材料力學(xué)第12章

1、第十二章 壓桿的穩(wěn)定性12.1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念12.2 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力12.3 其他約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力其他約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力12.4 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖12.5 壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算12.6 折減系數(shù)法折減系數(shù)法 12.7 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施12.1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿能否保持原有的直線平衡狀態(tài)的問(wèn)題壓桿能否保持原有的直線平衡狀態(tài)的問(wèn)題稱(chēng)為稱(chēng)為壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性問(wèn)題。問(wèn)題。干力擾(c)ljpp 壓桿喪失其原有的直線平衡狀態(tài)而過(guò)渡為微彎平衡狀態(tài)的現(xiàn)象，稱(chēng)為失

2、穩(wěn)失穩(wěn)。 壓力P的極限值 稱(chēng)為臨界壓力臨界壓力或臨界力臨界力。ljP(b)干力擾干力擾干力擾干力擾(a)12.2兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力ylppxxv如圖所示壓桿，取直角坐標(biāo)系如圖如圖所示壓桿，取直角坐標(biāo)系如圖距離原點(diǎn)為距離原點(diǎn)為x x的任意橫截面的撓度為的任意橫截面的撓度為v v，彎矩為彎矩為MPv （a）壓力P取絕對(duì)值。桿的撓曲線近似微分方程為 （b）令 ，則式（b）可以寫(xiě)成為22d vPvdxEI 2PkEI2220d vk vdx（c）此微分方程的通解是sincosvakxbkx （d）邊界條件 a.代入（d）式有b=0 ， （e） b. v(l) = 0代

3、入（e）式可得sincosvakxbkxsinvakxv( 0 ) = 0sin0akl （f） 由（e）式若 則知 ，即壓桿軸線上各點(diǎn)的撓度均等于零。這與壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡相矛盾，只能要求 。滿(mǎn)足這一條件的值應(yīng)該為 ，其中 由此得 或 （g）0a 0v sin0kl kln0,1,2,nPnkEIl222nEIPlsin0akl 當(dāng) 時(shí) ，無(wú)意義，故取 時(shí)才使 為最小值。于是求得細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力為: （12-1）這就是兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力的計(jì)算公式，稱(chēng)為歐拉公式歐拉公式。0n 1n 0P 22ljEIPlP力學(xué)家和材料力學(xué)史力學(xué)家和材料力學(xué)史Leonhard Euler （170

4、7-1783） Euler，瑞士人，數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。在數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)分析、變分法、拓?fù)鋵W(xué)）和力學(xué)（固體力學(xué)、剛體動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)）的許多領(lǐng)域都有著開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。力學(xué)家和材料力學(xué)史力學(xué)家和材料力學(xué)史Leonhard Euler （1707-1783） Euler 在在 1744 年出版年出版的專(zhuān)著中，對(duì)柱的屈曲的專(zhuān)著中，對(duì)柱的屈曲問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。 他以驚人的毅力和他以驚人的毅力和頑強(qiáng)的精神，克服重重頑強(qiáng)的精神，克服重重困難，堅(jiān)持科學(xué)研究。困難，堅(jiān)持科學(xué)研究。力學(xué)家和材料力學(xué)史力學(xué)家和材料力學(xué)史 他是迄今為止世界他是迄今為止世界上最為多產(chǎn)的科學(xué)家。上最為多產(chǎn)的科學(xué)家。他一生

5、的著述多達(dá)八百他一生的著述多達(dá)八百余件。在他去世后，俄余件。在他去世后，俄國(guó)科學(xué)院花了四十七年國(guó)科學(xué)院花了四十七年的時(shí)間，陸續(xù)出版了他的時(shí)間，陸續(xù)出版了他遺留下來(lái)的大量文稿。遺留下來(lái)的大量文稿。Leonhard Euler （1707-1783） 臨界壓力臨界壓力 與壓桿的抗彎剛度與壓桿的抗彎剛度 成正比，成正比，而與桿長(zhǎng)而與桿長(zhǎng) 的平方成反比。這就是說(shuō)，桿愈細(xì)的平方成反比。這就是說(shuō)，桿愈細(xì)長(zhǎng)，其臨界壓力愈小，桿件就愈容易失穩(wěn)。長(zhǎng)，其臨界壓力愈小，桿件就愈容易失穩(wěn)。在此臨界壓力的作用下，在此臨界壓力的作用下， ，將其代，將其代入（入（e e）式可得）式可得 （h） ljPEIlklsinaxl

6、上式說(shuō)明，兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線是一條半波的正弦曲線。若令 ，將其代入(h)式可得可見(jiàn) 是壓桿中截面的撓度。2lx 12sin2xlaala12.3 12.3 其他約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力其他約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力對(duì)于其他約束情況下的細(xì)長(zhǎng)壓桿對(duì)于其他約束情況下的細(xì)長(zhǎng)壓桿 （12-212-2） 為不同約束條件下壓桿的為不同約束條件下壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)長(zhǎng)度系數(shù)， 為為相當(dāng)長(zhǎng)度相當(dāng)長(zhǎng)度。22()ljEIPll一端自由，一端固定一端自由，一端固定 2.0一端鉸支，一端固定一端鉸支，一端固定 0.7兩端固定兩端固定 0.5兩端鉸支兩端鉸支 1.0例例一端固定，一端自由的圓截面鑄鐵立柱l=3m，d

7、=0.2m，E=120GPa。試由式（12-2）計(jì)算立柱的臨界壓力解解 立柱的長(zhǎng)度系數(shù) ，而截面慣性矩故臨界壓力為244540.27.85 106464dIm29523.141.20 107.85 102580(2 3)kN22()ljEIPl12.4 臨界應(yīng)力總圖一、臨界應(yīng)力與柔度一、臨界應(yīng)力與柔度臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力，用 表示。 (a) 引入截面的慣性半徑 可以得到 (b)22()ljljPEIAlA22()ljEli/iI Alj引用記號(hào) （12-3）臨界應(yīng)力的公式（b）可以寫(xiě)為 （12-4）式中的是一個(gè)無(wú)量綱的量，稱(chēng)為壓桿的柔柔度度或長(zhǎng)細(xì)比長(zhǎng)細(xì)比。li22ljE二、歐拉公式的適用范圍二、歐

8、拉公式的適用范圍歐拉公式的適用條件為 （c）引用記號(hào) （12-5）歐拉公式的適用條件（c）可以寫(xiě)成為 （12-6）這一類(lèi)壓桿稱(chēng)為大柔度壓桿大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿細(xì)長(zhǎng)壓桿22ljpEppEp三、超過(guò)比例極限的臨界壓力三、超過(guò)比例極限的臨界壓力工程中的壓桿的臨界應(yīng)力超過(guò)了比例極限，不能用歐拉公式來(lái)計(jì)算，一般采用以實(shí)驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)確定其臨界應(yīng)力， (12-7）式中的a和b是與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù) ljab塑性材料制成的壓桿 或 （d）引用記號(hào) （12-8a）對(duì)于脆性材料制成的壓桿 （12-8b）于是（12-7）式的適用條件為 （或 )。這類(lèi)桿件稱(chēng)為中柔度壓桿中柔度壓桿或中長(zhǎng)壓桿中長(zhǎng)壓桿。l

9、jsabsabssabbbabspbp四、臨界應(yīng)力總圖四、臨界應(yīng)力總圖 將三種柔度范圍 內(nèi)壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的關(guān)系在直角坐標(biāo)系中繪出，所得到的圖線稱(chēng)為壓桿的臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖，圖為塑性材料的臨界應(yīng)力總圖。ljABCDOpssplj2Elj2lja b ljs五、拋物線公式及其臨界應(yīng)力總圖五、拋物線公式及其臨界應(yīng)力總圖 臨界應(yīng)力超過(guò)比例極限時(shí)的拋物線公式是把反映臨界應(yīng)力 與柔度表示成如下的拋物線關(guān)系 我國(guó)自己通過(guò)實(shí)驗(yàn)建立的拋物線公式為 （12-9）對(duì)常用的結(jié)構(gòu)用鋼A2、A3、16錳鋼 （12-10）為材料的屈服極限。lj211ljab21() ljscc0.430.57csEs例例 兩端

10、固定的受壓的桿件，橫截面形狀分別采用矩形和圓形，截面面32102mm2。分別計(jì)算兩種情況下的臨界載荷。p3m解解 （1）矩形截面 由 ， 得 截面的最小慣性半徑:22232 10Abbmm40bmmminIiA321211.55212b bbmmb bb2b壓桿柔度 壓桿為細(xì)長(zhǎng)桿30.5 3 10129.911.55pli 22ljljEPAA29262210 1032 1010129.93393 10 Np3mb2b（2）圓形截面由 得 截面慣性半徑22232 104dAmm63.8dmmIiA42644dd15.954dmmp3mb2b壓桿柔度壓桿為中長(zhǎng)桿liljljPA30.5 3 10

11、9415.95p 6263(304 1.12 94) 1032 1010636 10 N()abAp3mb2b壓桿的穩(wěn)定條件為 （12-11a）或使用安全系數(shù)表示 （12-11b）式中，n為壓桿的工作安全系數(shù) nw為規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)。ljwPPnljwPnnP12-5 壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算 幾種鋼制桿nw的參考值。金屬結(jié)構(gòu)中的壓桿 nw=1.83.0機(jī)床的絲桿 nw=2.54.0低速發(fā)動(dòng)機(jī)的挺桿 nw=46磨床油缸的活塞桿 nw=46起重螺旋桿 nw=3.55壓桿的穩(wěn)定計(jì)算包括壓桿的穩(wěn)定校核、截面設(shè)計(jì)、確定許用載荷三個(gè)方面。一般設(shè)計(jì)中往往先按強(qiáng)度估算，初步確定壓桿截面尺寸，再校核

12、其穩(wěn)定性。 壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的一般過(guò)程為：根據(jù)壓桿實(shí)際尺寸和桿端的約束情況，計(jì)算各彎曲平面內(nèi)柔度 。然后根據(jù)最大柔度確定臨界壓力的計(jì)算公式，最后進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算。例例 蒸汽機(jī)的活塞桿受到蒸汽壓力P=120KN，桿長(zhǎng)度180cm，E=210Gpa， nw8，設(shè)計(jì)活塞桿的直徑d。240pMPalABppp解:設(shè)壓桿為細(xì)長(zhǎng)桿解得：P=120KN nw8L=180cm E=210Gpa240pMPa22()ljEIPl924210 10264(1 1.80)d3960 10ljWPPn3120 1083960 10960NNd 32439960 101.8640.07474210 10mmmlABppp柔度

13、為：再由公式（12-5）因 ，說(shuō)明上面應(yīng)用歐拉公式進(jìn)行的試 算是正確的。P=120KN nw8L=180cm E=210Gpa240pMPali2ppEp/4ld1 180097.374/4296210 10240 1092.9lABppp12.6 折減系數(shù)法折減系數(shù)法用壓桿的橫截面積A去除式（12-13a）的兩端，得 或 （a） 記 （b）于是穩(wěn)定性條件以應(yīng)力的形式表示為 （c） ljWPPAAnljWnljWWnW在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中規(guī)定將 表示為（d）通過(guò)引用折減系數(shù) ，應(yīng)力形式的穩(wěn)定條件則可表示為 （12-12） PA ( )W W選定截面形式和支承形式選定截面形式和支承形式預(yù)選預(yù)選 0 =

14、0.5計(jì)算截面面積計(jì)算截面面積 ) (00FA 由面積由面積 A0 確定相應(yīng)尺寸，并計(jì)算慣性矩確定相應(yīng)尺寸，并計(jì)算慣性矩計(jì)算柔度計(jì)算柔度 根據(jù)柔度根據(jù)柔度 查表得值查表得值 1 1 0 小于規(guī)定值嗎小于規(guī)定值嗎？( 1+ 0 )/2 0后續(xù)計(jì)算后續(xù)計(jì)算結(jié)束結(jié)束折減系數(shù)法設(shè)計(jì)折減系數(shù)法設(shè)計(jì)壓桿尺寸的流程壓桿尺寸的流程解解:由于截面未確定，在穩(wěn)定條件A和 均為未知量，故只能用試算法來(lái)確定壓桿的截面。 一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長(zhǎng)l=1.5m，材料為A3鋼，=160MPa試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號(hào)。 PA 假設(shè)截面: 查型鋼表，選截面與其接近的22b工字鋼，其截面積和慣性

15、半徑為例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長(zhǎng)l=1.5m，材料為A3鋼，=160MPa，試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號(hào)。10.51 PA 246.4Acmmin2.27icm36350 100.5 160 10243.8cm按所選型號(hào)進(jìn)行穩(wěn)定核算查表12-3，并插值得壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力 為例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長(zhǎng)l=1.5m，材料為A3鋼，=160MPa，試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號(hào)。2 150132.22.27li10.39WW21 0.39 16062.4/MN m 工作應(yīng)力是工作應(yīng)力比穩(wěn)定許用應(yīng)力大許多，應(yīng)進(jìn)行第二次選擇。第二次可取

16、例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長(zhǎng)l=1.5m，材料為A3鋼，=160MPa，試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號(hào)。3350 10275.4/446.4 101PMN mA11()(0.5 0.39) 0.4422211再由穩(wěn)定條件得截面查表選用25b號(hào)工字鋼，進(jìn)行穩(wěn)定核算：3350 10249.76 20.44 160 10PAcm 例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350kN桿長(zhǎng)l=1.5m，材料為A3鋼，=160MPa，試用折減系數(shù)法選擇工字鋼的型號(hào)。253.5Acmmin2.404icm2 150124.82.404li由此柔度查表12-3，并插值得穩(wěn)定許用應(yīng)力為工作應(yīng)力此選用則安全。20.4353350 10265.4/453.5 102PMN mA例例:一端固定,一端自由的壓桿受軸向壓力P=350k