復變函數(shù)第1章 復數(shù)與復變函數(shù)(西安交通大學)

1、引 言 在十六世紀中葉，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程 時引進了復數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個方程沒有根，并把這個方程的兩個根形式地表為 。在當時，包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實上，復數(shù)被Cardano引入后，在很長一段時間內(nèi)不被人們所理睬，并被認為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉。特別是由于 L.Euler的研究結果，復數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式 揭示了復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand(法國.17

2、68-1822）將復數(shù)用平面向量或點來表示，以及K.F.Gauss (德國1777-1855)與W.R.Hamilton (愛爾蘭1805-1865)定義復數(shù) 為一對有序實數(shù)后，才消除人們對復數(shù)真實性的長久疑慮，“復變函數(shù)”這一數(shù)學分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。1040 xx515515與cossinieiaib 復變函數(shù)的 理論和方法在數(shù)學，自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，是解決諸如流體力學，電磁學，熱學彈性理論中平面問題的有力工具。 復變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實變函數(shù)在復數(shù)領域的推廣和發(fā)展 。第一章 復數(shù)與復變函數(shù)1.1復數(shù)及其表示法 一對有序實數(shù)（ ）構成一個復數(shù)，記為 .

3、iyxzyx, 自變量為復數(shù)的函數(shù)就是復變函數(shù), 它是本課程的研究對象.由于在中學階段已經(jīng)學過復數(shù)的概念和復數(shù)的運算,本章將在原有的基礎上作簡要的復習和補充; 然后再介紹復平面上的區(qū)域以及復變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念, 為進一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎.x, y 分別稱為 Z 的實部和虛部, 記作x=Re(Z), y=Im(Z), .1i zxiy稱為 Z 的共軛復數(shù)。與實數(shù)不同, 一般說來, 任意兩個復數(shù)不能比較大小.兩個復數(shù)相等他們的實部和虛部都相等特別地，00yxiyxz1.代數(shù)形式 :iyxz復數(shù)的表示法1)點表示iyxz復數(shù)( , )XOYz x y 平面上的點yz(x,

4、y)xx0yr復平面實軸虛軸2) 向量表示-復數(shù)復數(shù)z的輻角的輻角(argument) 記作Arg z= .任何一個復數(shù)z0有無窮多個幅角,將滿足 p p 0 p p 的的 0 稱為稱為Arg z的主值的主值, 記作0=arg z .則Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k為任意整數(shù))復數(shù)z=x+iy矢徑z0 xyxyz=x+iy|z|=rz22zzrxy-復數(shù)復數(shù)z的模的模zx與 軸正向的夾角|,| |,| | |,| |22zzz zyxzzyzx在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanargpp當 z = 0 時, |

5、 z | = 0, 而幅角不確定. arg z可由下列關系確定:arctan22yxpp其中說明：當 z 在第二象限時，arg022zpppptan()tan()tanyxpparctanyxparctan.yxp2.指數(shù)形式與三角形式),(zArgzr)sin(cosirzirez 利用直角坐標與極坐標的關系: x = r cos, y = r sin, 可以將z表示成三角表示式:利用歐拉公式 e i = cos + i sin 得指數(shù)表示式:例1 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.1)122 ;2)sincos.55zizipp 解 1)|1244.rzz在第三象限, 因此235arc

6、tanarctan.3612ppp 因此56554cos()sin()466izieppp2) 顯然, r = | z | = 1, 又3sincoscos,525103cossinsin.52510pppppppp因此31033cossin1010izieppp練習：練習：寫出 的輻角和它的指數(shù)形式。132iz解：3 22argarctanarctan3,1 233zppppp 2arg22,3ArgzzkkkZppp1,rz23.izep1.2復數(shù)復數(shù)的運算222111,iyxziyxz設)0()()()(22222211222222121211221212121212121zyxyxyx

7、iyxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzzz1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .復數(shù)運算滿足交換律,結合律和分配律:1 . 四則運算加減法與平行四邊形法則的幾何意義:乘、除法的幾何意義:111izr e222izr e12()121 2iz zrr e,121 2121212rgz zr rzzArgz zAzArgz,1z2z12zz12zz,定理定理1 兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積, 兩個復 數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和. 等式 Ar

8、g(z1z2)=Arg z1+Arg z2,的意思是等式的兩 邊都是無限集合, 兩邊的集合相等, 即每給定等式左邊 的一個數(shù), 就有等式右邊的一個數(shù)與之對應, 反之亦然.幾何上 z1z2 相當于將 z2 的模擴大 |z1| 倍并旋轉一個角度Arg z1 .011z2z1 2z z1r2r1 2rr12112 xy1iz12z例2：設121,.zzi 求：1 2;1 2.z zArgz z21 2;iz ziep 12,Argznpp22,2Argzmpp解：1 21222,Argz zArgzArgzkk m nZpp 若取1,k 則1,1,;nmnm 若取0,mn則1.k 221122111

9、22110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr22112211zzzzzArgArgzArgzz;按照乘積的定義, 當z10時, 有定理定理2 兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商, 兩個復數(shù) 的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.2 . 乘方與開方運算1）乘方cossinnninnzr erninDe Moivre 公式：cossincossinninin2 ）開方: 若滿足，則稱w為z的n次方根，nwz記為 .nwzziArgwinArgnezew2(0,1,2,1)nwzargzkArgwnknp于是推得2122cossin(0,1,1)arg zkinn

10、nnzzeargzkargzkrinnknppp從而幾何解釋：z1/n的n個值就是以原點為中心, r1/n為半徑的圓 的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。例2 求41. i解 因為12 cossin,44iipp 所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiikpppp 即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwipppppppp四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.2821+iw0w1w2w3Oxy1.31.3復數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形 很

11、多平面圖形能用復數(shù)形式的方程(或不等式)來表 示; 也可以由給定的復數(shù)形式的方程(或不等式)來確定 它所表示的平面圖形.例3 將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復數(shù)形式的方 程來表示.解 通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此, 它的復數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2z1). (t+) 由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成z=z1+t(z2z1). (0t1)取12t 得知線段1 2z z的中點為122zzz 例4 求下列方程所表示的曲線:1)| 2;2)|2 | |2|;3)

12、Im()4.ziziziz解：1)| 2zi設設 z = x + i y , 方程變?yōu)?222|(1) | 2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy2)|2 | |2|ziz 幾何上, 該方程表示到點2i和2的距離相等的點的軌跡, 所以方程表示的曲線就是連接點2i和2的線段的垂直平分線, 方程為 y x , 也可用代數(shù)的方法求出。Oxy22iyx3)Im()4.iz設設 z = x + i y , 那末(1)Im()1izxy iizy 可得所求曲線的方程為 y 3 .Oyxy31.4 復數(shù)域的幾何模型-復球面 0Nx1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,

13、2r)除了復數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點來表示復數(shù).對復平面內(nèi)任一點z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點, 則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系, 而N點本身可代表無窮遠點, 記作.這樣的球面稱作復球面.擴充復數(shù)域-引進一個“新”的數(shù): 擴充復平面-引進一個“理想點”: 無窮遠點 .約定: ),0(0aa),(0aa)(aa)0( aaa)(aaa 1.4 區(qū)域1. 區(qū)域的概念 平面上以 z0為中心, d (任意的正數(shù))為半徑的圓: |zz0|d 內(nèi)部的點的集合稱為z0的鄰域鄰域, 而稱由不等式 0|zz0|M 的所有點的集合, 其中實數(shù) M0 , 稱

14、為無窮遠點的鄰域無窮遠點的鄰域. 即它是圓 |z|=M 的外部且包含無窮遠點本身. 不包括無窮遠點本身的僅滿足 |z|M 的所有點稱為無窮遠點的去心鄰域無窮遠點的去心鄰域, 也記作 M|z|M 設G為一平面點集, z0為G中任意一點. 如果存在z0的一個鄰域, 該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G, 則稱z0為G的內(nèi)點內(nèi)點. 如果G內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)點, 則稱G為開集開集 平面點集D稱為一個區(qū)域區(qū)域, 如果它滿足下列兩個條件:1) D是一個開集;2) D是連通連通的。就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D 的一條折線連接起來. 設D為復平面內(nèi)的一個區(qū)域, 如果點P不屬于D, 但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有

15、D中的點, 這樣的點P稱為D的邊界點邊界點. D的所有邊界點組成D的邊界. 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的. 區(qū)域 D與它的邊界一起構成閉區(qū)域或閉域, 記作D.如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面, 即存在正數(shù) M, 使區(qū)域 D的每個點z都滿足 |z|M, 則稱 D為有界的, 否則稱為無界的.2. 單連通域與多連通域平面曲線 在數(shù)學上, 經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線. 如果x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數(shù), 則方程組x=x(t), y=y(t), (atb)代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)則此曲線可用一個方程z=z

16、(t) (atb)來代表. 這就是平面曲線的復數(shù)表示式. 設C: z=z(t) (atb)為一條連續(xù)曲線, z(a)與z(b)分別為C的起點與終點. 對于滿足 at1b, at2b 的 t1與 t2, 當 t1t2而有 z(t1)=z(t2) 時, 點 z(t1)稱為曲線 C的重點. 沒有重點的連續(xù)曲線 C, 稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線. 如果簡單曲線 C的起點與終點閉合, 即 z(a)=z(b) , 則曲線 C 稱為簡單閉曲線簡單閉曲線.z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b) 任意一條簡單閉曲線 C 把整個復

17、平面唯一地分成三個互不相交的點集, 其中除去 C 外, 一個是有界區(qū)域, 稱為 C 的內(nèi)部, 另一個是無界區(qū)域, 稱為 C 的外部, C 為它們的公共邊界. 簡單閉曲線的這一性質, 其幾何直觀意義是很清楚的.內(nèi)部外部C定義 復平面上的一個區(qū)域 B, 如果在其中任作一條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為單連通域單連通域, 一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域多連通域.單連通域多連通域1.5 復變函數(shù)1. 復變函數(shù)的定義定義 設 D 是復平面中的一個點集, wzDf復數(shù) ,wf zf xiyu x yiv x y稱為復變函數(shù).其確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù) u ,v .例

18、如, 考察函數(shù) w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 則u+iv = (x+iy)2 = x2y2+i2xy ,因而函數(shù) w = z2 對應于兩個二元函數(shù):u = x2y2, v = 2xy 在以后的討論中, D常常是一個平面區(qū)域, 稱之為定義域, 并且, 如無特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).2. 映射的概念 函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是把 z平面上的一個點集D(定義集合)變到 w平面上的一個點集G (函數(shù)值集合)的映射(或變換). 如果 D 中的點 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的點 w, 則 w 稱為 z 的象(映象), 而 z 稱為 w

19、的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW設函數(shù)w = z =x iy ; u=x , v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw1w2設函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有 u = x2y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz 1231341wwiw Im0Re01zyzxz22Im201wxywuv 函數(shù) w=z2 對應于兩個二元實變函數(shù): u=x2y2, v=2xy 把 z 平面上的兩族雙曲線 x2y2 = c1 , 2xy = c2 分別映 射成w平面上的兩族平行直線 u=c1 , v=c2 .1011110864

20、2x2468v=101y108642u=02468uv10101010 如果函數(shù)(映射) w=f (z) 與它的反函數(shù)(逆映射) z =j (w)都是單值的, 則稱函數(shù)(映射) w =f (z)是一一的. 此時, 我們也稱集合D與集合G是一一對應的.舉例：曲線在映射下的像 例題1 ?8:122zwyxC11zxiywuiv22vuivu2222,vuvyvuux81:22vu?:2bzwRzC例題2Rbwzbw2:2例題3?)2(:2zwtizC22)43 ()2(titiwuv34:例題4 ?: izwxyC)(ixxiwixxuv:1.6 復變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限定義 設函數(shù)

21、w = f (z)定義在 z0的去心鄰域 0|zz0|0, 相應地必有一正數(shù)d (e) (0 d r), 使得當 0 |zz0|d 時有| f (z)A |e ,則稱A為f (z)當 z趨向于z0時的極限, 記作Azfzz)(lim0或記作當 zz0 時 , f (z)A.幾何意義幾何意義: : xyOz0dzOuvAef(z)0lim( )zzAf z意味著：0( )zzf z當 從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近于 時，均以A為極限。等價定義： 設 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 則0000000lim(,)lim().lim(,)xxyyzzxxyyuxyufzAv xyv運算性質： )(lim)(lim)()(lim)1 (000zg