經(jīng)典高等數(shù)學課件D4-3分部積分法

1、1一、復習積分公式一、復習積分公式(22個個)冪冪2個個指指2個個三角三角10個個有理式有理式4個個無理式無理式4個個dd K xxx ，ddxxexax ，sin dcos dx xx x ，22secdcscdx xx x ，sec tan dxx x ，csc cot d .xx x 2dd,1xxxx ，22211d ,d ,1xxxax sec dcsc d ,x xx x ，tan dcot d ,x xx x，2222dd.xxaxxa 221d . xxa 2二、復習積分方法二、復習積分方法1.直接積分法：直接積分法：(恒等恒等變形后變形后用用公式公式)2.換元積分法：換元積分

2、法：第一類換元法第一類換元法(也稱也稱湊微分法湊微分法) :第二類換元法第二類換元法:(易積易積)(易積易積)問題：問題：？dxxex xxcosdx令令( )xu ( )dg x x ( ) fx d)(x ( )( )d uxf u u ( ) ( )( )d txfttt ( )df xx ( )xt 令令( )( )dtft 3第三節(jié)由導數(shù)公式由導數(shù)公式()uvu vuv積分得積分得:dduvuv xuvx分部積分公式分部積分公式dduvxuvuvx或或ddu vuvv u分部積分法 第四四章 化難為易化難為易注：注：1.左端的被積表達式為兩部分左端的被積表達式為兩部分;右端為兩部分右

3、端為兩部分.2.公式的作用：公式的作用：4ddu vuvv u 例例1. 求積分求積分cos d .xx x 解（一）解（一）令令,cosxu dd ,x xv cos dxx x 22cossin d22xxxx x 顯然顯然, 選擇不當，選擇不當，積分更難進行積分更難進行.,duv解（二）解（二） 令令,xu cos dd ,x xv cos dxx x sid( n )xx sisinn dxxxx .cossinCxxx 注意：注意： 應(yīng)合理地選取應(yīng)合理地選取u和和dv， v使使du比比 udv易求易求.21dsin d ,.2ux x vx 則則dd ,sin .ux vx則則5例例

4、2. 求積分求積分2d .xx ex 解解:2,ux 令令dd ,xexv 2dxx ex 22d()xxex ex .)(22Cexeexxxx 1) v 容易求得容易求得 ;2)ddv uu v比比容易計算容易計算 .(d ):uvv 選選取取及及或或的的原原則則ddu vuvv u 注：可連續(xù)使用分部積分法注：可連續(xù)使用分部積分法.經(jīng)驗經(jīng)驗1:(dx 冪冪 指指 三三角角) )可設(shè)冪函數(shù)可設(shè)冪函數(shù)=u22(d )xxxx exeex 2d()xxe 22dxxx exex 22d()xxxx ee d2 d ,.xux x ve則則6.41ln222Cxxx ,ux 設(shè)設(shè) v？x1.v這

5、這時時 求求不不出出來來分析分析:ln ,ux 設(shè)設(shè)，221xv 例例3.ln dxx x 求求ln ddx xv ，1dd ,uxx 則則ln dxx x 2 d(2l)nxx 2212nd)n2ll(xxxx 2211lnd22xxxxx 解解:ddu vuvv u ddux 則則，ddx xv ， 7例例4.arctan d .xx x 求求分析分析:,ux 設(shè)設(shè) v？211x arctan dd ,x xv 解解:arctan,ux 令令ddvx x ，21dd ,1uxx 則則212vx 21arctan2xx 221d21xxx 21arctan2xx 211(1)d21xx 21

6、arctan2xx 1(arctan )2xxCddu vuvv u .v這這時時 求求不不出出來來2arctand(2)xx 原原式式22111d21xxx 8經(jīng)驗經(jīng)驗2: dx 冪冪對對( (反反三三角角) )可設(shè)對數(shù)可設(shè)對數(shù)(反三角反三角)=u例例5. arccosd .xx 求求arccos,dduxvx設(shè)設(shè)，211dd ,xux 則則vx 解解: xxdarccos)(arccosdarccosxxxx xxxxxd1arccos2 .1arccos2Cxxx uv 2212)1d( arccosxxxx熟悉以后熟悉以后,可以去掉假設(shè)可以去掉假設(shè)u,dv的過程的過程,只要記在心中即可

7、只要記在心中即可.9把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 ,按按 “ 反對冪指三反對冪指三” 的的順序順序, 前者為前者為u用分部積分法解題用分部積分法解題技巧技巧:反反: 反三角函數(shù)反三角函數(shù)對對: 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪冪: 冪函數(shù)冪函數(shù)指指: 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)三三: 三角函數(shù)三角函數(shù)lnx lnxxxC dx例例6 . 解解: ln dx x 求求lnd(ln )xxxx uv經(jīng)驗經(jīng)驗1:(dx 冪冪 指指 三三角角) )可設(shè)冪函數(shù)可設(shè)冪函數(shù)=u經(jīng)驗經(jīng)驗2: dx 冪冪對對( (反反三三角角) )可設(shè)對數(shù)可設(shè)對數(shù)(反三角反三角)=u10解解:2ln2 ln2.xxxxx C

8、x2lndx例例7.2lnd .x x 求求 )(lnln22xxxx duv xxxxx1ln2ln2dx xxxln2ln2dxddu vuvv u 2ln2( lnd )xxxxx 11例例8. 2lncosd .cosxxx 求求解解: 22lncosdlncossecdcosxxxxxxlncosd(tan )xx tanlncosxx2tandxx tanlncosxx2(sec1)dxx tanlncosxxtan xxCddu vuvv u tan d(lncos )xx 121(sincos )2xexxC 例例9.sin dxex x 求求sin dxex x sin d(

9、)xxe sincos dxxexex x sincos d()xxexxe sin(cossin d )xxxexexex x sin d(sincos )xxexxex x sin dxex x 把把類似類似于于解方程求積分的方法解方程求積分的方法(有區(qū)別有區(qū)別), 叫叫回歸法回歸法. 解解:說明說明: 也可設(shè)也可設(shè),xuev 為三角函數(shù)為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型但兩次所設(shè)類型必須一致必須一致 . ddu vuvv u 13.tansecln21tansec21Cxxxx 3secdx x 例例10. 求求3secd .x x 2secsecdxx x sec d(tan )xx uv

10、sec tantansec tan dxxxxx x 2sec tansec (sec1)dxxxxx 3sec tansecdsec dxxx xx x 3sec tanlnsecsecndtaxxxxxx 3secdx x 解解:ddu vuvv u 14211cossin1 nnnInnxxnI例例11.,dsinxxInn 證明證明所滿足的遞推公式所滿足的遞推公式證明證明:sindnnIx x 1sind(cos )nxx 11cos sincos d(sin)nnxxxx 122cos sin(1) cossindnnxxnxx x 122cos sin(1) (1sin)sindn

11、nxxnxx x 12cos sin(1) sind(1) sindnnnxxnx xnx x 12cos sin(1)(1)nnnxxnInI 1211sincosnnnnIxxInn 15說明說明:分部積分題目的類型分部積分題目的類型:1) 直接分部化簡積分直接分部化簡積分 ;2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式由此解出積分式 ;(注意注意: 兩次分部選擇的兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變函數(shù)類型不變 , 解出積分后加解出積分后加 C )3) 對含自然數(shù)對含自然數(shù) n 的積分的積分, 通過分部積分建立遞通過分部積分建立遞 推公式推公式 .16揉合在一起使用；揉合在

12、一起使用；實際解題中，往往是第一、第二換元法與分部積分法實際解題中，往往是第一、第二換元法與分部積分法例例12. d .xex 求求解解: 令令,xt 2,xt 則則d2 dxtt 原式原式2dttet 2(tte 2(1)xexC)te C 2d()tte 2(d )ttteet 先換元后分部先換元后分部1ln(1).)d(09xxx 求求數(shù)數(shù)二二17例例13. 求求32arctan2d .(1)xeIxx 解：解：arctan,tx 令令tan ,xt 即即則則3secteIt 2secdt t cos dtet t sintetsin dtett sintet cos dtett cos

13、tet 故故1(sincos )2tItt eC12 tx121x 21xx 211x arctanxeC d( cos ) t (先換元先換元,再分部再分部)18解：解：.14.d1xxxexe 例例(先換元先換元,再分部再分部)令令1,xue 則則2ln(1),xu 原原式式222(1)ln(1)2d1uuuuuu 22 ln(1)duu 22 ln(1)uu224d1uuu 1 1 22dd1uxuu 22 ln(1)uu 4(arctan )uuC21xx e414arctan1xxeeC19例例15. 已知已知cos( ),( )d .xf xx fxxx 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是

14、是求求解：解： 由已知由已知( )dxfxx d ( )xf x ( )x f x ( )df xx cos xxx cos xCxsin x cos2xCx 說明說明: 此題若先求出此題若先求出( )fx 再求積分反而復雜再求積分反而復雜.( )dxfxx 22sin2coscosdxxxxxx cos( )xf xx ，cos( )dxf xxCx 20解：解：22( )()2xxf xexe d ( )xf x 2( )d,xf xxeC ( )d xfxx ( )( )dxf xf xx 例例16.222xex .2Cex 例例17.( )d .xfxx 求求解：解：( )dxfxx

15、d ( )x fx ( )( )dxfxfxx .)()(Cxfxfx 2( ),( )d .xf xex fxx 已已知知的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是求求21內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 分部積分公式：分部積分公式：dduvxuvu v xddu vuvv u uv 1. 使用原則使用原則 :d.vu v x 易易求求出出，易易積積分分2. 使用經(jīng)驗使用經(jīng)驗 : “反對冪指三反對冪指三” , 3. 題目類型題目類型 : 分部化簡分部化簡 ; 循環(huán)解出循環(huán)解出; 遞推公式遞推公式.4. 計算格式計算格式 :uv .u前前者者為為22(1)dduv xuv (1)(1)duvu vx (1)(2)uvu v

16、 (2)du vx (2)(3)(1)uvuvu v ( )( )( 1)dnnnu vx 多次分部積分的規(guī)律多次分部積分的規(guī)律(1)(2)(3)uvu vu v(3)du vx 快速計算表格快速計算表格:uu u (1)nu v(1)v(2)v(1)nv 1( 1)n ( )nu( )nv( 1)n 特別特別: 當當 u 為為 n 次多項式時次多項式時,(1)0,nu 計算大為簡便計算大為簡便 . (2)duv (3)duv 1(1)( )( 1)nnnuv 23,dduuxexeu則則例例18. 求求34(ln ) d .xxx 解：解：原式原式ln,ux 令令3ue 4u dueu 44duu eu 4u4ue34u212u24u240414ue2414ue3414ue4414ue5414ue 原式原式 = 414ue4u3u 234u 38u 332 C 44321333lnlnlnln44832x