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1、彈性力學(xué)的有限元分析計(jì)算可分為三個(gè)步驟: 1 結(jié)構(gòu)離散化 這是有限元法的基礎(chǔ),用由有限個(gè)方位不同但幾何性質(zhì)及物理性質(zhì)均相似的單元組成的集合體來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)體或結(jié)構(gòu)。每個(gè)單元僅在節(jié)點(diǎn)處和其他單元及外部有聯(lián)系。對(duì)于不同的問(wèn)題,根據(jù)自身的特點(diǎn),可選用不同類(lèi)型的單元。對(duì)同一問(wèn)題也可以分別或同時(shí)選用多種單元。例:一個(gè)受載的懸臂梁和用三角形單元離散化的模型真實(shí)系統(tǒng)有限元模型離散 有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成,單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接,并承受一定載荷。注意:1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念,有限元模型中,相鄰單元的作用通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞,而單元邊界不傳遞力,這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差別; 2)節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷
2、的差別l單元:即原始結(jié)構(gòu)離散后,滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域l節(jié)點(diǎn):?jiǎn)卧c單元間的連接點(diǎn)。l節(jié)點(diǎn)力:?jiǎn)卧c單元間通過(guò)節(jié)點(diǎn)的相互作用力。l節(jié)點(diǎn)載荷:作用于節(jié)點(diǎn)上的外載。l節(jié)點(diǎn)自由度(DOFs) :用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性。l分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間沒(méi)有信息傳遞(需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理)信息是通過(guò)單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。l具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞非法結(jié)構(gòu)離散 不同材料節(jié)點(diǎn)不合法典典型型單單元元類(lèi)類(lèi)型型單元類(lèi)型單元類(lèi)型單元形狀單元形狀節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)自由度節(jié)點(diǎn)自由度桿單元桿單元22梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?3平面單元平面單元32平面四邊形平面四邊形42軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題32板殼單元
3、板殼單元43四面體單元四面體單元432.單元分析 主要內(nèi)容:由節(jié)點(diǎn)位移求內(nèi)部任意點(diǎn)的位移,由節(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)變,應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)力。3.整體分析 (1) 由節(jié)點(diǎn)平衡方程,建立以整體剛度矩陣K為系數(shù)的,整體節(jié)點(diǎn)位移d 和外載R的關(guān)系式整體平衡方程。 (2) 考慮幾何邊界條件,修改總體剛度矩陣,求解全部未知位移分量。a)受拉階梯桿示意圖 u1u2u3E(1), A(1)F3123E(2), A(2)l(1)l(2)R1x二. 有 限 元 求 解 基 本 原 理(一維問(wèn)題)l引例:用有限元法求圖1所示受拉階梯桿的位移和應(yīng)力。已知桿截面面積A(1)=210-4m2,A(2)=110-4m2,各段桿長(zhǎng)l(1)
4、=l(2)=0.1m;材料彈性模量E(1)=E(2)=2107Pa,作用于桿端的拉力F3=10N。1.單元?jiǎng)澐指鶕?jù)材料力學(xué)的平面假設(shè),等截面受拉桿的同一截面可認(rèn)為具有相同的位移和應(yīng)力,即位移只與截面的軸向坐標(biāo)(x) 有關(guān),所以可將階梯桿看作由兩個(gè)“一維單元”組成,同一個(gè)單元內(nèi)截面面積及材料特性不變。最簡(jiǎn)單的情況是,每一個(gè)單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn),他們分別位于單元兩端。相鄰兩單元靠公共節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)。受拉階梯桿就簡(jiǎn)化為由兩個(gè)一維單元和三個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的有限單元模型。圖中和是單元號(hào),1,2,3是節(jié)點(diǎn)號(hào)。取節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量,應(yīng)力由求得的節(jié)點(diǎn)位移算出。c)單元圖b)有限元模型u1E(1), A(1)Node 1No
5、de2l(1)R1u2u2u3F3Node 3E(2), A(2)l(2)Node 2uiAe EeNode iNode jlePiujPjx圖5-61232.確定單元插值函數(shù)(形函數(shù))有限元法將整個(gè)求解域離散為一系列僅靠公共節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)的單元,而每一個(gè)單元本身卻視為光滑連續(xù)體。單元內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)變量(如位移)可由本單元的節(jié)點(diǎn)值根據(jù)場(chǎng)變量在單元中的假定分布規(guī)律(插值函數(shù))插值求得。本例中,每單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn),采用線性插值。圖c是一典型單元圖,兩節(jié)點(diǎn)分別為i和j,節(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量值分別記為ui和uj 。設(shè)單元中坐標(biāo)為x處的場(chǎng)變量為u(x) 。單元的位移場(chǎng)為u(x), 由兩個(gè)端點(diǎn)的位移來(lái)進(jìn)行線形插值確定,設(shè)u(
6、x) 為: (1.a)xaaxu10)(單元節(jié)點(diǎn)條件:jlxixuxuuxue)()(0 (1.b)將節(jié)點(diǎn)條件(1.b)帶入(1.a),可以求得a0和a1:eijiluuaua10 (1.c) 則ejeieeijiqxNulxulxxluuuxu)(1)( 其中N(x)叫做形狀函數(shù)矩陣(shape function matrix),為eelxlxxN)1 ()(qe叫做節(jié)點(diǎn)位移列陣(nodal displacement vector),即Tjieuuq (2)形函數(shù)矩陣的分量數(shù)目應(yīng)與單元自由度數(shù)目相等3.單元方程(單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系)l由等截面桿變形與拉力的關(guān)系(虎克定律)得到l (3
7、)l式中, Pi和Pj分別為作用于單元e的節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的節(jié)點(diǎn)力。jijeeeijieeePuulEAPuulEA)()(l式(3)寫(xiě)成矩陣形式為:l (4)l或簡(jiǎn)記為: ke qe = Pe (5)lke常稱為單元?jiǎng)偠染仃?stiffness matrix of element),簡(jiǎn)稱單元?jiǎng)傟?l lP e=Pi PjT 稱為單元節(jié)點(diǎn)力列陣(nodal force vector)。l式(5)稱為單元方程。jijieeePPuulEA1111jjjiijiiekkkkkl到目前為止,單元方程(4)或(5)尚不能求解,因?yàn)楣?jié)點(diǎn)力列陣Pe尚屬未知。 Pe的分量Pi和Pj為相鄰單元作用于單元e的節(jié)點(diǎn)
8、i和j的力,即屬于單元之間的作用力。只有將具有公共節(jié)點(diǎn)的單元“組 集”在一起才能確定上述節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)外載荷之間的關(guān)系。4.單元組集l 建立總體方程組為獲得總體方程組,必須先將單元方程按照局部自由度(ui和uj)和總體自由度(u1、u2和u3)的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行擴(kuò)展。u1E(1), A(1)Node 1Node2l(1)R1u2u2u3F3Node 3E(2), A(2)l(2)Node 2iijjjjjiijiiekkkkk單元1i=1; j=222211211)1 (kkkkk單元局部坐標(biāo)全局坐標(biāo)jjjiijiiekkkkk單元2i=2; j=333322322)2(kkkkkl (6)l式中,
9、各項(xiàng)上角碼表示單元序號(hào);下角碼表示自由 度總體序號(hào)。l 0000011011)1(2)1(1321)1()1()1(PPuuulEA000000)1 (2)1 (1321)1 (22)1 (21)1 (12)1 (11PPuuukkkk具體來(lái)說(shuō),單元1的擴(kuò)展方程為:l (7)l由于相鄰兩單元公共節(jié)點(diǎn)上的基本場(chǎng)變量(位移)相同,所以可將擴(kuò)展后的各單元方程相加。單元2的擴(kuò)展方程為:)2(3)2(2321)2()2()2(0110110000PPuuulEA)2(3)2(2321)2(33)2(32)2(23)2(22000000PPuuukkkk)2(3)2(2) 1 (2) 1 (1321)2(
10、)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2() 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (00PPPPuuulEAlEAlEAlEAlEAlEAlEAlEA(8)2(3)2(2)1 (2)1 (1321)2(33)2(32)2(23)2(22)1 (22)1 (21)1 (12)1 (1100PPPPuuukkkkkkkk將式(6)和式(7)相加得:l (9)l組集后的結(jié)果簡(jiǎn)記為:Kq = Pl式中,K稱為總體特性矩陣(常稱為總體剛度矩陣和總剛陣),P稱為總體節(jié)點(diǎn)載荷列陣。需指出的是,對(duì)單元的一個(gè)公
11、共節(jié)點(diǎn)而言,除了有相鄰單元作用于該節(jié)點(diǎn)的力之外,還可能有做用于該節(jié)點(diǎn)的外載荷。若一節(jié)點(diǎn)上無(wú)外載荷作用(如本例中節(jié)點(diǎn)2),則說(shuō)明各相鄰單元作用于該節(jié)點(diǎn)的力是平衡的,即該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)合力為零。上述組集過(guò)程可記為:11NENEeeeeeK qP有限元模型單元總數(shù)l若某節(jié)點(diǎn)上有外載荷作用(如節(jié)點(diǎn)3),則各單元作用于該節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力和(即方程(8)中第3式左端項(xiàng)的負(fù)值)與該節(jié)點(diǎn)的外載荷(F3)相平衡,即:l (10)l即,列陣F 各分量的含義是作用于相應(yīng)自由度(節(jié)點(diǎn)位移)上的節(jié)點(diǎn)外載荷。將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入式(8)得:l (11)0)(33)2()2()2(2)2()2()2(FulEAulEA1001101320
12、2210213214Ruuu 上式即為本題的總體線性代數(shù)方程組,但不能獲得唯一解,因?yàn)樯鲜街械木仃囀瞧娈惖摹_@種奇異性不是因數(shù)據(jù)巧合造成的,而是有其必然性。原因在于總體方程組式(8)只考慮了力平衡條件,而只根據(jù)力平衡不能唯一地確定系統(tǒng)的位移,因?yàn)橄到y(tǒng)在有任意剛性位移的情況下仍可處于力平衡狀態(tài)。為獲得各節(jié)點(diǎn)位移的唯一解,必須消除可能產(chǎn)生的剛體位移,即必須計(jì)入位移邊界條件。l本題的位移邊界條件為u1=0,那么,式(11)中只剩下兩個(gè)待求的自由度u2和u3。也就是說(shuō),可從式(11)中消去一個(gè)方程。譬如,舍去第一個(gè)方程并將u1= 0代入后得:l (12)l解得: u2=2.510-4m ;u3=7.5
13、10-4m。 q = u1 u2 u3T = 0 2.510-4 7.510-4T m.l這與材料力學(xué)求得的結(jié)果相同。5.計(jì)入邊界條件,解方程組1001113102324uu應(yīng)變的表達(dá)l由幾何方程得知,1D單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變l (13)l其中 (14)lB(x)稱為單元應(yīng)變矩陣,或稱為幾何函數(shù)矩陣(strain-displacement matrix).6.計(jì)算單元應(yīng)變和應(yīng)力ejieeeqxBuullxqxNxxux)(11d)(d(d)(d)(eellxNxxB11)(dd)(l (15)l其中 (16)lS(x)叫做應(yīng)力矩陣 (stress-displacement matrix).應(yīng)力的
14、表達(dá)eeeeqxSqxBExEx)()()()(eeeeelElExBExS)()(MPa05. 0)()(21) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (uulElEqxSx321) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (105 . 211)()(uullqxBxMPa1 . 0)()(32)2()2()2()2()2()2()2(uulElEqxSx332)2()2()2()2()2(10511)()(uullqxBxl對(duì)于單元1l對(duì)于單元27. 求支反力求支反力l具體對(duì)單元,有l(wèi) (17)l其中R1為節(jié)點(diǎn)1的外力,即為支反力,P2為單元的節(jié)點(diǎn)2所受的力,將u1和u2的值帶入式(17),有l(wèi) 2121)1()1()1(1111PRuulEAN10N1021PR作業(yè)作業(yè)l用
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