泰勒公式詳解Taylorformula一元分析學(xué)講義PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1泰勒公式詳解泰勒公式詳解Taylorformula一元分析學(xué)一元分析學(xué)講義講義xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 上頁(yè)返回下頁(yè)第2頁(yè)/共47頁(yè)不足不足:問題問題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤差誤差 )()()(xPxfxR 可估計(jì)可估計(jì)1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計(jì)。、誤差不能估計(jì)。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在含有在含有0 x的開區(qū)間的開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), ,)(xP為多項(xiàng)式函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn

2、上頁(yè)返回下頁(yè)第3頁(yè)/共47頁(yè)二、二、nP和和nR的確定的確定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好近似程度越來(lái)越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 x)()(xfxPn與與上頁(yè)返回下頁(yè)第4頁(yè)/共47頁(yè)假設(shè)假設(shè) nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()

3、(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 上頁(yè)返回下頁(yè)第5頁(yè)/共47頁(yè)三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)定理定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有 0 x的某的某個(gè)開區(qū)間個(gè)開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù), ,則當(dāng)則當(dāng)x在在),(ba內(nèi)時(shí)內(nèi)時(shí), , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個(gè)的一個(gè)n次次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng))(xRn之和之和: : )()(!)()

4、(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10) 1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 0 x與與 x之間之間) ). . 上頁(yè)返回下頁(yè)第6頁(yè)/共47頁(yè)證明證明: : 由假設(shè)由假設(shè), ,)(xRn在在),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,且且兩函數(shù)兩函數(shù))(xRn及及10)( nxx在以在以 0 x及及 x為端點(diǎn)為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得 )()(1()(01011之間之間與與在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRx

5、RxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn上頁(yè)返回下頁(yè)第7頁(yè)/共47頁(yè)如此下去如此下去, ,經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò))1( n次后次后, ,得得 兩函數(shù)兩函數(shù))(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及 1 為端點(diǎn)為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之間之間與與在在nx 0, ,也在也在0 x與與 x之間之間) ) )()(1()(1021022之間之間與與在在 xxnnRnn 上頁(yè)返回下頁(yè)第8頁(yè)/共47

6、頁(yè) nkkknxxkxfxP000)()(!)()( 稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 次泰勒多項(xiàng)式次泰勒多項(xiàng)式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 階泰勒公式階泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 則由上式得則由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 上頁(yè)返回下頁(yè)第9頁(yè)/共47頁(yè)拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng) 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(n

7、knkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾型余項(xiàng)皮亞諾型余項(xiàng)0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即)()1(有界有界若若xfn 上頁(yè)返回下頁(yè)第10頁(yè)/共47頁(yè)注注: :1.1. 當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,泰勒公式變成拉氏中值公式泰勒公式變成拉氏中值公式 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項(xiàng)則余項(xiàng) 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 3.3.帶帶皮亞諾型余項(xiàng)皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒定理?xiàng)l件比帶的泰勒

8、定理?xiàng)l件比帶拉格朗拉格朗日型余項(xiàng)日型余項(xiàng)的的弱弱，前者只需，前者只需n n階導(dǎo)數(shù)存在階導(dǎo)數(shù)存在. .4.Peano4.Peano型余項(xiàng)是定性的，型余項(xiàng)是定性的，LagrangeLagrange型余項(xiàng)是定量的型余項(xiàng)是定量的，兩者本質(zhì)相同但作用有別兩者本質(zhì)相同但作用有別. . 一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)不需要定量一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)不需要定量地討論余項(xiàng)時(shí)，可用地討論余項(xiàng)時(shí)，可用PeanoPeano型，如計(jì)算極限；當(dāng)需要定型，如計(jì)算極限；當(dāng)需要定量討論余項(xiàng)時(shí)，則用量討論余項(xiàng)時(shí)，則用LagrangeLagrange型余項(xiàng)，如誤差估計(jì)型余項(xiàng)，如誤差估計(jì). .上頁(yè)返回下頁(yè)第11頁(yè)/共47頁(yè))(!)0(! 2)0()0()0()

9、()(2nnnxoxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式上頁(yè)返回下頁(yè)第12頁(yè)/共47頁(yè)例例 1 1 求求xexf )(的的n階階麥麥克克勞勞林林公公式式. .解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe上頁(yè)返回下頁(yè)第13頁(yè)/共47頁(yè)由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計(jì)誤差估

10、計(jì)誤差)0( x設(shè)設(shè)!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(1 nxxnxnenexR上頁(yè)返回下頁(yè)第14頁(yè)/共47頁(yè) 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(!5!3sin121253 nnnxonxxxxx )()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 上頁(yè)返回下頁(yè)第15頁(yè)/共47頁(yè)例例 2 2 計(jì)算計(jì)算 403

11、cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式上頁(yè)返回下頁(yè)第16頁(yè)/共47頁(yè)例例3 3.)1(51lim520 xxxx 求極限求極限解解. 2的次數(shù)為的次數(shù)為分子關(guān)于分子關(guān)于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 上頁(yè)返回下頁(yè)第17頁(yè)/共47頁(yè)例例4 4)1 , 0(21)(:, 1)(),

12、1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf證明證明且且上二階可微上二階可微在在若函數(shù)若函數(shù)證證,1 , 00 x設(shè)設(shè)有有展展成成一一階階泰泰勒勒公公式式處處把把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 則有則有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff (1)(2)上頁(yè)返回下頁(yè)第18頁(yè)/共47頁(yè)2022010)1)(21)(21)(xfxfxf (1) (2),),1()0(ff 注注意意到到則有則有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20

13、 x, 1 , 00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命題成立可知命題成立的任意性的任意性由由 x上頁(yè)返回下頁(yè)第19頁(yè)/共47頁(yè)xy xysin 播放播放1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;上頁(yè)返回下頁(yè)第20頁(yè)/共47頁(yè)播放播放2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)返回下頁(yè)第21頁(yè)/共47頁(yè)思考思考題題利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限30)1(sinlimxxxxexx 上頁(yè)返回下頁(yè)第22頁(yè)/共47頁(yè)思思考考題題解解答答)(! 3! 21332

14、xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx 31 上頁(yè)返回下頁(yè)第23頁(yè)/共47頁(yè)一、一、 當(dāng)當(dāng)10 x時(shí)，求函數(shù)時(shí)，求函數(shù)xxf1)( 的的n階泰勒公式階泰勒公式 . .二、二、 求函數(shù)求函數(shù)xxexf )(的的n階麥格勞林公式階麥格勞林公式 . .三、三、 驗(yàn)證驗(yàn)證210 x時(shí)，按公式時(shí)，按公式62132xxxex 計(jì)算計(jì)算xe的近似值，可產(chǎn)生的誤差小于的近似值，可產(chǎn)生的誤差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使誤

15、差小于近似值，使誤差小于 0.010.01 . .四、四、 應(yīng)用三階泰勒公式求應(yīng)用三階泰勒公式求330的近似值，并估計(jì)誤差的近似值，并估計(jì)誤差. .五、五、 利用泰勒公式求極限：利用泰勒公式求極限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .練練 習(xí)習(xí) 題題上頁(yè)返回下頁(yè)第24頁(yè)/共47頁(yè)一、一、)1()1()1(112nxxxx )1 , 0()1(1)1()1(211 nnnxx. .二、二、)!1(! 232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn. .三、三、645. 1 e. .四、四、5331088. 1,10

16、724. 330 R. .五、五、1 1、121. 2. 2、21. .練習(xí)題答練習(xí)題答案案上頁(yè)返回下頁(yè)第25頁(yè)/共47頁(yè)xy xysin 五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第26頁(yè)/共47頁(yè)xy xysin ! 33xxy o五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第27頁(yè)/共47頁(yè)xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第28頁(yè)/共47頁(yè)xy xysi

17、n ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第29頁(yè)/共47頁(yè)xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第30頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第31頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第32頁(yè)/共4

18、7頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第33頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第34頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第35頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第36頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第37頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第38頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第39頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第40頁(yè)/共47頁(yè)2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第41頁(yè)/共47頁(yè)2 2.