正態(tài)分布及其經(jīng)典習題和答案

1、25.3正態(tài)分布【知識網(wǎng)絡】1、取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念；2、能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題；3、通過實際問題，借助直觀(如實際問題的直觀圖)，認識正態(tài)分布、曲線的特點及曲線所表示的意義?！镜湫屠}】例1: (1)已知隨機變量 X服從二項分布，且 E (X) =2.4, V (X) =1.44,則二項分布的參數(shù) n, p的值為( )A. n=4, p=0.6 B. n=6,p=0.4 C. n=8, p=0.3 D. n=24, p=0.1(2)正態(tài)曲線下、橫軸上，從均數(shù)到十比的面積為()。A 95% B . 50% C . 97.5% D .不能確

2、定(與標準差的大小有關)(3)某班有48名同學，一次考試后的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，平均分為80,標準差為10,理論上說在80分到90分的人數(shù)是()A 32B16C8D 20(4)從1, 2, 3, 4, 5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)之積的數(shù)學期望為 。4(5)如圖，兩個正態(tài)分布曲線圖： 31 為，©(x) , 2 為 Ux), 1 口,，_則出 人，5 0 2 (填大于，小于) -1例2:甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3至少答對2題才算合格中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機

3、抽出3題進行測試,(I )求甲答對試題數(shù) E的概率分布及數(shù)學期望；(n)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率例3:甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量X和Y,其分布列如下:(1)求a,b的值；(2)比較兩名射手的水平例4: 一種賭博游戲：一個布袋內裝有6個白球和6個紅球，除顏色不同外，6個小球完全一樣，每次從袋中取出6個球，輸贏規(guī)則為：6個全紅，贏得100元；5紅1白，贏得50元；4紅2白，贏得20元；3紅3白， 輸?shù)?00元；2紅4白，贏得20元；1紅5白，贏得50元；6全白，贏得100元.而且游戲是免費的.很多人認為 這種游戲非常令人心動，現(xiàn)在，請利用我們學過的概率知識解

4、釋我們是否該“心動”-1 答案：B。解析：E(X)=np=2.4, V(X )=np(1 p)=1.44。2.答案：B。解析：由正態(tài)曲線的特點知。3.答案：B。解析：數(shù)學成績是XN(80,102),80 -8090 -804. P(80 <X <90) =P , 10<Z < 10 卜P(0 <Z <1)0.3413,48x0.341316°答案：8.5。解析：設兩數(shù)之積為X,X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1E(X)=8.5.5.答案：V, >。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。例

5、答案：解：(I)依題意，甲答對試題數(shù) E的概率分布如下：1311 Q甲答對試題數(shù)E的數(shù)學期望EE = 0m，+1m±+2m，+3m，= Q301026 5(n)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為a、B,則C/C：十C3 60 十20 2C：C2+C； 56 + 56 14P(A)=- = = ，P(B)= -8A-L = 一.01231311P301026因為事件A、B相互獨立,方法一：，甲、乙兩人考試均不合格的概率為洞十景一看，C13)1203C13012015p=1-pAB =1一。=4445 4544 . 45答案:.甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為答：甲、乙兩人至少有一人考

6、試合格的概率為 方法二：，甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為2 11 14 2 14 44P = P A B P A B P A B =3 15 3 15 3 15 4544答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為44.45例 答案：(1) a=0.3,b=0.4;(2) EX =1 0.3 2 0.1 3 0.6 -2.3, EY -1 0.3 2 0.4 3 0.3 =2DX =0.855, DY =0.6所以說甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙穩(wěn)定_ X _100_50_20_100p167510046277154231設贏得的錢數(shù)為 Y,則丫的分布列為k6 -k設取出的紅球數(shù)為X,則X

7、-H (6, 6, 12), P(X =k)=C6 C6,其中k=0,1,2,6C12E(Y) =100父工+50父色+20父匹 100M100=29.44,故我們不該“心動”。 46277154231【課內練習】1 .標準正態(tài)分布的均數(shù)與標準差分別為()。A 0與1 B .1與0 C .0與0 D .1與12 .正態(tài)分布有兩個參數(shù) N與仃，()相應的正態(tài)曲線的形狀越扁平。A R越大 B . R越小 C .仃越大 D .仃越小1n - 23 .已在n個數(shù)據(jù)Xi,X2，Xn,那么一£ (Xi -X )是指n i 4A. er B. N C.仃2 D. R2 ()4 .設 £B

8、(n,p), E)=12, V(U) = 4,則 n 的值是。5,對某個數(shù)學題，甲解出的概率為2,乙解出的概率為-,兩人獨立解題。記 X為解出該題的人數(shù)，則 E34(X) = O6.設隨機變量 匕服從正態(tài)分布 N (0,1),則下列結論正確的是 。P(|；a)=P(|/：a) P(|=a)(a 0)(2)P(|；a)=2P(，:a)1(a.0)P(|< a)=1 -2P(:二a)(a.0)(4)P(|< a)=1 -P(|a)(a.0)7.拋擲一顆骰子，設所得點數(shù)為X,則V (X) =。8.有甲乙兩個單位都想聘任你，你能獲得的相應的職位的工資及可能性如下表所示:甲單位1200140

9、016001800概率0.40.30.20.1乙單位1000140018002200概率0.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位并說明理由。9 .交5元錢，可以參加一次摸獎。一袋中有同樣大小的球10個，其中有8個標有1元錢，2個標有5元錢,摸獎者只能從中任取 2個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和(設為 巴),求抽獎人獲利的數(shù)學期望。10 .甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6 ,被甲或乙解出的概率為0.92.(1)求該題被乙獨立解出的概率；(2)求解出該題的人數(shù)自的數(shù)學期望和方差1.答案：A。解析：由標準正態(tài)分布的定義知。2.答案：Co解析

10、：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。3 .答案：Co解析：由方差的統(tǒng)計定義知。4 .答案：4。解析：E«）=np=12, V仁）=np（1 p） = 45.答案:171 112 1 1 452 3 1一。解析： P(X =0) =- x- =一,P(X =1)=-x- +- x- =一 , P(X =2)=x=。12',34 123 4 3 4 123 4 2151 17E（X） =0 x- +1 黑一+2 x-=。 2122 126 .答案：（1）,（2）,（4）。解析：P（仁 |=a）=0。、351 7357 .答案：12。解析：P（X =k）=»,k =1,2,|,

11、6 ,按定義計算得 E（X） =5,V（X）=石。8答案：由于E （甲）=E （乙），V （甲）V （乙），故選擇甲單位。解析：E （甲）=E （乙）=1400, V （甲）=40000, V （乙）=160000。9.答案：解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.設甲獨立解出此題的概率為P1,乙為P2.則P （A） =P1=0.6, P（B）=P 210答案：解：因為 之為抽到的2球的錢數(shù)之和，則可能取的值為2, 6, 10.P住=2)=±="，P仁=6)=洛= 16, P仁=10) =與=C*45C*45C204528161E；： =26104545451621

12、845設n為抽獎者獲利的可能值，則 n_5,抽獎者獲利的數(shù)學期望為E" = E（：-5） = E：-5="-5 =-故，抽獎人獲利的期望為-。555P(A B) =1 - P( A B) = 1 -(1 一 P1)(1 - P2) = P1P2 - RP2 = 0.92.0.6 P2 -0.6 P2 = 0.92 則 0.4 F2 = 0.32 即 P2 = 0.8(6 分)(2) P (- 二0)=P(A) P(B) =0.4 0.2 =0.08P(：二1)=P(A)P(B) P(A)P(B) =0.60.20.4 0.8 =0.44P( =2) =P(A) P(B) =

13、0.6 0.8 =0.48：的概率分布為：012P0.080.440.48E £ =0 M0.08 +1 M0.44 +2 乂0.48 =0.44 +0.96 =1.4,V(勺=(0 -1.4)2 M0.08 +(1 -1.4)2 父0.44 +(2 1.4)2父0.48 =0.1568 +0.0704 +0.1728 =0.4 ,或利用 V (為=E(髻)一(E1)2 =2.36 -1.96 =0.4 ?！咀鳂I(yè)本】A組1.袋中裝有5只球，編號為1,2, 3, 4, 5,從中任取3球，以X表示取出球的最大號碼，則 E (X)等于 )C.答案:f(X)Wef(X)=22B.f(x)=2

14、1XD. f(x)=-e22 二Bo解析：選項 B是標準正態(tài)分布密度函數(shù)。A、4B、5C、4.5D、4.75答案：Co解析：X的分布列為X345P0.10.30.6故 E (X) =3 M 0.1+4 父 0.3+5 父0.6=4.5。2.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是3.正態(tài)總體為 N =0,仃=-1概率密度函數(shù) f(x)是D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù)21答案：Bo 解析：f(x) =e 2。2二4 .已知正態(tài)總體落在區(qū)間(0.2,十受)的概率是0. 5,那么相應的正態(tài)曲線在 x=時達到最高點。答案：0.2。解析：正態(tài)曲線關于直線x= N對稱，由題意知 N

15、=0.2。5 . 一次英語測驗由40道選擇題構成，每道有 4個選項，其中有且僅有一個是正確的，每個選對得 3分，選 錯或不選均不得分，滿分120分,某學生選對一道題的概率為 0.7,求該生在這次測驗中的成績的期望為 ; 方差為°答案：84; 75.6。解析：設X為該生選對試題個數(shù)，Y為成績，則XB (50, 0.7),刀=3X，E(X)=40 X 0.7=28 V(X)=40 X0.7X0.3=8.4故 E(刀)=E(3X)=3E(X)=84 V(刀)=V(3X)=9V(X)=75.66 .某人進行一個試驗，若試驗成功則停止，若實驗失敗，再重新試驗一次，若試驗三次均失敗，則放棄試2驗

16、，若此人每次試驗成功的概率為-,求此人試驗次數(shù) X的分布列及期望和方差。3解：X的分布列為X123221P399故 E(X) =1父2 +2父2 +3父=13, V(X)=1M2+4M2+9- (13)2 =日。 39993999817 .甲、乙兩名射擊運動員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為0.5,乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s,若他們獨立的射擊兩次，設乙命中10環(huán)的次數(shù)為 X,則EX= - , Y為甲與乙命中10環(huán)的差的絕對值.求s的值及Y的3分布列及期望.， r一,42答案：解：由已知可得 X B(2,s),故ex =2s=,所以s =.33有Y的取值可以是0, 1, 2.甲、乙兩人命中10

17、環(huán)的次數(shù)都是0次的概率是/ 1 21、2(2)(3)136'甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是1次的概率是甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是2次的概率是所以P(Y =0)13369 9 36甲命中10環(huán)的次數(shù)是2且乙命中10環(huán)的次數(shù)是0次的概率是夕出)2甲命中10環(huán)的次數(shù)是0且乙命中10環(huán)的次數(shù)是2次的概率是36'1所以 P(Y =2)=151故 p(Y = 1) = 1 P(Y = 0) P(Y = 2)=36 9362所以Y的分布列是Y123P131536236所以Y的期望是E (Y) =7。98 . 一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件，投資 50萬元，開發(fā)成功的概率為 0.9,若開發(fā)不

18、成功，則只能收回 10 萬元的資金，若開發(fā)成功，投放市場前，召開一次新聞發(fā)布會，召開一次新聞發(fā)布會不論是否成功都需要花費10萬元，召開新聞發(fā)布會成功的概率為0.8,若發(fā)布成功則可以銷售 100萬元，否則將起到負面作用只能銷售60萬元，而不召開新聞發(fā)布會則可能銷售75萬元.(1)求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率(2)求開發(fā)商盈利的最大期望值 .答案：解：(1)設A= "軟件開發(fā)成功” ，B= "新聞發(fā)布會召開成功”軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率是 P(AB尸P(A)P(B)=0.72.(2)不召開新聞發(fā)布會盈利的期望值是£ =Y0x (10.9)+

19、(755。父0.9 =185(萬元)；召開新聞發(fā)布會盈利的期望值是E2 =Y0M(10.9)+(10050)父0.72十0.9父(10.8)父(6050)10父0.9 = 24.8 (萬元)故開發(fā)商應該召開新聞發(fā)布會，且盈利的最大期望是24.8萬元.B組1 .某產(chǎn)品的廢品率為 0.05,從中取出10個產(chǎn)品，其中的次品數(shù)X的方差是 ()A、0.5B、0.475C、0.05D、2.505970答案：Bo 解析：X-B (10, 0.05), V(XxiA2 .若正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)=Le,(x£R),下列判斷正確的是2二A.有最大值，也有最小值B.有最大值，但沒最小值C.有最大值，但

20、沒最大值D.無最大值和最小值答案：Bo3.在一次英語考試中，考試的成績服從正態(tài)分布(100,36),那么考試成績在區(qū)間88,112內的概率是)A. 0. 6826 B. 0. 3174 C. 0. 9544 D. 0. 9974答案:Co解析：由已知 X N (100, 36),P(88 :二 X <112) =P(88-100 r 112-100:Z _) = P(-2 <Z <2) =2P(Z M2)1 =0.9544。4.袋中有4個黑子3個白球，2個紅球，從中任取 2個球，每取到一個黑球得 0分,每取到一個白球得1分，若取到一個紅球則得 2分，用X表示得分數(shù)，則 E (

21、X)=；V(X)=X01234P111111 16336636.14165答案： 一； 。解析：由題意知， X可取值是0, 1,2, 3, 4。易得其概率分布如下:9162E(X)=0 X +1 X - + 2X + 3X + 4X =63366363614921.21211V(X)= 0 x -+1 x - + 2 x + 31 j 1一+ 4 x3614'2165一 I =<9 )162注：要求次品數(shù)的數(shù)學期望與方差，應先列出次品數(shù)5.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)是中出(乂)的分布列。上e 8 ,(xWR),則 E(2X-1)=答案：-5。解析：仃=2,N = -2,E(2X _1)=2E(X) 1=2父(-2)1=-5。6. 一本書有500頁，共有100個錯字，隨機分布在任意一頁上，求一頁上錯字個數(shù)X的均值、標準差。1解： X-B(100,),. E(X