的相對(duì)誤差等于1%,試問(wèn)r和h測(cè)量時(shí)誤差應(yīng)為多少？解：若不考慮測(cè)量誤差，圓柱體積為根據(jù)題意，體積測(cè)量的相對(duì)誤差為1%,即測(cè)定體積的相對(duì)誤差為：即V1%251.21%2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出測(cè)定r的誤差應(yīng)為：測(cè)定h的誤差應(yīng)為：3-14對(duì)某一質(zhì)量進(jìn)行4次重復(fù)測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位g)為428.6,429

20、.2,426.5,430.8o已知測(cè)量的已定系統(tǒng)誤差26g，測(cè)量的各極限誤差分量及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)如下表所示。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質(zhì)量的最可信賴值及其極限誤差。序號(hào)極限誤差/g誤差傳遞系數(shù)隨機(jī)誤差未定系統(tǒng)誤差12.1一12一1.513一1.01最4一0.51可信賴值54.5一16一2.21.471.0一2.28一1.81xx428.82,6431.4(g)測(cè)量結(jié)果表示為：xXx(431.44.9)g第四章測(cè)量不確定度41某圓球的半徑為r,若重復(fù)10次測(cè)量得r±°=(3.132±0.005)cm,試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測(cè)量不確定度，置信

21、概率P=99%。解：求圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D2r2其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：u.2.22r2、43.1415920.0052r=0.0314cm確定包含因子。查t分布表t0.01(9)=3.25,及K=3.25故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：U=Ku=3.25X0.0314=0,102求圓球的體積的測(cè)量不確定度圓球體積為：V4r33其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：2u.V24r222163.1415923.13240.00520.616確定包含因子。查t分布表3.01(9)=3.25,及K=3.25最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度為U=Ku=3.25X0.61

22、6=2.0024-2.望遠(yuǎn)鏡的放大率D=f1/f2,已測(cè)得物鏡主焦距fl土(T1=(19.8±0.10)cm,目鏡的主焦距f2土(t2=(0.800±0.005)cm,求放大率測(cè)量中由f1、f2引起的不確定度分量和放大率D的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。4-3,測(cè)量某電路電阻R兩端的電壓U,由公式I=U/R計(jì)算出電路電流I,若測(cè)得U土(7u=(16.50±0.05)V,R±(TR=(4.26±0.02)Q、相關(guān)系數(shù)pUR-0.36,試求電流I的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。4-4某校準(zhǔn)證書(shū)說(shuō)明，標(biāo)稱值10的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻R在20C時(shí)為10.000742129(P=99%),

23、求該電阻器的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，并說(shuō)明屬于哪一類評(píng)定的不確定度。Q由校準(zhǔn)證書(shū)說(shuō)明給定屬于B類評(píng)定的不確定度QR在10.000742-129,10.000742+129范圍內(nèi)概率為99%不為100%不屬于均勻分布，屬于正態(tài)分布a129當(dāng)p=99%時(shí)，Kp2.584-5在光學(xué)計(jì)上用52.5mm的量塊組作為標(biāo)準(zhǔn)件測(cè)量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而成，其尺寸分別是：l1ME,l210mm,l32.5mm,量塊按“級(jí)”使用，經(jīng)查手冊(cè)得其研合誤差分別不超過(guò)0.45m、0.30m、0.25m(取置信概率P=99.73%的正態(tài)分布),求該量塊組引起的測(cè)量不確定度。L52.5mml140mml210mml32.5

24、mm第五章線性參數(shù)的最小二乘法處理3xy2.95-1測(cè)量方程為x2x2y0.9試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。3y1.9誤差方程ViV2V32.90.91.9(3x(x(2xy)2y)3y)aiaix列正規(guī)方程n色向2yi1nai2ai2y1nai1lii1代入數(shù)據(jù)得nai21ii114x5y13.45x14y4.6解得0.9620.015Vi將x、y代入誤差方程式2.90.91.9(30.962(0.9622(20.9620.015)0.015)30.015)0.0010.0320.021測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為V30.038求解不定乘數(shù)dd1121d12d2214%5d1114d215d215d1214d125d2214d22解得d11d220.082x、y的精度分別為&0.01、,d220.015-7不等精度測(cè)量的方程