近世代數(shù)初步(第二版)課后習(xí)題答案_石生明_01

1、引論章1. 代數(shù)問(wèn)題的特點(diǎn)，代數(shù)學(xué)研究的對(duì)象與特點(diǎn).2. 域、環(huán)、群（半群）的定義與相互聯(lián)系.3. 群、環(huán)、域的基本運(yùn)算性質(zhì)：消去律（加法與乘法）及零因子、單位元（零 元）和逆元（負(fù)元的唯一性、廣義結(jié)合律、方和倍數(shù).4. 一般域h關(guān)丁多項(xiàng)式理論、線(xiàn)性方稈組理論、線(xiàn)性仝問(wèn)與線(xiàn)性變換的理 論的定理.1. 引論章$ 1的設(shè)置是體現(xiàn)總導(dǎo)引中第1點(diǎn)思想.2. 引論章的§ 2是貫徹總導(dǎo)引中第三點(diǎn)思想.本教材主耍講群、環(huán)、域三個(gè) 運(yùn)算系統(tǒng).本章第一節(jié)初步體現(xiàn)了研究代數(shù)運(yùn)兌系統(tǒng)的必要性.而彡2中從人們 熟悉的數(shù)域.整數(shù)環(huán)等例子為背景先引入一般域和環(huán)的定義.然后才引入只有一 個(gè)運(yùn)算的系統(tǒng):群（半群）.

2、研究它們的基本性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)群是更基本的運(yùn)算系統(tǒng). 這樣在后iflj兒章中就是先講群，后講域、環(huán).于是群中的一呰運(yùn)算性質(zhì).如剩余類(lèi) 陪災(zāi).商群，同態(tài)定理等部能在講域、環(huán)吋應(yīng)川.這種次序安緋卜.邏輯關(guān)系濟(jì) 楚，且數(shù)學(xué)處理上"j以簡(jiǎn)便些、而§2屮宄按域、壞、群次序引入定義卻足更適介 人們的認(rèn)知順序.3. § 2坡后的定理非常重耍.其一足引入一般域這種運(yùn)算系統(tǒng)就足為了能應(yīng)用這個(gè)定理.其二，在本教材的開(kāi)始就引入這個(gè)定理是為了使本教材的結(jié)構(gòu)比 以前教材冇較大的變化.以前教材在群論一章之后必須以很大篇幅講環(huán)，主耍是 講閃式分解唯一性定理.這幾乎成了以前師范院校近世代數(shù)課程的主要部

3、分.而 更有應(yīng)用更有興趣的域論部分就無(wú)法講授.我們的處理吋以在本教材的第二、三 草大朵地講域（特別足冇限域及其應(yīng)用.而環(huán)只作為鋪唞，人很少部分 到的多項(xiàng)a及線(xiàn)性空間的性質(zhì)全呵由上而所述的定理所提供.這種處理使本教 材的而貌煥然一新.思考練習(xí)題(非必作題)1. 在一般域上敘述和證明除法算式(帶余除法)成立.2. 一般域上非常數(shù)多項(xiàng)式都是一呰不討約多項(xiàng)式的乘積.3. 沒(méi)ail 欠1+ ai2 x2+ (11 nxn= in (121 x1+ c122 尤2+*"+ u2nxn = bz是域f上的線(xiàn)性方程組.試給出“這個(gè)方程組是相關(guān)或無(wú)關(guān)的”，“這個(gè)方程組的 極人無(wú)關(guān)部分組”的定義.證明這

4、個(gè)方程組與它的極人無(wú)關(guān)部分組m解.以卜外題中冇*種為必作題,m余力選作題.*1.判斷下列哪些足集介a上的代數(shù)運(yùn)算.(1) 4=所有實(shí)數(shù)，4上的除法.(2) a是平而上全部向量.川實(shí)數(shù)和a中向量作數(shù)量乘法(倍數(shù)).(3) a是空間全部向量，4中向量的向量積(或外積，叉乘.(4) /1 =所有實(shí)數(shù).4上的一個(gè)二元實(shí)函數(shù).*2.給定集介fz=1.0.定義f:上兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算加法和乘法，用下_的加 法表.乘法表來(lái)表示：+01x01001000丄丄010丄例如,0+1=1，在加法表中+號(hào)下的0所在的行與+號(hào)右邊的1所在的列相交 處的元就是1 ；1xo=o,在乘法表中x號(hào)下的1所在的行與x號(hào)右邊的0所在 的

5、列相交處的元是0.試驗(yàn)證上述加法、乘法都有交換律、結(jié)介律.且乘法對(duì)丁加法有分配律. *3.設(shè)/?是環(huán).證明下述性質(zhì):(1) a+ b= a，貝 lj b=0，(2 ) ( b、= (_ a、_ b，(3 )(a b )=(a )4- h， (4 ) a b= c，貝lj a= c+ i)，(5 ) ao=o，(g )(<山、=( a)l)= a( h),(7 ) ( a )( i)= ah(8 ) a( b c )= ab ac 4. r 是環(huán)，ai，a:，am，/)i，b:，j)n g r，則(s «<) ( s /j = s s a,a t=l/=ii=l 7=1*5

6、. ft是環(huán)，驗(yàn)證:對(duì)所有非負(fù)整數(shù)m，n，v a，ber，冇 n m n / m n ntn a a a a ) a .若a,a交換，則(*6. /e是環(huán)r，a，b交換，證明二項(xiàng)定理：其中 =d= ”(n-1 >"(«-a+l)n，aml，貝lj a am ai a:am ff逆元素k7 r是環(huán)，ai，a:，am6 r，分別有乘法逆元素ai 1 的逆元素為amam-ia： 1 ai 1 .芯ai .，am兩兩交換，則 的充要條件是ai，aot皆有逆元素8. /是環(huán)，a，be r.證明c(l 一(il) (1 ab )c 1*(1 l)a ) d r/( 1 一 ba

7、) 1，其中</=l+ ixa .即荇1- uh在ft內(nèi)nj逆.則i-ha也可逆.元素1+ adb等于 什么？9. 為域f上全體nx n陣作成的環(huán)，n>2.舉出其中零因子的 例子.3題笞窠與解笞1. (1)否，(2否，(3)是.4是.2 .證叨 由p a+ i)和h+ a, a+ (/>4- c)和(a+ i)4- c中1，0出現(xiàn)的次數(shù) 分別相同，它們的和就分別相等，故f:中加法交換律和結(jié)合律成立.由于ah和ba , «( be )和(ab )c屮如有0出現(xiàn)，其積為零，否則其積為1 .故這 兩對(duì)積分別相等，于是f,中乘法交換律和結(jié)合律成立.對(duì)a< />+

8、 c )和ub+ ae，農(nóng)a=0，這兩式子都為零;農(nóng)a= 1 ,這兩入子都為i) + c，對(duì)這兩種怡形兩式子都相等.故f,中乘法對(duì)加法的分配律成立.3. (1)對(duì)a+ l)= a= a+0川加法消去律，得b=0 . (2 )由 丁( a)/)j+ a+ b= ( a )+ 6+ ( a+ b )= < a+ a=0，由負(fù)元的定義知(_ a)_b= ( a+ b). (3)在(2)屮將 a 換為一1，就得一(«-/>)=(-«)+/>. (4 )對(duì) a一b c 兩邊加上 b .左邊=(a一b )+ it a./1'邊二 c+ i).故 a c+ b

9、.(5) a，o+rt=a，o+a，l=<z(o+l=a.用加法消去律得 a-0=0 . (g(一 a)6+ ab= ( a+ a)b=q. 60 .故一ab= ( a6 .將上式 a jrl. 換就 ab= a(b). (7 ) ( a)( b)= (a( /，)= ( «/;)= ab . (8 ) a( b一c)= a( 6+ ( c) ab a(c )= ab ac .nnnai x &/+ dm s = s ai bj i= ii= ii= immm4. x ai x bi = ( ai + am bj =i=i/=!；=1nm n+ + s(imbj = s

10、 (“l(fā)j . >=1=1 /=!5. 分兒種情形(i) m+ n = 0，但m，n不為零，不妨設(shè)m為正整數(shù).ama m為zn個(gè)a及in 個(gè)a_1的乘積油廣義結(jié)合律知aw«-b，= l=a°=an，+(-m).(ii) 若m , n中有零，不妨設(shè)m = 0 ,則發(fā)邊=a+n= a= a a=右邊.(iii) ?n，n皆為正整數(shù)，貝1j與皆為m+ n個(gè)a的積，由廣義結(jié)合 律知它們相等.若皆為負(fù)整數(shù)，則皆為一/n+n)個(gè)廠(chǎng)1的乘積，由廣 義結(jié)合律知它們相等.(iv )，n，n中有ie有負(fù)，且；72 4-,不妨設(shè)m與n為異號(hào).則由(iii)cinctm=/ 兩邊再乘上)-1

11、 =(參看(i)>，則 a"l+n =m na a . 以上己證明了 am+n= ama"及(<t廠(chǎng)1= a'". «個(gè)鱷個(gè)hi r4-v mn rn+ /n+ m mm / m n 田 a a a a ( a )，3;(n>個(gè)(一 n>個(gè)(一 n>個(gè)mn ( ni )( 一 n ) "! 一 m 一 m一 m / m 一1/ m 1 zf ii rr ai < /> i i it i= (am )n，當(dāng) n<0； 又 am-° = l=(am)°.這就證明了 amn=

12、(am)n.若a，b交換，當(dāng)m = 0時(shí)，顯然有ambm = (ab)m .當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)， 與(ab)m都是m個(gè)a,m個(gè)的乘積，由廣義結(jié)介律知它們相等，當(dāng)m為負(fù)整 數(shù)時(shí)，a-mb-m=(abrht，即廠(chǎng)a=( w 廠(chǎng)1 .左邊又是(r/t 廠(chǎng)1，故 anbm=(ab)m .g.參照屮學(xué)數(shù)學(xué)屮對(duì)二項(xiàng)定理的證明.1 11 >= ay «m-l«1=1，7由(ai a：on )( ajar/故(ai a:aai 1 5 對(duì)第2個(gè)問(wèn)題，上面一段正是證明了它的充分性.再證必要性.設(shè)a a:知 u =1，則任i， na ai a,-i a,+ iamu )= 1，故每個(gè)at有逆

13、元索.8. (1 ba )(l (1 _ ba ) (1h- bca )= 1 ba+ l)ca _ babe a 1 _/? (1 _al)')ca= 1 6a+ ba= 1，j(1 ba )= (1+ bca )(1 一 ba )=1 bcr bca 一 bcaba， =1 6c(l ab )a 1 z>a+ l)a= 1 .即i-ba在內(nèi)也可逆.又由 c( l al)= (1 一 ab )c= 1 得 i+ cab = 1+ abc= c .故1+ adb =1+ a<l+ bca )6=1+ ab+ abcub= 1+ ab(l+ cab )=1+ abc= c 9

14、 當(dāng)吋，取10丄000 o' 0a = 000 chnx n1 0 -1 0h= 00 參騫0 0則4關(guān)0,衫關(guān)0,但ab=0.a ji皆為苓因子.第一章群1. 群的例子.2. 群的基木概念：群、子群、同態(tài)、同構(gòu)、防集、正規(guī)子群、商群、群階、元的 階、群的方指數(shù)、循環(huán)群、交換群、奇（偶）置換、置換的輪換分解.3. 與群作用有關(guān)的概念:群作用及等價(jià)定義、軌道（等價(jià)類(lèi)）、不變量及不變 m的完全組、穩(wěn)定子群、軌道長(zhǎng)、共軛類(lèi).4. 市要結(jié)論：lagrange定理、cayley定理、炎方，邯作力穩(wěn)定了 ft丫:的陪集 的無(wú)交并、穩(wěn)定f群的階與軌道氏的積等于群階（有限群吋、同態(tài)基本定理、循 環(huán)群及

15、其子群的結(jié)構(gòu)、冇限交換群為循環(huán)群的充耍條件、域屮非零的有限乘法 子群是循環(huán)群人（n>5的單性.burnside關(guān)于軌道數(shù)的定理.5. 幾個(gè)應(yīng)用：圖形的對(duì)稱(chēng)性群的計(jì)算（利用穩(wěn)定子群）、品體的對(duì)稱(chēng)性定律、 軌道數(shù)的定理在一些組合計(jì)算問(wèn)題中的應(yīng)用.6. 解析幾何、商等代數(shù)中有關(guān)群的例子、矩陣的外種變換與群作用的關(guān)系.讀后注1.木章的一大特點(diǎn)也是木教材的一大特點(diǎn)是以群作用為主線(xiàn)來(lái)處理群論 這一章的內(nèi)容.在it它教材屮群作川的概念和理論僅在群論的稍深入的部分出 現(xiàn).不少教材（例如為師范院校川的教w也個(gè):不涉及它.作齊發(fā)現(xiàn)本章的內(nèi)矜 作為群論的引論內(nèi)矜）大m地4群作用打關(guān)：從閣形的對(duì)稱(chēng)性群的分析引入

16、群 作用概念、用群作用的軌道引出陪集與共軛類(lèi)的概念.lagrange定理和cayley 定理、群作用與w等代數(shù)中什種矩陣變換和兒何學(xué)中的erlanger綱領(lǐng)的聯(lián)系、群 作用的軌道長(zhǎng)和穩(wěn)定子群關(guān)系的結(jié)論用于推出類(lèi)方程和化簡(jiǎn)圖形的對(duì)稱(chēng)性群的 計(jì)算、bumside關(guān)于軌道數(shù)的結(jié)論用于組合計(jì)算問(wèn)題等基本上形成了本章內(nèi)矜 從頭到m的一條主線(xiàn).屮問(wèn)穿插冇講述了群的外個(gè)基本概念和基本性質(zhì).這樣就 體現(xiàn)了群作用的電要性.2. 讀者還可進(jìn)一步考察w等代數(shù)屮與群和群作川有關(guān)的其它例子.木教材 屮將群作川與高代數(shù)矩陣變換相聯(lián)系.體現(xiàn)了川群作川的高觀(guān)點(diǎn)i看待以前 的知識(shí).3. 任意域屮非零元索的乘法有限子群足循環(huán)群.

17、這是非常漂亮的結(jié)果，是 群論結(jié)果的推論.它在有限域的結(jié)構(gòu)屮起重要作川.4. 利川商群和同態(tài)基本定理可以搞濟(jì)一些對(duì)象的構(gòu)造和性質(zhì).該:名吋從教 材內(nèi)容和習(xí)題中舉出兒個(gè)例子來(lái)熟悉這種方法.思考練3題（非必作題）（1空間點(diǎn)陣?yán)@一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)若是它的對(duì)稱(chēng)性變換，則轉(zhuǎn)角只有0 .士f， 士f, 士 f，7t.證明 只由這兒個(gè)變換共能組五個(gè)群.（2實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣可用正交矩陣作相似變換化為對(duì)矩陣.這其屮有 什么群作用?試找出這個(gè)群作用f的不變量的完全組，給出兩個(gè)n 乂 n實(shí)對(duì)稱(chēng) 方陣在同一軌道的充分必耍條件.給出兩個(gè)nx n實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣在一般的（不一定 是正交矩陣下）相似變換下能夠互變的充分必要條件.§1群

18、的例子以下習(xí)題中打*者為必作題,其余為選作題.*1.平而取定坐標(biāo)系則平而仿射（點(diǎn)）變換p：（x,y）t一（/，/（這里t是矩陣的轉(zhuǎn)咒，（x ,y）r是一列的矩陣，即列向m ）可寫(xiě)為x = an x+ aiz l）i， . y «2iu22 yi b:，其中行列式an aiz e判.«22證明平面上全體仿射變換對(duì)丁變換的乘法成一個(gè)群.稱(chēng)為平面的仿射變換 群.（可以把（1寫(xiě)成矩陣形式，再進(jìn)行證明）.*2.平面上取定直角坐標(biāo)系oy.任怠平面le交（點(diǎn)）變換9:（;r，yt（x/）t可寫(xiě)為x = ailai2 y+ bi，wy = a：i x+ y+ b:，其中矩陣 ail

19、71;12aci是正交矩陣.用這種表示a證明平而上全體ie交變換對(duì)丁變換的乘法成為一個(gè) 群，它是平而的正交變換群（見(jiàn)例10）.* 3.平面上三個(gè)（不同的）點(diǎn)（利，yo）t，（ xi，yi ）t，（ x： .yzt（在習(xí)題1中同一 坐標(biāo)系下共線(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)冇實(shí)數(shù)/，使（x:-m，y2-yo）t=/ui-;,yi- yo）t.證明在習(xí)題 1 屮的仿射變換 <p e ,w（ x-xo ./2-/0 ）t= kx-x , y'l y'o ）t，故變換后的三點(diǎn)（x'。，y'o），（ x'i，y ），（，y'2）也共線(xiàn)*4.平iftf上二點(diǎn)（xi.yi ）

20、（x2o2）t（al題2中直角坐標(biāo)系仏y下）的距 離為 xz x，y: yi |=（x: xi y+（y： yi x .he明：在習(xí)題 2 中的ie交變換乎下，變換前后兩點(diǎn)的距離不變.注:只要證叨< x： - xi ）2+ <r-）q）2=（x2- xi ）2+（?4-y； ）2 .除直接計(jì)算外還吋利川矩陣工具.實(shí)際上/ fr卜:一叫_anni：x2xiyi/a:ia:/又若把一個(gè)數(shù)看成1x1矩陣.則有（%2 xi x4-（y： y t=（x： xi 9yzyi ）（ x2xl ,y2yi ）及< xz x'i ）2+ （y：yi y=（x： xiyl ）（x2 xi

21、，y':y ）r.5. 所有形為 a h 0 a（a祇 ab皆為復(fù)數(shù)）的矩陣對(duì)于矩陣的乘法成為一個(gè)群. *g.令c是全部實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），a判，的集合.在c上定義乘法為（a，6）（c， d）=（ac，ad+b），e=（l，o）驗(yàn)證 c 是一個(gè)群.*7.設(shè)c是一個(gè)幺半群.若c的每個(gè)元a有右逆元.即有氏c，使a/， 則c是一個(gè)群.*8.設(shè)（;是一個(gè)群.若v a.b皆有（aby=（f 則（;是交換群.9. 沒(méi)群c的每個(gè)元索a都滿(mǎn)足則c是交換群.10. g=zec （復(fù)數(shù)域|z |=1對(duì)于復(fù)數(shù)的乘法成群.11. k= . _ «,pec .不同時(shí)為o .其屮5卬是的共軛復(fù)數(shù)，_p a

22、則尺在矩陣的乘法下成群.12. 設(shè)(；是非空的有限集合，g上的乘法滿(mǎn)足:冇 丄(ab )c= u( /m-);2 ) ah (u二 b c ;3 ) ac bc a b ； 則g是群.* 13.證明(1鮮中元a ,e當(dāng)且僅當(dāng)a= al .(2 )偶數(shù)個(gè)元素的群都含有一個(gè)元ae.使得cf=e.14. 證明任一個(gè)群g不能是兩個(gè)不等于g的子群的并集.15. 以記分母與某素?cái)?shù)p互素的全體有理數(shù)組成的集合，證明它對(duì)于數(shù) 的加法成為一個(gè)群.16. 以(t記分母皆為pio.p紊數(shù)的全體有理數(shù)的染合，證明它對(duì)數(shù) 的加法成為群.*17.令12345g123 45gp= 65432丄231 564，123456t

23、=621354計(jì)算 pj，ar，tp，(j 1 ,opa 1 .*18.設(shè)1ao(l)2 o(2)n ,r=o( n )1r(l) t2 (2).nt( n )問(wèn)jt(1)r(2)r( n )-i =? ?參q? ?9a1iz i叫爭(zhēng)及1a(l)<5(2a( n )丄2 n9? ？tot =9»? . ?a<l)a(2) 攀a( z?)127 9 _ 1 12n1 n、n ( n 1)211的奇偶性.*21.把(1 4 7)(7 8 10)(3 10 9)(9 4 2)(3 5 6)分解成不相交的輪換的乘積.習(xí)題笞窠與解笞1.寫(xiě)仿射點(diǎn)變換？:(rr，yth*u'，

24、/t(這兒t是矩陣的轉(zhuǎn)置為矩陣 形式ail<1=fin aiz+ biy>1(112設(shè)另一仿射點(diǎn)變換p:,=by其中|b|判.則u，y)t經(jīng)pp變成4-yblw =p <p yy=p a y=13=ba + 8y由丁 |/m 1= b ia 10,(xp仍是仿射點(diǎn)變換. 易證:仿射點(diǎn)變換pi : =4-yjl:是p的逆變換.而仿射點(diǎn)變換丄0是恒等變換，它是乘法單位元，又變換的乘法n然有結(jié)介律.故平而上全體仿射 點(diǎn)變換對(duì)變換的乘法成為一個(gè)群.2.平而上正交點(diǎn)變換？可寫(xiě)成矩陣形式x:=4ybib: io 其中4為2x2正交矩陣，即滿(mǎn)足aa略. 略. / =ata=i（單位矩陣.正

25、交矩陣的乘積是正交矩陣，正交矩陣的逆也足正交陣.利用這兩個(gè)性質(zhì), 完全類(lèi)似丁習(xí)題1中的論證，能證明本習(xí)題的結(jié)論.3. 由題設(shè)有在仿射點(diǎn)變換p;xbib-i的變換下x2x0).2 _yoxqahi!=0,1,2.=a1xi _xoxixoxlxqal=ia=i1iyi-yojkyiyo/(yiyo/x2-v2 x0由于|4 |0,4可逆.于是p將不同的三點(diǎn)（u,）t變成不同的三點(diǎn)（/， / ）i=0a .2 .上曲一申等式的最前端與最后端相等即表示這三點(diǎn)也共線(xiàn).4. 與第三題類(lèi)似有，tx： xix2xlffay2yi)y-yijx2x1x： xi4 r )1其屮a滿(mǎn)足44t= 4t4= /. 于

26、是1 tx2 x1x2 xltx：xi= (x2 xi，廣一yi )a ayz yi<yz-yim)'+ (yz yi y .if a t/f nff,i 121x： xi x4-(y：yi )" = ( x： xi .yzyi 1 ， t7. 對(duì)ae g，a有右逆b . i)乂行而逆a，這時(shí)a力b的左逆.由ba' = e= ah，得到a= a(l)a' )=( ab)a= a，可知a= a 這樣l)a= ab= e，艮p 6是a的逆8. 由題 v a ac g ( ab y = abah = a if .x*j后一等號(hào)兩邊左乘 a 1 .右 乘if 1

27、 就得到ah l)a.9. v a g 有 a e .故 a 1 a i) 1 6 乂( ab )' (df(ib e .對(duì) 后一個(gè)等號(hào)兩邊左乘a，右乘6,就得ba= ab .10. 略.11. 略.12. 設(shè) g= gi ”，g.由性質(zhì)(2 v ae g agi ，g 且是 s 個(gè) 不同的元，故 agi，叫= g .同樣由性質(zhì)(3 )可得， gi a，晷a= g 設(shè)其agi= (i，gj(i= a . j 是(gi a)gi= gl «， ( g.a )gf = ga ； gj ( agi )= agi ， g)( ag' )= ag.即gi是(;的右單位元，gj是

28、(;的a:弟位元，分別ill為e及e' 貝lj e e e= e，即g有單位元e .類(lèi)似于上面作法，由 agi ，ags = g，有66 g使a6 = e，由 gi a， g.a= g，而有 br e g 使 bra= e .于是 b'= b'e= b' ( ab)= ( ba) b= eb= b，即 v g有逆元.又題設(shè)g有結(jié)合律，故是一個(gè)群.13. 只證(2.用反證法.設(shè)v ag g，ae冇.由(1知a矣a 1 .取 aie g e，貝ai7=.7? c 卜除了 a , nf1外還有元素 az，于是 a: 1 .由于 ai ai 1 互為逆元素，芳 a: 1

29、 6 ai，«i 1則 a：= ( a: 11 6 «i，廣.這不"j*能，bp a"1 ai，ai"1.故 ai，al，a:，a"1是四個(gè)不同的 元素.設(shè)上面的步驟進(jìn)行了女一1步，得到2( k-1 )個(gè)元素 ai，af1，級(jí)i， 樣論證(；e除了上述2(a_1)個(gè)元素外耍么沒(méi)有元素 了，要么冋時(shí)存ok及ai"1 jl(u. =#= af1知g e要么等«i，以廠(chǎng)1，<4-i，aa ，耍么冇2k個(gè)元尜 ni , a?1，似，j1 g <e.因f; e只冇冇限 個(gè)元素，必然在某個(gè)第a步停止，即ge=ai.

30、arl.-.al1.故g有 2a-+1個(gè)，即奇數(shù)個(gè)元素,盾.因此g中必有元素ae9(r=e.14. 設(shè)gi.62皆為不等于g的子群.但g=6lu62.因取到gi 6 gi .由 g= gi u cce gz .同樣能取到 g: e gz 但 g:6 g .作 g二 gi. p .ci，閔 ci，則 gi =gs 1 ci '盾.于是 g gi，同樣 g e g:，就得到g q u gz與g=giug2矛盾.故不能有不等于(;的兩個(gè)子群gi . (h 使得 c=(m(k.15. 略16. 略.17. 略.r(l) r(2) t(h)h ) tg:t( i”)18. a=，r 1 =a(

31、r(l) a( r(2)a( r( )ti i:in i ! a(l)(5(2) a(/i)12 n r(l) r(2) r(n)tut =r(a(l) r(a(2)r(a(")> a(l) a(2) - a(n) 12 n t(1)r(2)t( n)r(a(l) t(d(2)r(a( n )19. 略.20. 略.21. 略.備2對(duì)稱(chēng)性變換與對(duì)稱(chēng)性群，晶體對(duì)稱(chēng)性定律卜*列習(xí)題中打*齊為必作題，其它為選作題* 1.計(jì)算下列閣形的對(duì)稱(chēng)性群(1正五邊形；(2不等邊矩形;(3) 511.*2.用s4的全部變換去變xi x2+x3 xi,把變到的所有可能的多項(xiàng)式寫(xiě) 出來(lái).*3.用s3去

32、變x? 能變出幾個(gè)多項(xiàng)蓯.把它們?nèi)珜?xiě)出來(lái).以xl xl x3為其中一項(xiàng)作出一個(gè)和，使它是對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，并使其項(xiàng)數(shù)最少*4.川不相交的輪換的乘積的形式寫(xiě)出s3.43 44中的全部元素. *5. 屮下列4個(gè)元素的集合(1),(1 2)(3 4),(1 3 )(24),(1 4)(2 3) 在置換乘法下成為一個(gè)群.記為v4 .并且它是的子群.6.求出正而體a1a2a3a4的對(duì)稱(chēng)性群.3題答東與解答1. (1)令繞<7反時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°,72° j44216288°的5個(gè)旋轉(zhuǎn)變換為70， 13 ti，m n .令平ifii對(duì)直線(xiàn)h，i:b，“，is，的反射變換為s1.s2

33、.s3.s4. s5，它們都是對(duì)稱(chēng)性變換.對(duì)r此正五邊形的任一個(gè)對(duì)稱(chēng)性變換它若將頂點(diǎn) 4i殳成山.則t7t就將/h殳成.易知正五邊形的侃持4i不動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性 變換只有 tq 和 si .即 t7-i t- 70 或 si .故 t- t,-i 7o= 7,-1 或 t二 tr-i si . 故全部對(duì)稱(chēng)性變換為 1,-1 si，t.-i，z=1，2，5.最多有10個(gè)元素.而前面 已列出 ti-i .si，f=l ,2 ,3 ,4，5共10個(gè)對(duì)稱(chēng)性變換，它們必須相等.(2)令繞0反吋針旋轉(zhuǎn)0° ,180"的旋轉(zhuǎn)變換為to，7i，令平面對(duì)直線(xiàn)/i ./:的 反射為si，s2 .它們

34、都是該矩形的對(duì)稱(chēng)性變換.使ai分別變到ai ms m4的 對(duì)稱(chēng)性變換都只冇一個(gè).即分別為 m n ,5：.故它們是全部的對(duì)稱(chēng)性變換. (3令繞0反時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角d的旋轉(zhuǎn)變換為7&.令平面對(duì)過(guò)中心0的 任意直線(xiàn)/的反射為s/.則圓的對(duì)稱(chēng)性變換群= nd<360°, si.全部過(guò)屮心0的直線(xiàn)/2 xi x2+ x3 x4，xix2 x4，xi x4 + xq x3 3. 能變出g個(gè)單項(xiàng)式，即為：xl xi x,.x x： x3，xi x3 x2，xl x3 x：，xz x3 xi，x： x3 xl /tl ll j的和xl xl x3 + xi xl x3 + xl x3

35、+ x x3 x：+ x2 xl x1+ x? x3 xl是所耍求的項(xiàng)數(shù)鉍少的多項(xiàng)式.4. s3=<1).(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2) a3=(丄)，(丄 2 3),(1 3 2)s4= (1),(1 2),(1 3),(1 0,(2 3),(2 4),(3 4),(1 2 3),(1 3 2), <1 2 4),(1 4 2),(1 3 4),(1 4 3),(2 3 4),(2 4 3), (1 2)(3 4).(1 4)(2 3>，(1 3)(2 4)x1 2 3 4).(1 2 4 3). <1 3 2 4),(1 3 4

36、2),(1 4 2 3)x1 4 3 2) /h=(l)，(l 2 3),(1 3 2),(1 2 4),(丄 4 2，(1 3 4)(1 4 3)，(2 3 4)，(2 4 3(1 2)(3 4).(1 4)(2 3),(1 3)(2 4).5. 略.6. 正四面體為abcd.0為么dbc的中心，e，f，c，l分別是czmac.ad的中點(diǎn).我們先找出使頂點(diǎn)a不動(dòng)的全 體對(duì)稱(chēng)性變換的災(zāi)合h .這些變換使bcl)變?yōu)?己，/限制在平而neo上肪bcu的對(duì)稱(chēng)性 群.由此易確定出h= t.，t.s，i=l ,2 .3.其中 ti，t：，n是空間繞軸ao旋轉(zhuǎn)(按菜圇定方向) 轉(zhuǎn)0°, 120

37、°, 240°的旋轉(zhuǎn)變換，s是空問(wèn)對(duì)平而 4的鏡面反射.再任選三個(gè)對(duì)稱(chēng)性變換mi . mz. .w3，它們分別能將點(diǎn)b，c，d與4互變.例可取wi ,mz. mz是空間分別對(duì)平面cdf.rgd.chl的鏡而反射.與第1 題(1)中的論證類(lèi)似，可得正四面體a bcd的對(duì)稱(chēng)性群g= ti, tismjti，mj tis , i，y= 1.2 ,3 . g 有 24 個(gè)元.§3子群，同構(gòu)，同態(tài)習(xí)題以下習(xí)題中打*者為必作題,其余為選作題. *i.四個(gè)復(fù)數(shù)的集合仏構(gòu)成非苓鉍數(shù)的乘法群的子群. *2. /i都是群 的子群.證明(1) wia w：是子群. oo(2) 門(mén)h,是

38、子群.1=1 oo(3若 岀匚cz /a匚/a+1匚，則u h.是子群. 1=1*3.設(shè) g 是群.令 z(f;=aef;|ag=ga，vger;，則 z(f;)是 f;的子 群.稱(chēng)為g的中心.*4.是群，s是 的非空子集.令c(； ( s )= c | as= sa v 5c s， ng(s)ae (; |osa一1= s，則它們都是g的子群，其中05a"1 =|vses.cg(s)和/v6(s)分別稱(chēng) 19 為s在g中的中心化子和正規(guī)化子.5. 設(shè)g是群，/是g的子群.(lad 則ahal也是子群.(2 是的 自同構(gòu)，則r(/)也是子群.6. 證明§2中習(xí)題5中h與上面

39、習(xí)題1中仏不同構(gòu).*7.證明正三角形am,a3的對(duì)稱(chēng)性群與s3同構(gòu)(將毎個(gè)對(duì)稱(chēng)性變換與它 引起的頂點(diǎn)的置換相對(duì)應(yīng)).它們都在矩陣的乘法下成為群，并且相互同構(gòu).9. 證叨群c是交換群當(dāng)且僅當(dāng)映射g gx 1* x1是g的h同構(gòu).10. 實(shí)數(shù)域li到4題s中群l的映射<p:r l:cosd sin dv >一sin d cos d其中x = 2a-7t+d,0<d<27vr的加群到群l的同態(tài).11. c是群，s是c的非空子集.令h= h tiiv a-是正糧數(shù)，/, z i1g s.證明/是子群且/=<s>.*12.整數(shù)加法群z的子群一定是某個(gè)nz(/z6z )

40、.13. 證明有理數(shù)加法群的任何冇限生成的子群是循環(huán)群.14. 叫全體2x2整數(shù)元索的nf逆矩附，對(duì)矩陣乘法是竹成為群？全體 正實(shí)數(shù)元素的2x2可逆矩陣對(duì)矩陣乘法是否成為群？*15.群g的全部i同構(gòu)在上變換的乘法下成為群，稱(chēng)為g的h同構(gòu)群， 記為aut g.3題答東與解笞1. 略.2. (1)略.coco(2 )對(duì) a bt q h,來(lái)證 abl 6 q h, .1大a ,66 hi h,是了群，故 aa_i 6cooo漢，戶(hù)1，2,，于是(jrle a /a.故門(mén)從是子群. i=li= 1oo(3設(shè) a.u w,.必有 a-j 使w,.不妨設(shè) k<l.t 是由11 oocoe/,得a，

41、6認(rèn).又77/是子群，知aa_1e/u /,.故u h,是子群. 1=11=13. 略.4. 略.5. 略.g.寫(xiě)va中的元為a，/，c.e(單位元.則有(f=lf=e=e.而 仏 中4個(gè) 元為1，一1，i，一 i.假設(shè)va到th有同構(gòu)r.不妨設(shè)t(a)= i.由a=et(.a) =r(e)=l 但 r( a)= i，i= 1 . r( a )r( cz )= 1 故 r( a r( at( a，r 不 保持乘法，矛盾.故va與ik不向構(gòu).7. § 2例3中已計(jì)算過(guò)正三角形a/h a2a3的對(duì)稱(chēng)性群g有6個(gè)元素.每個(gè) 對(duì)稱(chēng)性變換引起頂點(diǎn)4i，4: .43的一個(gè)黃換.這就引起了 g到s

42、3的一個(gè)映射.易 檢驗(yàn)這g個(gè)變換引起s3的全部g個(gè)不同的丼換.故這映射足雙射.又連續(xù)兩次作 對(duì)稱(chēng)性變換引起連續(xù)兩次頂點(diǎn)的置換.即對(duì)稱(chēng)性變換的乘積引起對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)置換 的乘積.故這映射保持乘法.因此上述映射是對(duì)稱(chēng)性殳換群c到s3的同構(gòu).8. 略.9. 略.10. 略.11. vtk txi-'-x/c h fti .xi 或'i 1 x'1 6 ，則(hh)(xix'1 = htexi"1ah?1，其中ti或，廠(chǎng)1 .xt1或(龍廣)_1 = xi都屬于s，故gi tk)( xi!：/ )_i g / »bp /是子群.又設(shè)hi是g的包含s的子群

43、，則必含所有形為h“的元素，其中x,或 i?6s.故岀以，刪 /是包含s的最小的子群.12. 設(shè)ii是加法群z的子群，若/to-z，則ii中有非零整數(shù)z.若t<0，/是子群./含一f,它是正整數(shù).故h屮有正整數(shù).取n為h屮最小的正整數(shù).任 m 6 ii 作除法算 j.rn nq r，其中 r=0 或(x r< n .但 r m nqe: / r/0 則與 « 的最小性矛盾.故 r=0,m=n9p.又 /.v /ez，in'個(gè)-it=n+ + n 或 ln( n )+ +( ")6/，即有 nzgz/.w 此 /= "z .13. 設(shè)h=(h是q

44、的冇限生成的加法子群.由第12題易知h = pi p，1 x21is/,，=1lfih z|.取p1 .，p，的m小公倍數(shù)為m，則f，令為.再令，令為.則（h1.取< qi，q. )= "則 1=叢=1 叢 pi m m ni）是循環(huán)加法群. m -1 一11ki .a：.z 使 ki，i + k“，= l .于是 s = jl k,ti = / ,且 ，=i in m f=1ni=這就證明了 h=1 -1114.11=2,1j1=1m ；=i1丄11卯12 -11，即 1不是牿數(shù)鈀陣.故全體2x2幣數(shù)元素的4逆矩陣不成為群.取正實(shí)數(shù)矩陣1 1 1 1 一1_ 1 -10 1.

45、01 _ 0 1 '即正劣數(shù)町逆矩陣的逆矩陣不是正劣數(shù)矩陣.故全體2x2正丈數(shù)吋逆矩陣不成 為群.15. 略.§4群在集合上的作用，定義與例子以下習(xí)題中打*者為必作題，其余為選作題.*1. v是某域廠(chǎng)上n維線(xiàn)性空gl（v） v上全線(xiàn)性變換群.令w 力v的全部子空間的覽合.證明 在w上有群作用.*2. c是群.k，ll是c的子群.作群直積kx /.定義映射。：(kxh)xg g(u，a), g)'_- (kjiv g= kgh1 .證明它是群kx h在集合g上的作用.3. g是正四面體aiazaza的對(duì)稱(chēng)性群.令mi = 四而體的頂點(diǎn)的集合，吣=四面體的四個(gè)面的集合，吣

46、=四面體的六條棱的集合，則c在 ml.m2.m3上分別有群作用.*4.令（;迠nx n實(shí)正交矩陣的群，w是n x n實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的集合.證明k述對(duì)應(yīng)是一個(gè)映射gxm m(p.a)'_卜 a = pa p且是c在:w上的群作用.*5.寫(xiě)域 f上多項(xiàng)式/(x,y,z)=/(r),hlp r=(x，y，nt.取 m 為廠(chǎng)上 a;，y，2的全部多項(xiàng)式的集合.g為群glz ( .對(duì)aeg.令r'=( xf，/ )t = a(x,)r=ar.證明下述對(duì)應(yīng)(a .f _* a °/=/( r )=/(/! r)是cx mm的一個(gè)映射，且是g在m上的群作用.g.利用cayley定理證明

47、具有給定階n的不同構(gòu)的有限群只有有限個(gè). 35 3題笞s與解笞1. 略2. <1)kx h的中.位元是(e.ek其屮e是g的，也是k和h的中.位元.v gc g，(e，e>° g ege 1 = g .(2 ) v ki，k:e k , hi 9 hz h，(ki，hi )，( k:，fi: k x h . v g 6 g a ki， al )。( ，li: )° g )= ( ki，hi )° (k: g/i： 1 )= a.i k: gh: 1 /?i i = ( k: )g( hi a:1 = (kik： 9 hi h2)° g ( (

48、 ai，hi )( k:，hz)° g.由定義r，上面映射“。”是kxh在c上的群作用.3. 略.4. 首先證明(/j.a )'_pq a = pap定義了 g x m到m的映射.v pe r;，尸是n x n正交矩陣.故一1 = a ,對(duì)v 4 e m ,4是nx n實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，有p-a = pa p_1 = pa p是nx n實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,故pae m，確定了 gx m到m的映射m證這映射足g在m上的一個(gè)群作用.5.對(duì) 4ec=<a3( av/(r)是 f 上 x.y.z 的多項(xiàng)式.aff(ar). ar=(xr，/，</ )r屮x1，y'，z'都是

49、x，y，z的一次多項(xiàng)式，若1設(shè)為x = ail x+ ai2ai3 zy 二x a二 y az3 zz，= 031 戈 + «$”+ 033 z ,其中(uj6 a.則 f(ar)=f( x .y' ,z )= /( ail x + an y+ ai3 z，a:i x+ az:，.+ a：3 z，依1 x+ o32j+ «33 z )仍是戶(hù)上x(chóng)，y，z的多項(xiàng)式，故（a，/） 4。f=f（ar）建立了 gx m m的一個(gè)映射，易證它是c在4/上的群作用.g. cayley定理斷言，科限群c同構(gòu)丁 g上的變換群.設(shè)g的階為n,則（; 同構(gòu)ts的了群.而的了群只有限個(gè)，故

50、只冇有限個(gè)不同構(gòu)的n階群.§5群作用的軌道與不變量、集合上的等價(jià)關(guān)系以下習(xí)題中打*者為必作題，其余為選作題.*i. 題1中的群作川有兒條軌道？找出群作川的不變姑與不變笊的完 全組.* 2.找出§ 4習(xí)題4屮群作用的不變量和不變量的完全組.*3.（聯(lián)系§4習(xí)題2中的群作用令te （;.稱(chēng)kth=kthke k.lie g的一個(gè)（k，h）雙陪集，則g的兩個(gè)（k，/o雙陪集或重合或不相交，且g是 全部（k，/o雙陪集的無(wú)交并.習(xí)題笞寒與解笞1. v中吋逆線(xiàn)性變換若把某子空間w變成子空間，則把w的基變成wzi的基,故同一軌道上的子空問(wèn)只荇相同的維數(shù)，乂設(shè)v的w個(gè)子空叫w和

51、 hz1，它們有m樣維數(shù)c>o,分別取wm 的基為ei .，d.分別補(bǔ) 充成uel使它們都是v的基.線(xiàn)性代數(shù)知道必有v上 吋逆線(xiàn)性變換4，使ai=l,2 a就將子空問(wèn)w變成子空間ifi .故w與i在同一條軌道上.故對(duì)k=0，l，2，."，n，v中全體a維子空間的集合h構(gòu)成群作用的一條 軌道.共有n+1條軌道.子空間的維數(shù)是不變量，并構(gòu)成不變量的完全組.2. 對(duì)a，b皆為nx n實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若a在同一軌道上，即有nx n正 交陣p使/i= pa p一1 .則它們有相同的特征值集合.反之，設(shè)a 為具有相同 特征值集合ui，是a重特征位就在集合中出現(xiàn)a次的nx n實(shí)對(duì)稱(chēng) 知陣，它們都

52、可川實(shí)正交矩陣化為對(duì)角陣，即有nx n正交陣m使=pz bp：1 xn丁是（a ）4 （p?1 pl ）_i = b，p?1 pl仍為正交陣，故a，/?在同一條軌道上. 以上說(shuō)明.特征值的集合是群作用的小變堡的完全組.而全部特征值的和, 全部特征值的積，特征多項(xiàng)式都是群作用的不變量.3. 實(shí)際上a7w是s 4習(xí)題2屮群作用下的一條軌道，兩條軌道或重合或不 相交，即兩個(gè)（k , h ）雙陪集或重合或不相交，群作用集g是全體軌道的無(wú)交并 也就是全體（k，h >雙陪集的無(wú)交并.§ 6陪集range定理，穩(wěn)定化子，軌道長(zhǎng)以下習(xí)題中打*者為必作題，其余為選作題.*1. c是群，/是c的子

53、群（；，則x，y屬于/的同一左陪集當(dāng)且僅 當(dāng) x 1 y g h .*2.群g作用于集合af上，m.證明：（”穩(wěn)定化子stabc<x）是子群. （2設(shè) gi , g： g 6 則 x = g：9 x 當(dāng)且僅當(dāng) gi，g2 屬于 stal）6（ x同一左 陪集.*3. v是域f上維線(xiàn)性空問(wèn)，取定v的一組基v上任一可 逆線(xiàn)性變換a，設(shè)它在1，卜矩陣為/i，則迮立起gl （ v ）到（；ln< f的同 構(gòu)-a a .t是群通過(guò)cl （ v ）nj作用丁空間v上，進(jìn)而4作用t v的子空間的集合w上.（1） gln（f）在ei處的穩(wěn)定化子由哪些元素組成？（2令if是由.</!.生成的子

54、空間，d（f在w處的穩(wěn)定 化子由哪些元素組成？*4.正四面體aiazaza,的對(duì)稱(chēng)性群（；nj作用在它的頂點(diǎn)的集合和它的 面的集合上.也作用在它的棱的集合上.<1>試決定g在頂點(diǎn)/h處的穩(wěn)定化子; <2）求（；在衡4:43/u處的穩(wěn)定化子；（3求c在棱14:處的穩(wěn)定化子.5. 把正四面體a1a2a3a4的對(duì)稱(chēng)性群用頂點(diǎn)的置換表出.利川§ 6定理2 中公式（2寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)性群的全部元素.再回到叫面體上考察每個(gè)置換代表什么正交變換.6. c是群，久及w是c的子群.（1）令m是g屮/的左陪集的集合.用k 的元索對(duì)m的元索進(jìn)行左乘，得下列映射。:k x m " a- t