GCT入學(xué)資格考試微積分實用教案

1、對新考試特點(tdin)的分析 GCT-ME重在考查獲取知識的能力；重在直觀分析、判斷綜合；考查的不是難度、深度，而是能力。（以下來自考試大綱） GCT-ME 考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測試宗旨： 考查考生所具有的數(shù)學(xué)方面(fngmin)的基礎(chǔ)知識、基本思想方法，及使用所掌握數(shù)學(xué)知識和方法分析問題和解決問題的能力。 試題結(jié)構(gòu)： 25道單項選擇題，每題4分，時間為45分鐘。內(nèi)容為算術(shù)、代數(shù)、幾何與三角、一元微積分、線性代數(shù)五部分（各5道題）。包括審題、涂答案和分析計算在內(nèi)，平均每題2分鐘不到，少量題上最長不宜超過3分鐘。 命題范圍： 算術(shù)、代數(shù)、幾何與三角、一元微積分、線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識，及其在日常生活、

2、科學(xué)研究和實際工程中的應(yīng)用，要求考生對所列數(shù)學(xué)知識有較深刻的理性認識?；A(chǔ)知識、思維方式及應(yīng)用（思維方式：理性直觀）第1頁/共33頁第一頁，共34頁。應(yīng)有(yn yu)的基本對策 由于考查是在基礎(chǔ)知識上的直觀分析、判斷綜合；而且選擇題適宜考查基本概念及基本計算。因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意： 1、強調(diào)(qing dio)“正確”理解基本概念，熟練基本運算。注意概念、性質(zhì)、方法、結(jié)論的變化和綜合； 2、強調(diào)(qing dio)理性直觀的分析問題能力，尤其是通過圖形的直觀分析能力； 3、注意以前有關(guān)學(xué)習(xí)中容易錯，不是很清楚的地方；應(yīng)試基礎(chǔ)：以不變應(yīng)萬變 (不變 熟練的雙基、穩(wěn)定的心態(tài));應(yīng)試要領(lǐng)：速度；應(yīng)試方

3、法： 題目讀完后，先看一下四個答案的特征 (因最終要選); 能畫圖的盡量畫個準確的圖; 畫不出圖，四答案也不能幫助分析的，注意相關(guān)概念本質(zhì)和結(jié)論。這些都不行，別忘記再看一遍已知。 注意應(yīng)對選擇題的多種有效方法等等。 課后：熟悉相關(guān)概念的“正確”理解和強調(diào)(qing dio)的方法.第2頁/共33頁第二頁，共34頁。第四部分(b fen) 一元函數(shù)微積分第一節(jié) 函數(shù)及其圖形考試(kosh)要求 集合，映射，函數(shù)，函數(shù)的應(yīng)用第3頁/共33頁第三頁，共34頁。內(nèi)容綜述 函數(shù)及有關(guān)概念 1、定義：設(shè)A，B是兩個實數(shù)域 R 的非空子集，則A到B的對應(yīng) f： AB 稱為A到B的函數(shù)。通常記作y=f(x),

4、 x A ， 或 相關(guān)概念：定義域、自變量、因變量、基本初等函數(shù) (冪、指、對、三角(snjio)、反三角(snjio)）、初等函數(shù)、分段函數(shù)（不屬初等函數(shù)）。 注意: 定義域及對應(yīng)法則是兩個基本要素： x本身不一定是數(shù)，也可以是函數(shù)、定積分、行列式。 x本身不一定是一個字母，也可以是復(fù)雜的形式； 確定任何函數(shù)的函數(shù)值，都必須先確定自變量的值。 2、函數(shù)的性質(zhì)：有界，單調(diào)，奇偶，周期第4頁/共33頁第四頁，共34頁。例1 已知 f(x+1)=x2+1，求f(x)的表達式例2 已知例3 設(shè)函數(shù)(hnsh)f(x)的定義域是 ，且f(x)的圖形 關(guān)于直線x=a與x=b對稱(ab)，求f(x)的周期

5、。 例4 研究下列函數(shù)(hnsh)的奇偶性： (1) (2)例5 已知函數(shù)(hnsh)f(x)的周期是2，求函數(shù)(hnsh) 的周期。第5頁/共33頁第五頁，共34頁。第二節(jié) 數(shù)列(shli)與函數(shù)的極限考試要求 數(shù)列、函數(shù)的極限( jxin)，極限( jxin)的運算，極限( jxin)存在準則，兩個重要極限( jxin)，連續(xù)，無窮大、無窮小。 第6頁/共33頁第六頁，共34頁。 1、數(shù)列與函數(shù)極限定義； 2、極限性質(zhì)； 若數(shù)列(或函數(shù))極限存在(收斂),則其極限唯一; 若數(shù)列(或函數(shù))極限存在(收斂),則其極限有界; 3、極限運算； 4、兩個重要極限; ,特別（注意核心：(1+無窮小)無

6、窮大，且三種(sn zhn)形式對應(yīng).) （注意形式對應(yīng)）內(nèi)容(nirng)綜述第7頁/共33頁第七頁，共34頁。 5、無窮大量與無窮小量的定義與性質(zhì)：定義： 時， ，稱 f(x)在 時為無窮小量； 若 時， ，稱 f(x)在 時為無窮大量；注意： 1都是指函數(shù)值是否具有某種趨勢: 能越來越接近 0 (或)，是變化的量； 2區(qū)別(qbi)無窮大量與無界量. 如性質(zhì)：有限個無窮小量的代數(shù)和、積仍為無窮 ?。粺o窮小量與有界量的積為無窮小。第8頁/共33頁第八頁，共34頁。 6、無窮小量的比較及等價無窮小的替換； 定義(dngy)： 注意條件x*,則 (注意分子 分母整體替換)第9頁/共33頁第九頁

7、，共34頁。 7、函數(shù)連續(xù)的定義： 若 ，則稱y=f(x)在點x0連續(xù)。 即f(x)在x0點連續(xù) “連續(xù)”的核心(hxn)要素：f(x0)存在; ; 三者相等. 8、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)(1) 閉區(qū)間上連續(xù)，則閉區(qū)間上有界;(2) 閉區(qū)間上連續(xù)，則閉區(qū)間上有最大、最小值;(3) 閉區(qū)間a, b上連續(xù), f(a)f(b), 對f(a)，f(b)之間任一數(shù)，有c，使f(c)= . 介值定理(4) 閉區(qū)間a, b上連續(xù), f(a)f(b)0, c(a, b), 使f(c)=0.第10頁/共33頁第十頁，共34頁。例1 1 下列極限正確的是 A. A. ，0ab. B.0a2 f(x)2 ； C.

8、 f(1)=4 D. C. f(1)=4 D. 在x=1x=1附近(fjn)( )(fjn)( )，f(x)5 .f(x)5 .例4 4 已知函數(shù) 在上(-, + )(-, + )連續(xù)， 求a a，b b的值。 第11頁/共33頁第十一頁，共34頁。例4* 設(shè) ，在(-, + )上連續(xù)，則a= A. ln2 B. 0 C.2 D.任意實數(shù) 例5 設(shè) x0 時， 是比 高階的無窮小，其中(qzhng)a，b，c是常數(shù)，則a= , b= , c= ?例6 的草圖是：A B C D 第12頁/共33頁第十二頁，共34頁。第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)(do sh)(do sh)與微分 考試要求 導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)法則(

9、fz)及基本求導(dǎo)公式，高階導(dǎo)數(shù)，微分。第13頁/共33頁第十三頁，共34頁。內(nèi)容(nirng)綜述1、導(dǎo)數(shù)的定義記號：y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)，記為含義：(x只是形式, 是無窮小量, 分子與分母一致, 趨于) 注：某點x0點處可導(dǎo)（有導(dǎo)數(shù)）的要素 f(x0)存在； f(x)在x0點的左導(dǎo)數(shù) ，右導(dǎo)數(shù) 存在且相等.2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(yy):曲線上該點切線斜率、變化速度第14頁/共33頁第十四頁，共34頁。3、導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)四則運算；4、求導(dǎo)法則 （1）復(fù)合(fh)函數(shù)求導(dǎo)：思路：拆分成若干層，使每一層能直接使用基本導(dǎo)數(shù)公式或四則運算法則如： （2）隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)x與y的對應(yīng)關(guān)系由F(x, y)=

10、0確定（隱函數(shù)）。如 思路：一個變量作自變量，其余看成自變量的函數(shù)5、高階導(dǎo)數(shù)；第15頁/共33頁第十五頁，共34頁。6、微分 定義： x，xx f(x)的定義域，相應(yīng)函數(shù)的改變量有，y= f(xx )- f(x)= Ax o(x)其中A是不依賴于x的常數(shù)，o(x)是比x高階的無窮小量，Ax 稱為函數(shù)y=f(x)在點x處相應(yīng)于x的微分，記為dy dy= f (x)x = f (x)dx 微分的幾何意義 函數(shù)在某點的微分，是函數(shù)對應(yīng)曲線上該點切線(qixin)上相應(yīng)于x的增量第16頁/共33頁第十六頁，共34頁。例1 f(x)在 可導(dǎo)，求下列極限 （1） （2）例2 將(a)(d)中的函數(shù)與圖中

11、IIV的導(dǎo)函數(shù)圖形(txng)匹配a b c dI II III IV第17頁/共33頁第十七頁，共34頁。例3 f(x)在(-, +)內(nèi)可導(dǎo)，f(-x)=-f(x)， 則 A. k B. -k C. 0 D. 例4 確定了y=y(x)，求 在x=0處的切線和法線(f xin)方程。例5 可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)； 可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)； 周期為T的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是以T為周期的函數(shù)。第18頁/共33頁第十八頁，共34頁。第四節(jié) 微分(wi fn)(wi fn)中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 考試要求(yoqi) 中值定理，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。 第19頁/共33頁第十九頁，共34頁。內(nèi)容(nirng)綜述1

12、 1、中值定理（理論性強，了解）（圖示）： 羅爾定理：f(x)f(x)在a, ba, b上連續(xù)，(a, b)(a, b)上可導(dǎo)，且 f(a)=f(b) f(a)=f(b)，則有(a, b), (a, b), 使 f ()=0. f ()=0.即在(a(a，b)b)中有點的切線(qixin)(qixin)平行于x x軸。 拉格朗日中值定理：f(x)f(x)在a, ba, b上連續(xù), (a, , (a, b)b)上可導(dǎo), , 則有(a, b), (a, b), 使f(b)f(b)f(a)= f f(a)= f ()(b()(ba)a)即此時(a(a，b)b)中有點的斜率等于直線ABAB的斜率。 第

13、20頁/共33頁第二十頁，共34頁。2、導(dǎo)數(shù)(do sh)的應(yīng)用（重要） 洛必達法則： 作用：不定式求極限方法（不定式： ， ，或可化為這兩種型式的極限計算問題） 條件：1f (x), g(x) 極限點附近存在; 2g(x)0; 3 存在. 法則： 注意：1注意先簡化再求導(dǎo)，及邊簡化邊求導(dǎo); 2整個分式是 ， ，先化成單一分式.第21頁/共33頁第二十一頁，共34頁。 函數(shù)的單調(diào)性與極值點： 1 1單調(diào)性定義：單增: x1 x2, f(x1)f(x2); : x1 x2, f(x1)f(x2); 單減: x1 : x1 x2, f(x1)f(x2)x2, f(x1)f(x2) 單調(diào)性判定： f

14、(x) f(x)在(a, b)(a, b)內(nèi)可導(dǎo), , 則 f(x) f(x)在(a, b)(a, b)內(nèi)單調(diào)增( (減) ) 2 2極值點定義: :任給xx|0|x-x0|, f(x) f(x0), xx|0|x-x0|, f(x) f(x0), 則x0 x0是極大值點, ,任給xx|0|x-x0| f(x0), xx|0|x-x0| f(x0), 則x0 x0是極小值點. . 極值點特性：雙側(cè)，局部 極值點來源(liyun)(liyun)：導(dǎo)數(shù)為零的點, ,或?qū)?shù)不存在的點. .第22頁/共33頁第二十二頁，共34頁。 極值點判定: . f(x)在x0的空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)時x0，x x0，f

15、(x) 0，x0為極大值點;Xx0，f (x) x0，f (x) 0，x0為極小值點.x0兩側(cè) f (x) 同號，x0不是(b shi)極值點。 . f(x)在x0處有二階導(dǎo)數(shù), f (x)=0, f (x)0 x0附近，f (x)0， x0為極小值點。（記：大小，小大）第23頁/共33頁第二十三頁，共34頁。 函數(shù)的凹凸性與拐點： 1 1凹凸性定義：曲線上切線與曲線的位置. . 凹凸性判定: f(x): f(x)在區(qū)間I I上二階可導(dǎo), , 則 f f (x) 0(x) 0，f(x)f(x)在I I上凹的; ; f (x) 0 f (x) 0，它是可微函數(shù)(hnsh) f(x)的反函數(shù)(hn

16、sh) (其中x0),且恒有 則函數(shù)(hnsh) f(x)= A. B. C. -1 D. 例8 設(shè)f(x)和g(x)在(-, + )上可導(dǎo)，且f(x) g(- x) B. C. D. 第31頁/共33頁第三十一頁，共34頁。例9 設(shè) ，則 （A）I0 (B) I=0 (C) I= (D) 例10 f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，且 ，（ab），則必有 （A）曲線y=f(x) 與y=g(x) 在a，b上重合；（B）曲線y=f(x) 與y=g(x) 僅在x= a與x=b上相交；（C）曲線y=f(x) 與y=g(x) 在a，b上至少(zhsho)有一個交點；（D）不能確定曲線y=f(x) 與y=g(x) 在a，b上是否有