魏宗舒版概率論與數理統(tǒng)計教程課后習題解答

1、第一章 事件與概率1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間及表示下列事件的樣本點集合。(1)10件產品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。(2)一個口袋中有2個白球、3個黑球、4個紅球，從中任取一球，()得白球，()得紅球。解 (1)記9個合格品分別為 ，記不合格為次，則(2)記2個白球分別為，3個黑球分別為，4個紅球分別為，。則，() ， () ，1.2 在數學系的學生中任選一名學生，令事件A表示被選學生是男生，事件B表示被選學生是三年級學生，事件C表示該生是運動員。(1) 敘述的意義。(2)在什么條件下成立？(3)什么時候關系式是正確的？(4) 什么時候成立？解 (1)事件表示該是三

2、年級男生，但不是運動員。(2) 等價于，表示全系運動員都有是三年級的男生。(3)當全系運動員都是三年級學生時。(4)當全系女生都在三年級并且三年級學生都是女生時。1.3 一個工人生產了個零件，以事件表示他生產的第個零件是合格品（）。用表示下列事件：(1)沒有一個零件是不合格品；(2)至少有一個零件是不合格品；(3)僅僅只有一個零件是不合格品；(4)至少有兩個零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;(4)原事件即“至少有兩個零件是合格品”，可表示為；1.4 證明下列各式：(1);(2)(3);(4)(5)(6) 證明 （1）（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似于課文第1012頁

3、（1.5）式和(1.6)式的證法。1.5 在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數字組成一個分數，求所得分數為既約分數的概率。解 樣本點總數為。所得分數為既約分數必須分子分母或為7、11、13中的兩個，或為2、4、6、8、12中的一個和7、11、13中的一個組合，所以事件“所得分數為既約分數”包含個樣本點。于是。1.6 有五條線段，長度分別為1、3、5、7、9。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構成一個三角形的概率。解 樣本點總數為。所取三條線段能構成一個三角形，這三條線段必須是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件“所取三條線段能構

4、成一個三角形”包含3個樣本點，于是。1.7 一個小孩用13個字母作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機的（等可能的），問“恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大？解 顯然樣本點總數為，事件“恰好組成“MATHEMATICIAN”包含個樣本點。所以1.8 在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求它們正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定紅“車”的位置，黑“車”可處于個不同位置，當它處于和紅“車”同行或同列的個位置之一時正好相互“吃掉”。故所求概率為1.9 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設每位乘客在哪一

5、層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現有7位乘客，所以樣本點總數為。事件“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開電梯”。所以包含個樣本點，于是。1.10 某城市共有10000輛自行車，其牌照編號從00001到10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中有數字8”的概率為多大？解 用表示“牌照號碼中有數字8”，顯然，所以-1.11 任取一個正數，求下列事件的概率：(1)該數的平方的末位數字是1；(2)該數的四次方的末位數字是1；(3)該數的立方的最后兩位數字都是1；解

6、(1) 答案為。(2)當該數的末位數是1、3、7、9之一時，其四次方的末位數是1，所以答案為(3)一個正整數的立方的最后兩位數字決定于該數的最后兩位數字，所以樣本空間包含個樣本點。用事件表示“該數的立方的最后兩位數字都是1”，則該數的最后一位數字必須是1，設最后第二位數字為，則該數的立方的最后兩位數字為1和3的個位數，要使3的個位數是1，必須，因此所包含的樣本點只有71這一點，于是。1.12 一個人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。求放開手以后6根草恰好連成一個環(huán)的概率。并把上述結果推廣到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一個頭，它

7、可以與其它的5個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最后將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有種接法，同樣對尾也有種接法，所以樣本點總數為。用表示“6根草恰好連成一個環(huán)”，這種連接，對頭而言仍有種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。所以包含的樣本點數為，于是(2) 根草的情形和(1)類似得1.13 把個完全相同的球隨機地放入個盒子中（即球放入盒子后，只能區(qū)別盒子中球的個數，不能區(qū)別是哪個球進入某個盒子，這時也稱球是不可辨的）。如果每一種放法都是等

8、可能的，證明(1)某一個指定的盒子中恰好有個球的概率為，(2)恰好有個盒的概率為，(3)指定的個盒中正好有個球的概率為，解 略。1.14 某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達，乘客到達汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3分鐘的概率。解 所求概率為1.15 在中任取一點，證明的面積之比大于的概率為。解 截取，當且僅當點落入之內時的面積之比大于，因此所求概率為。1.16 兩艘輪船都要?？客粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達。設兩船?？坎次坏臅r間分別為1小時與兩小時，求有一艘船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率。解 分別用表示第一、二艘船到達泊位的時間。一艘船到達泊位時必須等待當且僅

9、當。因此所求概率為1.17 在線段上任取三點，求：(1) 位于之間的概率。(2) 能構成一個三角形的概率。解 (1) (2) 1.18 在平面上畫有間隔為的等距平行線，向平面任意地投擲一個三角形，該三角形的邊長為（均小于），求三角形與平行線相交的概率。解 分別用表示三角形的一個頂點與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然所求概率為。分別用表示邊，二邊與平行線相交，則顯然，。所以（用例1.12的結果）1.19 己知不可能事件的概率為零，現在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。解 概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為1的線段內隨機投點。則事件“該點命中的

10、中點”的概率等于零，但不是不可能事件。1.20 甲、乙兩人從裝有個白球與個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時停止。試描述這一隨機現象的概率空間，并求甲或乙先取到白球的概率。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，則樣本空間，并且， ，甲取勝的概率為+乙取勝的概率為+1.21 設事件及的概率分別為、及，求，解 由得 ，1.22 設、為兩個隨機事件，證明：(1) ;(2) .證明 (1) =(2) 由(1)和得第一個不等式，由概率的單調性和半可加性分別得第二、三個不等式。1.23 對于任意的隨機事件、，證明：證明 1.24 在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲

11、、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同時訂甲、乙兩報的有10%，同時訂甲、丙兩報的有8%，同時訂乙、丙兩報的有5%，同時訂三種報紙的有3%，求下述百分比：(1)只訂甲報的；(2)只訂甲、乙兩報的；(3)只訂一種報紙的；(4)正好訂兩種報紙的；(5)至少訂一種報紙的；(6)不訂任何報紙的。解 事件表示訂甲報，事件表示訂乙報，事件表示訂丙報。(1) =30%(2) (3) +=+=73%(4) (5) (6) 1.26 某班有個學生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？解 用表示“第張考簽

12、沒有被抽到”， 。要求。，所以1.27 從階行列式的一般展開式中任取一項，問這項包含主對角線元素的概率是多少？解階行列式的展開式中，任一項略去符號不計都可表示為，當且僅當的排列中存在使時這一項包含主對角線元素。用表示事件“排列中”即第個主對角線元素出現于展開式的某項中。則 ，所以1.29 已知一個家庭中有三個小孩，且其中一個是女孩，求至少有一個男孩的概率（假設一個小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解 用分別表示男孩和女孩。則樣本空間為：其中樣本點依年齡大小的性別排列。表示“有女孩”， 表示“有男孩”，則1.30 設件產品中有件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產品中有一件是不合格品的條件下，

13、求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取產品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）設表示“所取產品中至少有一件是不合格品”， 表示“所取產品都是不合格品”，則 (2)設表示“所取產品中至少有一件合格品”， 表示“所取產品中有一件合格品，一件不合格品”。則 1.31 個人用摸彩的方式決定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：(1)已知前個人都沒摸到，求第個人摸到的概率；(2)第個人摸到的概率。解 設表示“第個人摸到”， 。(1) (2) 1.32 已知一個母雞生個蛋的概率為，而每一個蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個母雞恰有個下一代（即小雞）的概率為。解 用表示“母雞生個蛋

14、”， 表示“母雞恰有個下一代”，則 1.33 某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，一、二、三、四級射手能通過選拔進入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一組內任選一名射手，該射手能通過選拔進入決賽的概率。解 用表示“任選一名射手為級”， ，表示“任選一名射手能進入決賽”，則1.34 在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產螺絲釘，它們的產量各占25%，35%，40%，并在各自的產品里，不合格品各占有5%，4%，2%?，F在從產品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、丙生產的概率分別等于多少？解 用表示“任取一只產品是甲臺機器

15、生產”表示“任取一只產品是乙臺機器生產” 表示“任取一只產品是丙臺機器生產” 表示“任取一只產品恰是不合格品”。則由貝葉斯公式： 1.35 某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數之比為9:3:2:1，它們在一定時間內需要修理的概率之比為1:2:3:1。當有一臺機床需要修理時，問這臺機床是車床的概率是多少？解 則 ， ，由貝時葉斯公式得 1.36 有朋友自遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是、，而乘飛機不會遲到。結果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？解 用表示“朋友乘火車來”，表示“朋友乘輪船來”，

16、表示“朋友乘汽車來”，表示“朋友乘飛機來”，表示“朋友遲到了”。則 1.37 證明：若三個事件、獨立，則、及都與獨立。證明 （1）= （2） （3）=1.38 試舉例說明由不能推出一定成立。解 設， ， 則 ， 但是1.39 設為個相互獨立的事件，且，求下列事件的概率：(1) 個事件全不發(fā)生；(2) 個事件中至少發(fā)生一件；(3) 個事件中恰好發(fā)生一件。解 (1) (2) (3) .1.40 已知事件相互獨立且互不相容，求（注：表示中小的一個數）。解 一方面，另一方面，即中至少有一個等于0，所以1.41 一個人的血型為型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03，現在任意挑選五個人，求下

17、列事件的概率(1)兩個人為型，其它三個人分別為其它三種血型；(2)三個人為型，兩個人為型；(3)沒有一人為。解 (1)從5個人任選2人為型，共有種可能，在其余3人中任選一人為型，共有三種可能，在余下的2人中任選一人為型，共有2種可能，另一人為型，順此所求概率為： (2) (3) 1.42 設有兩門高射炮，每一門擊中目標的概率都是0.6，求同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少？又若有一架敵機入侵領空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。解 用表示“第門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機”， ，表示“擊中飛機”。則，。(1) (2) , 取。至少需要6門高射炮，同時發(fā)射一發(fā)炮彈，可保證

18、99%的概率擊中飛機。1.43 做一系列獨立的試驗，每次試驗中成功的概率為，求在成功次之前已失敗了次的概率。解 用表示“在成功次之前已失敗了次”， 表示“在前次試驗中失敗了次”， 表示“第次試驗成功”則 1.45 某數學家有兩盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根。求他用完一盒時另一盒中還有根火柴（）的概率。解 用表示“甲盒中尚余根火柴”， 用表示“乙盒中尚余根火柴”， 分別表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”， 表示取了次火柴，且第次是從甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以 由對稱性知，所求概率為：第二章 離散型隨機變量2.1 下列給出的是不是

19、某個隨機變量的分布列？(1) (2) (3) (4)解 （1）是（2），所以它不是隨機變量的分布列。（3）,所以它不是隨機變量的分布列。（4）為自然數，且，所以它是隨機變量的分布列。2.2 設隨機變量的分布列為：，求(1);(2) ； (3) 。解 (1) ;(2) ;(3) .2.3 解 設隨機變量的分布列為。求的值。解 ，所以。2.4 隨機變量只取正整數，且與成反比，求的分布列。解 根據題意知，其中常數待定。由于，所以，即的分布列為，取正整數。2.5 一個口袋中裝有個白球、個黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時停止。設此時取出了個白球，求的分布列。解 設“”表示前次取出白球，第次取

20、出黑球，則的分布列為：2.6 設某批電子管的合格品率為，不合格品率為，現在對該批電子管進行測試，設第次為首次測到合格品，求的分布列。解 2.7 一個口袋中有5個同樣大小的球，編號為1、2、3、4、5，從中同時取出3只球，以表示取出球的取大號碼，求的分布列。解 2.8 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現正面的概率為，設為一直擲到正、反面都出現時所需要的次數，求的分布列。解，其中。2.9 兩名籃球隊員輪流投籃，直到某人投中時為止，如果第一名隊員投中的概率為0.4,第二名隊員投中的概率為0.6，求每名隊員投籃次數的分布列。解 設，表示第二名隊員的投籃次數，則+；。2.10 設隨機變量服從普哇松分布，且，求。

21、解。由于得（不合要求）。所以。2.11 設某商店中每月銷售某種商品的數量服從參數為7的普哇松分布，問在月初進貨時應進多少件此種商品，才能保證當月不脫銷的概率為0.999。解 設為該種商品當月銷售數，為該種商品每月進貨數，則。查普哇松分布的數值表，得。2.12 如果在時間（分鐘）內，通過某交叉路口的汽車數量服從參數與成正比的普哇松分布。已知在一分鐘內沒有汽車通過的概率為0.2，求在2分鐘內有多于一輛汽車通過的概率。解 設為時間內通過交叉路口的汽車數，則 時，所以；時，因而。2.13 一本500頁的書共有500個錯誤，每個錯誤等可能地出現在每一頁上（每一頁的印刷符號超過500個）。試求指定的一頁上

22、至少有三個錯誤的概率。解 在指定的一頁上出現某一個錯誤的概率，因而，至少出現三個錯誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于214 某廠產品的不合格品率為0.03，現在要把產品裝箱，若要以不小于0.9的概率保證每箱中至少有100個合格品，那么每箱至少應裝多少個產品？解 設每箱至少裝個產品，其中有個次品，則要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當于，查普哇松分布數值表，得。2.15 設二維隨機變量的聯合分布列為： 求邊際分布列。解 。2.17 在一批產品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。從中任取4件，設一、二、三等品的件數分別為、，求的聯合分布列與各

23、自的邊際分布列。解 ， ，； ，； ，。2.18 拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現正面的次數，以表示正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值，求的聯合分布列及邊際分布列。2.21 設隨機變量與獨立，且，又，定義，問取什么值時與獨立？解=而，由得 2.22 設隨機變量與獨立，且，定義，證明兩兩獨立，但不相互獨立。 證明因為所以相互獨立。同理與相互獨立。但是，因而不相互獨立。2.23設隨機變量與獨立，且只取值1、2、3、4、5、6，證明不服從均勻分（即不可能有。）證明 設。若，則 將（2）式減去（1）式，得：，于是。同理。因此，與（3）式矛盾。2.24 已知隨機變量的分布列為，求與的分布列。解 分布列

24、為，；的分布列為，。2.25 已知離散型隨機變量的分布列為，求的分布列。解 , , , 2.26 設離散型隨機變量的分布列為： ， ：，且相互獨立，求的分布列。解 2.27 設獨立隨機變量分別服從二項分布：與，求的分布列。解 設為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數（在每次試驗中），為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數（在每次試驗中），而相互獨立，所以為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數，因而。2.28 設為獨立同分布的離散型隨機變量，其分布列為 求的分布列。解2.29 設隨機變量具有分布：，求、及。解， +4+4=272.30設隨機變量具有分布：，求及。解 ， 2.31設離散型隨機變量的分布列為：，問是否有數學

25、期望？解 ，因為級數發(fā)散，所以沒有數學期望。2.32 用天平秤某種物品的重量（砝碼僅允許放在一個秤盤中），物品的重量以相同的概率為1克、2克、10克，現有三組砝碼： （甲組）1，2，2，5，10（克） （乙組）1，2，3，4，10（克） （丙組）1，1，2，5，10（克）問哪一組砝碼秤重時所用的平均砝碼數最少？解 設、分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時所用的砝碼數，則有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 所以，用乙組砝碼秤重時所用的平均砝碼數最少。

26、2.33某個邊長為500米的正方形場地，用航空測量法測得邊長的誤差為：0米的概率是0.49, 米的概率各是0.16，米的概率各是0.08，米的概率各是0.05，求場地面積的數學期望。解 設場地面積為，邊長的誤差為米，則且所以2.34 對三架儀器進行檢驗，各儀器發(fā)生故障是獨立的，且概率分別為、。試證發(fā)生故障的儀器數的數學+。證 令為發(fā)生故障的儀器數，則，所以+。2.37 如果在15000件產品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進行檢查，求查得不合格品數的數學期望。解 設，則的分布列為，因而。設為查得的不合格品數，則，所以。2.38 從數字0，1，n中任取兩個不同的數字，求這兩個數字之差

27、的絕對值的數學期望。解 設為所選兩個數字之差的絕對值，則，于是。2.39 把數字任意在排成一列，如果數字恰好出現在第個位置上，則稱有一個匹配，求匹配數的數學期望。解 設則的分布列為：于是，設匹配數為，則，因而。2.40 設為取非負整數值的隨機變量，證明：(1) ;(2) 證明 (1)由于存在，所以該級數絕對收斂。從而。(2) 存在，所以級數也絕對收斂，從而2.41 在貝努里試驗中，每次試驗成功的概率為，試驗進行到成功與失敗均出現時停止，求平均試驗次數。解 設成功與失敗均出現時的試驗次數為，則，利用上題的結論，+=1+2.42 從一個裝有個白球、個黑球的袋中摸球，直至摸到白球時停止。如果(1)摸

28、球是為返回的，(2)摸球是返回的，試對這兩種不同的摸球方式求：取出黑球數的數學期望。解 略。2.43 對一批產品進行檢驗，如果檢查到第件仍未發(fā)現不合格品就認為這批產品合格，如在尚未抽到第件時已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查，且認為這批產品不合格。設產品數量很大，可以認為每次檢查到不合格品的概率都是，問平均每批要檢查多少件？解 略。2.44 流水作業(yè)線上生產出的每個產品為不合格品的概率，當生產出個不合格品時即停工檢修一次。求在兩次檢修之間產品總數的數學期望與方差。解 設第個不合格出現后到第個不合格品出現時的產品數為，又在兩次檢修之間產品總數為，則因獨立同分布，由此得：，。，。2.46 設隨機變量與

29、獨立，且方差存在，則有（由此并可得）證明 2.47 在整數0到9中先后按下列兩種情況任取兩個數，記為和：(1)第一個數取后放回，再取第二個數；(2)第一個數取后不放回就取第二個數，求在的條件下的分布列。解 (1) .(2) , 2.49 在次貝努里試驗中，事件出現的概率為，令求在的條件下，的分布列。解 。2.50 設隨機變量，相互獨立，分別服從參數為與的普哇松分布，試證： 證明 由普哇松分布的可加性知+服從參數為+的普哇松分布，所以 2.51 設，為個相互獨立隨機變量，且服從同一幾何分布，即有。試證明在的條件下，的分布是均勻分布，即，其中.證明 由于，相互獨立且服從同一幾何分布，所以。從而。第

30、三章 連續(xù)型隨機變量3.1 設隨機變數的分布函數為，試以表示下列概率：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）； （2）； （3）=1-； （4）。3.2 函數是否可以作為某一隨機變量的分布函數，如果（1）（2）0，在其它場合適當定義；（3）-，在其它場合適當定義。解：（1）在（-）內不單調，因而不可能是隨機變量的分布函數； （2）在（0，）內單調下降，因而也不可能是隨機變量的分布函數； （3）在（-內單調上升、連續(xù)且，若定義則可以是某一隨機變量的分布函數。3.3 函數是不是某個隨機變數的分布密度？如果的取值范圍為（1）；（2）；（3）。解：（1）當時，且=1，所以可以是某個隨機變量的分布密度

31、； （2）因為=2，所以不是隨機變量的分布密度； （3）當時，所以 不是隨機變量的分布密度。3.4 設隨機變數具有對稱的分布密度函數，即證明：對任意的有（1）； （2）P（； （3）。 證：（1） = = ； （2），由（1）知1- 故上式右端=2； （3）。 3.5 設與都是分布函數，又是兩個常數，且。證明也是一個分布函數，并由此討論，分布函數是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？ 證：因為與都是分布函數，當時，于是又所以，也是分布函數。取，又令這時顯然，與對應的隨機變量不是取有限個或可列個值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數，所以它也不是連續(xù)型的。3.6 設隨機變數的分布函數為求相應的密度函數，

32、并求。解：，所以相應的密度函數為。3.7 設隨機變數的分布函數為求常數及密度函數。解：因為，所以，密度函數為3.8 隨機變數的分布函數為，求常數與及相應的密度函數。解：因為 所以因而。3.9 已知隨機變數的分布函數為（1） 求相應的分布函數；（2） 求。解： 3.10確定下列函數中的常數，使該函數成為一元分布的密度函數。（1）；（2）（3）解：（1）； （2），所以A=;(3),所以。3.12 在半徑為R,球心為O的球內任取一點P,求的分布函數。解：當0時所以 3.13 某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率（即用電量除以一萬度），它具有分布密度為若該城市每天的供電量僅有80萬度，

33、求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢？解： 因此，若該城市每天的供電量為80萬度，供電量不夠需要的概率為0.0272,若每天的供電量為90萬度，則供電量不夠需要的概率為0.0037。3.14 設隨機變數服從（0，5）上的均勻分布，求方程有實根的概率。 解：當且僅當 （1）成立時，方程有實根。不等式（1）的解為：或。因此，該方程有實根的概率。3.17 某種電池的壽命服從正態(tài)分布，其中（小時），（小時）(1) 求電池壽命在250小時以上的概率； （2）求，使壽命在與之間的概率不小于0.9。解：（1） =； （2） =即所以即3.18 設為分布的分布函數，證明當時，有 證：

34、= =所以 。3.21 證明：二元函數 對每個變元單調非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個分布函數。 證：（1）設，若，由于，所以，若，則。當時，； 當時，。所以 。 可見，對非降。同理，對非降。 （2）時 =， 時， =， 所以對、左連續(xù)。 （3），。 （4）， 所以不是一個分布函數。3.23 設二維隨機變數的密度求的分布函數。解：當，時， =所以 3.24 設二維隨機變數的聯合密度為（1） 求常數；（2） 求相應的分布函數；（3） 求。解：（1），所以； （2）時， =，所以 （3） = =。325 設二維隨機變數有密度函數求常數及的密度函數。解： 所以，；3.26 設二維隨機變數的密度函數

35、為求（1）。解：3.28 設的密度函數為求與中至少有一個小于的概率。解：3.30 一個電子器件包含兩個主要組件，分別以和表示這兩個組件的壽命（以小時計），設的分布函數為求兩個組件的壽命都超過120的概率。解：3.31 設都是一維分布的密度函數，為使成為一個二維分布的密度函數，問其中的必需且只需滿足什么條件？解：若為二維分布的密度函數，則所以條件得到滿足。反之，若條件（1），（2）滿足，則為二維分布的密度函數。因此，為使成為二維分布的密度函數，必需且只需滿足條件（1）和（2）。3.32 設二維隨機變數具有下列密度函數，求邊際分布。（1）（2）（3）解：（1） （2）時， 時， 所以，。同理，。（

36、3） 3.34 證明：若隨機變數只取一個值，則與任意的隨機變數獨立。證：的分布函數為設的分布函數、的聯合分布函數分別為。當時，。當時，。所以，對任意實數，都有，故與相互獨立。3.35 證明：若隨機變數與自己獨立，則必有常數，使。證：由于，所以，。由于，非降、左連續(xù)，所以必有常數，使得故。3.36設二維隨機變量的密度函數為問與是否獨立？是否不相關？解：。同理，。由于，所以與不相互獨立。又因關于或關于都是偶函數，因而，故， 與不相關。3.41 設某類電子管的壽命（以小時計）具有如下分布密度：一臺電子管收音機在開初使用的150小時中，三個這類管子沒有一個要替換的概率是多少？三個這類管子全部要替換的概

37、率又是多少？（假設這三個管子的壽命分布是相互獨立的）解：設這類電子管的壽命為，則所以三個這類管子沒有一個要替換的概率為；三個這類管子全部要替換的概率是。3.44 對球的直徑作近似測量，設其值均勻分布在區(qū)間內，求球體積的密度函數。解：設球的直徑為，則其體積為。的反函數。由的密度函數，得的密度函數為3.45 設隨機變數服從分布，求的分布密度。解：在時，。所以的分布密度。3.46 設隨機變數服從分布，求的分布密度。解：的反函數。由服從分布，推得的分布密度為3.47 隨機變數在任一有限區(qū)間上的概率均大于（例如正態(tài)分布等），其分布函數為，又服從上的均勻分布。證明的分布函數與的分布函數相同。解：因為在任一

38、有限區(qū)間上的概率均大于，所以是嚴格上升函數。由于上的均勻分布，所以的分布函數，對任意的都成立。所以與的分布函數相同。3.48 設隨機變量與獨立，求的分布密度。若（1）與分布服從及上的均勻分布，且；（2）與分別服從及上的均勻分布，。解（1）其它。 ，其它。 = =，其它。 （2），其它， ，其它。 = =，其它3.49 設隨機變量與獨立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數為求+的密度函數。解： ，當時，當時，所以3.50 設隨機變量與獨立，服從相同的柯西分布，其密度函數為證明：也服從同一分布。證：所以即也服從相同的柯西分布。3.51 設隨機變量與獨立，分別具有密度函數（其中），求+的分布密度。解

39、：時，時，3.53 設隨機變量與獨立，都服從上的均勻分布，求的分布。解：服從上的均勻分布，據3.48(2)知，在時，的分布函數所以的分布密度為3.54 設隨機變量與獨立，分別服從參數為與的指數分布，求的分布密度。解：由得，所以在時，在時，所以3.56 設隨機變量與獨立，且分別具有密度函數為證明服從分布。證：由得。故令，則所以服從分布。3.58 設隨機變量與獨立，都服從上的均勻分布，求的密度函數。解：當時，當時所以的密度函數為3.59 設隨機變量與獨立，都服從參數為的指數分布，求的密度函數。解：在時，在時，。3.60 設二維隨機變量的聯合分布密度為證明：與不獨立，但與獨立。證：由于，所以與不獨立

40、。由于所以對一切的，都有，故與相互獨立。3.61 設隨機變量具有密度函數求。解：3.62 設隨機變量具有密度函數求及。解 ， ， 。3.63 設隨機變量的分布函數為試確定常數，并求與。解：由分布函數的左連續(xù)性，故。 =，。3.64 隨機變量具有密度函數其中求常數及。解： =，故。 = 3.66 設隨機變量服從上的均勻分布，求的數學期望與方差。解：。3.67 地下鐵道列車的運行間隔時間為五分鐘，一個旅客在任意時刻進入月臺，求候車時間的數學期望與方差。解：設旅客候車時間為（秒），則服從上的均勻分布，則，。3.71 設為正的且獨立同分布的隨機變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對任意的，有。證：同分

41、布，又，所以都存在且相等。由于，所以。3.72 設是非負連續(xù)型隨機變量，證明：對，有。證：。3.73 若對連續(xù)型隨機變量，有，證明有。 證：。3.75 已知隨機變量與的相關系數為，求與的相關系數，其中均為常數，皆不為零。解：=3.81設隨機變量中任意兩個的相關系數都是，試證：。證：=，故。 3.84證明下述不等式（設都是連續(xù)型或離散型隨機變量）：（1）若與都有階矩，則有)(2)若與都具有階矩，則證：（1）時，即所謂的明可夫斯基不等式，證明略。在時，是的下凸函數，故即故（2）在時，故3.88 設二維隨機變量的聯合分布密度為其中。求條件下的條件分布密度。 解：。故 3.89 設隨機變量服從分布，隨

42、機變量在時的條件分布為，求的分布及關于的條件分布。 解： ，故 ，故在時，的條件分布為。3.90 設為具有數學期望的獨立隨機變量序列，隨機變量只取正整數值，且與獨立，證明：證： 3.91 求下列連續(xù)型分布的特征函數：（1）上的均勻分布，（2）柯西分布，其密度函數為（3）分布，其密度函數為 解：（1）（2）由拉普拉斯積分得（3）3.93 若是特征函數，證明下列函數也是特征函數：（1）（為正整數）證：（1）若是隨機變量的特征函數，則是隨機變量的特征函數；（2）若與獨立同分布，其特征函數為。則是隨機變量的特征函數；（3）若獨立分布，其特征函數為。則是隨機變量的特征函數。3.94 證明下列函數是特征函

43、數，并找出相應的分布函數：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。證：（1），所以是兩點分布-11的特征函數。（2），所以是三點分布的特征函數。（3）密度函數為的指數分布的特征函數為，所以是密度函數為的分布的特征函數。（4）上均勻分布的特征函數為，所以互相獨立且同為上均勻分布的兩個隨機變量和的特征函數為，即是密度函數為的分布的特征函數。（5），所以是幾何分布的特征函數。3.95 試舉一個滿足（1），（2），但是不是特征函數的例子。解：令則滿足（1），（2），但在點不連續(xù)，故不是特征函數。3.96 證明函數是特征函數，并求出它的分布函數。解：由于故欲證是特征函數，僅須驗證是密度函數由于，所以為特

44、征函數，其分布函數為。3.97 設是一個特征函數。，證明：也是特征函數。證：設與相互獨立，的特征函數為，服從上的均勻分布，的特征函數為，則是的特征函數。3.98 設為個獨立同柯西分布的隨機變量，證明與有相同的分布。證：柯西分布的特征函數故的特征函數為所以與同分布。3.99 設為獨立同分布的隨機變量，求的分布。解：分布，；，的特征函數。故的特征函數為，所以也是分布，其密度函數為，；，。3.100 設二維隨機變量具有聯合密度函數為證明：的特征函數等于的特征函數的乘積，但是并不相互獨立。證： 的特征函數為。故與的特征函數皆為，所以的特征函數等于、的特征函數的乘積。由，故與不互相獨立。3.101 設隨

45、機變量服從柯西分布，其特征函數為，又令，證明的特征函數等于、的特征函數的乘積，但與不獨立。證：由的特征函數推得，與的特征函數分別為與，故。倘若與相互獨立，令的分布函數為，則，故或，此與服從柯西分布相矛盾，故與互不獨立。3.102 判別下列函數是否為特征函數（說明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）不是，因為。 （2）不是，因為當時，。 （3）不是，因為不成立 （4）不是，因為。 （5）是的，拉普拉斯分布的特征函數為，所以也是特征函數。第四章 大數定律與中心極限定理4.1 設為退化分布：討論下列分布函數列的極限是否仍是分布函數？解：（1）（2）不是；（3）是。4.2 設分布

46、函數如下定義：問是分布函數嗎？解：不是。4.3設分布函數列弱收斂于分布函數，且為連續(xù)函數，則在上一致收斂于。證：對任意的，取充分大，使有對上述取定的，因為在上一致連續(xù)，故可取它的分點：，使有，再令，則有 （1）這時存在，使得當時有 （2）成立，對任意的，必存在某個，使得，由（2）知當時有 （3） （4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，結論得證。4.5 設隨機變量序列同時依概率收斂于隨機變量與，證明這時必有。證：對任意的有，故即對任意的有成立，于是有從而成立，結論得證。4.6 設隨機變量序列，分別依概率收斂于隨機變量與，證明：（1）；（2）。證：（1）因為故即成立。（2）先證明這時必有。

47、對任給的取足夠大，使有成立，對取定的，存在，當時有成立這時有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述（1）有故，結論成立。4.7 設隨機變量序列，是一個常數，且，證明。證：不妨設對任意的，當時有，因而。于是有 。結論成立。4.9 證明隨機變量序列依概率收斂于隨機變量的充要條件為：證：充分性，令，則，故是的單調上升函數，因而，于是有 對任意的成立，充分性得證。必要性，對任給的，令，因為，故存在充分大的使得當時有，于是有 ，由的任意性知，結論為真。4.10 設隨機變量按分布收斂于隨機變量，又數列，證明也按分布收斂于。證：先證明按分布收斂于。時為顯然，不妨設（時的修改為顯然），若，的分布函數分別記作，

48、與，則=，當是的連續(xù)點時，是的連續(xù)點，于是有成立，結論為真。由4.12知，再由4.6(1)知，于是由前述結論及4.11知按分布收斂于，結論得證。4.11設隨機變量序列按分布收斂于隨機變量，隨機變量序列依概率收斂于常數，證明按分布收斂于。證：記的分布函數分別為，則的分布函數為，設是的連續(xù)點，則對任給的，存在，使當時有 （1）現任取，使得都是的連續(xù)點，這時存在，當時有 （2） （3）對取定的，存在，當時有 （4）于是當時，由（1），（2），（4）式有又因為于是由（1），（3），（4）式有 （6）由（5），（6）兩式可得由的任意性即知按分布收斂于，結論得證。4.12設隨機變量序列按分布收斂于，隨機變

49、量序列依概率收斂于，證明.證：記的分布函數分別為，對任給的，取足夠大，使是的連續(xù)點且因為，故存在，當時有令，因為，故存在，當時有而其中，當時有因而，由的任意性知，結論為真。4.13 設隨機變量服從柯西分布，其密度函數為證明。證：對任意的，有故。4.14 設為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數為其中為常數，令，證明。證：對任意的，為顯然，這時有對任意的，有故成立，結論得證。4.15 設為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數為令，證明。證：設的分布函數為，有這時有對任意的，有故成立，結論得證。4.17設為一列獨立同分布隨機變量，都服從上的均勻分布，若，證明。證：這時也是獨立同分布隨機變量序列，且由辛欽大數定律知服從大數定理，即有，令，則是直線上的連續(xù)函數，由4.8題知結論成立。4.18設為一列獨立同分布隨機變量，每個隨機變量的期望為，且方差存在，證明。證：已知，記，令，則對任給的，由契貝曉夫不等式有故，結論得證。4.19設