哈工程第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)

1、工程電磁場原理工程電磁場原理2013-08-27主主 講：王講：王 偉偉哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué)COLLEGE OF AUTOMATION , HARBIN ENGINEERING UNIVERSITYHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY學(xué)習(xí)要點(diǎn)學(xué)習(xí)要點(diǎn)引言電磁場物理模型電磁場物理模型123矢量分析矢量分析4場論場論5麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組6本章小結(jié)本章小結(jié)HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY引言引言 1.1. 什么是場？什么是場？ 物理概念上的描述：“在遍及一個(gè)被界定的或無限擴(kuò)展的空間內(nèi)，在遍及一個(gè)被界定的或無限擴(kuò)展的空間內(nèi)，存在著某種必

2、須予以重視、研究的效應(yīng)存在著某種必須予以重視、研究的效應(yīng)”。例如，溫度場T T(x,y,z,t)、重力場F F(x,y,z,t)，以及電場E E(x,y,z,t)、磁場B B(x,y,z,t)等對應(yīng)于相應(yīng)物理效應(yīng)客觀存在的物理場； 數(shù)學(xué)意義上的描述：“給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，并由此規(guī)定給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，并由此規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)某一特定量的特性了該區(qū)域內(nèi)某一特定量的特性”。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY2.2. 本課程的理論體系本課程的理論體系宏觀電磁理論宏觀電磁理論 1865年英國物理學(xué)家麥克斯韋(J.C.Maxwell)建立的著名的麥克斯韋電磁場方程組是宏觀

3、電磁理論體系的基礎(chǔ)。 宏觀電磁理論所涉及的電磁現(xiàn)象和過程的基本特征是：宏觀電磁理論所涉及的電磁現(xiàn)象和過程的基本特征是： 場域場域( (即場空間即場空間) )中媒質(zhì)是靜止的，或其運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速；中媒質(zhì)是靜止的，或其運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速； 場域作為點(diǎn)集，點(diǎn)的尺寸遠(yuǎn)大于原子間的距離。場域作為點(diǎn)集，點(diǎn)的尺寸遠(yuǎn)大于原子間的距離。 本課程所討論的任一場點(diǎn)，即意味著大量分子的集合 場域中的媒質(zhì)被看作為“連續(xù)媒質(zhì)” 該場點(diǎn)處的電磁性能歸結(jié)為對應(yīng)的宏觀統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)的表征，即通過宏觀等效的物性連續(xù)參數(shù)(如電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率和介電常數(shù))予以描述。 因而，宏觀電磁理論也被稱為“連續(xù)媒質(zhì)電動(dòng)力學(xué)”，但決不等同于“量子電動(dòng)

4、力學(xué)”或“相對論電動(dòng)力學(xué)”，后者已分別延拓到微觀粒子或高速運(yùn)動(dòng)體系中電磁現(xiàn)象和過程的研究領(lǐng)域。引言引言HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY3.3. 工程電磁場問題的觀察點(diǎn)工程電磁場問題的觀察點(diǎn)“電磁場的有效控制和利用電磁場的有效控制和利用” 無論從理解近代科學(xué)技術(shù)成果或者從發(fā)展并實(shí)現(xiàn)新的科學(xué)技術(shù)成果評價(jià)，電磁場理論及其應(yīng)用不僅是日趨發(fā)展的電工、電子和信息科學(xué)技術(shù)的重要基礎(chǔ)，而且也是旁及軍事、生態(tài)、醫(yī)療、地質(zhì)等眾多領(lǐng)域新科學(xué)技術(shù)的生長點(diǎn)。這一切都可聚焦于“電磁場的有效控制和利用電磁場的有效控制和利用”的基本觀察點(diǎn)上，例如： 浦東國際機(jī)場磁懸浮線（EMS型磁浮列車）和日本山梨

5、磁懸浮試驗(yàn)線（EDS型磁浮列車）； 電磁探測（應(yīng)用于油、氣、礦藏、地層結(jié)構(gòu)探測和氣象預(yù)測等遙感、遙測技術(shù)）； 電子束曝光、離子束注入技術(shù)（大規(guī)模集成電路芯片制造）； 現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的電磁技術(shù)（導(dǎo)彈防御系統(tǒng)、隱身飛機(jī)、巡航導(dǎo)彈、GPS系統(tǒng)、信息干擾等）； 廣播、電視、移動(dòng)電話、微波通信和光纖通信等； 電磁熱加工技術(shù)（感應(yīng)加熱、微波加熱和微波爐等)； 生物醫(yī)學(xué)工程中的電磁技術(shù)（核磁共振CT、X線透視和腫瘤熱療法等）； 超導(dǎo)儲(chǔ)能技術(shù)； 高能量密度的百萬kW級(jí)汽輪、水輪發(fā)電機(jī)設(shè)計(jì)、制造（優(yōu)化）技術(shù)； 1000kV超高電壓電力系統(tǒng)及其裝置的設(shè)計(jì)、制造（優(yōu)化）技術(shù)； 磁流體發(fā)電技術(shù)； 納米微晶磁性材料的應(yīng)用；

6、 衛(wèi)星太陽能發(fā)電站； 引言引言HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4 4、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)方法 電磁場理論體系完整、簡練，內(nèi)涵豐富、概念性強(qiáng)，且較抽象。同時(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與工具較多，涉及知識(shí)面寬，故更需要注意科學(xué)的學(xué)習(xí)方法1. 深入理解，建立正確的物理概念，并熟練運(yùn)用必須的數(shù)學(xué)知識(shí)和工深入理解，建立正確的物理概念，并熟練運(yùn)用必須的數(shù)學(xué)知識(shí)和工具具 實(shí)踐證明，正確理解物理概念是學(xué)習(xí)中困難的主要方面，故需抓住此主要矛盾，通過深入鉆研，使之得以緩解。 本課程學(xué)習(xí)將遵循數(shù)學(xué)建模、分析的主線索展開，因此，除微積分基礎(chǔ)知識(shí)外，矢量分析與場論、數(shù)理方程(偏微分方程)與特殊函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)和

7、工具都應(yīng)成為定性乃至定量分析電磁場問題所必備的知識(shí)基礎(chǔ)。2. 2. 掌握常用分析、計(jì)算的方法掌握常用分析、計(jì)算的方法 通過例題、習(xí)題等環(huán)節(jié)不斷提高邏輯思維、分析與解題能力，這也是理論聯(lián)系實(shí)際、通過實(shí)踐能動(dòng)地理解和深化概念的過程。 引言引言HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 引言引言3. 3. 逐步建立工程分析的觀點(diǎn)逐步建立工程分析的觀點(diǎn) 本課程終極目的在于培養(yǎng)學(xué)生分析和解決工程電磁場問題的基本能力。4.4. 正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和方法正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和方法 刻苦鉆研，獨(dú)立思考； 科學(xué)的方法論：運(yùn)用演繹法(由一般到特殊)、類比法和歸納法等，以努力提高學(xué)習(xí)效率和改善學(xué)習(xí)效果； 科學(xué)

8、地安排、計(jì)劃學(xué)習(xí)時(shí)間； 及時(shí)做好課程的預(yù)、復(fù)習(xí)。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 第一章第一章 電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)重點(diǎn)內(nèi)容回顧及疑難解答場的概念教學(xué)內(nèi)容主要知識(shí)點(diǎn)1掌握電磁場物理模型構(gòu)成，理解源量、場量以及媒質(zhì)電磁性能參數(shù)等物理概念。2掌握矢量分析的方法。3理解麥克斯韋方程組在數(shù)學(xué)和物理意義上的描述。重點(diǎn)和難點(diǎn)(1) 矢量分析(2) 場論(3) 麥克斯韋方程組思考題與作業(yè)例題1-1、1-2、1-3；作業(yè)1-1，1-2，1-3，1-4，1-6備注HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型 根據(jù)

9、電磁現(xiàn)象和過程分析的物理模型構(gòu)造的本質(zhì)，可建立如下電磁場分析與電路分析的物理模型之間的對比關(guān)系。理想化假設(shè)實(shí)際的電工、電子技術(shù)裝置 電路模型(一種具體的 物理模型)電路模型：理想電路元件(R、L、C) 及其組合理想電壓源、電流源(e,i)分析問題以u，i為基 本物理量給定激勵(lì)(e,i) 求響應(yīng)(u,i)電路分析：電路分析：1.1電磁場物理模型的構(gòu)成電磁場物理模型的構(gòu)成HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型電磁場分析：電磁場分析： 電磁場的物理模型：連續(xù)媒質(zhì)的場空間(、 、 及其相應(yīng)的幾何結(jié)構(gòu)) 理想化的場源(q,i)分析問題以E、 H

10、 、D、 B為 基本物理量(場量)給定源量(q,i),求場 分布(E、H、D 、B)理想化假設(shè)實(shí)際電磁裝置中的電磁現(xiàn)象和過程電磁場的物理模型以上電磁場與電路分析的求解過程均可歸結(jié)為以上電磁場與電路分析的求解過程均可歸結(jié)為(1) 給出與所分析的物理模型對應(yīng)的基本規(guī)律性的數(shù)學(xué)描述（泛定方程）及其定解條件，即構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2) 運(yùn)用相應(yīng)的分析計(jì)算方法；(3) 解出數(shù)學(xué)模型中的待求物理量，即得所分析問題的確定解。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型1.2電磁場的基本物理量電磁場的基本物理量源量和場量源量和場量電磁場物理模型中的基本物

11、理量可分為源量和場量兩大類。 源量源量激勵(lì)（輸入）激勵(lì)（輸入） 場量場量響應(yīng)（輸出）響應(yīng)（輸出） 電磁場模型中的源量源量：電荷和電流電磁場模型中的基本場量場量：電場強(qiáng)度E E和磁場強(qiáng)度B B在一般情況下，電磁場的源量和場量分布均隨所在空間的位置和時(shí)間而變化，即可以表述為空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，如兩個(gè)基本場量的數(shù)學(xué)函數(shù)式可分別記為 、 。),(tzyxE),(tzyxBHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型1. 源量源量(電荷電荷) q(r ,t) 電荷是物質(zhì)基本屬性之一。 1897年英國科學(xué)家湯姆遜(J.J.Thomson)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)

12、了電子。 19071913年間，美國科學(xué)家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實(shí)驗(yàn)，精確測定電子電荷的量值為 e =1.602 177 3310-19 (單位：C) 確認(rèn)了電荷量的量子化概念。換句話說，e 是最小的電荷量，而任何帶電粒子所帶電荷都是e 的整數(shù)倍。 宏觀分析時(shí)，場源電荷常是數(shù)以億計(jì)的電子電荷e的組合，故可不考慮其量子化的事實(shí)，而認(rèn)為電荷量q可任意連續(xù)取值。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型 類同于由物質(zhì)密度 給定物質(zhì)的質(zhì)量m一樣，現(xiàn)引入關(guān)于電荷的平滑的平均密度函數(shù)概念，即以電荷密度分布的方式來給定帶電體的電荷以電

13、荷密度分布的方式來給定帶電體的電荷量量。 理想化實(shí)際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)為如下四種形式： （1）點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 q(r ,t)： （2）電荷體密度電荷體密度 (r ,t)： （3）電荷面密度電荷面密度 (r ,t)： （4）電荷線密度電荷線密度 (r ,t)： 30dlimC/mdVqqVV rrr Cq r20dlimC/mdSqqSS rrr 0dlimC/mdlqqll rrrHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型2. 2. 源量源量( (電流電流) ) i i ( (t t) ) 源于電荷定向運(yùn)動(dòng)的電流 i 定義為 dddSq

14、itJS 可見，電流i為一積分量，不是點(diǎn)函數(shù)。鑒于電磁場空間中各點(diǎn)電磁現(xiàn)象和過程變化規(guī)律性分析的需要，必須引入對應(yīng)于源量i(t)分布的點(diǎn)函數(shù)形式的描述體電流密度體電流密度( (簡稱電流密度簡稱電流密度) )J J( (r r, ,t t) ),其量值為 n0nndlimdSiiSSJ(單位: A/m2)其方向習(xí)慣上定義為正電荷運(yùn)動(dòng)的方向。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型t0t( )limqF rqE(r)tq3. 3. 場量場量( (電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度) )E E 1785年法國物理學(xué)家?guī)靵觯–.A.Coulomb）定量的研究了電

15、場對靜止電荷的作用力： (單位：N/C或V/m) 要求試體電荷攜帶的電荷量必須小到不至于影響被研究的電場。電電場強(qiáng)度即單位電荷受到的電場力。場強(qiáng)度即單位電荷受到的電場力。 電場不只存在于靜止電荷的周圍空間，在通有電流的導(dǎo)體中，在由交變電流激勵(lì)的電磁裝置的周圍空間內(nèi)都存在著電場。對于電場問題，研究和分析的首要任務(wù)是在給定源量的作用下求其電場強(qiáng)度E（r,t）隨空間和時(shí)間變化的規(guī)律性。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型max()dFdqvB()dFdq vB4. 4. 場量場量( (磁通密度磁通密度) )B B 磁通密度也稱為磁感應(yīng)強(qiáng)

16、度是用來描述運(yùn)動(dòng)電荷受到的磁場力，其值等于單位運(yùn)動(dòng)電荷以單位速度在與磁場相垂直方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的磁場力。 上式僅表明當(dāng)B B 的方向與運(yùn)動(dòng)電荷速度v v 的方向相互垂直時(shí)B B 的數(shù)量關(guān)系。一般情況下，B B的數(shù)值和方向應(yīng)滿足下式的關(guān)系(單位：T或Wb/ m2)HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型/Idq dtdlvdt(/)(/)dqvdq dl dtdq dt dlIdl()dFI dlB對于導(dǎo)體內(nèi)電流產(chǎn)生的磁場力可以表示為：電流 導(dǎo)線內(nèi)以速度v v運(yùn)動(dòng)的元電荷dq，在dt時(shí)間內(nèi)對應(yīng)的元位移為 因此上式可以表述為元電流Idl在

17、磁場中受到的力。同理，磁場也不只存在于磁鐵或恒定電流的周圍空間，也存在于電磁波中，存在于由交變電流激勵(lì)的電磁裝置的周圍空間內(nèi)。因此，對于廣泛的磁場問題，也將首先聚焦于場分布，即磁感應(yīng)強(qiáng)度B（r,t）隨空間和時(shí)間變化規(guī)律的分析。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型1.3電磁場中的媒質(zhì)及其電磁性能參數(shù)電磁場中的媒質(zhì)及其電磁性能參數(shù) 在電磁場源量的作用下，電磁場物理模型所對應(yīng)的各種電氣裝置中的電磁現(xiàn)象，本質(zhì)上將取決于構(gòu)成裝置和場域的各種媒質(zhì)的幾何結(jié)構(gòu)及其電磁性能。在本課程中，主要研究宏觀電磁現(xiàn)象，即研究媒質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)在與電磁場相互作用下

18、所表征的宏觀統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)，采用若干個(gè)宏觀等效的性能參數(shù)來描述媒質(zhì)的電磁性能電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率和介電常數(shù)。 電導(dǎo)率反映了材料的導(dǎo)電性能；磁導(dǎo)率反映了材料宏觀的磁化性能；介電常數(shù)反映了材料在電場作用下的極化性能。這三個(gè)參數(shù)在電磁場中的地位相當(dāng)于R R、L L、C C在電路問題中的作用。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型 針對媒質(zhì)中媒質(zhì)中的電磁場問題，在物理電磁學(xué)中引入另外兩個(gè)基本物理量：電通密度電通密度（電位移矢量）D和磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度H，它們的定義式分別與媒質(zhì)的電磁性能參數(shù)和相關(guān)聯(lián)，構(gòu)成與基本量E和B之間的關(guān)系為:DEBH上式稱為媒質(zhì)的

19、構(gòu)成方程。D、H、和的單位分別是：庫/米2（C/m2）、安/米（A/m）、法/米（F/m）和亨/米（H/m）。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一、電磁場的物理模型一、電磁場的物理模型9-12070800110 F/m8.854 10F/m36410 H/m1c=3 10 m/s 由以上分析可知，對于電磁場運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述，在數(shù)學(xué)上可以歸結(jié)為研究空間矢量函數(shù)，即電場強(qiáng)度E、磁通密度B、電通密度D和磁場強(qiáng)度H隨時(shí)間和空間變化的規(guī)律。 真空作為一種特殊媒質(zhì)，具有表征其電磁性能的等效宏觀電磁參數(shù)介質(zhì)阻抗常數(shù) 和 磁導(dǎo)率。這兩個(gè)分別和電、磁現(xiàn)象相關(guān)的真空電磁參數(shù)，與真空中電磁波傳

20、播速度c一起，構(gòu)成電磁場物理模型中三個(gè)通用常數(shù)。00HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析 矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示矢量可表示為：矢量可表示為： 其中其中 為為模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小； 為為單位矢量單位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向； 說明：矢量書寫時(shí)，說明：矢量書寫時(shí)，印刷體印刷體為場量符號(hào)加粗，如為場量符號(hào)加粗，如 。教材。教材上的矢量符號(hào)即采用印刷體。上的矢量符號(hào)即采用印刷體。2.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)2.1.1標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量 標(biāo)

21、量與矢量標(biāo)量與矢量 標(biāo)量：標(biāo)量：只有大小，沒有方向只有大小，沒有方向的物理量的物理量( (電壓電壓U U、電荷量、電荷量Q Q、能量、能量W W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強(qiáng)度）的物理量（作用力，電、磁場強(qiáng)度） 矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示FEHBDAAeDAAeAAAeAHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析xxyyzzAe Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos )xyzAA eee 矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示coscoscosAxyzeeeezAx

22、AAyAzxyOHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.1.2矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB 矢量的加法和減法矢量的加法和減法說明：說明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交換律交換律和和結(jié)合律結(jié)合律： 2 2、矢量相加和相減可用、矢量相加和相減可用平行四邊形法則平行四邊形法則求解：求解： BAABBAABBHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析cosABxxyyzzA

23、 BA BA BA BA B 矢量的乘法矢量的乘法 矢量與標(biāo)量相乘矢量與標(biāo)量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A標(biāo)量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。標(biāo)量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。 矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）()A BB AA BCA BA C 說明：說明：1 1、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分配律：、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分配律： 2 2、兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為標(biāo)量兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為標(biāo)量 ABABHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA B

24、e ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）說明：說明：1 1、矢量的叉積、矢量的叉積不符合不符合交換律，但交換律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、兩個(gè)矢量的叉積為矢量兩個(gè)矢量的叉積為矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量運(yùn)算恒等式、矢量運(yùn)算恒等式()()()()()()A B CB CACA BAB CB A CC A B sinABBABAHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交線的三條相互正交線的交點(diǎn)交點(diǎn)

25、來確定。來確定。 在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系和和球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系。 三條正交線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，三條正交線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為稱為正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系；三條正交線稱為；三條正交線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為的量稱為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。2.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.2.1直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元

26、矢量面元矢量線元矢量線元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y體積元體積元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量, ,x y z坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量,xyze e e 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyydddHARB

27、IN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.2.2圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量,zee e 坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 線元矢量線元矢量dd d dVz 體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析說明：說明：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法：

28、zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABeAB() ()zzzzzzA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()zzzzzzzzeeeA BAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B加減：加減：標(biāo)積：標(biāo)積：矢積：矢積：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.2.3球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin d drzSel le rrdd dd drSel le r r球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的

29、線元、面元和體積元,r 坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量,re e e 坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drrere re r 線元矢量線元矢量2dsin d d dVrr 體積元體積元面元矢量面元矢量HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析說明：球面坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算：說明：球面坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算： rrrrAe Ae Ae ABe Be Be B()()()rrrABe ABeABeAB() ()rrrrrrA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()rrrrrrrreeeA BAAABBBe A BA B

30、eA BA BeA BA B加減：加減：標(biāo)積：標(biāo)積：矢積：矢積：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析2.2.4坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐

31、標(biāo)單位矢量的關(guān)系xeyeeeorz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系zeereeHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二、矢量分析二、矢量分析三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：1 1、直角坐標(biāo)系適用于場呈、直角坐標(biāo)系適用于場呈面對稱分布面對稱分布的問題求解，如無限大的問題求解，如無限大面電荷分布產(chǎn)生電場分布。面電荷分布產(chǎn)生電場分布。2 2、柱面坐標(biāo)系適用于場呈、柱面坐標(biāo)系適用于場呈軸對稱分布軸對稱分布的問題求解，如無限長的問題求解，如無限長線電流產(chǎn)生磁場分布。線電流產(chǎn)生磁場分布。3 3、球面坐標(biāo)系

32、適用于場呈、球面坐標(biāo)系適用于場呈點(diǎn)對稱分布點(diǎn)對稱分布的問題求解，如點(diǎn)電荷的問題求解，如點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場分布。產(chǎn)生電場分布。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.1 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場為如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場標(biāo)量場。 例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如例如：流速場、重力場、電場、磁場等。：流速場、重力場、電場、磁場等。q 如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時(shí)變場時(shí)變場。時(shí)變

33、標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)義了一個(gè)場場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)： 標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場( , , )u x y z 、( , , )F x y z靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.1.1

34、標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面 標(biāo)量場空間中，由所有場值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量場空間中，由所有場值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為標(biāo)量函數(shù)為 ，則等值面方程為：，則等值面方程為：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconst3.1.2方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場空間中，方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場空間中，某點(diǎn)處某點(diǎn)處場值沿場值沿特定方向特定方向變化的規(guī)律。變化的規(guī)律。 方向?qū)?shù)定義：方向?qū)?shù)定義：000()()limlMu Mu Mull M0Mll( )u r方向?qū)?shù)與選取的方向?qū)?shù)與選取的考察方向考察方向有關(guān)。有關(guān)。HARBIN ENGIN

35、EERING UNIVERSITY三、場論三、場論 若函數(shù)=(x, y, z)在點(diǎn)M0(x0, y0, z0)處可微，cos、cos、cos為l方向的方向余弦，則函數(shù)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為 coscoscos0zxxlM 證明：M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函數(shù)在M0處可微，故 0()()MMxyzlxyz HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論兩邊除以 ，可得 coscoscosxyzlxlylzlxyz當(dāng)趨于零時(shí)對上式取極限，可得 coscoscoszyxllHARBIN ENGINEERING UNIVER

36、SITY三、場論三、場論 方向?qū)?shù)物理意義：方向?qū)?shù)物理意義：00Mul，標(biāo)量場，標(biāo)量場 在在 處沿處沿 方向增加率；方向增加率；u0M00Mul，標(biāo)量場，標(biāo)量場 在在 處沿處沿 方向減小率；方向減小率；u0Mll00Mul，標(biāo)量場，標(biāo)量場 在在 處沿處沿 方向?yàn)榈戎得娣较颍o改變）方向?yàn)榈戎得娣较颍o改變）u0Ml 方向?qū)?shù)的計(jì)算方向?qū)?shù)的計(jì)算coscoscosuuuulxyz 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、分別為分別為 與與x,y,zx,y,z坐標(biāo)軸的夾角。坐標(biāo)軸的夾角。 lHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論 例例1-1

37、 求數(shù)量場 =(x+y)2-z通過點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。22)(0)(yxzzyx或 解：解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論 例例1-3 求數(shù)量場 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。 解：解：l方向的方向余弦為 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論而 222)(,2,2zyxz

38、uztyuzxxu數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù) 324232132131MlHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論 梯度的定義梯度的定義max( , , )lugradu x y zel式中：式中： 為場量為場量 最大變化率最大變化率的方向上的單位矢量。的方向上的單位矢量。le 梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì) 標(biāo)量場的梯度為標(biāo)量場的梯度為矢量矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)，且是坐標(biāo)位置的函數(shù) 標(biāo)量場梯度的幅度表示標(biāo)量場的標(biāo)量場梯度的幅度表示標(biāo)量場的最大增加率最大增加率 標(biāo)量場梯度

39、的方向標(biāo)量場梯度的方向垂直于垂直于等值面，為標(biāo)量場等值面，為標(biāo)量場增加最快增加最快的方向的方向 標(biāo)量場在給定點(diǎn)沿任意方向的標(biāo)量場在給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)等于等于梯度在該方向投影梯度在該方向投影3.1.3標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度uHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論 梯度的運(yùn)算梯度的運(yùn)算1zuuuueeerz 11sinruuuueeerrr 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：()xyxyzzuuueeexgrad ueeexzzuyy哈密頓算符u 球面坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：11()sinreeerrr 柱面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系：1()zeeerz HARBI

40、N ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論0()()()( )( )CCuC uuvuvuvu vv uf uf uu 梯度運(yùn)算相關(guān)公式梯度運(yùn)算相關(guān)公式式中：式中： 為常數(shù)；為常數(shù)； C,u v 為坐標(biāo)變量函數(shù)；為坐標(biāo)變量函數(shù)； HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.2 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度3.2.1 3.2.1 矢量線（力線）矢量線（力線）矢量場的通量矢量場的通量 矢量線的矢量線的疏密疏密表征矢量場的表征矢量場的大小大小 矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場的方向矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場的方向( )SF rd

41、S 若若矢量場矢量場 分布于空間中，在空間分布于空間中，在空間中存在任意曲面中存在任意曲面S S，則定義：，則定義：( )F r為為矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。3.2.2 3.2.2 矢量場的通量矢量場的通量( )F r矢量線矢量線OM Fdrrrdr問題問題：如何定量描述矢量場的大?。咳绾味棵枋鍪噶繄龅拇笮?？ 引入引入通量通量的概念。的概念。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論cosnsssF dSF e dSFdS 1) 1) 面元矢量面元矢量 定義：面積很小的定義：面積很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面積，為微分量，

42、：面元面積，為微分量，無限小無限小dSne：面元法線方向，：面元法線方向，垂直于垂直于面元平面。面元平面。說明：說明： nedS2) 2) 面元法向面元法向 的確定方法：的確定方法： 對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋右手螺旋法則法則確定；確定； 對閉合曲面：閉合面對閉合曲面：閉合面外法線方向外法線方向ne 若若S為閉合曲面為閉合曲面 ( )srd AS物理意義：表示穿入和穿出閉合面物理意義：表示穿入和穿出閉合面S S的通量的的通量的代數(shù)和代數(shù)和。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論 若若 ，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出

43、，閉合面內(nèi)有發(fā)，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的出矢量線的正源正源；0 若若 ，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的負(fù)負(fù)源源；0 若若 ，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)無無源源，或或正源負(fù)源代數(shù)和為正源負(fù)源代數(shù)和為0 0。0 通過通過閉合面閉合面S S的通量的通量的物理意義：的物理意義：000HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論.3、矢量場的散度、矢量場的散度 散度的定義散度的定義 在場空間在場空間 中任意點(diǎn)中任意點(diǎn)M M

44、處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為為 ，則定義場矢量，則定義場矢量 在在M M 點(diǎn)處的散度為：點(diǎn)處的散度為： ( )F rV0( )div( )limsVF rdF rVS( )F r即即流出單位體積元封閉面的通量。流出單位體積元封閉面的通量。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論 散度的物理意義散度的物理意義 矢量場的散度表征了矢量場的矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性通量源的分布特性( (體密度體密度) )； 矢量場的矢量場的散度是標(biāo)量散度是標(biāo)量； 矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)； 矢量場的散度

45、值表征空間中某點(diǎn)處矢量場的散度值表征空間中某點(diǎn)處通量源的密度通量源的密度。( ( 正源正源) )( )0divF r ( (負(fù)負(fù)源源) )( )0divF r( ( 無源無源）( )0divF r 若若 處處成立，則該矢量場稱為處處成立，則該矢量場稱為無散場無散場 若若 ，則該矢量場稱為，則該矢量場稱為有散場有散場， 為源密度為源密度( )0divF r( )0divF r 討論：在矢量場中，討論：在矢量場中，HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF

46、 eF exyz( )F r在圓柱坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：()11( )rzFrFFF rrrrz22111( )()(sin )sinsinrFF rr FFrrrr 散度的計(jì)算散度的計(jì)算HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.2.4散度定理（矢量場的高斯定理）散度定理（矢量場的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 該公式表明了矢量場該公式表明了矢量場 的散度在體積的散度在體積V內(nèi)的積分等于矢量場穿過內(nèi)的積分等于矢量場穿過包圍該體積的包圍該體積的邊界面邊界面S S的通量。的通量。( )F r 散度運(yùn)算相關(guān)公式

47、散度運(yùn)算相關(guān)公式0 ()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 為常矢量為標(biāo)量函數(shù)為常數(shù)HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.3.1 3.3.1 矢量的環(huán)流矢量的環(huán)流在場矢量在場矢量 空間中，取一有向閉合路空間中，取一有向閉合路徑徑 ，則稱，則稱 沿沿 積分的結(jié)果稱為矢量積分的結(jié)果稱為矢量 沿沿 的環(huán)流。即：的環(huán)流。即：( )F r( )F r( )F r( )lF rdl 線元線元矢量矢量 ：長度趨近于：長度趨近于0 0，方向沿路徑切線方向。，方向沿路徑切線方向。dl 環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)生

48、矢量環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。場的漩渦源。反映矢量場漩渦源分布情況反映矢量場漩渦源分布情況討論：討論：SSn 環(huán)量的定義APllll3.3 矢量場的矢量場的環(huán)流環(huán)流 旋度旋度HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.3.2 3.3.2 矢量的旋度矢量的旋度 環(huán)流面密度環(huán)流面密度0limcnsF dlrot FS 稱為矢量場稱為矢量場 在在M M點(diǎn)處沿點(diǎn)處沿 方向的漩渦源密度方向的漩渦源密度。( )F r n定義：定義：空間某點(diǎn)空間某點(diǎn)M M處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流：處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流：SCMFn1)1)環(huán)流

49、面密度大小與所選取的單位面元方向環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向 有關(guān)。有關(guān)。nrotnnFe rotF（投影關(guān)系）2)任意取向面元的環(huán)流面密度與最大環(huán)流面密度的關(guān)系：任意取向面元的環(huán)流面密度與最大環(huán)流面密度的關(guān)系：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論 矢量場的矢量場的旋度旋度 矢量場在矢量場在M M點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處環(huán)流面密度最大時(shí)環(huán)流面密度最大時(shí)對應(yīng)的矢量，對應(yīng)的矢量，模值等于模值等于M M點(diǎn)處最大環(huán)流面密度點(diǎn)處最大環(huán)流面密度，方向?yàn)椋较驗(yàn)榄h(huán)流密度最大的方向環(huán)流密度最大的方向，表，表示為示為 ，即：，即：rot F式中：式中： 表示

50、矢量場旋度的方向；表示矢量場旋度的方向； nmax0rotlimcSF dlFnS 旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)，是空間坐標(biāo)的函數(shù) 矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該點(diǎn)處的矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該點(diǎn)處的漩渦源密度漩渦源密度HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論 旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzFxyzxyze

51、eexyzFFFHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 柱面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系： 球面坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零()fFfFfF ()fCfC 0C ()FGFG ()FGGFFG ()0F ()0u 旋度計(jì)算相關(guān)公式：旋度計(jì)算相關(guān)公式：證明證明證明證明HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論討論：散度和旋度比較討論：散度和旋度比較 0,0FF0.0FF0,0FF

52、0,0FFHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.3.3 3.3.3 斯托克斯定理斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定義 對于有限大面積s，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小面積元有)11()clA dAdS 22()clA dAdS ()sAdS clA d()SlA dSA dl斯托克斯定理的證明：得證！意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)流。該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消H

53、ARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.4 無旋場與無散場無旋場與無散場3.4.1 3.4.1 無旋場無旋場 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某些位置或，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有整個(gè)空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場內(nèi)，場 為無旋場。為無旋場。 0F0F( )F r( )F r( )( )0cSF rdlF rdS結(jié)論：結(jié)論：無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零( (無漩渦源無漩渦源) )。 重要性質(zhì)重要性質(zhì)：無旋場的旋度始終為無旋場的旋度始終為0，可引入標(biāo)量輔助函

54、數(shù)可引入標(biāo)量輔助函數(shù)表征矢量場，即表征矢量場，即Fu 例如：靜電場例如：靜電場0EE HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.4.2 3.4.2 無散場無散場 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個(gè)，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場內(nèi)，場 為無源有旋場。為無源有旋場。( )F r0F0FJ( )F r( )( )0SVF rdSF r dV結(jié)論：結(jié)論：無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）。 重要性質(zhì)：重要性質(zhì)：無散

55、場的散度始終為無散場的散度始終為0，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無散場，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無散場FA 例如，恒定磁場例如，恒定磁場BA 0BHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論（3 3）無旋、無散場）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F （4 4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r 無旋場部分無旋場部分無散場部分無散場部分()0u Fu 20u0F HARBIN ENGINEERI

56、NG UNIVERSITY三、場論三、場論3.5 拉普拉斯運(yùn)算拉普拉斯運(yùn)算 標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算對標(biāo)量場的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：對標(biāo)量場的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：2uu 2“”式中：式中：稱為拉普拉斯算符。稱為拉普拉斯算符。 在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2222222uuuuxyz 矢量場的拉普拉斯運(yùn)算矢量場的拉普拉斯運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2222xxyyzzFeFeFeFHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三、場論三、場論3.6 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢

57、量場由矢量場的在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的散度散度、旋度旋度和和邊界條件邊界條件（即矢（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定唯一確定，且任意矢量場可表示為：，且任意矢量場可表示為：( )( )( )F rrA r 1( )( )4VF rrdVrr1( )( )4VF rA rdVrr 說明：說明：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY已知已知矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度場域邊界條件場域邊界條件在電磁場中在電磁場中電、磁場散度電、磁場散度電、磁場旋度電、磁場旋度場域邊界條件場域邊界條件亥姆霍茲定理

58、在電磁理論中的意義：亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：研究電磁場的一條主線研究電磁場的一條主線。 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處有：內(nèi)，處處有： 和和 則則 由其在邊界面上的場分布確定。由其在邊界面上的場分布確定。 0F0F( )F r( )F r注意：注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。三、場論三、場論HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY四、電磁場的基本規(guī)律四、電磁場的基本規(guī)律麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組4.1 電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律 法拉第電磁感應(yīng)定律積分形式法拉第電磁感應(yīng)定律積分形式

59、 法拉第電磁感應(yīng)定律：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路所圍面積法拉第電磁感應(yīng)定律：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生改變時(shí)，回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，的磁通量發(fā)生改變時(shí)，回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，其大小等于其大小等于回路磁通量的時(shí)間變化率回路磁通量的時(shí)間變化率。 數(shù)學(xué)表示：數(shù)學(xué)表示：inddt “- -”號(hào)表示回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢的作用總是要號(hào)表示回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢的作用總是要阻止阻止回路磁通回路磁通量的改變。量的改變。SBdStdd in,iHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY四、電磁場的基本規(guī)律四、電磁場的基本規(guī)律麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式法拉第電磁感應(yīng)

60、定律微分形式令感應(yīng)電場為令感應(yīng)電場為inEinincEdlincsdEdlB dSdt incsBEdldSt 空間內(nèi)，一般還存在著空間內(nèi)，一般還存在著靜電場靜電場 ，導(dǎo)體內(nèi)總電場為，導(dǎo)體內(nèi)總電場為 。 由由前面討論可知：前面討論可知： 為保守場，即為保守場，即 則則 cEincEEEcE0ccE dl inccsBEEdldSt 上式（ ）csBE dldSt ssBE dSdSt BEt 法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式inSddtB dS HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY四、電磁場的基本規(guī)律四、電磁場的基本規(guī)律麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組對法