第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)(創(chuàng)新班)

1、 連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)第九節(jié)第九節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)在函數(shù)極限概念的基礎(chǔ)上在函數(shù)極限概念的基礎(chǔ)上, 我們引入另一個(gè)我們引入另一個(gè) 基本基本 概念概念函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù) 性性. 函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù) 性是性是 函數(shù)的重要連續(xù)函數(shù)是非函數(shù)的重要連續(xù)函數(shù)是非常重要的一類函數(shù)常重要的一類函數(shù), 也是函數(shù)的一種重要性態(tài)之一也是函數(shù)的一種重要性態(tài)之一. 函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性描述的是自變量有微小變化時(shí)連續(xù)性描述的是自變量有微小變化時(shí), 相應(yīng)的因變量的變相應(yīng)的因變量的變化也很微小化也很微小. 函數(shù)的連續(xù)性是描述函數(shù)的漸變性態(tài)函數(shù)的連續(xù)性是描述函數(shù)的漸變

2、性態(tài), 對(duì)函數(shù)連續(xù)性一般有對(duì)函數(shù)連續(xù)性一般有三種描述：三種描述：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不斷曲線；連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不斷曲線；什么是函數(shù)的連續(xù)性什么是函數(shù)的連續(xù)性?當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的變化也是微小的；當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的變化也是微小的；自變量的微小變化不會(huì)引起因變量的跳變；自變量的微小變化不會(huì)引起因變量的跳變；2xy 例如：例如：上上連連續(xù)續(xù)在在),( xysin 上上連連續(xù)續(xù)在在),( 處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 x1 yx 21( )1xf xx 11xyO 1 x 在點(diǎn)間斷.在點(diǎn)間斷.如何用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的連續(xù)性？如何用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的連續(xù)性？一、一、 連續(xù)函數(shù)

3、的概念連續(xù)函數(shù)的概念1. 函數(shù)的增量函數(shù)的增量0000( )(),(),.f xUxxUxxxxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義稱稱為為自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)的的增增量量0( )()( ),.yf xf xf xx 稱稱為為函函數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)于于的的增增量量xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 自變量和因變量的自變量和因變量的 增量表示方法增量表示方法:自變量和因變量的增量都可正可負(fù)自變量和因變量的增量都可正可負(fù)00001. : :()( ) ( )()x xxxxxyf xf xyf xf x 000000002. : () :()() ()()

4、x xxxxxxxyf xf xxyf xxf x 2. 連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念(1) 函數(shù)函數(shù) y = f(x) 在在 x0 點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)oxy0 xy=(x)yxx連續(xù)連續(xù)oxyyy=(x)x0 xx間斷間斷注注000lim ()( ) 0 xf xxf x 因因 0 , 0 xxxx 令令當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,000lim0lim( )()xxxyf xf x 0 xx有有, , 從從而而oxyy=(x)xy0 x0 xx 000lim()()xf xxf x 函數(shù)函數(shù) y = f(x) 在在 x0 點(diǎn)連續(xù)的點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義等價(jià)定義注注 該定義包含三重含義該定義包含三重含義:(1) 函數(shù)函

5、數(shù) y = f(x) 在在 x0 點(diǎn)有定義點(diǎn)有定義;(2) 極限極限 存在存在;0lim( )xxf x(3) ;00lim( )()xxf xf x 例例11sin,0, ( ) 0 .0,0,xxf xxxx 試試證證函函數(shù)數(shù)在在處處連連續(xù)續(xù)證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 利用函數(shù)利用函數(shù) y = f(x) 在在 x0 點(diǎn)連續(xù)的定義經(jīng)常用來討論分段點(diǎn)連續(xù)的定義經(jīng)常用來討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性.例例2.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy

6、證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)任意的對(duì)任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy(2) 單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)由左、右極限的概念可得到函數(shù)在某點(diǎn)左、右連續(xù)的概念由左、右極限的概念可得到函數(shù)在某點(diǎn)左、右連續(xù)的概念.000lim( )()()xxf xf xf x 記為記為000lim( )()()xxf xf xf x 記為記為, 則稱函數(shù)則稱函數(shù)(x)在在x0 處處左連續(xù)左連續(xù); 00lim( )(

7、)xxf xf x 定義定義3 若左極限若左極限, 則稱函數(shù)則稱函數(shù)(x)在在x0 處處右連續(xù)右連續(xù); 00lim( )()xxf xf x 若右極限若右極限000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA 因?yàn)橐驗(yàn)閯t有則有00000lim ( )()lim( )lim( )()xxxxxxf xf xf xf xf x 結(jié)論結(jié)論: 函數(shù)函數(shù)(x)在在x0 處連續(xù)的充要條件是處連續(xù)的充要條件是(x)在在 x0 處既左連處既左連續(xù)又右連續(xù)續(xù)又右連續(xù). 即即 定義定義4 若函數(shù)若函數(shù) (x)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a , b) 內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù), 則則稱稱函

8、數(shù)函數(shù)(x)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a , b) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù); 若函數(shù)若函數(shù)(x)在開區(qū)間在開區(qū)間 (a , b) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 且在左端點(diǎn)且在左端點(diǎn) a 右連續(xù)右連續(xù) ,在右端點(diǎn)在右端點(diǎn) b 左連續(xù)左連續(xù) , 則稱則稱函數(shù)函數(shù) (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a , b 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). 00000lim ( )()lim( )lim( )()xxxxxxf xf xf xf xf x (3) 函數(shù)函數(shù) y = f(x) 在在區(qū)間上區(qū)間上連續(xù)連續(xù)注注 1. 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的圖形時(shí)沒有間斷的一筆畫的曲線段區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的圖形時(shí)沒有間斷的一筆畫的曲線段. 2. 討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性討論分段函數(shù)在分

9、段點(diǎn)的連續(xù)性.例例32,0,( )0 .2,0,xxf xxxx 討討論論函函數(shù)數(shù)在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性解解)2(lim)(lim00 xxfxx2(0),f )2(lim)(lim00 xxfxx2(0),f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf解解 (1)1f 因因?yàn)闉? )1.f xx 故故在在處處連連續(xù)續(xù)211lim ( )lim1xxf xx 且且11 lim( )lim(2)1xxf xx 1lim( )(1)1xf xf 則則 討論函數(shù)討論函數(shù)在在 x = 1處的連續(xù)性處的連續(xù)性.2, 01 ( )2, 12 xxf xxx

10、在點(diǎn)在點(diǎn)x = 0, x = 1處是否連續(xù)處是否連續(xù).解解 在點(diǎn)在點(diǎn)x = 0處處, 因?yàn)橐驗(yàn)?0lim( )lim(1)xxf xx 1(0)1f 所以所以, f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x = 0處不連續(xù)處不連續(xù).因?yàn)樵邳c(diǎn)因?yàn)樵邳c(diǎn)x = 1處處, 11lim ( )lim(1)xxf xx 2(1)f 又又11lim ( )lim2xxf xx 2(1)f 所以所以f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x = 1處連續(xù)處連續(xù). 討論函數(shù)討論函數(shù)1,0( )1,012 ,1xxf xxxxx .0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim

11、00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a確定常數(shù)確定常數(shù) k, b的值的值, 使函數(shù)使函數(shù) 在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù).1sin, 0( ), 01sin, 0 xxxf xkxxbxx 解解001lim( )limsin1xxf xxx 001lim( )lim( sin)xxf xxbbx 1b 要使要使 (x) 在在 x = 0 處處連續(xù)連續(xù), 故故000lim( )lim( )lim ( )(0)1xxxf xf xf xfk

12、確定常數(shù)確定常數(shù) a, b, 使使 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù).2122( )lim1nnnxaxbxf xx 2, 11 1 ()1(1), 121(1), 12axbxxxxfxabxabx , ,因因 為為則要使則要使(x)連續(xù)連續(xù), 則則 (x) 就必須在就必須在 x = 1處連續(xù)處連續(xù). 解解11(1)211(1)2abababab 解之解之, 得得 a = 0 , b = 1故當(dāng)故當(dāng) a = 0且且 b = 1時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) (x) 連續(xù)連續(xù). 由定義由定義2可知求連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)的極限即為求此點(diǎn)的函數(shù)值可知求連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)的極限即為求此點(diǎn)的函數(shù)值.1 1abab 即即1111lim(

13、)lim( )(1) , lim( )lim( )( 1)xxxxf xf xff xf xf 由由 得得若以上條件至少有一個(gè)不滿足若以上條件至少有一個(gè)不滿足, 則則稱稱(x)在在 x0 處間斷處間斷. 即即函數(shù)函數(shù)在在 x0 點(diǎn)連續(xù)必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件點(diǎn)連續(xù)必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù)函數(shù) y = f(x) 在在 x0 點(diǎn)有定義點(diǎn)有定義;(2) 極限極限 存在存在;0lim( )xxf x(3) ;00lim( )()xxf xf x (2) (x)在在 x0 處雖有定義處雖有定義, 但但 不存在不存在;0lim( )xxf x(1) (x)在

14、在 x0 處沒有定義處沒有定義;(3) (x)在在 x0 處雖有定義處雖有定義, 且且 存在存在, 但但0lim( )xxf x00lim( )()xxf xf x 若以上條件至少有一個(gè)滿足若以上條件至少有一個(gè)滿足, 則稱則稱(x)在在 x0 處間斷處間斷. 間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類1. 第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)00 ( ),( ).f xxxf x如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的左左、右右極極限限都都存存在在 則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù) 的的第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)(1). 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)0000( ),(0)(0),( ).f xxf xf xxf x如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處左左 右右極極限限都都

15、存存在在但但則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)例例4 4.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy .0, 1,0, 0,0, 1sgn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxy例例 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0 x 是是第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例 ,0( )sin2, 0ln(1)xxexf xxxx 00 lim( )0,lim( )2,xxf xf x 因?yàn)橐驗(yàn)? ( ).xf x 是的跳躍間斷點(diǎn)是的跳躍間斷點(diǎn)1- -1-2-2

16、(2). 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)00000( ),lim( )(),( )( ).xxf xxf xAf xf xxxf x如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的極極限限存存在在 但但或或在在點(diǎn)點(diǎn)處處無無定定義義則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例5.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 1.x 為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)注注 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,

17、 則則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如例如例5中中,(1)2,f 補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義2,01,( )1,1,1.xxf xxxx 則則在在處處連連續(xù)續(xù)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .oxy1122. 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)00 ( ),( ).f xxxf x如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的左左、右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存在在 則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù) 的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f0,.x 為為無無窮窮間

18、間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 故故屬屬于于第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)(1). 無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)00 ( ) , ( ).f xxxf x 如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的左左、右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)為為無無則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的(2). 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)00 ( ), ( ).f xxxf x如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的左左、右右極極限限跳跳躍躍振振蕩蕩而而不不趨趨于于常常數(shù)數(shù) 則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例71( )sin0,0,( )11,0( ).f xxxf xxxf x 函函數(shù)數(shù) 在在 處處沒沒有有定定義義 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 的的極極限限值值在在與與之之間間來來

19、回回振振蕩蕩 所所以以點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)：第一類間斷點(diǎn)：00000(1) ()()()(2) lim( )()xxf xf xf xf xf x 沒沒定定義義可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn),00()()f xf x 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn), 第二類間斷點(diǎn)：第二類間斷點(diǎn)：左右極限都存在的間斷點(diǎn)；左右極限都存在的間斷點(diǎn)；左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)： 無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn),00()()f xf x 或或振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn),00()()f xf x（或或跳跳躍躍震震蕩蕩而而不不趨趨于于常常數(shù)數(shù)可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍

20、型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 xxytan) 1 (2x為其為其無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn) .0 x為其為其振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin)2(1x為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxy例如例如xytan2xyOxyxy1sinOxy1O1) 1 (1)(lim1fxfx顯然顯然1x為其為其可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x為為其跳躍間斷點(diǎn)其跳躍間斷點(diǎn) .1. tan .2yxx 討討論論函函數(shù)數(shù)在在 處處

21、的的連連續(xù)續(xù)性性解解,.2x 為為無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 故故屬屬于于第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)2lim tanxx 2lim tanxx 1,02.0,001,0 xxyxxxx 函函數(shù)數(shù) 在在 處處的的極極限限為為00lim( )lim(1)xxf xx 1(0)0f 00lim( )lim(1)xxf xx 1(0)0f 0( ) .xf x 故故點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù) 跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)sin3.( )0,0 xf xxxx 函函數(shù)數(shù) 在在 處處沒沒有有定定義義 所所以以點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù)( ).f x 間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 由由于于0sinlim1xxx :0 1,xy 如如果果補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義 令令 時(shí)時(shí) 則則得得函函數(shù)數(shù)( ),0( )1,0f xxg xx 0.x 在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)0( ).xf x 故故點(diǎn)點(diǎn) 為為函函數(shù)數(shù) 的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)21 01()0 1 1xfxxxx ，x = 1, x = 0, x = 1 為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn).4. 討論函數(shù)討論函數(shù)2( )limnnnnnxxf xxx 的連續(xù)性的連續(xù)性.提示提示解解 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為為無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn);,1 時(shí)當(dāng)x xx1,0)(xf xx1,1 時(shí)當(dāng)x,1)(xf故