【課件】總體離散程度的估計課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

1、9.2.4總體離散程度的估計總體離散程度的估計第九章第九章 9.2用樣本估計總體用樣本估計總體平均數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)中位數(shù)和和眾數(shù)眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法.但僅知道集中趨勢的信息，很多但僅知道集中趨勢的信息，很多時候還不能使我們做出有效決策時候還不能使我們做出有效決策，如果某個抽樣的，如果某個抽樣的平均數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)出現(xiàn)一致時眾數(shù)出現(xiàn)一致時，我們怎么處理，我們怎么處理?這節(jié)課我們共同來研究總體這節(jié)課我們共同來研究總體離散趨勢離散趨勢的有關(guān)知識的有關(guān)知識.問題1

2、 有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次次,每次命中的每次命中的環(huán)數(shù)如下環(huán)數(shù)如下:甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況作出評價如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況作出評價?如果這是如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇? 甲、乙兩名運動員射擊成績的甲、乙兩名運動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7. 1、從這個、從這個角度角度看，兩名運動員之間沒有差別看，兩名運動員之間沒有差別.2、

3、所以僅知道兩位運動員射擊成績的、所以僅知道兩位運動員射擊成績的集中趨勢集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)和（平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)）是不夠的，很多時候還不能使我們作出有效決策眾數(shù)）是不夠的，很多時候還不能使我們作出有效決策.思考 兩名運動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各為多少？兩名運動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各為多少？問題2觀察下圖中兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異觀察下圖中兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在哪里嗎？在哪里嗎？提示直觀上看，還是有差異的直觀上看，還是有差異的.如：甲成績比較分散，乙成績相對集中如：甲成績比較分散，乙成績相對集中.問題3對于甲乙的射擊成績除了

4、畫出頻率分布條形圖比較外，還有沒對于甲乙的射擊成績除了畫出頻率分布條形圖比較外，還有沒有其他方法來說明兩組數(shù)據(jù)的分散程度？有其他方法來說明兩組數(shù)據(jù)的分散程度？提示還經(jīng)常用甲乙的極差與平均數(shù)一起比較說明數(shù)據(jù)的分散程度還經(jīng)常用甲乙的極差與平均數(shù)一起比較說明數(shù)據(jù)的分散程度.甲的甲的環(huán)數(shù)極差環(huán)數(shù)極差1046，乙的環(huán)數(shù)極差，乙的環(huán)數(shù)極差954.它們在一定程度上表明它們在一定程度上表明了樣本數(shù)據(jù)的分散程度，與平均數(shù)一起，可以給我們許多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)了樣本數(shù)據(jù)的分散程度，與平均數(shù)一起，可以給我們許多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息的信息.顯然，極差對極端值非常敏感，注意到這一點，顯然，極差對極端值非常敏感，注意到這一點，我

5、們可以得到一種我們可以得到一種“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的統(tǒng)計策略的統(tǒng)計策略. 一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差，極差是數(shù)據(jù)的一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差，極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差最大值與最小值的差. . 極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度.極差越大，數(shù)據(jù)的離散極差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；極差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小程度越大；極差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.但因為極差只使用了數(shù)據(jù)但因為極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息中最大、最小兩個值的信息,對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以

6、極差所含的信息量很少差所含的信息量很少.那么，如何度量成績的這種差異呢那么，如何度量成績的這種差異呢? ? 我們知道，如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離我們知道，如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠(yuǎn)；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大平均成績不會太遠(yuǎn)；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠(yuǎn)多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠(yuǎn). . 因此，我們可以通過這兩組因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的射擊成績與它們的平均成績的“平平均距離均距離”來度量來度量成績的波動幅度成績的波動幅度. .平均距離？可以得到這組數(shù)據(jù)可以

7、得到這組數(shù)據(jù)x1, x2, xn到到 的的 “ 平均距離平均距離”為為 .xnii| x|xn11思考 如何定義如何定義“平均距離平均距離”?”?為了避免式中含有絕對值，通常改用為了避免式中含有絕對值，通常改用平方平方來代替，即來代替，即niixxn12)(1方差 方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.1.假設(shè)一組數(shù)據(jù)為假設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1，x2，xn，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù) ，方差為，方差為s2 ，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差s .教材知識梳

8、理教材知識梳理2.如果總體中所有個體的變量值分別為如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，YN，總體平均數(shù)為，總體平均數(shù)為 ，則稱則稱S2 為總體方差，為總體方差，S 為總體標(biāo)準(zhǔn)差為總體標(biāo)準(zhǔn)差.如果總體的如果總體的N個變量值中，不同的值共有個變量值中，不同的值共有k(kN)個，不妨記為個，不妨記為Y1，Y2，Yk，其中，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i1,2，k)，則總體方差為，則總體方差為S2 .例1某班某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術(shù)課考試成位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術(shù)課考試成績績(單位：分單位：分)如下：如下：甲組甲組60,90,85,75,6

9、5,70,80,90,95,80；乙組乙組85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)試分別計算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；試分別計算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；反思感悟在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度.在平均數(shù)相同的情況下，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定.方差的單位是什么

10、？方差的單位是什么？ 由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致. 為了使為了使二者單位一致，我們對方差開平方，取它的算術(shù)平方根，即二者單位一致，我們對方差開平方，取它的算術(shù)平方根，即211niixxn標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差與方差一樣，刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，標(biāo)準(zhǔn)差與方差一樣，刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.但在解決實際但在解決實際問題中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差問題中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差. 由于計算復(fù)雜，我們可以借助

11、計算器或者計算由于計算復(fù)雜，我們可以借助計算器或者計算機(jī)幫助計算機(jī)幫助計算. 如果總體中所有個體的變量值分別為如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，YN，總體平均總體平均數(shù)數(shù)為為 ，則稱則稱 S2= 為為總體方差，S= 為為總體標(biāo)準(zhǔn)差 Y 121NiiYYN2S 如果一個樣本中個體的變量值分別為如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，yn，樣本平均樣本平均數(shù)數(shù)為為 ，則稱則稱 s2= 為為樣本方差，s= 為為樣本標(biāo)準(zhǔn)差 121niiyyn2s二、方差、標(biāo)準(zhǔn)差與統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用二、方差、標(biāo)準(zhǔn)差與統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用例2甲、乙兩人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況甲、乙兩人參

12、加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示如圖所示.(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；解由題圖可得，甲、乙兩人五次測試的成績分別為由題圖可得，甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：甲：10,13,12,14,16；乙：乙：13,14,12,12,14.(2)根據(jù)圖形和根據(jù)圖形和(1)中計算結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價中計算結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯

13、提高.反思感悟折線統(tǒng)計圖中數(shù)字特征的求解技巧折線統(tǒng)計圖中數(shù)字特征的求解技巧根據(jù)折線統(tǒng)計圖研究樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的統(tǒng)計意根據(jù)折線統(tǒng)計圖研究樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的統(tǒng)計意義有關(guān)，但一般情況下，整體分布位置較高的平均數(shù)大，數(shù)據(jù)波動性義有關(guān)，但一般情況下，整體分布位置較高的平均數(shù)大，數(shù)據(jù)波動性小的方差小小的方差小.跟蹤訓(xùn)練2甲、乙、丙三名學(xué)生在一項集訓(xùn)中的甲、乙、丙三名學(xué)生在一項集訓(xùn)中的40次測試分?jǐn)?shù)都在次測試分?jǐn)?shù)都在50,100內(nèi)，將他們的測試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，內(nèi)，將他們的測試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別為記甲

14、、乙、丙的分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為，則它們的大小關(guān)系為A.s1s2s3 B.s1s3s2C.s3s1s2 D.s3s2s1解析比較三個頻率分布直方圖知，甲為比較三個頻率分布直方圖知，甲為“雙峰雙峰”直方圖，兩端數(shù)據(jù)最直方圖，兩端數(shù)據(jù)最多，最分散，方差最大；乙為多，最分散，方差最大；乙為“單峰單峰”直方圖，數(shù)據(jù)最集中，方差最??；直方圖，數(shù)據(jù)最集中，方差最??；丙為丙為“單峰單峰”直方圖，但數(shù)據(jù)分布相對均勻，方差介于甲、乙之間直方圖，但數(shù)據(jù)分布相對均勻，方差介于甲、乙之間.綜上綜上可知可知s1s3s2.三、分層隨機(jī)抽樣的方差三、分層隨機(jī)抽樣的方差問題4在對樹人中學(xué)高一年級

15、學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其人，其平均數(shù)和方差分別為平均數(shù)和方差分別為170.6和和12.59，抽取了女生，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分人，其平均數(shù)和方差分別為別為160.6和和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高作出估計嗎？全體學(xué)生的身高作出估計嗎？根據(jù)方差的定義，總樣本方差為根據(jù)方差的定義，總樣本方差為因此，因此，把已知男生、女

16、生樣本平均數(shù)和方差的取值代入把已知男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得，可得故總樣本的方差為故總樣本的方差為51.486 2，據(jù)此估計高一年級全體學(xué)生身高的總體方差，據(jù)此估計高一年級全體學(xué)生身高的總體方差為為51.486 2.知識梳理知識梳理1.下列數(shù)字特征不能反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度、波動情況的是下列數(shù)字特征不能反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度、波動情況的是A.極差極差 B.平均數(shù)平均數(shù) C.方差方差 D.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差2.已知一個樣本中的數(shù)據(jù)為已知一個樣本中的數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為3.(多選多選)甲、乙兩班舉行電腦甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學(xué)生每漢字錄入比賽，參賽學(xué)生每分鐘錄入漢字的個數(shù)經(jīng)統(tǒng)計分鐘錄入漢字的個數(shù)經(jīng)統(tǒng)計計算后填入計算后填入右右表：表：班級參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135某同學(xué)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)論正確的是某同學(xué)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)論正確的是A.甲、乙兩班學(xué)生成績的平均數(shù)相同甲、乙兩班學(xué)生成績的平均數(shù)相同B.甲班的成績波動比乙班的成績波動大甲班的成績波動比乙班的成績波動大C.乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每