自動(dòng)控制原理-吳懷宇-課后習(xí)題-第四章.

1、第四章4-1 已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G (s)K試?yán)L制該系統(tǒng)在正、 負(fù)反饋1)(s2)s( s情況下的根軌跡圖。解：（ 1）負(fù)反饋情況令 s(s 1)(s2)=0 ，解得3 個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p1 0, p21, p32根軌跡分支數(shù)為3，起點(diǎn)分別為 (0, j 0),( 1, j 0),(2, j 0)終點(diǎn)均為無(wú)窮遠(yuǎn)處。在實(shí)軸上的根軌跡為,2 ,1,0 兩段。nm由 n=3,m=0 得軌跡有 3 條漸近線，它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)pizji1j1a1nm（2k）（2k），（ k=0,1,2 ）漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為a1=1nm3當(dāng) k=0,1,2時(shí)，計(jì)算得a 分別為 60°，

2、180°， -60°確定分離點(diǎn)， 由 1 +1+1=0 解得 d10.42,d21.58由于 d2 不是根軌跡上dd1 d2的點(diǎn)，故不是分離點(diǎn)，分離點(diǎn)坐標(biāo)為d1確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：控制系統(tǒng)特征方程s33s22sK =0 令 s=j代入上式得j 33 22 jK =0寫(xiě)出實(shí)部和虛部方程K 32=02 或=03可求得20K6K0因此，根軌跡在2 處與虛軸相交，交點(diǎn)處的增益K6 ；另外實(shí)軸上的根軌跡分支在0 處與虛軸相交。負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡如下圖所示（ 2）正反饋情況令 s(s 1)(s2)=0 ，解得 3 個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p1 0, p21, p32根軌跡分支數(shù)為3，起點(diǎn)分別為

3、(0, j 0),( 1, j 0),( 2,j 0) 終點(diǎn)均為無(wú)窮遠(yuǎn)處。在實(shí)軸上的根軌跡為2, 1, 0,兩段。nm由 n=3,m=0 得軌跡有 3 條漸近線，它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)pizji 1j 11amn漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為a= 2k，（ k=0,1,2 ）3當(dāng) k=0,1,2時(shí)，計(jì)算得a 分別為 0°， 120°， -120°確定分離點(diǎn)， 由 1 +1+1=0 解得 d10.42,d21.58由于 d1 不是根軌跡上dd1 d2的點(diǎn)，故不是分離點(diǎn)，分離點(diǎn)坐標(biāo)為d2確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：控制系統(tǒng)特征方程s33s22s-K =0 將 s=j代入上式得

4、j 33 22 j-K =0寫(xiě)出實(shí)部和虛部方程-K3 2=0可求得2 或=0320K-6K0因此，根軌跡在0 處與虛軸相交。正反饋系統(tǒng)根軌跡如下圖所示4-2 設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G( s) H (s)K (s+z) ( z p) 繪制根軌跡圖， 證明根軌跡s( s p)的復(fù)數(shù)部分是圓，并求出圓的圓心和半徑。解：系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡為, z ,p,0根軌跡分離點(diǎn)坐標(biāo)滿足1+1=1解得 d1zz2pz, d2zz2pzdd p d z系統(tǒng)閉環(huán)特征方程s2( pK ) s+Kz=0 解得 s1,2 =- pKj4Kz ( pK )222令 x=-pK4Kz( pK ) 2, y2則2( x2pK22

5、z( pK )( pK )2z)=(z-2)z4y24Kz( pK )2Kz( p K )244兩式相加得 (xz)2y2 =z2zp又分離點(diǎn) d 到開(kāi)環(huán)零點(diǎn)距離r=dzz2pz即 ( xz)2 y2 r2 =(d z) 2故根軌跡的復(fù)數(shù)部分是圓，圓心為零點(diǎn)，半徑為零點(diǎn)到分離點(diǎn)之間的距離。根軌跡圖如下：4-3 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制根軌跡圖。K ( s 2)K (s1)（ 1） G( s) s(s1)(s3)（ 2） G (s)s2 (0.1s1)（ 3） G (s)K (s 5)（4） G (s)K (s1)1)(s3)s2(sK (s4)（ 6） G ( s)K ( s

6、0.2)（ 5） G (s)1)2s2 ( s 3.6)( s解：（ 1）由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)有1 個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) z123 個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p10, p21, p33根軌跡分支數(shù)為3，起點(diǎn)分別為 (0, j 0),( 1, j 0),(3, j 0) 一個(gè)終點(diǎn)為 (2, j 0)另兩個(gè)終點(diǎn)為無(wú)窮遠(yuǎn)處。在實(shí)軸上的根軌跡為3, 2,1,0兩段。nm由 n=3,m=1 得軌跡有 2 條漸近線，它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)pizji1j1a1nm漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為a（2k）（），（ k=0,1 ）1= 2k1nm2當(dāng) k=0,1 時(shí)，計(jì)算得a 分別為 -90°， 90°則系統(tǒng)根軌跡

7、如下圖所示（2）由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)有1 個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) z113 個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p10, p2 0, p310根軌跡分支數(shù)為3，起點(diǎn)分別為 (0, j 0),(0, j 0),( 10, j 0)一個(gè)終點(diǎn)為 ( 1, j 0)另兩個(gè)終點(diǎn)為無(wú)窮遠(yuǎn)處。在實(shí)軸上的根軌跡為10, 1 段。由 n=3,m=1 得軌跡有 2 條漸近線，它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)nmpizji1j1a4.5nm（2k）（2k）漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為1=1，（ k=0,1 ）anm2當(dāng) k=0,1 時(shí)，計(jì)算得a 分別為 -90°， 90°確定分離點(diǎn)，由1+1+1=1解得 d4,d22.5dd d10d11

8、確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：控制系統(tǒng)特征方程0.1s3s2Ks K =0 將 s=j代入上式可求得=0K0則系統(tǒng)根軌跡如下圖所示（ 3）由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)有1 個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) z152 個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p11, p23根軌跡分支數(shù)為2，起點(diǎn)分別為 (1, j 0),(3, j 0) ，終點(diǎn)分別為 ( 5, j 0) 和無(wú)窮遠(yuǎn)處。在實(shí)軸上的根軌跡為,5 ,3,1 兩段。nm軌跡有 1 條漸近線，它與實(shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)pizji 1j 11amn漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為a（2k1）=（2k1） ，（ k=0）則 anm11=1解得 d1522，d25 2 2確定分離點(diǎn)，由+d 1 d 3 d 5確定根軌

9、跡與虛軸的交點(diǎn)：控制系統(tǒng)特征方程s2(4K ) s3 5K =0 將 s=j=0=17 j 均舍去代入上式可求得K -3 ,5K4則系統(tǒng)根軌跡如下圖所示（ 4）由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)有1 個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) z112 個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p10, p20根軌跡分支數(shù)為2，起點(diǎn)分別為 (0, j 0),(0, j 0)，終點(diǎn)分別為 (1, j 0) 和無(wú)窮遠(yuǎn)處。在實(shí)軸上的根軌跡為,1段。nm軌跡有 1 條漸近線，它與實(shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)pizji 1j 11amn漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為（2k1）（2k）， (k=0)則aa=1nm確定分離點(diǎn)，由1+1=1解得 d2 ，則分離點(diǎn)為2, j 0d dd1則系統(tǒng)根軌

10、跡如下圖所示（ 5）由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)有1 個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) z142 個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p11, p21根軌跡分支數(shù)為2，起點(diǎn)分別為 (1, j 0),( 1, j0) ，終點(diǎn)分別為 (4, j 0) 和無(wú)窮遠(yuǎn)處。在實(shí)軸上的根軌跡為, 4段。nm軌跡有 1 條漸近線，它與實(shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)pizji 1j 12amn漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為a（2k1）=（2k） ， (k=0)則anm1確定分離點(diǎn)，由1+1=1解得 d7d 1 d 1 d 4則系統(tǒng)根軌跡如下圖所示（ 6）由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)有1 個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) z10.23 個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p10, p20, p33.6根軌跡分支數(shù)為 3，起點(diǎn)分別為

11、 (0,j 0),(0, j 0),(3.6,j 0) ，終點(diǎn)分別為 (0.2, j 0) 和無(wú)窮遠(yuǎn)處。在實(shí)軸上的根軌跡為3.6,0.2段。nm軌跡有 2 條漸近線，它與實(shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)pizji 1j 1a1.7nm漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為a（2k）（2k）， (k=0,1)則 a1=1nm22確定分離點(diǎn)，由1 + 11=1解得 d1 1.67,d20.43d dd 3.6d0.2則系統(tǒng)根軌跡如下圖所示4-5 已知系統(tǒng)如下圖所示，試?yán)L制根軌跡圖。解：由圖可知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G ( s) H (s)Ks32s22s令 s32s22s=0 ，解得3 個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p10, p21j , p31 j根軌跡分支數(shù)為3，起點(diǎn)分別為(0, j 0),( 1, j )和(1, j ) ，終點(diǎn)分別為 (5, j 0) 和無(wú)窮遠(yuǎn)處。在實(shí)軸上的根軌跡為,0 段。nm軌跡有 3 條漸近線，它與實(shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)piz ji 1j 12am3n（2k）（2k），（ k=0,1,2）漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為a1=1nm3當(dāng) k=0,1,2 時(shí)，計(jì)算得a 分別為 60