向量與空間解析幾何向量函數(shù)空間曲線

1、 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程10.5 空間曲線空間曲線例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢

2、圓.例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖. )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定1tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點點),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點點.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 動點從動點從A點出點出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運(yùn)動到時間，運(yùn)動到M點點 例例 3 3 如果空間一點如果空間一點M在圓柱面在圓柱面222

3、ayx 上以上以角速度角速度w w繞繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度v沿平行于沿平行于z軸的正方向上升軸的正方向上升 （其中（其中w w、v都是常數(shù)），那么點都是常數(shù)），那么點M構(gòu)成的圖形叫做構(gòu)成的圖形叫做 螺旋線螺旋線試建立其參數(shù)方程試建立其參數(shù)方程A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM taxw wcos tayw wsin vtz tw w螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),(w ww w vbt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:0

4、0 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影

5、類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy例例4 4 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因為

6、曲線在平面）因為曲線在平面 上，上，21 z例例5 5 求拋物面求拋物面xzy 22與平面與平面 02 zyx 的截線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線方程的截線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線方程.截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx補(bǔ)充補(bǔ)充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面)(3442222yxzyxz 和和錐錐面面面面設(shè)設(shè)一一個個立立體體，由由上上半半球球例

7、例所所圍圍成成，面面上上的的投投影影求求它它在在xoy解解 )(342222yxzyxzC交線交線得得消去消去 z122 yx面的投影為面的投影為在在則則xoyC 0122zyx面上的一個圓，面上的一個圓，這是這是 xoy面上的投影即為面上的投影即為于是所求立體在于是所求立體在 xoy. 1| ),(22 yxyxxzy空間曲線的切線和弧長空間曲線的切線和弧長 )()()(tzztyytxx設(shè)設(shè)曲曲線線),(),(0000ttzyxM 此此時時處處的的切切線線考考慮慮在在點點M),(111zyxP的的方方程程為為：割割線線 MP010010010zzzzyyyyxxxx 即即)()()()()()(010010010tztzzztytyyytxtxxx )()()()()()(000000000tzttzzztyttyyytxttxxx ttzttzzzttyttyyyttxttxxx )()()()()()(000000000切線方