空間距離及其計算折疊問題PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1空間距離及其計算折疊問題空間距離及其計算折疊問題第1頁/共49頁第2頁/共49頁1.了解空間各種距離的概念，掌握求空間距離的一般方法.2.能熟練地將直線與平面之間的距離，兩平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.3.了解折疊問題的基本內(nèi)涵，掌握分析求解折疊問題的基本原則.第3頁/共49頁1.在長方體ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,則點A到直線A1C的距離為( )CA. a B. aC. a D. a2 632 333 6263第4頁/共49頁 如圖，點A到直線A1C的距離，即為RtA1AC斜邊上的高AE.由AB=BC=a,得AC= a.又AA1=2a,所以A

2、1C= a,所以AE= = a.2611AC AAAC2 33第5頁/共49頁2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，則點A到平面A1BC的距離為( )BA. B. C. D.34323 343 取BC的中點M，連接AM、A1M，可證平面A1AM平面A1BC.作AHA1M，垂足為H,則AH平面A1BC.在RtA1AM中，AA1=1，AM= ,A1M=2,故AH= .332第6頁/共49頁3.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a, E、F分別是B1C1、BB1的中點，則： (1)直線EF與CD間的距離為 ; (2)直線EF與平面D1AC1的距離是 ; (3)平面AB1D

3、1與平面C1BD間的距離是 .a3 24a24a33第7頁/共49頁 (1)取EF的中點G，連接CG，則CG為異面直線EF與CD的公垂線段，且CG= a.(2)易知EF平面D1AC1.過E作EHBC1于H.因為D1C1平面BB1C1C，所以D1C1EH,故EH平面D1AC1，從而EF與平面D1AC1的距離為EH= a.(3)因為平面AB1D1平面C1BD,連接A1C,設(shè)A1C分別與平面AB1D1和平面C1BD交于O1、O2,則O1O2為所求距離,且O1O2= A1C= a.3 24243313第8頁/共49頁4.如圖，四邊形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，將ABD

4、沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成幾何體ABCD，則在幾何體ABCD中，下列命題中正確的是( )DA.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BCDC.平面ABC平面BCDD.平面ADC平面ABC第9頁/共49頁 由已知BAAD,CDBD，又平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD.從而CDAB,又BAAD,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.第10頁/共49頁 一、空間距離 1.兩點間的距離:連接兩點的 的長度. 2.點到直線的距離：從直線外一點向直線引垂線， 的長度. 3.點到平面的距離：自點向平面引垂線， 的長度. 4.平行直線間的距離：從兩條平行線中的一條

5、上任意取一點向另一條直線引垂線, . 的長度.線段點到垂足之間線段點到垂足間線段到垂足間線段點第11頁/共49頁5.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的 的長度.6.直線與平面間的距離:如果一條直線和一個平面平行,從這條直線上任意一點向平面引垂線, 的長度.7.兩平行平面間的距離：夾在兩平行平面之間的 的長度.線段這點到垂足間線段公垂線段第12頁/共49頁二、求距離的一般方法與步驟1.兩點間距離、點到直線的距離和兩平行線間的距離其實是平面幾何中的問題，可用 求解.2.平行直線與平面間的距離、平行平面間的距離可歸結(jié)為求 的距離.3.求距離的基本步驟是：()找出或作出有關(guān)距

6、離的圖形；()證明它符合定義；()在平面圖形內(nèi)計算.平面幾何方法點面間第13頁/共49頁三、折疊問題1.概念：將平面圖形沿某直線翻折成立體圖形，再對折疊后的立體圖形的線面位置關(guān)系和某幾何量進(jìn)行論證和計算，就是折疊問題.2.折疊問題分析求解原則：(1)折疊問題的探究須充分利用不變量和不變關(guān)系；(2)折疊前后始終位于折線的同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持 .不變第14頁/共49頁例1 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABC= ,AB=BC= AD=a,PA平面ABCD,且PA=a，點F在AD上，且CFPC. (1)求點A到平面PCF的距離； (2)求AD與平面PBC間的距離.213第15頁/共49頁

7、（1）通過論證平面 PAC平面PCF，找到點A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的長.（2）由于AD平面PBC，可考慮依據(jù)問題情境在AD上選擇具備特殊位置的點A，然后推理過A點的平面PAD平面PBC，找到過點A的垂線.第16頁/共49頁 (方法一)(1)連接AC.因為PA平面ABCD，所以PACF.又CFPC，PAPC=P，所以CF平面PAC，所以平面PFC平面PAC.過點A作AHPC于H，所以PH平面PCF，即AH為點A到平面PCF的距離.由已知AB=BC=a，所以AC= a,PC= a.在RtPAC中，得AH= a.2363第17頁/共49頁(2)因為BCAD，BC 平面

8、PBC，所以AD平面PBC.過A作AEPB于E，又AEBC,PBBC=B,所以AE平面PBC,所以AE的長度即為所求的距離.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a,所以AE= a.22第18頁/共49頁（方法二）(1)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).設(shè)F(0,y,0).則 =(-a,y-a,0), =(-a,-a,a).因為PCCF,所以 ，所以 =(-a)(-a)+(-a)(y-a)+0a=a2-a(y-a)=0.CF CP CF CP CF CP 第19頁/共49頁所以y=2a，即F(0,2a,0).

9、設(shè)平面PCF的法向量為n=(x,y,z), n =-ax+ay=0 x=y n =-ax-ay+az=0 z=2x.取x=1，得n=(1,1,2).設(shè)點A到平面PCF的距離為d, =(a,a,0),則d= = = a.則，解得CF CP AC|AC nn112 06aa 63第20頁/共49頁(2)由于 =(-a,0,a), =(0,a,0), =(0,0,a).設(shè)平面PBC的法向量為n1=(x0,y0,z0)， n1 =-ax0+az0=0 x0=z0 n1 =ay0=0 y0=0.取x0=1，得n1=(1,0,1).設(shè)點A到平面PBC的距離為h，因為AD平面PBC，所以h為AD到平面PBC

10、的距離，h= = = a.BP AP BC 由，得BP BC 11|AP nn 2a22第21頁/共49頁 線面距離、面面距離通常情況下化歸為點面距離求解，求空間點面距離，若利用傳統(tǒng)構(gòu)造法，關(guān)鍵是“找射影”，一般是應(yīng)用垂面法求射影.若利用向量法，建系和求平面法向量是關(guān)鍵.第22頁/共49頁 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2，AB=1，ABC=90.點D、E分別在BB1、A1D上，且B1EA1D，四棱錐CABDA1與直三棱柱的體積之比為3 5.求異面直線DE與B1C1的距離.第23頁/共49頁 因為B1C1A1B1，且B1C1BB1，A1B1BB1=B1，故B1C1平面A1ABB

11、1，從而B1C1B1E.又B1EDE，故B1E是異面直線B1C1與DE的公垂線段.設(shè)BD的長為x，則四棱錐CABDA1的體積為V1= S四邊形ABDA1BC = (DB+A1A)ABBC = (x+2)BC.131616第24頁/共49頁而直三棱柱ABCA1B1C1的體積為V2=SABCAA1= ABBCAA1=BC.由已知條件V1 V2=3 5,故 (x+2)= , 解得x= .從而B1D=B1B-DB= .在RtA1B1D中，A1D= = = .又因為SA1B1D= A1DB1E= A1B1B1D,故B1E= = .121635852522111ABB D221 ( )5295121211

12、11AB B DAD2 2929第25頁/共49頁例2 在直角梯形ABCD中，D=BAD=90，AD=DC= AB=a(如圖），將ADC沿AC折起，使D到D，記平面ACD為，平面ABC為，平面BCD為（如圖）.12第26頁/共49頁（1）若二面角-AC-為直二面角，求二面角-BC-的大??；（2）若二面角-AC-為60，求三棱錐D-ABC的體積.第27頁/共49頁 (1)在直角梯形ABCD中，由已知DAC為等腰直角三角形，所以AC= a, CAB=45.過點C作CHAB,由AB=2a，可推得AC=BC= a，所以ACBC.取AC的中點E，連接DE，則DEAC.又二面角-AC-為直二面角,所以DE

13、.22第28頁/共49頁又因為BC平面，所以BCDE，所以BC.而DC ，所以BCDC，所以DCA為二面角-BC-的平面角.由于DCA=45，所以二面角-BC-的大小為45.第29頁/共49頁(2)取AC的中點E，連接DE，再過點D作DO，垂足為O，連接OE.因為ACDE，所以ACOE，所以DEO是二面角-AC-的平面角，所以DEO=60.在RtDOE中，DE= AC= a，DO=sin60DE= a，所VD-ABC= SABCDO= ACBCDO, = a a a= a3.122264131312162264612第30頁/共49頁 分析求解折疊問題的關(guān)鍵是分辨折疊前后的不變量和不變關(guān)系，在

14、求解過程中充分利用不變量和不變關(guān)系.第31頁/共49頁 如圖，已知四邊形ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為3的等腰梯形（如圖）.將它沿對稱軸OO1折成直二面角(如圖). (1)證明：ACBO1； (2)求二面角OACO1的正弦值.第32頁/共49頁 （方法一）（1）證明：由題設(shè)知，OAOO1，OBOO1,所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OAOB.從而AO平面OBCO1.OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.因為tanOO1B= = ,tanO1OC= = ,所以O(shè)O1B=60，O1OC=30,從而OCBO1，由線面垂直得ACBO1.1OBOO311OCOO33第33頁/共49頁(2

15、)由(1)知,ACBO1,OCBO1,知BO1平面AOC.設(shè)OCO1B=E,過點E作EFAC于F,連接O1F,則EF是O1F在平面AOC內(nèi)的射影.由線面垂直得ACO1F，所以O(shè)1FE是二面角O-AC-O1的平面角.由已知，OA=3，OO1= ，O1C=1，所以O(shè)1A= =2 ,AC= = ，從而O1F= = .又O1E=OO1sin30= ,所以sinO1FE= = .3221OAOO32211O AOC1311O A OCAC2 3133211O EO F34第34頁/共49頁(方法二)(1)證明:由題設(shè)知OAOO1,OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB.故可以O(shè)為原

16、點，OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如右圖.則相關(guān)各點的坐標(biāo)是A(3,0,0),B(0,3,0)，C(0,1, )，O1(0,0, ).從而 =(-3,1, ), =(0,-3, ),故 =-3+ =0，所以ACBO1.33AC31BO 3AC1BO 33第35頁/共49頁(2)因為 =-3+ =0,所以BO1OC.由(1)知ACBO1，ACOC=C，所以BO1平面OAC，所以 是平面OAC的一個法向量.設(shè)n=(x,y,z)是平面O1AC的一個法向量， n =0 -3x+y+ z=0 n =0 y=0，AC1BO 3OC31BO 由，得1OC 3第36頁/共

17、49頁取z= ,得n=(1,0, ).設(shè)二面角OACO1的大小為，由n、 的方向可知=n, ，所以cos=cosn， = = = ，則sin= .即二面角OACO1的正弦值為 .1BO 331BO 1BO 11|n BOn BO 32 3234134134第37頁/共49頁1.對于空間中的距離，我們主要研究點到平面的距離、直線和平面的距離及兩個平行平面之間的距離，其重點是點到直線、點到平面的距離.點到平面的距離要注意其作法，一般要利用面面垂直的性質(zhì)來做.求點到平面的距離也可以用等體積法.2.求距離傳統(tǒng)的方法和步驟是“一作、二證、三計算”，即先作出表示距離的線段，再證明它是所求的距離，然后再計算

18、.其中第二步證明易被忽略，應(yīng)當(dāng)引起重視.第38頁/共49頁3.在求距離時，要注意各種距離的轉(zhuǎn)化；在選擇求距離的方法時，也要靈活.一般來說，空間關(guān)系在不太復(fù)雜的情況下使用傳統(tǒng)方法，而在距離不好作、空間關(guān)系較復(fù)雜的條件下可用等積法.4.將平面圖形折疊，使形成立體圖形，通過對折疊問題的研究進(jìn)一步樹立空間概念，提高空間想象能力.第39頁/共49頁5.平面圖形折疊成空間圖形，主要抓住變與不變的量，所謂不變的量，即是指“未折壞”的元素，包括“未折壞”的邊和角，一般優(yōu)先標(biāo)出未折壞的直角（從而觀察是否存在線面垂直），然后標(biāo)出其他特殊角，以及所有不變的線段.第40頁/共49頁學(xué)例1 如圖所示，在四棱錐S-ABC

19、D中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，CS=2AD=2;E為BS的中點, CE=2,AS=3.求： (1)點A到平面BCS的距離； (2)二面角E-CD-A的大小.第41頁/共49頁 (方法一)(1)因為ADBC,且BC平面BCS，所以AD平面BCS，從而點A到平面BCS的距離等于點D到平面BSC的距離.因為平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，從而ADDS.由ADBC，得BCDS.又CSDS，故DS平面BSC，從而DS為點D到平面BCS的距離.因此，在RtADS中，DS= =3-1=2.22ASAD第42頁/共49頁 (2)如圖所示,過點E作EGCD,交CD于點G,又過點G作GHCD,交AB于H,故EGH為二面角E-CD-A的平面角,記為.過點E作EFBC,交CS于點F， 連接GF.故= -EGF. 由于E為BS的中點， F為CS的中點故CF= CS=1.在RtCFE中,EF= =2-1=1.21222CECF第43頁/共49頁因為EF平面CSD，又EGCD，故可證得FGCD，從而又可得CGFCSD，因此 = .而在RtCSD中,CD= = = ,故FG= DS= = .在RtEFG中，tanEGF= = ，可得EGF= ，故所求二面角的大小為= .GFDSCFCD22