泊松與拉普拉斯方程教材

1、2.3.1 電位函數(shù)電位函數(shù) 一、電位函數(shù)與電位差一、電位函數(shù)與電位差 電位函數(shù)電位函數(shù)0()0E 1) 1) 電位函數(shù)為電場的輔助函數(shù)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；電位函數(shù)為電場的輔助函數(shù)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；2) “2) “”表示電場指向電位減小最快的方向；表示電場指向電位減小最快的方向；3) 3) 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中xyzEeeexyz 引入電位函數(shù)引入電位函數(shù) ：E 可由一標(biāo)量函數(shù)表示?？捎梢粯?biāo)量函數(shù)表示。E關(guān)于電位函數(shù)的討論關(guān)于電位函數(shù)的討論lleel為 增加最快的方向lEel 電位差反映了電場空間中不同位置處電位的變化量。電位差反映了電場空間中不同位置處電位的變化量。 電位差的計(jì)算：電位

2、差的計(jì)算： A B E 電位差（電壓）電位差（電壓）l dEd ABBAABBAl dEl dE)()(zyxzyxedzedyedxezeyexl dE )(dzzdyydxx d 1)1) 意義：意義：A A、B B兩點(diǎn)間的電位差等于將單位點(diǎn)電荷從兩點(diǎn)間的電位差等于將單位點(diǎn)電荷從B B點(diǎn)移動到點(diǎn)移動到A A點(diǎn)過程中電場力所作的功。點(diǎn)過程中電場力所作的功。 2)2) 兩點(diǎn)間電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路兩點(diǎn)間電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)徑無關(guān)關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明電場空間中兩點(diǎn)間電位差為：電場空間中兩點(diǎn)間電位差為：BABAl dE空間中任意點(diǎn)

3、間的電位為：空間中任意點(diǎn)間的電位為：0 P PAAl dE 電位參考點(diǎn)電位參考點(diǎn)顯然，電位函數(shù)顯然，電位函數(shù) 不是唯一確定的，可以加上任意一個(gè)常數(shù)仍表不是唯一確定的，可以加上任意一個(gè)常數(shù)仍表示同一個(gè)電場，即示同一個(gè)電場，即 CC E 設(shè)設(shè)為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，必須選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，必須選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即選參考點(diǎn)選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零令參考點(diǎn)電位為零電位確定值電位

4、確定值( (電位差電位差) )兩點(diǎn)間電位差有定值兩點(diǎn)間電位差有定值1) 1) 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義應(yīng)使電位表達(dá)式有意義 2) 2) 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單 3) 3) 同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn) 4) 4) 電位參考點(diǎn)電位一般為電位參考點(diǎn)電位一般為0 0；選擇電位參考點(diǎn)的原則選擇電位參考點(diǎn)的原則: :二、電位函數(shù)的求解二、電位函數(shù)的求解 點(diǎn)電荷的電位點(diǎn)電荷的電位204rqEer011()4PPQqrr選取選取Q Q點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則0Q若電位參考點(diǎn)若電位參考點(diǎn)Q Q在無窮遠(yuǎn)處，即在無窮遠(yuǎn)處，即Qr 則：則：0( )4qrr點(diǎn)電荷在空

5、間中產(chǎn)生的電位點(diǎn)電荷在空間中產(chǎn)生的電位 說明：若電荷分布在有限區(qū)域，一般選擇無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)說明：若電荷分布在有限區(qū)域，一般選擇無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)QPQPl dE QPrrdreq204RRR dld)11(40QPrrq O q EPQlP體電荷：體電荷：01( )( )4VrrdVcR面電荷：面電荷：0( )1( )4sSrrdScR線電荷：線電荷：0( )1( )4llrrdVcR式中：式中：Rrr說明：若參考點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，則說明：若參考點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，則c=0c=0。引入電位函數(shù)的意義：引入電位函數(shù)的意義： 簡化電場的求解！在某些情況下，直接求解電場強(qiáng)度很困簡化電場的求解！在某些情

6、況下，直接求解電場強(qiáng)度很困難，但求解電位函數(shù)則相對簡單，因此可以通過先求電位函數(shù)，難，但求解電位函數(shù)則相對簡單，因此可以通過先求電位函數(shù)，再再 關(guān)系得到電場解。關(guān)系得到電場解。E 分布電荷體系在空間中產(chǎn)生的電位分布電荷體系在空間中產(chǎn)生的電位電勢電勢(電位）的計(jì)算方法電位）的計(jì)算方法:rdqduu041)利用點(diǎn)電荷的電勢公式和疊加原理利用點(diǎn)電荷的電勢公式和疊加原理2) 根據(jù)已知的場強(qiáng)分布根據(jù)已知的場強(qiáng)分布,按定義來計(jì)算按定義來計(jì)算PPl dEu電勢的計(jì)算例題電勢的計(jì)算例題例例1. 均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢例例2. 均勻帶電球面的電勢均勻帶電球面的電勢例例3.均勻帶電球

7、體的電勢均勻帶電球體的電勢例例4. 電偶極子的電勢電偶極子的電勢ydlRxorxP例例1.半徑為半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢分布。帶電的均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢分布。帶電量為量為q, p點(diǎn)離圓心距離為點(diǎn)離圓心距離為x.而電荷元而電荷元則電荷線密度則電荷線密度Rq2dldq其在其在p點(diǎn)產(chǎn)生點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為的電勢為rdldu04則則LduuLdlr04Rr240rq042204xRq例例2.半徑為半徑為R的均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢分布。的均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢分布。解：解：以以O(shè)為圓心，取半徑為為圓心，取半徑為LL+dL的薄圓環(huán)，的薄圓環(huán)，到到P點(diǎn)距離點(diǎn)距離P點(diǎn)電勢：點(diǎn)電勢：OLdL22

8、LxrrqUd041 RLxLL0220241d )(xxR2202 pxR帶電帶電dq= ds= 2 L dL 由高斯定理知，電場分布為由高斯定理知，電場分布為R解：解： 例例3. 求一均勻帶電球面內(nèi)外的電勢分布。求一均勻帶電球面內(nèi)外的電勢分布。P.ERr 0Rrrqo241 1.當(dāng)當(dāng)r R 時(shí)時(shí)rVrEdrq041VRrRq041Rrrqo41rRq041rrqrd2041.Pr電勢分布曲線電勢分布曲線場強(qiáng)分布曲線場強(qiáng)分布曲線EVRRrrOO結(jié)論：結(jié)論：均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢等于球表面的電勢，均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷的電勢。球外的

9、電勢等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷的電勢。204RqRq042 r1 r 由高斯定理知，電場分布為由高斯定理知，電場分布為R解：解： 例例4. 求一均勻帶電球體內(nèi)外的電勢分布。求一均勻帶電球體內(nèi)外的電勢分布。P.ERrRqr304Rrrqo24 1.當(dāng)當(dāng)r R 時(shí)時(shí)rVrEdrq041VRrRrRq30228)3(Rrrqo41r30228)3(RrRqrrqrd2041.Pr 例例5. 求一均勻帶電同心球面的電勢分布。半徑為求一均勻帶電同心球面的電勢分布。半徑為R1和和R2,所帶電荷為所帶電荷為q1和和q2。oR2R1q1q2 解：均勻帶電球面的電勢分布解：均勻帶電球面的電勢分布VRrRq0

10、41Rrrqo41122110)(41RrRqRq1V1014Rq2024Rq212210)(41RrRRqrq2Vrq0142024Rq20214)(Rrrqq3Vrq014rq024 無限長線電荷的電位無限長線電荷的電位 EPQP02lrEer0(lnln)2lPQPrr 電位參考點(diǎn)不能位于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，否則表電位參考點(diǎn)不能位于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，否則表達(dá)式無意義。選擇有限遠(yuǎn)點(diǎn)達(dá)式無意義。選擇有限遠(yuǎn)點(diǎn)Q Q作為參考點(diǎn)。作為參考點(diǎn)。 根據(jù)表達(dá)式最簡單原則，選取根據(jù)表達(dá)式最簡單原則，選取r=1r=1柱面柱面為電位參考面，即為電位參考面，即1Qr 得：得：0ln2lPPr 無限長線電流在空間中產(chǎn)生的電位無限長

11、線電流在空間中產(chǎn)生的電位 QPrrldrr 021PQlrrln20 2.3.2 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運(yùn)算見附錄。柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運(yùn)算見附錄。 標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2222222uuuuxyz 矢量場的拉普拉斯運(yùn)算矢量場的拉普拉斯運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2222xxyyzzFeFeFeF對標(biāo)量場的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：對標(biāo)量場的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：2“”式中：式中：稱為拉普拉斯算符。稱為拉普拉斯算符。uu2)()(2F

12、FF22222211zrrrrr 在圓柱坐標(biāo)系中：在圓柱坐標(biāo)系中：22222222sin1)(sinsin11 rrrrrr在球坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：一、靜電場電位方程的建立一、靜電場電位方程的建立即：即：20/ 電位的泊松方程電位的泊松方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，20電位的拉普拉斯方程電位的拉普拉斯方程0二、電位方程的應(yīng)用二、電位方程的應(yīng)用可用于求解靜電場的邊值問題?？捎糜谇蠼忪o電場的邊值問題。 0 E0E 例例. 同軸傳輸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑同軸傳輸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑 外導(dǎo)體半徑外導(dǎo)體半徑, ar , br 已知內(nèi)導(dǎo)體的電位為已知內(nèi)導(dǎo)體的電位為U0，外導(dǎo)體接地。，外導(dǎo)體接地。試求同軸傳輸線內(nèi)的電位

13、和電場分布。試求同軸傳輸線內(nèi)的電位和電場分布。ab 解：線內(nèi)電位滿足拉普拉斯方程解：線內(nèi)電位滿足拉普拉斯方程0)(12 rrrr 且邊界條件：且邊界條件：. 0,;,0 brUar 根據(jù)方程有：根據(jù)方程有：rCr1 drrCd1 drrCd1 積分后有：積分后有：21lnCrC 加入邊界條件：加入邊界條件：. 0,;,0 brUar0ln21 CbCbCCln12 021lnUCaC baUCln01 于是：于是：brbaUlnln0 abrUaErln0 1 1、場源積分法、場源積分法積分困難，對大多數(shù)問題不能得出解析解。積分困難，對大多數(shù)問題不能得出解析解。2 2、應(yīng)用高斯定理求解、應(yīng)用高

14、斯定理求解只能應(yīng)用于電荷成對稱分布的問題。只能應(yīng)用于電荷成對稱分布的問題。3 3、間接求解法、間接求解法先求解空間電位分布，再求解空間電場。先求解空間電位分布，再求解空間電場。 在實(shí)際工程應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值在實(shí)際工程應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值問題的求解。問題的求解。小結(jié)：求空間電場分布的方法小結(jié)：求空間電場分布的方法qqpl電偶極子是一種非常重要的物理模型電偶極子是一種非常重要的物理模型電偶極矩（電矩）電偶極矩（電矩）l qp(方向由負(fù)電荷指向正電荷方向由負(fù)電荷指向正電荷) 偶極子偶極子電介質(zhì)電介質(zhì)( (中性分子中性分子) )就可以作一個(gè)電偶極就可以作一

15、個(gè)電偶極子等效。此即電介質(zhì)的電偶極子模型子等效。此即電介質(zhì)的電偶極子模型。1 1、電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。、電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。二、電偶極子激發(fā)的靜電場二、電偶極子激發(fā)的靜電場2 2、電偶極子延長線上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。、電偶極子延長線上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解（解（1）r)4/(22lrqlPq電偶極矩（電矩）電偶極矩（電矩）+Pl EE041EE2cos)4/(412220lrq2/122)4/(2/lrl2/3220)4/(41lrqlP+qq2/ l2/ lEEE用矢量形式表示為：用矢量形式表示為：若若 rl2/32204/r41)(lPE3rPE041qq2/ l2lArOxEE解解(2)ilrqE20)2( 41ilrqE20)2( 41ilrrlqEEE222)4(240 lr irlqE302 41302 41lp求電偶極子求電偶極子 在空間中產(chǎn)生的電位和電場。在空間中產(chǎn)生的電位和電場。pql O qqrr( , ,)P r l分析：電偶極子定義分析：電偶極子定義 解：取無限遠(yuǎn)處