單自由度系統(tǒng)的自由振動

1、復(fù)旦大學(xué)單自由度系統(tǒng)的自由振動主要內(nèi)容引言引言無阻尼系統(tǒng)的自由振動無阻尼系統(tǒng)的自由振動瑞利能量法瑞利能量法粘性阻尼系統(tǒng)的自由振動粘性阻尼系統(tǒng)的自由振動（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）庫侖阻尼系統(tǒng)的自由振動庫侖阻尼系統(tǒng)的自由振動滯后阻尼系統(tǒng)的自由振動滯后阻尼系統(tǒng)的自由振動風(fēng)力發(fā)電機(jī)自由振動實(shí)例分析風(fēng)力發(fā)電機(jī)自由振動實(shí)例分析引言如果一個(gè)系統(tǒng)只在初始時(shí)受到外界擾動，此后并不受到其他如果一個(gè)系統(tǒng)只在初始時(shí)受到外界擾動，此后并不受到其他力的作用而發(fā)生的振動，稱為力的作用而發(fā)生的振動，稱為自由振動自由振動；彈簧彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)是最簡單的振動系統(tǒng)。由于用一個(gè)坐標(biāo)質(zhì)量系統(tǒng)是最簡單的振動系統(tǒng)。由于用一個(gè)坐標(biāo)x就可就可以表示質(zhì)

2、量塊在任意時(shí)刻的位置，因此，該系統(tǒng)被稱為以表示質(zhì)量塊在任意時(shí)刻的位置，因此，該系統(tǒng)被稱為單自單自由度系統(tǒng)由度系統(tǒng)。 單自由度振動系統(tǒng)風(fēng)力發(fā)電機(jī)中的塔筒無阻尼平動系統(tǒng)的自由振動根據(jù)牛頓第二定律建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程根據(jù)牛頓第二定律建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程 xmkxtF 0 kxxm 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理: 外力與慣性力平衡外力與慣性力平衡無阻尼平動系統(tǒng)的自由振動虛位移原理虛位移原理彈簧力所做的虛功彈簧力所做的虛功 xkxWs慣性力所做的虛功慣性力所做的虛功 xxmWi 虛功之和虛功之和 0 xkxxxm 0 x0 kxxm 無阻尼平動系統(tǒng)的自由振動能量守恒原理能量守恒原理0UTdtd221xm

3、T221kxU 0kxxm 鉛垂方向上彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程stkmgWWxkxmst 0kxxm 當(dāng)質(zhì)量塊在豎直方向上運(yùn)動時(shí)，如果以靜平衡位置為坐當(dāng)質(zhì)量塊在豎直方向上運(yùn)動時(shí)，如果以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在列質(zhì)量塊的運(yùn)動微分方程時(shí)就不用考慮重力。標(biāo)原點(diǎn)，在列質(zhì)量塊的運(yùn)動微分方程時(shí)就不用考慮重力。 鉛垂方向上彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程當(dāng)彈簧有變形當(dāng)彈簧有變形x時(shí)，其勢能的增量為時(shí)，其勢能的增量為 221kxmgx 由于質(zhì)量塊下降了由于質(zhì)量塊下降了x，重力勢能的減少為，重力勢能的減少為mgx 靜平衡位置為零勢能點(diǎn)。則系統(tǒng)的最終勢能為靜平衡位置為零勢能點(diǎn)。則系統(tǒng)的最終勢能為 222121kx

4、mgxkxmgxU動能和勢能表達(dá)式相同，則運(yùn)動微分方程相同動能和勢能表達(dá)式相同，則運(yùn)動微分方程相同運(yùn)動微分方程的解系統(tǒng)運(yùn)動的運(yùn)動微分方程為系統(tǒng)運(yùn)動的運(yùn)動微分方程為 0kxxm 方程的解可以假設(shè)為方程的解可以假設(shè)為 stCetx其中其中C和和s為待定常數(shù)，則有為待定常數(shù)，則有 02 kmsC02 kmsnimks2121mkn titinneCeCtx21 tAtAtxnnsincos21如果已知初始條件如果已知初始條件010 xAtx020 xAtxn txtxtxnnnsincos00方程的解方程的解 運(yùn)動微分方程的解周期周期kmTn22頻率頻率mkTf211振動系統(tǒng)質(zhì)量越大，彈簧剛度越小，

5、則系統(tǒng)固有頻率越低，振動系統(tǒng)質(zhì)量越大，彈簧剛度越小，則系統(tǒng)固有頻率越低，周期越長。反之結(jié)論亦成立。在連續(xù)系統(tǒng)中，剛度、質(zhì)量體周期越長。反之結(jié)論亦成立。在連續(xù)系統(tǒng)中，剛度、質(zhì)量體現(xiàn)在材料方面?，F(xiàn)在材料方面。運(yùn)動微分方程的解單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是以正弦或余弦函數(shù)，統(tǒng)稱單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是以正弦或余弦函數(shù)，統(tǒng)稱為諧波函數(shù)表示，故稱為簡諧振動，這種系統(tǒng)又被稱為諧振為諧波函數(shù)表示，故稱為簡諧振動，這種系統(tǒng)又被稱為諧振子。子。自由振動的角頻率即系統(tǒng)的自然頻率，僅由系統(tǒng)本身的參數(shù)自由振動的角頻率即系統(tǒng)的自然頻率，僅由系統(tǒng)本身的參數(shù)所確定，而與外界激勵、初始條件等均無關(guān)。這說明自由振所確定，

6、而與外界激勵、初始條件等均無關(guān)。這說明自由振動顯示了系統(tǒng)內(nèi)在的特性。動顯示了系統(tǒng)內(nèi)在的特性。無阻尼自由振動的周期即線性系統(tǒng)自由振動的周期也僅由其無阻尼自由振動的周期即線性系統(tǒng)自由振動的周期也僅由其本身的參數(shù)決定，而與初始條件及振幅的大小無關(guān)。這種現(xiàn)本身的參數(shù)決定，而與初始條件及振幅的大小無關(guān)。這種現(xiàn)象稱為諧振子振動的象稱為諧振子振動的“等時(shí)性等時(shí)性”。自由振動的幅值和初相角由初始條件所確定。自由振動的幅值和初相角由初始條件所確定。單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是等幅振動，這意味著系統(tǒng)單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是等幅振動，這意味著系統(tǒng)一旦受到初始激勵就將按振幅始終振動下去，這顯然是一種一旦受到初

7、始激勵就將按振幅始終振動下去，這顯然是一種理想情況。理想情況。思考與練習(xí)無阻尼扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的自由振動如果剛體繞著某一特定的參考軸擺動時(shí)，對應(yīng)著彈性元件如果剛體繞著某一特定的參考軸擺動時(shí)，對應(yīng)著彈性元件的扭轉(zhuǎn)變形，則將這種運(yùn)動稱為的扭轉(zhuǎn)變形，則將這種運(yùn)動稱為扭振扭振。此時(shí)，剛體的位移要。此時(shí)，剛體的位移要用角坐標(biāo)描述。用角坐標(biāo)描述。 運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程 0tkJ 無阻尼扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的自由振動扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的固有角頻率為扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的固有角頻率為 210Jktn周期和頻率分別為周期和頻率分別為2102tnkJ21021Jkftn無阻尼扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的自由振動常見的扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)包括：汽輪機(jī)、水輪機(jī)常見的扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)包括：汽輪

8、機(jī)、水輪機(jī)例任何懸掛于不經(jīng)過質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)軸的剛體在其自身重力作用下任何懸掛于不經(jīng)過質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)軸的剛體在其自身重力作用下都會繞旋轉(zhuǎn)軸擺動，這樣的物理系統(tǒng)稱為復(fù)擺。求復(fù)擺微幅都會繞旋轉(zhuǎn)軸擺動，這樣的物理系統(tǒng)稱為復(fù)擺。求復(fù)擺微幅擺動的固有頻率。擺動的固有頻率。 0sin0WdJ 00WdJ 210210JmgdJWdn復(fù)擺可以使錘的撞擊中心位于錘頭，而旋轉(zhuǎn)中心在手柄上。此可以使錘的撞擊中心位于錘頭，而旋轉(zhuǎn)中心在手柄上。此時(shí)作用于錘頭的沖擊力不會在手柄上引起任何反向作用力。時(shí)作用于錘頭的沖擊力不會在手柄上引起任何反向作用力。打棒球時(shí)，如果能使球棒的撞擊中心與求接觸，而手可看打棒球時(shí)，如果能使球棒的撞擊中

9、心與求接觸，而手可看作是球棒的旋轉(zhuǎn)中心，那么擊球手將不會收到球棒垂直方向作是球棒的旋轉(zhuǎn)中心，那么擊球手將不會收到球棒垂直方向上的反作用力。另一方面，如果擊球的部位靠近近端或手握上的反作用力。另一方面，如果擊球的部位靠近近端或手握的部位，擊球手就會由于受到球棒垂直方向上的反作用力而的部位，擊球手就會由于受到球棒垂直方向上的反作用力而感到疼痛。感到疼痛。復(fù)擺在材料的沖擊實(shí)驗(yàn)中，要在試件上開一個(gè)合適的槽口，并在材料的沖擊實(shí)驗(yàn)中，要在試件上開一個(gè)合適的槽口，并固定在機(jī)械的底座上，從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)高度處釋放沖擊擺，當(dāng)其固定在機(jī)械的底座上，從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)高度處釋放沖擊擺，當(dāng)其通過最低位置時(shí)，撞擊試樣的自由端。如果擺

10、的撞擊中心在通過最低位置時(shí)，撞擊試樣的自由端。如果擺的撞擊中心在沖擊刃口的附件，就可以減小擺的彎曲變形。此時(shí)，擺的懸沖擊刃口的附件，就可以減小擺的彎曲變形。此時(shí)，擺的懸掛點(diǎn)不會受到任何沖擊反作用力。掛點(diǎn)不會受到任何沖擊反作用力。當(dāng)汽車前輪受到一個(gè)沖擊而產(chǎn)生顛簸時(shí)，如果它的撞擊中當(dāng)汽車前輪受到一個(gè)沖擊而產(chǎn)生顛簸時(shí)，如果它的撞擊中心在后軸附近，乘員就基本上不會感覺到。所以設(shè)計(jì)時(shí)希望心在后軸附近，乘員就基本上不會感覺到。所以設(shè)計(jì)時(shí)希望車身的振動中心在某一個(gè)軸上時(shí)，撞擊中心要在另一個(gè)軸上。車身的振動中心在某一個(gè)軸上時(shí)，撞擊中心要在另一個(gè)軸上。瑞利能量法 對于單自由度系統(tǒng)，可以利用能量方法得到其運(yùn)動微分

11、方對于單自由度系統(tǒng)，可以利用能量方法得到其運(yùn)動微分方程。對無阻尼的振動系統(tǒng)而言，能量守恒定律也可以這樣表程。對無阻尼的振動系統(tǒng)而言，能量守恒定律也可以這樣表示示 2211UTUTmaxmaxUT例討論圖示彈簧討論圖示彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)中彈簧質(zhì)量質(zhì)量系統(tǒng)中彈簧質(zhì)量對固有頻率的影響。對固有頻率的影響。 微段動能為微段動能為 221lxydylmdTss22022321212121xmxmlxydylmxmTslys系統(tǒng)總動能為系統(tǒng)總動能為 系統(tǒng)總勢能為系統(tǒng)總勢能為 221kxU 假設(shè)系統(tǒng)的自由振動是簡諧的，即假設(shè)系統(tǒng)的自由振動是簡諧的，即 tXtxncos說明：速度為線性分布！說明：速度為線性分布

12、！例maxmaxUT213snmmk動能和勢能的最大值分別為動能和勢能的最大值分別為22max321nsXmmT2max21kXU思考與練習(xí)討論水塔塔身的質(zhì)量對水塔橫向振動固有頻率的影響。討論水塔塔身的質(zhì)量對水塔橫向振動固有頻率的影響。 粘性阻尼平動系統(tǒng)的自由振動運(yùn)動微分方程為運(yùn)動微分方程為0kxxcxm 假設(shè)解的形式為假設(shè)解的形式為 stCetx特征方程特征方程02kcsms特征方程的根為特征方程的根為mkmcmcs22, 122方程通解為方程通解為 tmkmcmctmkmcmceCeCtx22222221nmc2 ttnneCeCtx121122粘性阻尼平動系統(tǒng)的自由振動欠阻尼情形欠阻尼情

13、形 1 txxtxetxnnnntn2200201sin11cos運(yùn)用歐拉公式運(yùn)用歐拉公式sincosiei阻尼振動的頻率阻尼振動的頻率nd21小阻尼小阻尼粘性阻尼平動系統(tǒng)的自由振動臨界阻尼情形臨界阻尼情形 1過阻尼情形過阻尼情形 tnnexxxtx0001 ttnneCeCtx12112212120201nnxxC12120202nnxxC粘性阻尼平動系統(tǒng)的自由振動欠阻尼情形欠阻尼情形 1 txxtxetxnnnntn2200201sin11cos欠阻尼是唯一一種能夠引起振動的情形。欠阻尼是唯一一種能夠引起振動的情形。（重點(diǎn)掌握）（重點(diǎn)掌握）思考與練習(xí)應(yīng)用應(yīng)用matlab或或excel軟件繪

14、制自由振動曲線軟件繪制自由振動曲線 txxtxetxnnnntn2200201sin11cos已知已知10, 0,01. 0,1000 xxn思考與練習(xí) txxtxetxnnnntn2200201sin11cospart1對照公式對照公式part2part3思考與練習(xí)粘性阻尼平動系統(tǒng)的自由振動臨界阻尼情形臨界阻尼情形 1過阻尼情形過阻尼情形 1粘性阻尼平動系統(tǒng)的自由振動特征根隨阻尼系數(shù)或阻尼比的變化規(guī)律可在特征根隨阻尼系數(shù)或阻尼比的變化規(guī)律可在復(fù)平面復(fù)平面中討論。中討論。 粘性阻尼平動系統(tǒng)的自由振動臨界阻尼系數(shù)是使系統(tǒng)作非周期運(yùn)動的最小阻尼。因此，質(zhì)臨界阻尼系數(shù)是使系統(tǒng)作非周期運(yùn)動的最小阻尼。

15、因此，質(zhì)量塊將以最短的時(shí)間回到靜止平衡位置。在許多實(shí)際應(yīng)用中都量塊將以最短的時(shí)間回到靜止平衡位置。在許多實(shí)際應(yīng)用中都利用了臨界阻尼的這一性質(zhì)。利用了臨界阻尼的這一性質(zhì)。例如大型火炮的槍膛具有臨界阻尼，這樣火炮受反沖力后，例如大型火炮的槍膛具有臨界阻尼，這樣火炮受反沖力后，會以最短的時(shí)間回到初始位置而不致引起振動。如果槍膛的阻會以最短的時(shí)間回到初始位置而不致引起振動。如果槍膛的阻尼大于臨界阻尼，那么就會拖延第二次開火的時(shí)間尼大于臨界阻尼，那么就會拖延第二次開火的時(shí)間。 粘性阻尼平動系統(tǒng)的自由振動單自由度有阻尼系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)也可以在相平面或狀單自由度有阻尼系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)也可以在相平面或狀態(tài)

16、空間表示出來。態(tài)空間表示出來。 對數(shù)衰減系數(shù) 定義為任意兩個(gè)相鄰的振幅之比的自然對數(shù)定義為任意兩個(gè)相鄰的振幅之比的自然對數(shù) 02001021coscos21teXteXxxdtdtnndtt12dndnneeexxtt1121對數(shù)衰減系數(shù)為對數(shù)衰減系數(shù)為mcxxIndnndn2212122221小阻尼情況，可近似為小阻尼情況，可近似為 1,2對數(shù)衰減系數(shù) 222對于小阻尼情況，可近似為對于小阻尼情況，可近似為2mcd221221,2同理可求得同理可求得對數(shù)衰減系數(shù) 阻尼比也可通過測量相差任意整數(shù)個(gè)周期的兩個(gè)位移來求得，阻尼比也可通過測量相差任意整數(shù)個(gè)周期的兩個(gè)位移來求得，則則 14332211

17、1mmmxxxxxxxxxx相差相差1個(gè)周期的任意兩相鄰振幅滿足個(gè)周期的任意兩相鄰振幅滿足dnexxjj1dndnmmmeexx1111In1mxxm思考與練習(xí) 如何應(yīng)用如何應(yīng)用simulink軟件，計(jì)算對數(shù)衰減系數(shù)；軟件，計(jì)算對數(shù)衰減系數(shù)；粘性阻尼消耗的能量 一個(gè)有粘性阻尼的系統(tǒng)，能量隨時(shí)間的變化率等于力的速度一個(gè)有粘性阻尼的系統(tǒng)，能量隨時(shí)間的變化率等于力的速度的乘積。的乘積。 22dtdxccFdtdW系統(tǒng)在一個(gè)周期中消耗的能量為系統(tǒng)在一個(gè)周期中消耗的能量為 22022220cosXcttdcXdtdtdxcWddddtd當(dāng)給粘性阻尼器并聯(lián)上一個(gè)剛度為當(dāng)給粘性阻尼器并聯(lián)上一個(gè)剛度為k的彈簧

18、后，上式仍然的彈簧后，上式仍然成立。成立。（習(xí)題證明）（習(xí)題證明）粘性阻尼消耗的能量 一個(gè)系統(tǒng)的能量可以用最大勢能或最大動能來表示。就小阻一個(gè)系統(tǒng)的能量可以用最大勢能或最大動能來表示。就小阻尼而言，這兩個(gè)值近似相等。由此可得尼而言，這兩個(gè)值近似相等。由此可得阻尼比容阻尼比容 tconsmcXmXcWWdddtan4222221222損耗因子損耗因子定義為弧度所消耗的能量與系統(tǒng)總能量的比定義為弧度所消耗的能量與系統(tǒng)總能量的比 WWWW22說明庫倫阻尼和滯后阻尼系統(tǒng)的自由振動（庫倫阻尼和滯后阻尼系統(tǒng)的自由振動（不作要求不作要求）庫侖阻尼系統(tǒng)的自由振動在許多機(jī)械系統(tǒng)中，為了簡單和方便，經(jīng)常采用庫侖阻

19、尼模在許多機(jī)械系統(tǒng)中，為了簡單和方便，經(jīng)常采用庫侖阻尼模型。兩個(gè)相互接觸的物體有相對滑動時(shí)，它們之間會產(chǎn)生摩型。兩個(gè)相互接觸的物體有相對滑動時(shí)，它們之間會產(chǎn)生摩擦力，在振動結(jié)構(gòu)中也是這樣。庫侖干模型定律表明，對于擦力，在振動結(jié)構(gòu)中也是這樣。庫侖干模型定律表明，對于兩個(gè)相互接觸的物體，為使它們之間產(chǎn)生相對滑動所需的力，兩個(gè)相互接觸的物體，為使它們之間產(chǎn)生相對滑動所需的力，與作用在接觸面上的正壓力成正比，因此摩擦力可寫為與作用在接觸面上的正壓力成正比，因此摩擦力可寫為mgWNF庫侖阻尼系統(tǒng)的自由振動情況情況1 當(dāng)當(dāng)x是正的，且是正的，且dx/dt也是正的；或者當(dāng)也是正的；或者當(dāng)x是負(fù)的，但是負(fù)的，

20、但dx/dt是正的。應(yīng)用牛頓第二定律可得運(yùn)動微分方程為是正的。應(yīng)用牛頓第二定律可得運(yùn)動微分方程為Nkxxm Nkxxm 這是一個(gè)二階非齊次常微分方程。它的通解形式為這是一個(gè)二階非齊次常微分方程。它的通解形式為 kNtAtAtxnnsincos21庫侖阻尼系統(tǒng)的自由振動情形情形2 當(dāng)當(dāng)x是正的，但是正的，但dx/dt是負(fù)的；或者當(dāng)是負(fù)的；或者當(dāng)x是負(fù)的，且是負(fù)的，且dx/dt也是負(fù)的。應(yīng)用牛頓第二定律可得運(yùn)動微分方程為也是負(fù)的。應(yīng)用牛頓第二定律可得運(yùn)動微分方程為Nkxxm Nkxxm 這是一個(gè)二階非齊次常微分方程。它的通解形式為這是一個(gè)二階非齊次常微分方程。它的通解形式為 kNtAtAtxnns

21、incos43庫侖阻尼系統(tǒng)的自由振動可以用一個(gè)非線性的微分方程來表示可以用一個(gè)非線性的微分方程來表示 0sgnkxxmgxm 為了求出解析解，假設(shè)初始條件為為了求出解析解，假設(shè)初始條件為 0000 xxx這說明，系統(tǒng)在初始時(shí)刻，即這說明，系統(tǒng)在初始時(shí)刻，即t=0時(shí)刻，速度為零，位移為時(shí)刻，速度為零，位移為x0。因?yàn)樵谝驗(yàn)樵趖=0時(shí)刻時(shí)刻x=x0。所以質(zhì)量塊是從右向左運(yùn)動。所以質(zhì)量塊是從右向左運(yùn)動。0,403AkNxA方程可變?yōu)榉匠炭勺優(yōu)?kNtkNxtxncos0nt庫侖阻尼系統(tǒng)的自由振動粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程是線性的，而庫倫阻尼系統(tǒng)粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程是線性的，而庫倫阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動

22、微分方程是非線性的。的運(yùn)動微分方程是非線性的。粘性阻尼增加會使系統(tǒng)的固有頻率減小；而庫倫阻尼增加，粘性阻尼增加會使系統(tǒng)的固有頻率減??；而庫倫阻尼增加，系統(tǒng)的固有頻率卻不發(fā)生變化。系統(tǒng)的固有頻率卻不發(fā)生變化。有粘性阻尼的系統(tǒng)，在過阻尼情形下運(yùn)動是非周期的；而有粘性阻尼的系統(tǒng)，在過阻尼情形下運(yùn)動是非周期的；而庫倫阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動則是周期的。庫倫阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動則是周期的。即使只有一個(gè)極小的振幅，粘性阻尼或滯后阻尼系統(tǒng)的振即使只有一個(gè)極小的振幅，粘性阻尼或滯后阻尼系統(tǒng)的振動在理論上將永遠(yuǎn)運(yùn)動下去；但有庫倫阻尼的系統(tǒng)，運(yùn)動一動在理論上將永遠(yuǎn)運(yùn)動下去；但有庫倫阻尼的系統(tǒng)，運(yùn)動一段時(shí)間后肯定會停止下來。段時(shí)間

23、后肯定會停止下來。有粘性阻尼的系統(tǒng)，振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律減小，而有庫有粘性阻尼的系統(tǒng)，振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律減小，而有庫倫阻尼的系統(tǒng)，振幅是按線性規(guī)律減小的。倫阻尼的系統(tǒng)，振幅是按線性規(guī)律減小的。例具有庫倫阻尼的彈簧具有庫倫阻尼的彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)質(zhì)量系統(tǒng)的自由振動響應(yīng) 5 . 0,/200,10, 00,5 . 00mNkkgmxmx系統(tǒng)運(yùn)動微分方程為系統(tǒng)運(yùn)動微分方程為 0sgnkxxmgxm 例 21212221121,sgn,xxfxmkxgxxxfxx令令 積分器積分器例滯后阻尼系統(tǒng)的自由振動對于彈簧和粘性阻尼器并聯(lián)的系統(tǒng)，引起位移對于彈簧和粘性阻尼器并聯(lián)的系統(tǒng)，引起位移x

24、(t)所需的力所需的力F為為 xckxF對于簡諧運(yùn)動來說，有對于簡諧運(yùn)動來說，有 tXtxsin滯后阻尼系統(tǒng)的自由振動 2222sincossinxXckxtXXckxtcXtkXtF該曲線所圍成的面積代表了阻尼器在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能該曲線所圍成的面積代表了阻尼器在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量，其大小為量，其大小為220coscossinXcdttXtcXtkXFdxW滯后阻尼系統(tǒng)的自由振動試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)周期中，由內(nèi)部摩擦力消耗的能量近似與試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)周期中，由內(nèi)部摩擦力消耗的能量近似與振幅的平方成正比，但與頻率無關(guān)。假定阻尼系數(shù)振幅的平方成正比，但與頻率無關(guān)。假定阻尼系數(shù)c與頻率與頻率成反比，

25、即成反比，即 hc h稱為滯后阻尼系數(shù)，則稱為滯后阻尼系數(shù)，則 2hXW力力F為為 xcikiXeckXeFtiti彈簧與滯后阻尼器并聯(lián)時(shí)，則力與位移的關(guān)系可表達(dá)為彈簧與滯后阻尼器并聯(lián)時(shí)，則力與位移的關(guān)系可表達(dá)為 xihkFikkhikihk11滯后阻尼系統(tǒng)的自由振動系統(tǒng)的無量綱阻尼系統(tǒng)的無量綱阻尼 kh一個(gè)周期中系統(tǒng)所消耗的能量可以表示為一個(gè)周期中系統(tǒng)所消耗的能量可以表示為 2XkW例根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，估計(jì)滯后阻尼常數(shù)和對數(shù)衰減系數(shù)根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，估計(jì)滯后阻尼常數(shù)和對數(shù)衰減系數(shù)一個(gè)加載卸載循環(huán)內(nèi)的能量耗散等于滯后回線所圍的面積一個(gè)加載卸載循環(huán)內(nèi)的能量耗散等于滯后回線所圍的面積 mNhXW5 . 2

26、2例由于最大變形為由于最大變形為0.008m，并且力，并且力-變形的斜率變形的斜率k=50000N/m，則滯后阻尼系數(shù)為則滯后阻尼系數(shù)為78125. 0248679. 0248679. 05000095.1243395.12433008. 05 . 222khXWh單自由度振動在風(fēng)電中的應(yīng)用 塔架高度不斷增加的同時(shí)，為了降低制造成本，目前主要塔架高度不斷增加的同時(shí)，為了降低制造成本，目前主要采用輕型錐筒結(jié)構(gòu)的柔性塔架，固有頻率甚至低于工作中采用輕型錐筒結(jié)構(gòu)的柔性塔架，固有頻率甚至低于工作中產(chǎn)生的激振頻率，而且錐筒塔架具有很小的阻尼，因此結(jié)產(chǎn)生的激振頻率，而且錐筒塔架具有很小的阻尼，因此結(jié)構(gòu)共振問題突出；構(gòu)共振問題突出； 塔筒結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，需要考慮的因素包括頻率、焊縫強(qiáng)度、薄塔筒結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，需要考慮的因素包括頻率、焊縫強(qiáng)度、薄壁屈曲、螺栓強(qiáng)度、門洞與頂部法蘭結(jié)構(gòu)強(qiáng)度等，壁屈曲、螺栓強(qiáng)度、門洞與頂部法蘭結(jié)構(gòu)強(qiáng)度等，頻率校頻率校核核是最重要的內(nèi)容之一。是最重要的內(nèi)容之一。塔筒振動測試塔筒頻率的分析與校核在在GL2010分析認(rèn)證中，