世紀(jì)金榜高三文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積資料PPT學(xué)習(xí)教案

1、世紀(jì)金榜高三文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)平面向量世紀(jì)金榜高三文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積資料的數(shù)量積資料第1頁(yè)/共60頁(yè)定義定義圖示圖示范圍范圍共線與垂直共線與垂直已知兩個(gè)非零已知兩個(gè)非零向量向量a和和b, ,作作 = =a， = =b, ,則則_就就是是a與與b的夾角的夾角 設(shè)設(shè)是是a與與b的的夾角夾角, ,則則的的取值范圍是取值范圍是_=0=0或或=180180_,_,_ab【知識(shí)梳理】1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣填一填(1)向量的夾角:OAOB AOB0180ab=90第2頁(yè)/共60頁(yè)(2)平面向量的數(shù)量積:定義定義設(shè)兩個(gè)非零向量設(shè)兩個(gè)非零向量a, ,b的夾角為的夾角為,則數(shù)量則數(shù)量_叫做叫做a與與b的數(shù)

2、量積的數(shù)量積, ,記作記作ab投影投影_叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向上的投影, ,_叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影幾何幾何意義意義數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度| |a| |與與b在在a的方向的方向上的投影上的投影_的乘積的乘積|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos第3頁(yè)/共60頁(yè)(3)數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a,b都是非零向量,e是單位向量,為a與b(或e)的夾角.則ea=ae= _.cos=_.ab_.a ba b|a|cos|a|b|第4頁(yè)/共60頁(yè)(4)數(shù)量積的運(yùn)算律:交換律:ab=ba.數(shù)乘結(jié)合律:(a)b= _= _.分配律:a(b+c)

3、=_.(ab)a(b)ab+ac第5頁(yè)/共60頁(yè)(5)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a與b的夾角為,則數(shù)量積數(shù)量積ab=_=_模模 | |a| |_夾角夾角cos cos _向量垂直的向量垂直的充要條件充要條件abab=0=0_2211xy121222221122x xy yxyxyx1x2+y1y2x1x2+y1y2=0第6頁(yè)/共60頁(yè)2.必備結(jié)論 教材提煉記一記(1)a與b為兩非零向量,則ab_.(2)當(dāng)a與b同向時(shí),ab=|a|b|.當(dāng)a與b反向時(shí),ab=-|a|b|,特別地,aa= _或者|a|=_,0a=_.a aab=0|a|20第7頁(yè)

4、/共60頁(yè)(3)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(a+b)(a-b)=a2-b2.(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=_.a2-2ab+b2第8頁(yè)/共60頁(yè)3.必用技法 核心總結(jié)看一看(1)常用方法:基底法;坐標(biāo)法.(2)常用思想:方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想.(3)記憶口訣:乘積結(jié)果為數(shù)量,坐標(biāo)運(yùn)算是良方. 橫縱坐標(biāo)分別乘,相加求和積充當(dāng).第9頁(yè)/共60頁(yè)【小題快練】1.思考辨析 靜心思考判一判(1)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負(fù).()(2)若ab=0,則必有ab.()(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.()(4)若

5、ab0,則向量a,b的夾角為鈍角.()第10頁(yè)/共60頁(yè)【解析】(1)正確.由向量投影的定義可知,當(dāng)兩向量夾角為銳角時(shí)結(jié)果為正,為鈍角時(shí)結(jié)果為負(fù).(2)錯(cuò)誤.當(dāng)a與b至少有一個(gè)為0時(shí)得不到ab.(3)正確.由數(shù)量積與向量線性運(yùn)算的意義可知,正確.(4)錯(cuò)誤.當(dāng)ab=-|a|b|時(shí),a與b的夾角為.答案:(1)(2)(3)(4)第11頁(yè)/共60頁(yè)2.教材改編 鏈接教材練一練(1)(必修4P104例1改編)已知|a|=2,|b|=4,ab=4 ,則a與b的夾角=.【解析】因?yàn)閍b=|a|b|cos,所以cos=又因?yàn)?180,故=30.答案:3034 332 42，a ba b第12頁(yè)/共60頁(yè)(

6、2)(必修4P105例4改編)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb與a-kb互相垂直,則實(shí)數(shù)k=.【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4),若互相垂直,則(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2= ,所以k= .答案:155555第13頁(yè)/共60頁(yè)3.真題小試 感悟考題試一試(1)(2014新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)向量a,b滿足|a+b|= ,|a-b|= ,則ab=()A.1 B.2 C.3 D.5【解題提示】將|a+b|,|a-b|兩邊平方,聯(lián)立方程求解ab.【解析】選A.因?yàn)閨a+b|= ,|a-b|= ,所以a2+b2+2ab=10,a2+b

7、2-2ab=6,聯(lián)立方程解得ab=1,故選A.106106第14頁(yè)/共60頁(yè)(2)(2014四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=.【解題提示】先求出c的坐標(biāo),再代入向量夾角公式,解方程即可求出m的值.第15頁(yè)/共60頁(yè)【解析】由于a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),又由于c與a的夾角等于c與b的夾角,即cos=cos,也就是即得解得m=2.答案:2| | | | |，a cb ca cb cm42 2m24 m42 2m2520，第16頁(yè)/共60頁(yè)(3)(2015青島模擬)已知|a|=

8、2,向量a與b的夾角是 ,則a在b上的投影是.【解析】a在b上的投影是|a|cos =答案:-343422 ()2.2 2第17頁(yè)/共60頁(yè)考點(diǎn)1 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【典例1】(1)(2015湛江模擬)已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,設(shè) =a, =b, =c,則ab+bc+ca=.(2)(2015大慶模擬)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn).則 的值為, 的最大值為.BC CA AB DE DC DE CB 第18頁(yè)/共60頁(yè)【解題提示】(1)利用數(shù)量積的定義求解.要注意夾角的大小.(2)結(jié)合已知條件建系,利用坐標(biāo)求解.第19頁(yè)/共60頁(yè)【規(guī)范解答】(1)如圖,得a與b,b與

9、c,c與a的夾角都是120,又|a|=|b|=|c|=1,所以原式=11cos120+11cos120+11cos120答案:-13() 3.22 32第20頁(yè)/共60頁(yè)(2)如圖所示,以AB,AD所在的直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)E(t,0),0t1,則D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1),所以 =1.又因?yàn)?=(1,0),所以 =t1.答案:11DE CB DE DC DE CB DC 第21頁(yè)/共60頁(yè)【一題多解】解答本題,你知道還有幾種解法?方法一:選取 作為基底,設(shè) 0t1,則= =0+1=1. =t1.答案:11AB,AD AEtAB

10、 ， DE CBtABADAD 2tAB ADAD DE DCtABAD AB 第22頁(yè)/共60頁(yè)方法二:利用幾何意義可知= =1.設(shè)則= =|t|1.答案:11DE CBDE DA DE DA cos EDADE cos EDA DAAEt AB ，DE DCDE ABDE 1 cos AED AEt AB 第23頁(yè)/共60頁(yè)【易錯(cuò)警示】解答本例題(1)易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤在解題過(guò)程中,只看到ABC是等邊三角形,就誤認(rèn)為a與b,b與c,a與c的夾角均為60從而錯(cuò)解.第24頁(yè)/共60頁(yè)【互動(dòng)探究】本例(2)中,當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí),試求 上的投影.【解析】方法一:如圖,過(guò)點(diǎn)E作EFDC,垂足為F,由投

11、影的定義知, 上的投影是 .方法二:如圖,向量 的夾角是EDC,所以 上的投影是| |cosEDC=DEDC 在DEDC 在12DEDC 在DEDC 在DE 11121.42114第25頁(yè)/共60頁(yè)【規(guī)律方法】向量數(shù)量積的兩種計(jì)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即ab=|a|b|cos.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.第26頁(yè)/共60頁(yè)【變式訓(xùn)練】已知a=(1,2),2a-b=(3,1),則ab=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.由已知得a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2

12、-ab=25-ab=3+2,故ab=10-5=5.第27頁(yè)/共60頁(yè)【加固訓(xùn)練】1.(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,則t=.【解析】由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,整理得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化簡(jiǎn)得 t+1-t=0,所以t=2.答案:212第28頁(yè)/共60頁(yè)2.(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn),則 =.【解析】以A為原點(diǎn),以AB,AD為x,y軸建系,則A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2)故 =(1,2), =(-2,2).

13、故 =1(-2)+22=2.答案:2AE BD AE BD AE BD 第29頁(yè)/共60頁(yè)考點(diǎn)2 平面向量的垂直與夾角問(wèn)題【典例2】(1)(2014山東高考)已知向量a=(1, ),b=(3,m).若向量a,b的夾角為 ,則實(shí)數(shù)m=()(本題源于教材必修4P107例6)A.2 B. C.0 D.-(2)已知向量 與 的夾角為120,且| |=3,| |=2.若AP= + ,且 試求實(shí)數(shù)的值.6AB AC AB AC AB AC APBC ，3333第30頁(yè)/共60頁(yè)【解題提示】(1)由向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算列出關(guān)于m的方程求解.(2)利用 作基底,利用已知垂直關(guān)系得到的方程求解.ABAC

14、，第31頁(yè)/共60頁(yè)【規(guī)范解答】(1)選B.ab=3+ m,ab=|a|b|cos= 所以 所以m= .3232 9m2，233m39m ,3第32頁(yè)/共60頁(yè)(2)因?yàn)樗?=0,即=故(-1)32(- )+4-9=0,解得= .BCACAB,APABAC.APBC, 又AP BC ( ABAC) ACAB 22(1)AB ACACAB0, 12712第33頁(yè)/共60頁(yè)【規(guī)律方法】平面向量數(shù)量積的兩個(gè)應(yīng)用(1)求夾角大小:若a,b為非零向量,則由平面向量的數(shù)量積公式得cos= (夾角公式),所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題.(2)確定夾角的范圍:數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的

15、夾角為銳角,數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.a ba b第34頁(yè)/共60頁(yè)【變式訓(xùn)練】若|a|=2,|b|=4且(a+b)a,則a與b的夾角是()【解析】選A.根據(jù)題意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)a,則有(a+b)a=0a2+ba=04+ba=0,所以ba=-4,那么可知a與b的夾角的余弦值為 則a與b的夾角是 .242A. B. C. D.333341,82 b ab a23第35頁(yè)/共60頁(yè)【加固訓(xùn)練】1.(2013安徽高考)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,則a與b夾角的余弦值為.【解析】由|a|=

16、|a+2b|,設(shè)a與b的夾角為,等式兩邊平方得a2+4ab+4b2=a2ab=-b2,所以cos=答案:-221.33 a bba bb13第36頁(yè)/共60頁(yè)2.設(shè)向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a(a-b),則x=.【解析】由題知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2),又因?yàn)閍(a-b),所以a(a-b)=0,所以(x-1)(2x-2)+1(-2)=0,即x2-2x=0,所以x=0或x=2.答案:0或2第37頁(yè)/共60頁(yè)考點(diǎn)3 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用知考情 利用平面向量數(shù)量積求模及范圍、求參數(shù)的范圍或值,是高考考查數(shù)量積的一個(gè)重要考向,常與三角、平面幾何、解析幾

17、何等知識(shí)相聯(lián)系.以選擇題、填空題為主,是中低檔題.第38頁(yè)/共60頁(yè) 明角度命題角度1:根據(jù)向量數(shù)量積求?；蚰５姆秶镜淅?】(2014湖南高考)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0, ),C(3,0),動(dòng)點(diǎn)D滿足| |=1,則| + + |的取值范圍是( ) A.4,6 B.C. D. 3CD OAOB OD 191, 1912 3,2 771, 71第39頁(yè)/共60頁(yè)【解題提示】把 拆分為 + ，再利用|a|-|b|a+b|a|+|b|求解.【規(guī)范解答】選D.CD OD OC |OAOBOD|OAOBOCCD |OAOBOC|CD|71. OAOBOC|CD|71 | OA

18、OBOCCD|OAOBOD . 第40頁(yè)/共60頁(yè)命題角度2:利用平面向量數(shù)量積求參數(shù)的值【典例4】(2014天津高考)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,BAD=120,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BC=3BE,DC=DF.若 則的值為.AE AF1 ，第41頁(yè)/共60頁(yè)【規(guī)范解答】如圖，所以解得=2.答案：21AEABBEABAD,3 1AFADDFADAB, 11AE AF(ABAD) (ADAB)3 2211 31ABAD ABAD3341 3410 22 2 cos 1201.333 第42頁(yè)/共60頁(yè)悟技法根據(jù)數(shù)量積求?；騾?shù)的值(范圍)的一般思路(1)利用數(shù)量積求模:通常利用已知找準(zhǔn)基

19、底或坐標(biāo),利用基底或坐標(biāo)運(yùn)算,有時(shí)需用化歸思想,轉(zhuǎn)化為其他問(wèn)題求解.(2)利用數(shù)量積求參數(shù)的值(范圍):通常有兩種運(yùn)算法,一是基底法,二是坐標(biāo)法,找準(zhǔn)解題目標(biāo),利用已知條件列出方程或方程組求解即可.第43頁(yè)/共60頁(yè) 通一類1.(2015六盤水模擬)已知平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120,若(a+mb)a,則實(shí)數(shù)m的值為()A.1 B. C.2 D.3【解析】選D.由題意得(a+mb)a=a2+mab=32+m32cos120=9-3m=0,解得m=3.23第44頁(yè)/共60頁(yè)2.(2013湖南高考)已知a,b是單位向量,ab=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|

20、c|的最大值為()A. 2 1 B. 2C. 21 D. 22第45頁(yè)/共60頁(yè)【解析】方法一:選C.條件|c-a-b|=1可以理解成如圖的情況而|a+b|= ,向量c的終點(diǎn)在單位圓上,故|c|的最大值為 +1.方法二:選C.由題意,得|a|=|b|=1,ab=0,所以|a+b|= ,因?yàn)閨c-a-b|=1,所以|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+(a+b)2=1.222第46頁(yè)/共60頁(yè)設(shè)c與a+b的夾角為,則|c|2-2|c| cos+2=1,即|c|2+1=2 |c|cos2 |c|,|c|2-2 |c|+10,解得 -1|c| +1.故|c|的最大值為 +1.2222222第47頁(yè)

21、/共60頁(yè)3.(2013浙江高考)設(shè)e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夾角為 ,則 的最大值等于.【解析】6xb22222221212xxxxy2xyxye ebee222222xxxy3xyxy2xycos6，第48頁(yè)/共60頁(yè)當(dāng)x=0時(shí), =0;當(dāng)x0時(shí),令 =t,則 4,所以 的最大值為2.答案:2xb2222x1yy13xx，byx2222x11t3t131(t)24bxb第49頁(yè)/共60頁(yè)創(chuàng)新體驗(yàn)4 平面向量數(shù)量積中的創(chuàng)新問(wèn)題【創(chuàng)新點(diǎn)撥】1.以向量為載體的創(chuàng)新問(wèn)題是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),此類問(wèn)題通常以數(shù)量積運(yùn)算為核心,通過(guò)數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化化歸

22、等途徑,解決與幾何有關(guān)的問(wèn)題,或以向量自身為背景,解決有關(guān)模、夾角等問(wèn)題.2.命題形式常見(jiàn)有新法則、新定義、新背景、新性質(zhì)、新運(yùn)算等.第50頁(yè)/共60頁(yè)【新題快遞】1.(2014安徽高考)設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成,若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()2A. B. C. D.0336第51頁(yè)/共60頁(yè)【解題提示】對(duì)x1y1+x2y2+x3y3+x4y4的可能結(jié)果進(jìn)行討論,根據(jù)各選項(xiàng)分別判斷.【解析】選B.設(shè)a,b夾角為,x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下3種可能:(1)2a2+2b2=2|a|2+2|b|2=10|a|2.(2)4ab=4|a|2|a|cos=8|a|2cos.(3)|a|2+2ab+|b|2=5|a|2+2|a|b|cos.易知(2)最小,則8|a|2cos=4|a|2,解得cos= = .123第52頁(yè)/共60頁(yè)2.(2015泉州模擬)對(duì)任意兩個(gè)非零向量 定義 若平面向量a,