初中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的案例

1、最短距離問(wèn)題摘要：最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，它主要考察學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容綜合運(yùn)用，無(wú)論是代數(shù)問(wèn)題還是幾何問(wèn)題都有最值問(wèn)題。幾何中的最短路線問(wèn)題是中考熱點(diǎn)之一，往往與兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、軸對(duì)稱、勾股定理息息相關(guān)。案例問(wèn)題：(1)如圖：一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位于公路AB兩側(cè)的村莊，當(dāng)汽車行駛到什么位置時(shí)，到村莊M、N的距離之和最短？理由是？(2)如圖：一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB的同側(cè)，當(dāng)汽車行駛到什么位置時(shí)，到村莊M、N的距離之和最短？請(qǐng)簡(jiǎn)單證明。p5N

2、解決問(wèn)題：一建立幾何模型：案例問(wèn)題（2）可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖（1）,在直線a同側(cè)有A,B兩點(diǎn)，在直線a上找一點(diǎn)M,可使MA+MB的值最?。慷缀文Ｐ偷慕鉀Q你可以在a上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？思路分析：如圖2,問(wèn)題就是要在a上找一點(diǎn)M,使AM與BM的和最小。設(shè)A'是A的對(duì)稱點(diǎn)，本問(wèn)題也就是要使AM與BM的和最小。在連接AB的線中，線段A'B最短。因此，線段AB與直線a的交點(diǎn)C的位置即為所求。如圖3,為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線a上另外任取一點(diǎn)N,連接AN、BN、A'N。因?yàn)橹本€a是A,A'的對(duì)稱軸，點(diǎn)M,N在a上，所以AM=A'M

3、,AN=A'N。，AM+BM=A'M+BM=A'B在BN中，ABvA'N+BN，AM+BMvAN+BN即AM+BM最小。三幾何模型應(yīng)用：兩條直線間的對(duì)稱題目1如圖，在曠野上，一個(gè)人騎馬從A由發(fā)，他欲將馬引到河al飲水后再到a2飲水，然后返回A地，問(wèn)他應(yīng)該怎樣走才能使總路程最短。點(diǎn)評(píng)：這道題學(xué)生拿到時(shí)往往無(wú)從下手。但只要把握軸對(duì)稱的性質(zhì)就能迎刃而解了。作法：過(guò)點(diǎn)A作al的對(duì)稱點(diǎn)A',作a2的對(duì)稱點(diǎn)A，連接A'A交al、a2于B、C連接BC.所經(jīng)過(guò)路線如圖5:A-B-C-A,所走的總路程為A'A。第i題圖第2題圖三角形中的對(duì)稱題目2如圖，在A

4、BC中,AC=BC=2/ACB=90,D是BC邊上的中點(diǎn)正是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是點(diǎn)評(píng)：本題只要把點(diǎn)C、D看成基本題中的A、B兩鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿,問(wèn)題就可以迎刃而解了，本題只是改變了題目背景，所考察的知識(shí)點(diǎn)并沒(méi)有改變。四邊形中的對(duì)稱題目3如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為多少？點(diǎn)評(píng)：此題也是運(yùn)用到正方形是軸對(duì)稱圖形這一特殊性質(zhì)，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)正好是點(diǎn)B,最小值為MB=10。圓中的對(duì)稱題目4已知：如圖，已知點(diǎn)A是。O上的一個(gè)六等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，若。O的半徑長(zhǎng)為1

5、,求AP+BP的最小值。點(diǎn)評(píng)：這道題也運(yùn)用了圓的對(duì)稱性這一特殊性質(zhì)。點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B'在圓上，AB'交ON于點(diǎn)p',由/AON=60°,/B'ON=30,/AOB'=90,半徑長(zhǎng)為1可得AB'=<2O當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p'時(shí)，此時(shí)AP+BP有最小值為標(biāo)r-H/B-BCG第5題圖2B，第5題圖1F立體圖形中的對(duì)稱題目5如圖1是一個(gè)沒(méi)有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處的食物，已知盒高h(yuǎn)=10cm,底面圓的周長(zhǎng)為32cm,A距離下底面3cm.請(qǐng)你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為

6、cm.點(diǎn)評(píng)：如圖2,此題是一道立體圖形問(wèn)題需要轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題來(lái)解決，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)得矩形EFGH作由點(diǎn)B關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)B',作AC,GH于點(diǎn)C連接AB'。在RtAB'C中，AC=16,B'C=12,求得AB'=20,則螞蟻爬行的最短路程為20cm。題目6長(zhǎng)方體問(wèn)題如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A由發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)G處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？析：展開(kāi)圖如圖所示，.25.29.37路線1即為所求。AC1=V42+3=v25；Aq=1平=37；D口GA1A4BAq=v+2=v29長(zhǎng)、寬、高中，較短的兩條邊的

7、和作為一條直角邊，最長(zhǎng)的邊作為另一條直角邊，斜邊長(zhǎng)即為最短路線長(zhǎng)。通過(guò)變式訓(xùn)練既解決了一類問(wèn)題，又歸納生了最本質(zhì)的東西，以后學(xué)生再碰到類似問(wèn)題時(shí)學(xué)生就不會(huì)不知所措。同時(shí)變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生思維的積極性和深刻性，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)變能力。綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書(shū)本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練，對(duì)鞏固基礎(chǔ)、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全方位、多角度思考問(wèn)題的能力，有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。四幾何模型的引申問(wèn)題1、已知：如圖，A、B兩點(diǎn)在直線1的同側(cè)，點(diǎn)A與A關(guān)于直線I對(duì)稱，連結(jié)AB交I于P點(diǎn)，若

8、AB=a,(1)求AP+PE證：AM(2)若點(diǎn)M是直線1上異于P點(diǎn)的任意一點(diǎn)，求MBAPPB2、已知：A、B兩點(diǎn)在直線1的同側(cè)，試分別畫(huà)由符合條件的點(diǎn)Mo(1)在1上求作一點(diǎn)M,使得AMBM最?。?BA、(2)在1上求作一點(diǎn)M,使得1AMBM最大;(3)在1上求作一點(diǎn)M,使得AM+BM最小。3、如圖，AD為/BAC的平分線，DE，AB于E,DF，AC于F,那么點(diǎn)E、F是否關(guān)于AD對(duì)稱？若對(duì)稱，請(qǐng)說(shuō)明理由。4、已知：如圖，點(diǎn)php2分別是P點(diǎn)關(guān)于/ABC的兩邊BA、BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接R"分別交BA、BC邊于E、D點(diǎn)，若PlP2=m,(1)求4PDE的周長(zhǎng)；(2)若M是BA邊上異于E的一

9、點(diǎn)，N是BC邊上異于D的一點(diǎn)，求證：PMN的周長(zhǎng)PDE的周長(zhǎng)。CNDPEMAB軸對(duì)稱在本題中的主要作用是將線段在保證長(zhǎng)度不變的情況下改變位置，要注意體會(huì)軸對(duì)稱在這方面的應(yīng)用。以此作為模型我們可以解決下列求最小值的問(wèn)題。5.如圖，菱形ABCD中，AB=2,/BAD=60,E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值E分析：首先分解此圖形，構(gòu)建如圖5模型，因?yàn)镋、Bc圖6在直線AC的同側(cè)，要在AC上找一點(diǎn)P,使PE+PB最小，關(guān)鍵是找由點(diǎn)B或E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)。如圖6,由菱形的對(duì)稱性可知點(diǎn)B和D關(guān)于AC對(duì)稱，連結(jié)DE,此時(shí)DE即為PE+PB的最小值，B圖5由/BAD=60,AB=AD,AE=BE知，DE2.32故PE+PB的最小值為Mo數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：