(完整word版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料要點(diǎn)總結(jié)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提要 第一章隨機(jī)事件與概率1.事件的關(guān)系A(chǔ)uB AuB AB A B A。* AB=*2 .運(yùn)算規(guī)則(1)AB = B A AB = BAz B2C = A.(BuC)(AB)C = A(BC)(Al> B)C =(AC2(BC)(AB)" =(Al>C)(B.C)23(4)=AB3. 概率P(A)滿足的三條公理及性質(zhì):(1)0<P(A)<1(2) pg)=1對(duì)互不相容的事件Al, A2 ,，An ,有 P(U Ak) =£ P(Ak) ( n可以取 K ) k 二kAP伸)=0(5) P(A)=1 - P(A)P(A-B) =

2、P(A) -P(AB)，若 Au B，貝U P(B - A) = P(B) - P(A)，P(A) < P(B)P(A B) = P(A) + P(B) -P(AB)(8)P(A. BuC) =P(A) +P(B) + P(C) -P(AB) -P(AC) -P(BC)+ P(ABC)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 幾何概率6. 條件概率)定義：若 P(B)>0,則P(A|B)=鵲(2) 乘法公式：P (AB) = P(B) P(A|B)若Bi,B2,Bn為完備事件組，P (Bi) aO，則有(3) 全概率公式:nP(A) =2 P(Bi)P(A|Bi)i 二1(4) B

3、ayes 公式:P(Bk) P(A|Bk)P(Bk |A)= n送 P(Bi )P (A|Bi)7.事件的獨(dú)立性：A,B獨(dú)立二P(AB) = P(A)P(B)(注意獨(dú)立性的應(yīng)用)第二章隨機(jī)變量與概率分布1.離散隨機(jī)變量：取有限或可列個(gè)值，P(X =Xi)= Pi滿足(1)Pi>0 ,(2)送Pi=1i(3)對(duì)任意D匚R, P(X壬D) = S Pji：XiB-be2.連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù)f(x)，滿足(1) f(x)>0, J f(x)dx = 1 ；b(6)對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量,5.正態(tài)分布的概率計(jì)算(2) P(a <X <b) = a f(x)dx ； (3)對(duì)

4、任意 a壬 R, P(X=a)=03.幾個(gè)常用隨機(jī)變量名稱與記號(hào)分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布B(1, P)P(x =1) = P , P(X =0) = q =1 - PPpq二項(xiàng)式分布B(n, P)P(X =k)=C：pkqn±,k=0,12n ,npnpqPoisson分布P仏)P(X =k) =ef,k =0,1,2, k!AA幾何分布G(p)P(X =k) =qk°p, k =1,2，1Pq2P均勻分布U (a,b)1f(X)=, a < X < b ,b aa + b2(b-a) F(亠)=0, F(畑)=1;(2)單調(diào)非降；(3)右連續(xù);(4)

5、P(a CX <b) = F(b)-F(a)，特別 P(X >a) =1-F(a);(5)對(duì)離散隨機(jī)變量,F(x) = Lf(t)dt為連續(xù)函數(shù)，且在f(x)連續(xù)點(diǎn)上，F(xiàn) (x)= f (X)tr以(X)記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)的分布函數(shù)，則有2 x-P (1 )0 (0) =0.5； (2)(X)=1 (X)； (3)若 X -)，則 F(x) =e()；12指數(shù)分布E(Qf (X)= Ze -勺 X 3 0丄丄正態(tài)分布N(巴CT2)1f(x)L e 2&kc 24.分布函數(shù)F(x) =P(X <x)，具有以下性質(zhì)(4)以Ua記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)的上側(cè)a

6、分位數(shù)，則P(X=a =1 -(uj6.隨機(jī)變量的函數(shù)Y= g(X)(1)離散時(shí)，求丫的值，將相同的概率相加;(2 ) X連續(xù)，g(x)在X的取值范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則fY(y) = fx(g(y)l(g(y)' 1，若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.期望(1)離散時(shí)E(X) =2 Xi Pi , E(g(X) =2ig (Xi)Pi ；連續(xù)時(shí)E(X)=J xf(x)dx, E(g(X)J g(x)f (x)dx ；二維時(shí)E(g(X,Y) =5： g(Xi,yj)Pj ,i ,jE(g(X, YXtXgZmxydxdy(4)E(C) =C ；(

7、5)E(CX) =CE(X)；(6)E(X + Y) =E(X) +E(Y)；(7)X,Y 獨(dú)立時(shí)，E(XY) =E(X)E(Y)2.方差(1) 方差 D(X) =E(X -E(X)2 =E(X2) -(EX)2，標(biāo)準(zhǔn)差 cr (X) = JD(X)；(2) D(C) =0, D(X +C) =D(X)；(3) D(CX) =C2D(X)；(4) X,Y 獨(dú)立時(shí)，D(X + Y)=D(X) + D(Y)3.協(xié)方差(1)Cov(X,Y) =E(X -E(X)( Y- E( Y) =E(X Y)-E(X)E(Y)；Cov(X,Y) =Cov(Y,X), Cov(aX,bY) =abCov(X,Y)

8、；Cov(X1 +X2,Y) =Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y);Cov(X,Y) =0時(shí)，稱X,Y不相關(guān)，獨(dú)立=不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時(shí)等價(jià);D(X +Y) = D(X) +D( Y) +2Cov(X, Y)4.相關(guān)系數(shù)P xy =C°V(X,Y);有 I Pxy 1 , I Pxy 1=1=至,b, P(Y =aX +b) =1cr(X)cr( Y)kk5. k階原點(diǎn)矩Vk=E(X ) , k階中心矩4k=E(X-E(X)D(X)或 P| X -E(X) |<£ >1- D(X)第五章 大數(shù)定律與中心極限定理Chebyshev不等式P| X -

9、E(X)|Kg <2z2.3.大數(shù)定律中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量Xi,X2，Xn獨(dú)立同布 E(Xi)十 D(Xi)"Xi近以N(n巴nb2),或Iz Xi近以NW,.) 近似n i斗近似nnZ Xi -nA近似 N(0,1)，設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，P(A) = P ,則對(duì)任意lim Pm nP-蘭 x =e(x)或理解為若 X B(n, p)，則ynpqX 近似 N(np，npq)第六章樣本及抽樣分布1 .總體、樣本(1) 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布(注意樣本分布的求法)(2) 樣本數(shù)字特征：1 n樣本均值X =-£ Xin y(E(Xi，D(

10、X)樣本方差 s2 =nZ (Xi -X)2(n 1 i 壬) 樣本標(biāo)!1 n ST2(Xi-X)2-X)k樣本k階原點(diǎn)矩Vk =丄5： Xik，樣本k階中心矩n y2統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)3三個(gè)常用分布(注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點(diǎn)定義)(12分布Z2 =X12 +X； +x2 /2(n),其中X1 ,X2 " ,Xn獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)，若 X X2(n 1), YX2(n2)且獨(dú)立，則 X +Y "(m +門2)；X2t分布 t=t(n)，其中 X N(0,1), Y-Z (n)且獨(dú)立; 寸Y/nF分布F =乞土Y/n2性質(zhì)1F F(

11、n2,nJ5("2)飛(n2,n1)-F（ni,n2），其中X /2（nJ,Y ，（啓）且獨(dú)立，有下面的4. 正態(tài)總體的抽樣分布X N (比 b2 / n)；(2)丄Z (Xi 4)2 72(n);(n -1)S22Q- Z2(n-1)且與X獨(dú)立;(4) t=(n-1)；s/jn(n 1-1)S2 +(n 2-1)&ni + n2 -2t=（X Y）（已士）匹 5+門2-2）, S；2第七章參數(shù)估計(jì)1 .矩估計(jì)：（3）解方程求出矩估計(jì)（1）根據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)求總體的矩；（2）令總體的矩等于樣本的矩；2.極大似然估計(jì)：（1）寫出極大似然函數(shù)；（2）求對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)（3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)

12、數(shù)；（4）令導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為0,解出極大似然估計(jì)（如無(wú)解回到（1）直接求最大值，一般為minxj或maxxi）3.估計(jì)量的評(píng)選原則（1）無(wú)偏性：若E（=0，則為無(wú)偏；（2）有效性：兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)中方差小的有效;4.參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（正態(tài)）參數(shù)條件估計(jì)函數(shù)置信區(qū)間a2b已知X-4 仁/需-crx Uq 廠"2 V nb2未知t - X- s/ vn-Xsx ta(n - D L -/nb2卩未知/2 (n -1)s2CT2(nT)s2 (n-1)s2 力日匕心)2 2復(fù)習(xí)資料一、填空題（15分） 題型一：概率分布的考察【相關(guān)公式】（P379）分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望（E）方差（D）（

13、0 1 ）分 布0 C P c1P X =k= pk(1 -p y上，k=0,1PP(1-P)二項(xiàng)分布n >10 c p c1P X = k=k =0,1,fn',npk(1- p嚴(yán)，npnp(1- P)負(fù)二項(xiàng)分布r >10 c p c1PX =k= k =r, r +1,IJp r(1-P)Jr"pr(1 P)2 p幾何分布0 c p c1P =x =k=(1-p)kpk =1,2,1P1-pp2超幾何分布N,M ,a (M <N) (n <N)<M討Px=k = lkk為整數(shù)，max =(飛-M j-k丿 叫<k丿),n-N + M&l

14、t;knMN<mi nn ,MnM 匚 M Yn - n ) nJ n人n -1丿泊松分布Z >0k 人eP X =k=k!k =0,1,2,Zz均勻分布a <b1r, a c X c bb-a* f(x) =10,其他a +b2(b-a)212【相關(guān)例題】11、設(shè) xLlu（a,b），E（X）=2，D（Z）=，則求 a，b 的值。31解：X L U(a,b),E(X) =2,D(X),根據(jù)性質(zhì):3a+b(b-a)2 1.仝上=2,w e =-,a<b2123解得：a=1,b=3.2、已知 X|Jb(n,p), E(X) =0.5,D(X) =0.45,則求 n, p

15、的值。解：由題意得：np = 0.5,np(1- P)= 0.45 解得：P = 0.1.題型二：正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)【相關(guān)公式】(P163)CT2為已知，由樞軸量“二，得到卩的一個(gè)置信水平為1或的置信區(qū)間:0 M/n【相關(guān)例題】1、(樣本容量已知)已知總體X N(巴0.81),Xi,X2,X25為樣本,且X =5,則卩的置信度0.99的置信區(qū)間為：解：代入公式得：(-CT y (0.9)!X+-Z 婕2= 5±一Z0.025I 麻八 5 丿=(5 ± 0.181.96) = (4.6472,5.3528)2、(樣本容量未知)已知XQ N(巴1),X1,X2,X3,

16、Xn為樣本容量，若關(guān)于卩的置信度0.95的置信區(qū)間(10.88,18.92)， 求樣本容量.解：由題意知：樣本長(zhǎng)度為 7.84，則有:f、 Q-X + 了 ZqV 血2丿bZg =7.84= 7Zg=3.922 丿V n 2代入數(shù)據(jù)，得：麻=2二n =4.題型三：方差的性質(zhì)【相關(guān)公式】(P103)(1 )D(C) =0,C 為常數(shù)。(2) D(CX) =C D(X),D(X+C) = D(X), c為常數(shù)。(3) X,Y相互獨(dú)立，D(X +Y) =D(X)+D(Y)【相關(guān)例題】1、已知 X1, X2兩變量，且 X1 Lu(2,4), X2N(0,9),相互獨(dú)立，求D(X2X2).解：7XiU(

17、2,4),X (0,9)二 D(X1 -2X2)=D(X1) +4D(X2)="(+4x9 = 361123題型四：t分布、工2分布的定義【相關(guān)公式】(P140、P138)(1設(shè)X (0,1),Y /2(n),且X, Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量t恰 M n服從自由度為n的t分布，記為tLt(n).曰.2+ +Xnn的Z2分布,記為/ 2L X2( n)(2設(shè)X1,X2, X3,，Xn是來(lái)自總體N(0,1)的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量 /X12 +x|服從自由度為【相關(guān)例題】X1、若X lgoyMs)，且乂丫相互獨(dú)立，而n?302、若變量X1,X2,X3,X30服從N(0,1)，則送XL?30答：

18、X2L /2(30).i 1題型五：互不相容問(wèn)題 【相關(guān)公式】(P4)若ACB =0,則稱事件A與事件B是互不相容的。【相關(guān)例題】 1、若P(A)=0.6,A,B互不相容,求P(AB).解：7 A B互不相容二 ACB =0二 P(AB) =P(A(S-B) = P(A-AB) =P(A) =0.6二、選擇題(15分)題型一：方差的性質(zhì)【相關(guān)公式】（見上，略）【相關(guān)例題】（見上，略）題型二：考察統(tǒng)計(jì)量定義（不能含有未知量） 題型三：考察概率密度函數(shù)的性質(zhì)（見下，略） 題型四：和、乘、除以及條件概率密度（見下，略） 題型五：對(duì)區(qū)間估計(jì)的理解（P161） 題型六：正態(tài)分布和的分布【相關(guān)公式】（P1

19、05）【相關(guān)例題】若X N(0,2),Y N(3,9),貝9(X +Y ) ?答：N(0+3,2+9) =N(3,11).題型七：概率密度函數(shù)的應(yīng)用【相關(guān)例題】2x,0 <x c10,其他已知 PX >a = PX ca,則求a。解：由題意，得：1-PX <a =PX ca /. PX ca弓即有：a2xdx = x2 |：=丄P2又；a0/. a = 一2三、解答題（70分）題型一：古典概型：全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用。 【相關(guān)公式】全概率公式：設(shè)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為S, A為E的事件，B, B2,Bn為S的劃分，且P(Bi)>0,則有：P(A尸P(A|Bi )P(B

20、i) + P(A|B2 尸(B2 )+?+ P(A|Bn )P(BJ 其中有：P(B|。P(A)特別地：當(dāng)n=2時(shí)，有：P(A) = P(A|B)P(B) +P(A| B)P(B).貝葉斯公式：設(shè)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為So A為E的事件,Bi，B2，Bn為S的一個(gè)劃分，且P(A):>0,P(Bi)0(i =1,2,n),則有：P(Bi|A)=PP(A)P( A|Bi) P(Bi) SnjP (A|B) P(Bi)特別地：當(dāng)n=2時(shí)，有：P(B|A)= P(AB)P(A|B) P(B)P(A)P(A|B )P (B) + P(A|B) P(B)元件制造廠次品率提供原件的份額10.020.152

21、0.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)分標(biāo)志。問(wèn)：(1) 在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取一只元件，求它的次品率；(2) 在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)抽取一只元件，為分析此次品出自何廠，需求出此次品有三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少，試求這些概率。(見下)【相關(guān)例題】 1、P19 例 5某電子設(shè)備制造廠設(shè)用的元件是有三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù):解：設(shè)A= 取到一只次品, B= 在 i廠取到產(chǎn)品（i =1,2,3）.且B1、B2、B3是S的一個(gè)劃分。則由全概率公式有：P(A) = P(A|B1 )P (B1) +P( A|B2)P(B2)+ P( A|B3)P(B3)=

22、 0.02 xO.15 +0.01 xO.80 +0.03x0.05= 0.0125(2)由貝葉斯公式有：P(B3|A) =P(A)"0.0125P(A|B2)P(B2)0.01x0.80P(A)0.0125P(A|B3)P(B3)0.03x0.05P(B2|A) = 0.64P(B1|AH P(A|B1)P(B1)o.02".15=0.12 P（A）0.0125答：綜上可得，次品出自二廠的可能性較大。= 0.24，在袋中任意取一枚,，本題即求P（ A| B），得:2、袋中裝有m枚正品硬幣，n枚次品硬幣（次品硬幣兩面均有國(guó)徽） 將他擲r次，已知每次都得到國(guó)徽，問(wèn)這枚硬幣是正

23、品的概率是多少？解：設(shè)A=所拋擲的硬幣是正品，B=拋擲r次都得到國(guó)徽“ L m n1P(A)=, P(A) =, P(B|A)=, P(B|A)=1.P(B|A) P(A)1 m2r £ + n1 m n十2r m + n m + nm +nm + n2即有：P (A|B )= P (AB)=-P(B) P(B| A) P(A) + P(B|A) P(A)3、設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸?shù)哪撤N物品損壞的情況共有三種：損壞2% （這一事件記為 A1），損壞10% （這一事件記為 A2），損壞90% （這一事件記為 A3），且知P（A1） =0.8，P（ A2） =0.15，P

24、（A3） =0.05.現(xiàn)在從已經(jīng)運(yùn)輸?shù)奈锲分须S機(jī)取3件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為 B ），試求P（A | B）, P（A | B）, P（A | B）（這里物品件數(shù)很多，取出一件后不影響 取后一件是否為好品的概率）。（見下）解：由題意可知：P(B| A) =0.983,卩9|人)=0.93, P(B|A3) =0.13P(A) =0.8 ,P (A2) =0.15 ,P (A3) =0.05P(B)= P(B|A) P(A) + P(B|A2)P(A2)+ P(B|A3)P(A3) = 0.983 x0.8+0.93x 0.15+ 0.13x 0.05= 0.8624P(A1|B2 P

25、A)P(A<0.983".8 =0.87310.8624P (B)P(A2|B) =0.1268P(A3| B 0.00014、將A、B、C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸出其他字母的概率都是(1-a)/2.今將字母串 AAAA、BBBB、CCCC之一輸入信道，輸入AAAA、BBBB、CCCC 的概率分別為 p1、p2、p3 ( p1+ p2+p3=1 / ,已知輸出為 ABCA。問(wèn)輸入 AAAA的概率是多 少？(設(shè)信道傳輸各字母的工作是相互獨(dú)立的。/解：設(shè)A=輸入為AAAA , B=輸入為BBBB, C=輸入為CCCC , D=輸出為ABCA, 依題意求P(

26、A| D >P(D) = P(D | A)P(A) +P(D | B)P(B) +P(D |C)P(C)2/1-a 23/1 -a 33/1-口3=0 ()y E ()-p2+a ()p2 (1 a )2P(A|D) =P(AD) P(D|A)P(A) JPP(D)頤P(D)：2號(hào))2 P -號(hào))3 p2 5號(hào))3 P3di+(1-Pi)dm+i題型二：1求概率密度、分布函數(shù)；1、求概率密度【相關(guān)公式】已知分布函數(shù)求概率密度在連續(xù)點(diǎn)求導(dǎo)；已知概率密度式：f(x)dx=1，且對(duì)于任意實(shí)數(shù),，oC【相關(guān)例題】(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:0, X <1Fx (X) = < In

27、 x,1 <x ce1,x沢正態(tài)分布f(x)求分布函數(shù)抓住公x2有：PX1 cX CX2 = F(X2)-F(X1)= f 2f(x)dx。 X1a P1a P15求P(X2)、P(OX<3)、P(2cXc-)求概率密度f(wàn)x(x).(見下)解：<2) =P(X <2)=1 n2(1) P(XP(0 <X <3) = Fx (3)-Fx(0) =1-0 =1555P(2 vX r)=Fxt)Fx (2) =1 n-224d1Fx(X)=dxx/. fx(x)=<I 0,其他A(2) f(x) =(Y<XV邑)，是確定常數(shù) A。1 +x+處 A解：由

28、相關(guān)性質(zhì)得：f 一 dx=1'-處 1+x解得：A(arctan x二+arctan x嚴(yán)=11A = -兀設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)(x)=xf ,0 <x v36x1 2-,3<xv4，求X的分布函數(shù)。2、0,其他解: XX "0 6x xx2F(xH【相關(guān)公式】 （1）公式訃丄罟SX十）其中:巴CT為常數(shù)，則稱XK從參數(shù)為 巴CT的正態(tài)分布。(2)若 XN(巴 b2，則Z = N(0,1).（3 ）相關(guān)概率運(yùn)算公式:X-卩 x-4x-4PX <x =P < 一 =0( );X -4<c<C為一卩PN <X CX2 =P c（X）

29、=1-（-X）.【相關(guān)例題】1、（ P58 27）某地區(qū)18歲女青年的血壓該地任選一名18歲女青年，測(cè)量她的血壓（收縮壓：以X，求：mmHg 計(jì)）服從 N （110,12），在(1) PX <105, P100 cX <120;(2) 確定最小的X,使PX >x <0.05 解：(1)；X N(110,122)X _110 1051105/. PX v105=P-<-=6(-)L 1-6(0.42)=1-0.6628=0.3372;12 12122"=(10)-(-10) = 2(10) -1 = 0.5934沖=1-計(jì)T-0512X 110 PXx =

30、1-PX <x =1-P2P1OO<X2O = PO<3.即有：(X；10) >O.95L (1.65)X -110=二 1.65= xk129.812二 xmin =129.82、由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)卩=10.05® =0.06的正態(tài)分布，規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.05 ±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率。 （見下）解：設(shè)A= 螺栓合格，本題求P(A)l9.93-10.05 X-10.05 10.17 10.05c X-10.05 補(bǔ).cccP(A) = P<< = P(2 << 2)=益(2) -1

31、 = 0.95440.06 0.06 0.06 0.06/. P(A) =1 -P(A) =1-0.9544=0.0456題型三：二維隨機(jī)變量的題型【相關(guān)公式】1、2、3、C+oQ I oQ二維隨機(jī)變量的求法：J J f(x, y)dxdy二 Ji ； f (x,y)dx dy = 1.一遠(yuǎn) '繪.aC 廣oCJ聯(lián)合概率密度求法：f(X, y) = fx (x) fY(y)隨機(jī)變量的函數(shù)分布：(1)Z =X +Y: fxM fy = f亙fx(z y) fY(y)dy= fEfx(x)fY(z-x)dx_oCoC處 1z(2)Z =XY: fxY(z)= f fx(x)fY()dxxY

32、(3)Z pfY (z) = JXoCx fX (x) fY (xz)dx"X【注意點(diǎn)】討論x,y取值范圍?！鞠嚓P(guān)例題】1、（ P843）設(shè)隨機(jī)變量（X,Y ）的概率密度為:f k(6 X y),0 c X c 2,2 c y c 4f (x,y)=<I 0,其他(1)確定常數(shù)k. 求P X<1,Y<3.求 PX<1.5. 求PX +Y <4.(見下)3、( P8725）設(shè)隨機(jī)變量X , Y相互獨(dú)立，且具有相同的分布，它們的概率密度均為解：4242 pOk(6 x- y)dxdy = k J?嚴(yán)- 解得:k= 18： 今-xy|2 dy = k J：(1

33、02y)dy =11 313(2 由題意即求：8 J2p0(6 X-yx dy =8 (3)由題意即求：1 J：”；.5®-x -y)dxdy =17 由題意即求(如圖)：J：* y(6 X y2、( P86 18)設(shè)X和丫是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布,Y的概率密度為：fY(y)=彳0,其他23(1求X和Y的聯(lián)合概率密度.(2 求 PX <Y.解：由題意的：X的概率密度如下:1,0<x<1lo,其他1 -2二 f(x,y) = e 2,0 ex <1,y a02f(x, y) =0,其他(2)由題意,即求：1處1 丄1處1 (J

34、IJ 丄e2dvidx=J IJ (2)亠2打idx = J le2 0 X 2 yX *2 I 2 丿 01 丿1=2/ 1_yfdx27f(x) =求 Z=X+Y解：的概率密度。cfx*(x, y) = J0 fx(x) fY(z x)dx =z1edx =e2d(z -2).(x >2)4、(P8726）設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立，它們的概率密度為f(x) =Z=Y/X的概率密度。l0，其他解：由題意知當(dāng)X :>0時(shí)，:X >0,Z0.f（z）= f（Y）Xc=f xfX(x)fY(zx)dx0=Jo |x|fX(x)fY(zx)dx【0 xe4訕xdx=y.(z+1)

35、2(z+1),za0oC-x -ZX If-x _ZX ie dx = 0 xe e dx =當(dāng) X <0時(shí)，f （Z） =0.綜上所述，Z的概率密度為:fz(z) =5I心0題型四：最大似然估計(jì)的求解【相關(guān)公式】(1)當(dāng)只有一個(gè)變量0的時(shí)候，有： 幺1(£) =0或2|n L® =0;d日de(2當(dāng)未知變量有 的時(shí)候(i >2)，有：rrL =0或In L =0(i =1,2,3,k) 胡i閃【相關(guān)例題】1、設(shè)概率密度為：f(X)lO,其他求汕勺最大似然估計(jì)解:/-aS xi V y 丿nnL(k) =n、小=扎 expi壬l(A) = l nL(日)=nln

36、'汎 x2l(Q =-5： x-人 i 二icU令2|(幾)=0,即有:：二丄. C人xn2、( P1748)設(shè)Xi,X2,X3,?,Xn是來(lái)自概率密度為:ex 日二0 <x <1f(x；日戶lO,其他的總體的樣本，0未知，求0的最大似然估計(jì)。解:nf n fL(日)=n日X日亠y門Xii 1li 2 丿1(0) =ln !_(&)= nine +(& -1 )ln n X Ily丿d小、n |n|(日r-t1 n|n Xi令訓(xùn)佝=°'得:0=-,P ) 叫門XiV二丿題型五：正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)【相關(guān)公式】1、正

37、態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)(1標(biāo)準(zhǔn)差CT已知(Z檢驗(yàn)法)：Z _X 卩0 c hjn(2)標(biāo)準(zhǔn)差CT未知(t檢驗(yàn)法):X -卩。It = Lt(n-1)s/ VnX _ U拒絕域?yàn)椋簗t|= 匕2(n-1) shj n2、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)Ho為真時(shí)，有：(n -1 )S2L /2(n-1)拒絕域?yàn)椤鞠嚓P(guān)例題1、( P2183.253.27(n -1 jS?2-"Q n-1)0】3)某批礦砂的5個(gè)樣品中的鎳含量，經(jīng)測(cè)定(%)3.243.263.24設(shè)測(cè)定值總體服從正態(tài)分布，但參數(shù)均未知，問(wèn)在 含量的均值為3.25.a =0.01下能否接受假設(shè)，這批礦砂的鎳33解：在顯著性水平a =0

38、.01下檢驗(yàn)問(wèn)題:H0：x =3.25Hi: X H3.25 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 X =3.252, S=0.013,-0=3.25,n=5 。丿252 一 3.氣 0.3442代入數(shù)據(jù)，得觀察值：t= X-貲SI 麻0.013/75拒絕域?yàn)?期"口（n- 1）=t0.005=4.6061 即：t 壬（M,-4.6061 P（4.6061，母） 70.3442 <4.6061 /.接受H 0”.在a =0.01的情況下可以接受假設(shè)，這批礦砂的鎳含量均值為3.25.2、（ P220 12）某種導(dǎo)線，要求電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過(guò)0.005Q,盡在一批導(dǎo)線中取樣品9根，測(cè)得s=0.007Q，設(shè)總

39、體為正態(tài)分布，參數(shù)值均未知，問(wèn)在顯著水平a =0.05下能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著偏大？解：在顯著水平Ct =0.05下檢驗(yàn)問(wèn)題:H。： b <0.005Hi： b >0.005 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：s= 0.007, n = 9,b2代入數(shù)據(jù)，得觀察值-（n j）S= 0.0058X0.0072c=2 =15.680.0052(8) =15.507拒絕域?yàn)椋簍>/21/n-1）=廠0.05715.68 >15.507/.拒絕H 0二在顯著性水平a =0.05下能認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著性偏大。模擬試題一一、填空題（每空 3分，共45分）1、已知 P(A) = 0.92, P

40、(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85,則 P(A| B )=P( A U B)=2、設(shè)事件A與B獨(dú)立，A與B都不發(fā)生的概率為-，A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與 B9發(fā)生且A不發(fā)生的概率相等，則 A發(fā)生的概率為:3、一間宿舍內(nèi)住有 6個(gè)同學(xué)，求他們之中恰好有 4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率:；沒有任何人的生日在同一個(gè)月份的概率Aex,4、已知隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為：W(x) = 1/ 4,X C 00 < X c 2 ,則常數(shù)A=X >2分布函數(shù)F(x)=,概率 P0.5 cX <1=o,5、設(shè)隨機(jī)變量 X B(2 , p)、Y B(1 , p)，若 PX >1

41、 =5/9，則 p =若X與丫獨(dú)立，則Z=max(X,Y)的分布律:6、設(shè) X B(200,0.01), 丫 - P(4),且 X 與 丫 相互獨(dú)立，則 D(2X-3Y)=COV(2X-3Y, X)=時(shí),7、設(shè)X1,X2|(,X5是總體X - N(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng) k =k(X<HX2)丫JX；+x2+x；g；- 1 n&設(shè)總體Xu(oe)日0為未知參數(shù)，X1,X2|,Xn為其樣本，X =丄£ Xi為 n y樣本均值，則 日的矩估計(jì)量為:9、設(shè)樣本X1,X2，川，X9來(lái)自正態(tài)總體 N(a,1.44)，計(jì)算得樣本觀察值 x = 10，求參數(shù)a的置信度為95%的

42、置信區(qū)間:二、計(jì)算題(35分)1、(12分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為:丨1其它®(x)丿廠0* 210,求：1)P| 2X -12 ； 2)丫 = X2 的密度函數(shù) ®Y(y) ； 3)E(2X 1)；2、(12分)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為|y|<x,0 cx<2,其他1)求邊緣密度函數(shù)®x(x),®Y(y)2）問(wèn)X與丫是否獨(dú)立？是否相關(guān)?3）計(jì)算Z = X + Y 的密度函數(shù) 碼（Z）;3、（11分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為:1 45/、!-, X30X cO玖X)十1°Xl,X2,Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。

43、1 ） 求參數(shù)日的極大似然估計(jì)量 於;2 ）驗(yàn)證估計(jì)量M是否是參數(shù)9的無(wú)偏估計(jì)量。三、應(yīng)用題（20分） 1、（ 10分）設(shè)某人從外地趕來(lái)參加緊急會(huì)議，他乘火車、輪船、汽車或飛機(jī)來(lái)的概率分別 是3/10 ,1/5 , 1/10和2/5。如果他乘飛機(jī)來(lái)，不會(huì)遲到；而乘火車、輪船或汽車來(lái)，遲 到的概率分別是1/4 , 1/3 , 1/2?，F(xiàn)此人遲到，試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大?0.5 %。，假定有害2 . （10分）環(huán)境保護(hù)條例，在排放的工業(yè)廢水中，某有害物質(zhì)不得超過(guò)物質(zhì)含量X服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在取 5份水樣,測(cè)定該有害物質(zhì)含量，得如下數(shù)據(jù):0.530 %,0.542 %,0.510 %,0

44、.495 %,0.515 %能否據(jù)此抽樣結(jié)果說(shuō)明有害物質(zhì)含量超過(guò)了規(guī)定=0.05)?#附表:模擬試題二p（aB）=、填空題（45分，每空3分）1.設(shè) P(A) =0.5, P(B|A)=0.6, P(AB) =0.1,則 P(B)=2 .設(shè) A,B,C 三事件相互獨(dú)立，且P(A)= P(B)= P(C),若 P(Au BuC) = ，則64P(A)=3 設(shè)一批產(chǎn)品有12件，其中2件次品，10件正品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取3件，若用X表示取出的3件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，則X的分布律為394 .設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為F(x) =A+Barctan(x),x亡 R則(A, B)=,X的密度函數(shù)&#

45、174;(x) =5 .設(shè)隨機(jī)變量X U2,2，則隨機(jī)變量1Y=X +1的密度函數(shù)9丫(丫)=26設(shè)X,丫的分布律分別為X -1P 1/41/21/4P 1/21/2且 PX + 丫 =0 =0 ,則(X,Y)的聯(lián)合分布律為。和 PX + 丫 = 1=7 .設(shè)(X ,丫)N ( 0 , 2 5 ; 0 ,則 co VK(Y =)時(shí)，統(tǒng)8 設(shè)(Xi,X2,X3, XJ是總體N(0,4)的樣本，則當(dāng)a =計(jì)量X =a(Xi -2X2)2+b(3X3-4X4)2服從自由度為2的工2分布。9 .設(shè)(X1,X2i,Xn)是總體N(a,b2)的樣本，則當(dāng)常數(shù)k =n_2 =血(Xj -X)2是參數(shù)b2的無(wú)

46、偏估計(jì)量。i =110 設(shè)由來(lái)自總體 X N(a,0.92)容量為9的樣本，得樣本均值 x=5，則參數(shù)a的置信度為0.95的置信區(qū)間為 二、計(jì)算題(27分)1 . (15分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為1叫 y3(x+y)，2，2其它求X與Y的邊緣密度函數(shù) Wx(x),®Y(y)；判斷X與Y是否獨(dú)立？為什么?求Z =X + Y的密度函數(shù)Wz(z)。分)設(shè)總體X的密度函數(shù)為其中0 >0是未知參數(shù),(1 )參數(shù)日的矩估計(jì)量半(x)"I0,x <0(Xi,X2，川，Xn)為總體X的樣本，求(2)£的極大似然估計(jì)量 &2。三、應(yīng)用題與證明題

47、(28分)1 . (12分)已知甲，乙兩箱中有同種產(chǎn)品，其中甲箱中有 3件正品和3件次品，乙箱中僅有3件正品，從甲箱中任取 3件產(chǎn)品放入乙箱后,(1) 求從乙箱中任取一件產(chǎn)品為次品的概率;3件產(chǎn)品中(2) 已知從乙箱中取出的一件產(chǎn)品為次品，求從甲箱中取出放入乙箱的恰有2件次品的概率。36位考生的成績(jī)，算2 . (8分)設(shè)某一次考試考生的成績(jī)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)抽取了 得平均成績(jī)x=66.5分，標(biāo)準(zhǔn)差$=15分，問(wèn)在顯著性水平 a =0.05下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分，并給出檢驗(yàn)過(guò)程。3 . (8 分)設(shè) 0VP(A)V1，證明： A與 B 相互獨(dú)立二 P(B|A)=

48、P(B|A)。附表：U0.95 二1*65, u0.97 1.96, t0.95(35 1.6896, t0.95 (36) =1.6883,to.975(35) =2.0301, to.975(36) =2.0281,模擬試題三一、填空題（每題 3分，共42 分）1 .設(shè) P(A) =0.3, PZ B) =0.8,若 A與B 互斥，則 P(B)=A與 B 獨(dú)立，則 P（B）=；若 AU B，則 P（Ab）=2 .在電路中電壓超過(guò)額定值的概率為P1 ,在電壓超過(guò)額定值的情況下，為P2，則由于電壓超過(guò)額定值使儀器燒壞的概率為；申（X）-f4x3,0 < X <13.設(shè)隨機(jī)變量X的密

49、度為彳卄宀，則使PX：a10,其它常數(shù)a =; P0.5 VX<1.5 一 >4.如果（X, Y）的聯(lián)合分布律f為123X11/61/91/1821/3aP則a,3應(yīng)滿足的條件是0<01勻,< 1,邛=1,a =,P =,E(X +3Y1)=O儀器燒壞的概率=P X C a成立的若X與Y獨(dú)立,5 .設(shè) X B(n,p),26 .設(shè) X N(a,b )，則Y =服從的分布為2且 EX =2.4, DX =1.44,則 n =7 .測(cè)量鋁的比重16次，得X =2.705, S =0.029 ,設(shè)測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（a,b2）,參數(shù)a, b2未知，則鋁的比重 a的置信度為

50、95%的置信區(qū)間為二、（12分）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度為:（1 ）求常數(shù)c ；（2）求分布函數(shù)F（x）;（3）求丫 =2X +1的密度申Y（y）三、（15分）設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合密度為tc, 0cx<1, 0cycx 呱yf,其它(1)求常數(shù)c ；（2）求X與Y的邊緣密度申x（x）, ®Y（y）；(4)問(wèn)X與Y是否獨(dú)立？為什么?求 Z =X +Y 的密度 Wz(z) ；(5)求 D(2X -3Y)。四、（11分）設(shè)總體X的密度為訃忙1朋1°,Ocx<1其它其中0： -1是未知參數(shù)，（X1,川，Xn）是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，求參數(shù)日的矩估計(jì)量閔；(2)參數(shù)£的極大似然估計(jì)量每；五、（10分）某工廠的車床、鉆床、磨床和刨床的臺(tái)數(shù)之比為9:321，它們?cè)谝欢〞r(shí)間內(nèi)41N（a,cr2），得到的2b =0.04 ？需要修理的概率之比為1:2:3:1，當(dāng)有一