應(yīng)用統(tǒng)計學第14章--時間序列預(yù)測和統(tǒng)計指數(shù)

1、1 時間序列分析是一種廣泛使用的數(shù)據(jù)分析方法，它主要用來描述與探索自然和社會經(jīng)濟現(xiàn)象隨時間發(fā)展變化的數(shù)量規(guī)律性。通過本章的學習，我們希望讀者能夠了解不同的時間序列預(yù)測模型，比如移動平均法、指數(shù)平滑法、線性趨勢、二次趨勢、指數(shù)趨勢、自回歸和用于季節(jié)性數(shù)據(jù)的最小二乘模型，掌握統(tǒng)計實踐中模型選擇的方法，并同時了解指數(shù)的一些基礎(chǔ)知識。 本章內(nèi)容：本章內(nèi)容： 14.1 時間序列模型的組成因素 14.2 年度時間序列數(shù)據(jù)的平滑 14.3 基于最小二乘法的趨勢擬合和預(yù)測 14.4 自回歸模型用于擬合和預(yù)測趨勢 14.5 時間序列預(yù)測季節(jié)數(shù)據(jù) 14.6 指數(shù) 第第14章章 時間序列預(yù)測和指數(shù)時間序列預(yù)測和指數(shù)

2、 214.1 時間序列模型的組成因素時間序列模型的組成因素 時間序列預(yù)測有一個基本假設(shè)，那就是影響過去和現(xiàn)在活動的因素將繼續(xù)以幾乎相同的方式影響將來。因此，時間序列預(yù)測的主要目的是識別和區(qū)分這些影響因素，從而達到幫助我們進行預(yù)測的目的。為了達到這些目標，可以用許多數(shù)學模型來測量一個時間序列的基本組成因素。一般說來，一個時間序列主要包括如下因素：p趨勢成分p波動成分循環(huán)因素隨機因素季節(jié)因素31.年度時間序列模型年度時間序列模型iiiiICTYiTiCiI其中：i年的趨勢分量值；i年的周期分量值；i年的不規(guī)則分量值。42.月度或季度時間序列模型月度或季度時間序列模型iiiiiICSTYiS=i時期

3、的季節(jié)分量值。 iTiCiI其中：i時期的趨勢分量值；i時期的周期分量值；i時期的不規(guī)則分量值。514.2 年度時間序列數(shù)據(jù)的平滑年度時間序列數(shù)據(jù)的平滑 在考查年度數(shù)據(jù)時，由于受到年與年之間波動的影響，我們對該序列長期趨勢沒有很明顯的直觀印象，從而不能確定序列中是否存在長期上升或下降的趨勢。想要對數(shù)據(jù)一段時期內(nèi)的整體變化有更好的了解，可以運用移動平均法或指數(shù)平滑法。 1.移動平均法 移動平均法是對于選定的一個長度為L的時期，通過計算L個觀測值的均值來預(yù)測未來的值，移動平均值以MA(L)表示。 結(jié)果取決于L的選取。 例如，5年移動平均，選取L=5; 7年移動平均，選取L=76舉例：5年移動平均第

4、1個移動平均：第2個移動平均：5YYYYYMA(5)543215YYYYYMA(5)654327案例：年度銷售數(shù)據(jù)案例：年度銷售數(shù)據(jù)年年銷售額銷售額1234567891011 etc2340252732483337375040 etc8案例：年度銷售數(shù)據(jù)案例：年度銷售數(shù)據(jù)年年銷售額銷售額12324032542753264873383793710501140平均年平均年5年移動年移動平均平均329.4434.4533.0635.4737.4841.0939.455432135322725402329.4etc9年度數(shù)據(jù)與移動平均年度數(shù)據(jù)與移動平均 5年移動平均平滑了數(shù)據(jù)并且顯示出某種潛在的變化趨

5、勢102.2.指數(shù)平滑指數(shù)平滑 指數(shù)平滑法也是一種時間序列平滑的方法。除了平滑作用，當不確定長期趨勢是否存在或長期趨勢的類型時，還可以運用指數(shù)平滑法進行短期(即將來的某個時期)預(yù)測。 之所以稱之為指數(shù)平滑，是因為這個方法包含一系列指數(shù)權(quán)重的移動平均。最近的一個值權(quán)重值最高，之前的值權(quán)重值較之略小，依次遞減，第一個值的權(quán)重最小。整個序列中，每個指數(shù)平滑值都是在所有過去值的基礎(chǔ)上得出的，這是指數(shù)平滑不同于移動平均的另一個優(yōu)勢。盡管指數(shù)平滑計算看上去似乎很麻煩，但是可以運用Microsoft Excel進行計算。 11指數(shù)平滑模型指數(shù)平滑模型11YE 1iiiE)W1(WYE其中：Ei = 時期 i

6、的指數(shù)平滑值Ei-1 = 時期 i 1的指數(shù)平滑值 Yi = 時期 i的觀測值 W = 權(quán)重（平滑系數(shù)） 0 W 1i = 2, 3, 4, 12指數(shù)平滑舉例指數(shù)平滑舉例假設(shè)權(quán)重 W = 0.2時期時期 (i)銷售額銷售額(Yi)前一時期的預(yù)前一時期的預(yù)測值測值 (Ei-1)本時期的指數(shù)平滑值本時期的指數(shù)平滑值 (Ei)12345678910 23402527324833373750 -2326.426.1226.29627.43731.54931.84032.87233.69723(.2)(40)+(.8)(23)=26.4(.2)(25)+(.8)(26.4)=26.12(.2)(27)+

7、(.8)(26.12)=26.296(.2)(32)+(.8)(26.296)=27.437(.2)(48)+(.8)(27.437)=31.549(.2)(48)+(.8)(31.549)=31.840(.2)(33)+(.8)(31.840)=32.872(.2)(37)+(.8)(32.872)=33.697(.2)(50)+(.8)(33.697)=36.9581iiiW)E(1WYEE1 = Y113預(yù)測時期預(yù)測時期 i i + 1 + 1當前時期 (i)的平滑值為下一時期(i+1)的預(yù)測值：i1iEY1414.3 基于最小二乘法的趨勢擬合和預(yù)測基于最小二乘法的趨勢擬合和預(yù)測運用回歸

8、分析預(yù)測趨勢線：年時期X銷售額Y19992000200120022003200401234520403050706501Ybb X以時間 X 作為自變量：15基于最小二乘法的趨勢擬合和預(yù)測基于最小二乘法的趨勢擬合和預(yù)測線性趨勢方程為：21.9059.5714 iiYX年時期X銷售額Y19992000200120022003200401234520403050706516基于最小二乘法的趨勢擬合和預(yù)測基于最小二乘法的趨勢擬合和預(yù)測當時間序列體現(xiàn)出非線性趨勢時，可以采用非線性回歸模型二次趨勢預(yù)測方程：檢驗二次項的顯著性：也可以嘗試其它非線性函數(shù)類型以獲取最佳擬合方程。2210iiXbXbbY17基

9、于最小二乘法的趨勢擬合和預(yù)測基于最小二乘法的趨勢擬合和預(yù)測指數(shù)趨勢預(yù)測方程：01log( )iiYbb X其中 b0 = log(0)的估計b1 = log(1)的估計說明：%100) 1(1 為年度復(fù)增長率的估計值（用%表示）1814.4 自回歸模型用于擬合和趨勢預(yù)測自回歸模型用于擬合和趨勢預(yù)測 時間序列中的觀測值往往與之前或之后的觀測值高度相關(guān)，這種相關(guān)稱為自相關(guān)。自回歸模型是用來預(yù)測含有自相關(guān)的時間序列的一種方法。一階自相關(guān)指一個時間序列中連續(xù)值之間的相關(guān)關(guān)系。二階自相關(guān)指兩個時期的值之間的相關(guān)關(guān)系。p階自相關(guān)指一個時間序列中p個時期的值之間的相關(guān)關(guān)系。 p 階自回歸模型：ip- ip2

10、- i21- i10iYAYAYAAY隨機誤差1914.5 時間序列預(yù)測季節(jié)數(shù)據(jù)時間序列預(yù)測季節(jié)數(shù)據(jù)回顧包含季節(jié)變動的經(jīng)典時間序列模型 ：假設(shè)季節(jié)為季度：定義3個虛擬變量：若為第1季度，則Q1 = 1，否則為0若為第2季度，則Q2 = 1，否則為0 若為第3季度， 則Q3 = 1，否則為0 (若Q1 = Q2 = Q3 = 0，那么第4季度為1）iiiiiYTSCI20時間序列預(yù)測季節(jié)數(shù)據(jù)時間序列預(yù)測季節(jié)數(shù)據(jù)變換為線性形式：31201234iXQQQiiY 01122334log( )log()log()log()log()log()log( )iiiYXQQQ(1-1)*100% = 季度復(fù)

11、增長率的估計值 ( %)2= 第1季度對第4季度的乘子估計值3=第2季度對第4季度的乘子估計值4=第3季度對第4季度的乘子估計值21季節(jié)模型估計季節(jié)模型估計指數(shù)預(yù)測方程：01213243log( )iiYbb Xb Qb Qb Q其中 b0 = log(0) 的估計值b1 = log(1)的估計值 etc說明：%100)1(1 = 季度復(fù)增長率估計值 ( %) =第1季度對第4季度的乘子估計值 =第2季度對第4季度的乘子估計值 =第3季度對第4季度的乘子估計值23422季度模型舉例：季度模型舉例：假設(shè)預(yù)測方程為：123log( )3.43.017.082.073.022iiYXQQQ b0 =

12、 3.43, so b1 = .017, so b2 = -.082, so b3 = -.073, so b4 = .022, so53.2691100b0040.1101b1828. 0102b2845.0103b3052.1104b423季度模型舉例：季度模型舉例：解釋：53.26910040.11827.02845.03052.14第1年第1季度未校正的趨勢值4.0% = 季度復(fù)增長率估計值以4%的季度增長率校正后，第1季度的平均銷售額是第4季度平均銷售額的 82.7% 以4%的季度增長率校正后，第2季度的平均銷售額是第4季度平均銷售額的 84.5% 以4%的季度增長率校正后，第3季度

13、的平均銷售額是第4季度平均銷售額的 105.2%值：2414.6 指數(shù)指數(shù) 簡單地說，指數(shù)是一個時間序列中某個特定時點的觀測值與另一個時點觀測值的百分比。 通常，在商業(yè)和經(jīng)濟活動中，指數(shù)被用作商業(yè)或經(jīng)濟活動變化的指示值。指數(shù)有很多種，比如價格指數(shù)、數(shù)量指數(shù)、價格指數(shù)和社會指數(shù)。這里，我們只對價格指數(shù)進行簡單介紹。 價格指數(shù)常常用來比較一種商品在給定時期的價格與在過去某一特定時間點的價格。簡單價格指數(shù)主要用于單一商品?？們r格指數(shù)用于跟蹤一組商品(稱之為市場籃)在給定時期的價格與過去某一特定時間點價格的變化。統(tǒng)計上，我們把作為比較基礎(chǔ)的過去某一特定時間點稱為基期。如果可能的話，在為某一指數(shù)選擇基期

14、時，我們最好選擇經(jīng)濟狀況較為穩(wěn)定的時期，而不要選擇增長經(jīng)濟的頂峰或衰退經(jīng)濟的低谷。此外，基期應(yīng)該選擇相對較近的時期，這樣在比較時就不會因為時間跨度太大而受到技術(shù)變化、消費者態(tài)度和習慣等因素的影響。 25簡單價格指數(shù)簡單價格指數(shù)100iibasePIP其中 Ii = i年的價格指數(shù) Pi = i年的價格 Pbase = 基年的價格26指數(shù)舉例：指數(shù)舉例：1998 年 2006年的機票價格：2 .92)100(295272100200019981998PPI年年價格價格指數(shù)指數(shù) (基年基年 = 2000)199827292.2199928897.620002951002001311105.4200

15、2322109.22003320108.52004348118.02005366124.12006384130.2100)100(295295100200020002000PPI2 .130)100(295384100200020062006PPI27指數(shù)：解釋指數(shù)：解釋1998年的價格是基年價格的92.2%2000年的價格是基年價格的 100% (根據(jù)定義，2000年時基年)2006年的價格是基年價格的130.2%2 .92)100(295272100200019981998PPI100)100(295295100200020002000PPI2 .130)100(295384100200020062006PPI28綜合價格指數(shù)綜合價格指數(shù)綜合價格指數(shù)用于度量一組商品相對于基期的變化率：綜合價格指數(shù)非加權(quán)綜合價格指數(shù)加權(quán)綜合價格指數(shù)Paasche 指數(shù)Laspeyres 指數(shù)29非加權(quán)綜合價格指數(shù)非加權(quán)綜合價格指數(shù)非加權(quán)綜合價格指數(shù)公式：( )( )1(0)1100ntitiUniiPIP= 時間 t的非加權(quán)綜合價格指數(shù)= 一組商品在時間