第4章動能定理

1、1第四章第四章 動能定理動能定理 功能原理功能原理4.1 動能定理動能定理4.2 保守力和非保守力保守力和非保守力 勢能勢能4.3 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律4.4 三種宇宙速度三種宇宙速度4.5 能量守恒定律能量守恒定律24.1動能定理動能定理1. .物體作物體作直線直線運動，運動，恒力恒力做功做功cosAFs2. .物體作曲線物體作曲線運動運動，變力變力做功做功abFd r元功：元功：總功：總功：( )dba LAA|d | drsFr一、功一、功 功率功率dcosdAFrdFrFrabsrs ( )dba LFr( )cos dba LFs質(zhì)點同時受幾個力作用質(zhì)點同時

2、受幾個力作用12NFFFF()dbaLAFr12()() dbNaLFFFr12()()()dddbbbNaLaLaLAFrFrFr合力的功合力的功等于等于各分力沿同一路徑各分力沿同一路徑所做功的所做功的代數(shù)和代數(shù)和。3. 功率功率APt 0limtAPt ddFrt312NAAA平均功率平均功率瞬時功率瞬時功率ddAtF v二、動能定理二、動能定理1. .質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理()dbaLAFr合合()cosdbaLFr()dbtaLFr由牛頓第二定律由牛頓第二定律221122bamvmv4()dbtaLAFr合()dddbaLvmrt()dbaLmvv定義定義質(zhì)點動能質(zhì)點動能212k

3、Emv或或22kpEmkbkakAEEE 合質(zhì)點動能定理：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。質(zhì)點動能定理：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。2. .質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理對對n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，每個質(zhì)點分別使用動能定理每個質(zhì)點分別使用動能定理m11111k bkaAAAEE外1合內(nèi)m2mn22222kbkaAAAEE外合內(nèi)knbknannnAAAEE外合內(nèi)5簡記為：簡記為：所有所有外力外力對質(zhì)點系做的功和對質(zhì)點系做的功和內(nèi)力內(nèi)力對質(zhì)點系做的功對質(zhì)點系做的功之和之和等于質(zhì)點等于質(zhì)點系總動能的增量。系總動能的增量。注意注意：內(nèi)力內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的不能改變

4、系統(tǒng)的總動量總動量，但能改變系統(tǒng)的，但能改變系統(tǒng)的總動能總動能。1111nnnnkibkiaiiiiiiAAEE外內(nèi)kbkaAAEE外內(nèi)3. . 質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能* *柯尼希定理柯尼希定理212kiiiEm vcriririmocicirrricivvv1() ()2kiciciiEm vvvv11()()22cciciiiiiiiivvmvm vm vv221122ccciiimvvmvmviiicmvvm 0221122kciiiEmvmvkckEE柯尼希定理柯尼希定理6kcEkE例例1. .長長 l，質(zhì)量，質(zhì)量m 的勻質(zhì)鏈條，置于水平桌面上，鏈條與桌面摩的勻質(zhì)鏈條，置于水平桌面上

5、，鏈條與桌面摩擦系數(shù)擦系數(shù)，鏈條鏈條下垂部分下垂部分a。鏈條由靜止開始運動，求。鏈條由靜止開始運動，求（1）在鏈在鏈條滑離桌面的過程中，重力和摩擦力所作的功；鏈條離開桌面時條滑離桌面的過程中，重力和摩擦力所作的功；鏈條離開桌面時的速率。的速率。解解: :（1）如圖，鏈條下垂）如圖，鏈條下垂y ，重力作元功，重力作元功pddmAygyl鏈條由鏈條由a 滑至滑至 l，重力作功，重力作功pgdlamAyyl22()2mglal7桌面鏈條離開桌面鏈條離開x 時，長時，長 l-a-x ，摩擦力作元功摩擦力作元功d() dfmgAlaxxl 桌面鏈條由桌面鏈條由0滑至滑至l -a，摩擦力作功，摩擦力作功0

6、()dlafmgAlaxxl2()2mglal alaoyxox22p()2mgAlal82()2fmgAlal （2）p=fkAAAE 合222()() gvlalalalaoyxox由動能定理由動能定理2p102fAAmvm1m2o2r1r2f1f1dr2dr1122dddAfrfr221(dd )frr221()dfrr在不光滑桌面上運動的物體，運動過程在不光滑桌面上運動的物體，運動過程中物體與桌面之間的中物體與桌面之間的一對相互作用的摩一對相互作用的摩擦力擦力所做的總功是多少？是否為零？所做的總功是多少？是否為零？一、一對力的功一、一對力的功設(shè)一對力分別作用在兩個物體設(shè)一對力分別作用在

7、兩個物體上，大小相等，方向相反。上，大小相等，方向相反。221dfr4.2保守力與非保守力保守力與非保守力 勢能勢能12ff 21r92121rrr21d r1a1b2a2b221dbabaAfr112dbabaAfr1. . 結(jié)論：結(jié)論：10（1）一對力的功一對力的功等于等于其中一個質(zhì)點其中一個質(zhì)點受的力沿著該質(zhì)點受的力沿著該質(zhì)點相對于另相對于另一質(zhì)點移動的路徑一質(zhì)點移動的路徑所作之功。所作之功。（2） 一對力的功一對力的功與與相對路徑相對路徑有關(guān)，所以有關(guān)，所以與參考系的選取無關(guān)與參考系的選取無關(guān)。問題討論：問題討論：221112dddAfrfr21d0rd0A 221dfr光滑光滑光滑光

8、滑NNNN1r2r12r120Nr一對正壓力的功恒為零！一對正壓力的功恒為零！Afr 一對滑動摩擦力之功恒小于零！一對滑動摩擦力之功恒小于零！不光滑不光滑ff r11v二、保守力與非保守力二、保守力與非保守力1. .重力作功重力作功dbaAmgr重力作功與路徑無關(guān)重力作功與路徑無關(guān)12()()ddbba La Lmgrmgrdbazzmgz bamgzmgzd0mgr也可以寫成也可以寫成12()()dd0bba La Lmgrmgr12mgoxyzazbzab以地球為參考系以地球為參考系mgmgk ddddrxiyjzk2. 萬有引力作功萬有引力作功r0r1202Gm mfrr ()dbara

9、brLAfr123()dbarrLGm mrrrd| d| cosrrrrdrr122()dbarrLGm mrr13rarbrab1m2mfdrdr123Gm mfrr 0rrr1212baGm mGm mrr3. 彈力作功彈力作功以固定端為參考點以固定端為參考點14() dbaxabxAkxx2211()22bakxkx fkx oxaxbx0laboP重力、彈性力、萬有引力、靜電力都具有重力、彈性力、萬有引力、靜電力都具有共同特征共同特征（1）一對力的功僅與系統(tǒng)初態(tài)和末態(tài)的相一對力的功僅與系統(tǒng)初態(tài)和末態(tài)的相對位置有關(guān)，而與做功路徑無關(guān)；對位置有關(guān)，而與做功路徑無關(guān)；L1abL21()db

10、a Lfr2()dba Lfr（2）沿任意閉合回路作功為沿任意閉合回路作功為零零。即。即12( )()()ddd0baLa LbLfrfrfr表述一（文字表述）：表述一（文字表述）：作功與相對路徑無關(guān)，只與始末相對位置有關(guān)的力稱為保守力作功與相對路徑無關(guān)，只與始末相對位置有關(guān)的力稱為保守力或恒力或恒力大小和方向都與位置無關(guān)大小和方向都與位置無關(guān)重力重力154. .保守力的定義：保守力的定義：表述二（數(shù)學(xué)表述）：表述二（數(shù)學(xué)表述）：( )d0Lfr保fmg萬有引力萬有引力0( )ff r r或有心力或有心力彈力彈力fkx摩擦力（耗散力）摩擦力（耗散力）爆炸力爆炸力從對稱性角度看從對稱性角度看保守

11、力：具有時間反演不變保守力：具有時間反演不變非保守力：不具有時間反演不變非保守力：不具有時間反演不變?nèi)菽苋?、勢能保守力的功只與物體的始末相對位置有關(guān)，保守力的功只與物體的始末相對位置有關(guān)，與運動路徑及參考系無關(guān)。與運動路徑及參考系無關(guān)。勢能勢能16與物體間相互作用及相對位置有關(guān)的能量與物體間相互作用及相對位置有關(guān)的能量保守力的功保守力的功()pbpaEE dbabaAfrpE 若選若選 b點點勢能為零，即勢能為零，即Epb = = 0，則任意點則任意點 a 的勢能的勢能0dpaAEfr勢能點（沿任意路徑）baAmghmgh重力功重力功引力功引力功1212baGm mGm mArr彈力功彈力

12、功2211()22baAkxkx 若選勢能零點若選勢能零點00bpbhE重力勢能重力勢能pEmgh0bpbrE12pGm mEr 00bpbxE212pEkx引力勢能引力勢能彈性勢能彈性勢能說明說明171. .勢能勢能 。()pbpaAEE pE 0dpaAEfr勢能點（沿任意路徑）2. .勢能勢能 。3. .勢能勢能不依賴于參考系的選擇不依賴于參考系的選擇。 因為一對保守力的功不依賴于參考系的選擇。因為一對保守力的功不依賴于參考系的選擇。（重要特點?。ㄖ匾攸c?。┧摹菽芮€四、勢能曲線引力勢能引力勢能彈性勢能彈性勢能重力勢能重力勢能18勢能曲線提供的信息勢能曲線提供的信息( )pExxa

13、bcABC( ) dd( )pf xxEx d( )( )dpExf xx pEhoEpEkEpEroEkEpE0kEpExoEpEkE19勢能曲線能形象地表示出系統(tǒng)的穩(wěn)定性勢能曲線能形象地表示出系統(tǒng)的穩(wěn)定性( )pExxabcABCd( )( )dpExf xx d( )0dpExx( )0f x 勢能曲線有極值，質(zhì)點處于平衡位置。勢能曲線有極值，質(zhì)點處于平衡位置。（1）取極小值的平衡點）取極小值的平衡點22d( )0dpExxax;0axxf;0axxf力總是指向平衡位置力總是指向平衡位置（2）取極大值的平衡點）取極大值的平衡點bx;0bxxf;0bxxf力總是背離平衡位置力總是背離平衡位

14、置例：原子之間的相互作用力（分子力）。例：原子之間的相互作用力（分子力）。 ( )pErE E3E E2E E1r1r0r2r總能量總能量E =E1 0時，動能較小，它們將繞平衡位置作小振動。時，動能較小，它們將繞平衡位置作小振動。總能量總能量E=E20 時，動能足夠大，原子將自由地飛散。時，動能足夠大，原子將自由地飛散。A AA A1分子力是保守力，勢能如圖所示：分子力是保守力，勢能如圖所示：（3）當(dāng)當(dāng) r=r0 時，勢阱（最低點），時，勢阱（最低點），穩(wěn)定平衡位置，穩(wěn)定平衡位置，兩個相對靜止原子在此位置上結(jié)合在一起形成分子。兩個相對靜止原子在此位置上結(jié)合在一起形成分子。20（1）當(dāng)當(dāng) r

15、r0 時時， fr 0，指向指向r 減減小的方向，是引力。小的方向，是引力。（2）當(dāng)當(dāng) r r0 時時， 指向指向r 增增大的方向，是斥力。大的方向，是斥力。當(dāng)當(dāng) r r1 時時，勢能急劇上升，使原子勢能急劇上升，使原子間彼此不能進(jìn)一步靠近。間彼此不能進(jìn)一步靠近。引力勢能引力勢能: :12( )pm mErGr 彈性勢能彈性勢能: : 212pExkx重力勢能重力勢能: :( )pEhmgh122ddpEmmfGrr ddpEfkxx ddpEfmgh 引力引力彈性力彈性力重力重力五、由勢能求保守力五、由勢能求保守力ddpFlE 對于一個元過程，保守力的功為對于一個元過程，保守力的功為ddpl

16、EFl21FlFld lmdcosddlFlFlFl保守力等于保守力等于負(fù)的勢能梯度負(fù)的勢能梯度kjizyxpFE ()pxyzijk E xyzFF iF jF kpzEFz pyEFy pxEFx ()ppEE xyz22若若則則引入梯度算符引入梯度算符則有則有一、質(zhì)點系的功能原理一、質(zhì)點系的功能原理 機械能機械能AA外內(nèi)由質(zhì)點系動能定理由質(zhì)點系動能定理因為因為pAE 保內(nèi)所以所以()kpAWEE 外非保內(nèi)機械能機械能pkEEE質(zhì)點系的功能原理質(zhì)點系的功能原理WWE 外非保內(nèi)kE AAA外非保內(nèi)保內(nèi)234.3 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律二、二、機械能守恒定律機械能守恒定

17、律0AA外非保內(nèi)總機械能的增加，等于外力對它所作的功。從某一總機械能的增加，等于外力對它所作的功。從某一慣性參考慣性參考系系看，外力作功為零，該系統(tǒng)的機械能不變?？?，外力作功為零，該系統(tǒng)的機械能不變。AAE 外非保內(nèi) 由質(zhì)點系的功能原理由質(zhì)點系的功能原理在只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點系機械能保持不變。在只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點系機械能保持不變。機械能守恒定律機械能守恒定律00AA外非保內(nèi)（而且）則則E=恒量恒量時，系統(tǒng)的機械能保持不變。時，系統(tǒng)的機械能保持不變。24當(dāng)當(dāng)pEkE0A保內(nèi)0A保內(nèi)注意注意：4.4 三種宇宙速三種宇宙速度度一、一、第一宇宙速度（第一宇宙速度（人造地球衛(wèi)星人造

18、地球衛(wèi)星）設(shè)地球質(zhì)量設(shè)地球質(zhì)量Me，半徑，半徑Re，衛(wèi)星質(zhì)量衛(wèi)星質(zhì)量m 在距地球在距地球表面為表面為h 的圓軌道上做圓周遠(yuǎn)動，衛(wèi)星和地球的圓軌道上做圓周遠(yuǎn)動，衛(wèi)星和地球的系統(tǒng)機械能守恒的系統(tǒng)機械能守恒22111(1)22eeeM mM mmvGmvGRr引力作向心力引力作向心力)2(22rmvrmMGe1(2)eeeGMRvRr(2)eeRgRr在地球表面附近在地球表面附近hRe1evgR7.9km/s25vherRh2eeGMgR第一宇宙速度第一宇宙速度二、二、第二宇宙速度（第二宇宙速度（人造行星的逃逸速度人造行星的逃逸速度）21()2eeM mEmvGR 22eeGMvR211.2km/

19、segR逃逸速度（逃逸速度（第二宇宙速度第二宇宙速度）2212eeM mmvGR是拋體脫離地球引力是拋體脫離地球引力成為太陽系的行成為太陽系的行星所需要的星所需要的最小發(fā)射速度最小發(fā)射速度21()2eM mEmvGr 26系統(tǒng)：物體和地球，只有保守內(nèi)系統(tǒng)：物體和地球，只有保守內(nèi)力做功。機械能守恒力做功。機械能守恒當(dāng)當(dāng)r 引力引力0F 若此時若此時0v 則則0kpEE圓圓1v拋物線拋物線2v橢圓橢圓102vvv2vv雙曲線雙曲線逃逸速度逃逸速度若星球的質(zhì)量若星球的質(zhì)量M 越大，半徑越大，半徑R越越小，小，逃逸速度逃逸速度越大，當(dāng)然其越大，當(dāng)然其極限極限為真空中的光速為真空中的光速。27圓圓1v拋

20、物線拋物線2v橢圓橢圓102vvv2vv雙曲線雙曲線22eeGMvR逃逸速度逃逸速度達(dá)到光速的星球稱為達(dá)到光速的星球稱為黑洞黑洞2sGMcrrs：史瓦西半徑，史瓦西半徑，或引力半徑或引力半徑地球地球史瓦西半徑史瓦西半徑3228.86 10mesGMrc太陽太陽史瓦西半徑史瓦西半徑3222.95 10 mssGMrc引力理論：轉(zhuǎn)化為黑洞的只能是質(zhì)量滿足一定條件的恒星引力理論：轉(zhuǎn)化為黑洞的只能是質(zhì)量滿足一定條件的恒星恒星的歸宿：恒星的歸宿：小質(zhì)量恒星，小質(zhì)量恒星，內(nèi)部核燃料逐漸耗盡，變成內(nèi)部核燃料逐漸耗盡，變成不發(fā)光的星體。不發(fā)光的星體。大質(zhì)量恒星，大質(zhì)量恒星，內(nèi)部核燃料逐漸耗盡，內(nèi)部核燃料逐漸耗

21、盡，超新星爆發(fā)（拋射外圍物質(zhì)）。超新星爆發(fā)（拋射外圍物質(zhì)）。28美聯(lián)社美聯(lián)社20042004年年2 2月月1919日報道，歐洲和美國天文學(xué)家近日宣布，日報道，歐洲和美國天文學(xué)家近日宣布，他們他們借助借助X X射線太空望遠(yuǎn)鏡，在一個距地球大約射線太空望遠(yuǎn)鏡，在一個距地球大約7億光年的星億光年的星系中觀測到了耀眼的系中觀測到了耀眼的X射線爆發(fā)。射線爆發(fā)。這是科學(xué)家第一次找到這是科學(xué)家第一次找到超超大質(zhì)量黑洞撕裂恒星大質(zhì)量黑洞撕裂恒星的強有力證據(jù)。的強有力證據(jù)。3242.2km/sSe SGMvr （2）衛(wèi)星在地球上，）衛(wèi)星在地球上，地球相對于太陽地球相對于太陽的速度：的速度：29.8km/s，34

22、2.229.812.4km/sv（3）再考慮到衛(wèi)星脫離地球引力所需要動能：）再考慮到衛(wèi)星脫離地球引力所需要動能：2212mv222323111222mvmvmv2232316.7km/svvv3. .飛出太陽系（飛出太陽系（第三宇宙速度第三宇宙速度）（1）只考慮太陽的引力，衛(wèi)星脫離太陽引力，其）只考慮太陽的引力，衛(wèi)星脫離太陽引力，其相對太陽相對太陽的的最小速度：最小速度：使衛(wèi)星發(fā)射方向與地球公轉(zhuǎn)方向一致，其使衛(wèi)星發(fā)射方向與地球公轉(zhuǎn)方向一致，其相對地球相對地球的速度的速度第三宇宙速度第三宇宙速度使衛(wèi)星脫離太陽系所需要的最小速度使衛(wèi)星脫離太陽系所需要的最小速度v3293020072007年年101

23、0月月2424日日1818時時0505分分，嫦娥一號由長三甲運載火箭，嫦娥一號由長三甲運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空。在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空。4.5 能量守恒定律能量守恒定律所有的時間對于物理定律都是等價的，絕對的時間坐標(biāo)無法所有的時間對于物理定律都是等價的，絕對的時間坐標(biāo)無法測量。測量。時間的均勻性，也叫時間的均勻性，也叫時間平移對稱性或時間平移時間平移對稱性或時間平移不變性不變性。能量守恒定律的普遍性在于它與能量守恒定律的普遍性在于它與時間的均勻性時間的均勻性相關(guān)聯(lián)。相關(guān)聯(lián)。一個一個孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)所有能量的總和保持經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)所有能量的總和

24、保持不變。不變。普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律31例例2. .光滑平面，長為光滑平面，長為l 的的兩根輕繩，分別連著兩根輕繩，分別連著MM和兩個和兩個m，給給M速度速度 （瞬時）。（瞬時）。VMmmllV求：兩小球接觸前瞬間繩的張力。求：兩小球接觸前瞬間繩的張力。VFFv解：解：M受力受力2(1)MFMa牛二定律（瞬時關(guān)系）牛二定律（瞬時關(guān)系）m受力：每個受力：每個m受力及運動情況受力及運動情況一樣。一樣。m相對大球作圓周運動。相對大球作圓周運動。22mvvFmammllMam隨隨M一起運動，一起運動，m 處在非慣性系中處在非慣性系中，受力：受力：2(2)MvFmaml32MmmllVv

25、V沿方向沿方向 動量守恒動量守恒v(2 )(3)MVMm v2(2)MvFmaml能量守恒能量守恒22221112()(4)222MVMvm vv2(1)MFMa2222(2 )(3)M VMm v222(2 )2(4 )MVMm vmv222MvVMm代入（代入（1）和（）和（2）得）得22mMVFlMm3334ABRoabABRoabvVABRoabcvV1x35ABRoabcvVxxv( sin)cosvV ivj( sin)m vVMVsinmVvMm2222cos21)sin(2121sinmvVvmMVmgR)sin( /sin2)(2mmMgRmMv36ABRoabABRoabvV1x12M xm x12xxR1mxRMm2MxRMm2mvNmgR()2/vMmgR M32MmNmgM2()m vVNmg2()mRMm例例3. .固定的光滑圓球半徑固定的光滑圓球半徑1m，物體從頂端靜止開始下滑，問：物體從頂端靜止開始下滑，問：( (1) )物體在何處（物體在何處（ ？）？）脫離圓球沿切線飛出？脫離圓球沿切線飛出？( (2) )物體飛出時的速度物體飛出時的速度? ?( (3) )物體到達(dá)地面時，離開