布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型(共32頁).ppt

1、第八章第八章布萊克布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型舒爾斯期權(quán)定價模型 第一節(jié)證券價格的變化過程第一節(jié)證券價格的變化過程 一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價格變動是相互獨立的。效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。 弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）來表述

2、。隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。可分為離散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。 如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格。二、布朗運動二、布朗運動 （一）標準布朗運動（一）標準布朗運動設(shè)設(shè) 代表一個小的時間間隔長度，代表一個小的時間間隔長度， 代表變量代表變量z在時間在時間 內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的 具具有兩種特征：有兩種特征：特征1： 和 的關(guān)系滿足（）： （）其中， 代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。tztztztz標準布朗運動標準布朗運動(

3、2)特征2：對于任何兩個不同時間間隔， 和 的值相互獨立。 考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們可得： （）當0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動： （）tztzTzNii1)0()(dtdz（二）普通布朗運動（二）普通布朗運動 我們先引入兩個概念：漂移率和方差率。標準布朗運動的漂移率為0，方差率為。 我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運動： （）其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。 bdzadtdx三、伊藤過程 普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式（）得到伊藤過程（I

4、to Process）： ）其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 dztxbdttxadx),(),(四、證券價格的變化過程四、證券價格的變化過程證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 的伊藤過程來表示：兩邊同除以S得： （） 22SSdzSdtdSdzdtSdS從（）可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：可見， 也具有正態(tài)分布特征 (6.7)ttSS),(ttSSSS例設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18%，預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計為每年20%，其目前的市價為100元，求一周后該股票價格變化值的概率分布。 五、伊

5、藤引理五、伊藤引理若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： （）由于 （）根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下過程： (6.10)bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222六、證券價格自然對數(shù)變化過程六、證券價格自然對數(shù)變化過程 令 ，由于代入式（）: （） 證券價格對數(shù)G遵循普通布朗運動,且： SGln0,1,1222tGSSGSSGdzdtdG)2(2),)(lnln22tTtTSST設(shè)A股票價格的當前值為50元,預(yù)期收益率為每年18%,波動率為每年20%,該股票價格遵循幾何布朗運動,且該股票在6

6、個月內(nèi)不付紅利，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。例請問在例中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標準差等多少？ 例第二節(jié)第二節(jié) 布萊克布萊克舒爾斯期權(quán)舒爾斯期權(quán)定價模型定價模型 一、布萊克一、布萊克舒爾斯微分方程舒爾斯微分方程 （一）布萊克（一）布萊克舒爾斯微分方程的推舒爾斯微分方程的推導(dǎo)導(dǎo) 我們假設(shè)證券價格S遵循幾何布朗運動：則： （） SdzSdtdSzStSS假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則： （） （）為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值，則： (6.15) SdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222

7、zSSftSSftfSSff)21(2222zSfSSff在 時間后： （）將式（）和（）代入式（），可得： （）在沒有套利機會的條件下：把式（）和（）代入上式得： tSSfftSSftf)21(2222trtSSffrtSSftf)()21(2222布萊克舒爾斯微分分程化簡為： (6.18) 這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。 rfSfSSfrStf222221（二）風險中性定價原理（二）風險中性定價原理 假設(shè)所有投資者都是風險中性的，那么所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風險中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方

8、程而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。例子假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為元 二、布萊克二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式舒爾斯期權(quán)定價公式在風險中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：其現(xiàn)值為 （）對數(shù)股票價格的分布為： （）對式（）求解： （）)0 ,max(XSET)0 ,max()(XSEecTtTr),)(2(lnln2tTtTrSST)()(2)(1dN

9、XedSNctTr其中， 我們可以從三個角度來理解這個公式的金融含義：首先，N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。 tTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln(其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負債的價值。 最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)（Asset-or

10、-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)的價值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)空頭的價值。)(1dN在標的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式（）也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式 ： （）（）由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴密的平價關(guān)系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。 )()(12)(dSNdNXeptTr三、有收益資產(chǎn)

11、的期權(quán)定價公式三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價公式（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替式（）和（）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 當標的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將代替式（）和（）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 )(tTqSe對于歐式期貨期權(quán)，其定價公式為： （） （）其中：)()(21)(dXNdFNectTr)()(12)(dFNdXNeptTrtTdtTtTXFdtTtTXFd12221)(2)/ln()(2)/ln(例假設(shè)當前英鎊的即期匯率為，美國的

12、無風險連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國的無風險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為的英鎊歐式看漲期權(quán)價格。 美分 。（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價1美式看漲期權(quán) 當標的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理的方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計算在T時刻和tn時刻到期的歐式看漲期權(quán)的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。例6.5 假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標的股票在5個月和11個月后各有一個

13、除權(quán)日，每個除權(quán)日的紅利期望值為元，標的股票當前的市價為50元，期權(quán)協(xié)議價格為50元，標的股票波動率為每年30%，無風險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價值。近似為元 2美式看跌期權(quán) 由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。第三節(jié)第三節(jié) 布萊克布萊克舒爾斯期權(quán)定價公舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究和應(yīng)用式的實證研究和應(yīng)用 一、布萊克一、布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式實舒爾斯期權(quán)定價公式實證研究證研究 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)；高估實值期權(quán)的價格，低估虛值期權(quán)的價格。 造成用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式估計的期權(quán)價格與市場價格存在差異的原因主