第2 章 測量不確定度與誤差理論

1、第 章測量不確定度與誤差理論. 測量與測量不確定度. 測量誤差. 隨機誤差. 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理. MATLAB在數(shù)據(jù)誤差分析中的應用. 過失誤差. 系統(tǒng)誤差 . 測量與測量不確定度2.1.1測量的基本方法測量的基本方法)直接測量 可用一般公式表示如下: 式中:被測量參數(shù)的數(shù)值； 測量結(jié)果。)間接測量 可用一般公式表示如下:式中:被測量參數(shù)的數(shù)值； 直接測量參數(shù)的測量結(jié)果。)組合測量)軟測量 . 測量與測量不確定度2.1.2測量不確定度)有關(guān)不確定度的術(shù)語()標準不確定度:以標準差表示的測量不確定度。()不確定度的 類評定: 用對觀測列進行統(tǒng)計分析的方法來評定標準不確定度。 不確定度的 類評定

2、有時又稱為 類不確定度評定。()不確定度的 類評定:用不同于觀測列進行統(tǒng)計分析的方法來評定標準不確定度。不確定度的 類評定有時又稱為 類不確定度評定。()合成標準不確定度: 當測量結(jié)果是由若干個其他量的值求得時，按其他各量的方差和協(xié)方差算的標準不確定度。 它是測量結(jié)果標準差的估計值。()擴展不確定度: 確定測量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間。 擴展不確定度有時也稱為展伸不確定度或范圍不確定度。()包含因子:為求得擴展不確定度，對合成標準不確定度所乘之數(shù)字因子。 . 測量與測量不確定度)產(chǎn)生測量不確定度的原因 在測量實踐中，不確定度主要來自許多可能的因素，如:被測量樣

3、品不能完全代表被測量，測量方法和程序中的近似和假設，標準值或標準物質(zhì)的值不準確，數(shù)據(jù)處理中所引用的常數(shù)和其他參數(shù)的不準確等測量方法的因素；測量儀器或裝置的分辨力或鑒別閾值不夠，對環(huán)境條件的影響或測量程序的認識不足，或在不完善的環(huán)境條件下測量，以及儀器讀數(shù)時人為偏差等因素；當然還包括在相同條件下被測量在重復觀測中變化的因素。)不確定度的 類評定 類評定是用統(tǒng)計分析法評定，其標準不確定度 等同于由系列觀測值獲得的標準差，即 。 標準差 的可用貝塞爾法、別捷爾斯法、極差法、最大誤差法等方法來求解估計。)不確定度的 類評定 類評定不用統(tǒng)計分析法，而是基于其他方法估計概率分布或分布假設來評定標準差并得到

4、標準不確定度。 . 測量與測量不確定度 采用 類評定法，需先根據(jù)實際情況分析，對測量值進行一定的分布假設，可假設為正態(tài)分布，也可假設為其他分布，常見有下列幾種情況:()當測量估計值 受到多個獨立因素影響，且影響大小相近，則假設為正態(tài)分布，由所取置信概率 的分布區(qū)間半寬 與包含因子 來估計標準不確定度，即: 式中包含因子 的數(shù)值可由正態(tài)分布積分表查得。()當估計值 取自有關(guān)資料，所給出的測量不確定度 為標準差的 倍時，則其標準不確定度為:()若根據(jù)信息，已知估計值 落在區(qū)間 內(nèi)的概率為，且在區(qū)間內(nèi)各處出現(xiàn)的機會相等，則 服從均勻分布，其標準不確定度為: . 測量與測量不確定度()當估計值 受到兩

5、個獨立且皆是具有均勻分布的因素影響時，則 服從在區(qū)間 ) 內(nèi)的三角分布，其標準不確定度為:()當估計值 服從在區(qū)間( )內(nèi)的反正弦分布，則其標準不確定度為:)測量不確定度的合成()合成標準不確定度。 如在間接測量中，被測量 的估計值 是由 個其他量的測得值 的函數(shù)求得，即: . 測量與測量不確定度 且各直接測得值 的測量標準不確定度為 ，它對被測量估計值影響的傳遞系數(shù)為 。則由 引起被測量 的標準不確定度分量為: 而測量結(jié)果 的不確定度 應是所有不確定度分量的合成，用合成標準不確定度 來表征，計算公式為: 式中， 為任意兩個直接測量值 與 不確定度的相關(guān)系數(shù)。若 的不確定度相互獨立，即 ，則合

6、成標準不確定度計算公式(-)可表示為: . 測量與測量不確定度 當 ，且 同號時，或是 ，且 異號，則合成標準 不確定度計算公式(-)可表示為: 若引起不確定度分量的各種因素與測量結(jié)果沒有確定的函數(shù)關(guān)系，則應根據(jù)具體情況按 類評定或 類評定方法來確定各不確定度分量 的值，然后按上述不確定度合成方法求得合成標準不確定度為: 用合成標準不確定度作為被測量 估計值 的測量不確定度，其測量結(jié)果可表示為: . 測量與測量不確定度()擴展不確定度。 擴展不確定度由合成標準不確定度 乘以包含因子 得到，記為，即用擴展不確定度作為測量不確定度，則測量結(jié)果表示為: 包含因子 由 分布的臨界值 給出，即 . 測量

7、與測量不確定度 根據(jù)給定的置信概率 與自由度 查 分布表，得到 ( )的值。 當各不確定度分量 相互獨立時，合成標準不確定度 的自由度 由下式計算: . 測量誤差2.2.1測量誤差的分類與性質(zhì)測量誤差的分類與性質(zhì) 測量誤差根據(jù)其產(chǎn)生的原因可以分為:()儀器誤差(又稱工具誤差)()人為誤差(又稱個人誤差)()環(huán)境誤差(又稱條件誤差) 測量誤差根據(jù)其性質(zhì)可以分為:()系統(tǒng)誤差()過失誤差( )隨機誤差2.2.2測量誤差的表示測量誤差的表示)絕對誤差 絕對誤差定義為示值與真值之差，即: . 測量誤差 絕對誤差的負值稱之為修正值，也叫補值，一般用 表示，即:)相對誤差 相對誤差定義為絕對誤差與真值之比

8、，一般用百分數(shù)形式表示，即: 這里的真值 也用約定值或相對真值代替。 但在無法知道約定真值或相對真值時，往往用測量值(示值)代替，即: . 測量誤差)引用誤差 引用誤差定義為絕對誤差與測量儀表量程之比，用百分數(shù)表示，即: 確定測量儀表的準確度等級應用最大引用誤差，即絕對誤差的最大絕對值 與量程之比。 若用 表示最大引用誤差，則有: . 測量誤差 國家標準測量指示儀表通用技術(shù)條件(GB776-76)規(guī)定，電測量儀表的準確度等級指數(shù) 分為:0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0，共 級。它們的基本誤差(最大引用誤差)不能超過儀表準確度等級指數(shù) 的百分數(shù)，即: 依照上述規(guī)定，不難得出

9、:電測量儀表使用時所產(chǎn)生的最大可能誤差可由下式給出:)允許誤差 允許誤差是指測量儀器在使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍，它是衡量測量儀器的最重要的指標。測量儀器的準確度、穩(wěn)定度等指標都可用允許誤差表征。 . 隨機誤差2.3.1隨機誤差產(chǎn)生的原因隨機誤差產(chǎn)生的原因 隨機誤差是由眾多的、變化微小的因素造成的。2.3.2隨機誤差的統(tǒng)計特性隨機誤差的統(tǒng)計特性正態(tài)分布正態(tài)分布 作為一個連續(xù)隨機變量，隨機誤差 的數(shù)值恰為 的概率等于零，這時，如概率分布密度函數(shù)的值為()，則隨機誤差落在 至 這一微小范圍內(nèi)的概率為: 隨機誤差在( ， )范圍內(nèi)出現(xiàn)，是一個必然事件，所以 . 隨機誤差 隨機誤差的正態(tài)分布有以

10、下 個特征:()對稱性:絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等。()單峰性:絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。()有界性:在一定的測量條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。()抵償性:隨著測量次數(shù)增多，隨機誤差的算術(shù)平均值趨于零。 隨機誤差的概率分布密度函數(shù)可以用下式表示: . 隨機誤差 以隨機誤差 為橫坐標，以概率分布密度()為縱坐標，則式(-)可以描繪成圖-所示的曲線，稱為隨機誤差正態(tài)分布曲線。 . 隨機誤差解得: 可見，標準誤差 就是分布曲線拐點的橫坐標。 已知測量列的標準誤差，則隨機誤差 落在 范圍內(nèi)(即 )的概率，可按下式計算:令 代入上式得: . 隨機誤差 將被積函

11、數(shù) 展開為下列級數(shù):于是: . 隨機誤差2.3.3表征隨機誤差水平的參數(shù)表征隨機誤差水平的參數(shù))算術(shù)平均值 在等精密度的條件下，對某個參數(shù)進行了 次重復測量，得到 等 個測定值，這些測定值組成一個測量列。以 表示被測參數(shù)的真值， 表示各測定值所包含的隨機誤差，則有:如以 表示測定值的算術(shù)平均值，即:由式(-)、式(-)可得: . 隨機誤差 測定值 與算術(shù)平均值 之差，稱為殘余誤差，簡稱殘差，以 表示，則有:各式相加，得:因為所以 . 隨機誤差)測量的標準偏差()單次測量的標準偏差。 定理:同一被測量，在相同條件下，測量列 中單次測量的標準偏差(也稱單次測量的標準不確定度)是表征同一被測量值 次

12、測量結(jié)果的分散性參數(shù)，并按下式計算: . 隨機誤差()標準偏差的基本估計貝塞爾公式。 定理:對同一被測量，在相同測量條件下，進行有限次測量的測量列 ，則單次測量標準偏差的估計值為:()算術(shù)平均值標準偏差。 將算術(shù)平均值標準偏差用 表示，則由式(-)可推出: . 隨機誤差 由圖- 知， 一定時，當 以后， 已減少得非常緩慢。 . 隨機誤差)極限誤差()極限誤差的定義。 極限誤差 的值可依據(jù)測量標準差、誤差分布及要求的置信概率確定:或 稱為置信因子，是誤差分布、自由度和置信概率的函數(shù)，通常有表可查。()單體測量的極限誤差。 隨機誤差正態(tài)分布曲線下的面積相當于全部誤差出現(xiàn)的概率。 即: . 隨機誤差

13、 而隨機誤差在 至 范圍內(nèi)的概率密度為:引入新的變量:經(jīng)變換，上式成為: 式(-)為概率積分，不同 的()值可由數(shù)學手冊中查出。 . 隨機誤差()算術(shù)平均值的極限誤差。 已知單體測量的標準偏差為，由式(-)可知， 次測量結(jié)果的算術(shù)平均值的標準偏差 。 因此，算術(shù)平均值 的不確定度表示為: 算術(shù)平均值 的極限誤差為: . 系統(tǒng)誤差2.4.1系統(tǒng)誤差及其分類系統(tǒng)誤差及其分類 設被測參數(shù)的真值為，系統(tǒng)誤差為，包含有系統(tǒng)誤差的測定值為，在不考慮隨機誤差的情況下，可得:于是: 為了獲得被測參數(shù)的真值，需要在測定值上加上一項，也就是用 來修正測定值，因此 被稱為更正值(或更正項)。 由式(-)可知: .

14、系統(tǒng)誤差 變化的系統(tǒng)誤差:在測量過程中，數(shù)值大小或正負號發(fā)生變化的系統(tǒng)誤差，稱為變化的系統(tǒng)誤差。 根據(jù)變化規(guī)律的不同，又可分為:()累進的系統(tǒng)誤差:測量過程中不斷增大(或減小)的系統(tǒng)誤差。 其中最簡單的一種是線性系統(tǒng)誤差。()周期性的系統(tǒng)誤差:周期性地改變數(shù)值或正負號的系統(tǒng)誤差。()復雜的系統(tǒng)誤差:變化規(guī)律比較復雜的系統(tǒng)誤差。2.4.2系統(tǒng)誤差對測量的影響系統(tǒng)誤差對測量的影響()設測定值中只含有固定的系統(tǒng)誤差和隨機誤差。 根據(jù)測量誤差的定義可得:式中: 固定的系統(tǒng)誤差； 偶然誤差。 將上式相加并除以，即得:或 . 系統(tǒng)誤差 更正后的測定值的殘差 ，以式(-)、式(-)代入， 測得 ，即:()設

15、測定值中含有變化的系統(tǒng)誤差和隨機誤差。 根據(jù)測量誤差的定義可得:將上式相加并除以，即得:或 式中: 消除系統(tǒng)誤差 而引入的更正值。 . 系統(tǒng)誤差 更正后的測定值的殘差 ，以式(-)、式(-)代入，則得:2.4.3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn))殘差分析法 根據(jù)式(-)，未更正的各測定值的殘差 可以寫作: . 系統(tǒng)誤差 具體的檢驗法則如下:法則將未更正的測定值按測量先后次序排列，如殘差 的代數(shù)值有規(guī)則地向一個方向變化，即符號為( 、 、 、 、 、 、 、 、 、 )或( 、 、 、 、 、 、 、 、 、 )，則該測量列包含有累進的系統(tǒng)誤差。法則將未更正的測定值按測量的先后次序排列，如殘差 的符

16、號有規(guī)律地交替變化，則該測量列包含有周期性的系統(tǒng)誤差。 如果在測量列的一部分測定值中包含有固定的系統(tǒng)誤差，而其余測定值不包含這種誤差，那么，就整個測量列而言，這是一種變化的系統(tǒng)誤差，可以用殘差分析法發(fā)現(xiàn)它的存在。其檢驗法則為:法則在一個測量列中，當存在某些測量條件，測定值的殘差 基本上保持相同的符號，而不存在這些條件(或條件改變)時，殘差 均變號，則該測量列包含有隨測量條件的改變而出現(xiàn)(或消失)的固定系統(tǒng)誤差。 . 系統(tǒng)誤差 顯然，系統(tǒng)誤差的數(shù)值不超過隨機誤差時，用上述三項法則，將不能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的存在。這時，如重復測量的次數(shù) 足夠多，可以采用下述法則:法則將未更正的測定值按測量的先后次序排列

17、，如前一半測定值的殘差和與后一半測定值的殘差和之差顯著地不等于零，則該測量列包含有累進的系統(tǒng)誤差。法則在一個測量列中，如條件改變前測定值的殘差和與條件改變后測定值的殘差和之差顯著地不等于零，則該測量列包含有隨測量條件的改變而出現(xiàn)(或消失) 的固定系統(tǒng)誤差。)分布檢驗法 設縱坐標的標度為，那么該標度至橫坐標軸的距離 ，即: . 系統(tǒng)誤差 當 時， ，于是標度為 的橫線就是橫坐標軸。 如果隨機變量 ，則: 以 為橫坐標，以概率分布函數(shù) 為縱坐標，則點 的幾何位置將 是 。所以對一切 而言， 在正態(tài)概率紙上表現(xiàn)為一條直線 。 . 系統(tǒng)誤差 例如:對某參數(shù)重復測量了一百次，將測定值為 組，各組內(nèi)測定值

18、出現(xiàn)的頻數(shù)如表-第 列所示。 根據(jù)測定值在各組內(nèi)出現(xiàn)的頻數(shù)，計算相對頻率和累計相對頻數(shù)，并將計算結(jié)果列入表- 第 列和第 列。 以各組右端點的數(shù)值為橫坐標，以該組的累計相對頻數(shù)為縱坐標，在正態(tài)概率紙上畫點，見圖-。 . 系統(tǒng)誤差 由圖- 可見，這些點基本上在一條直線上，因而可以判定該測量列服從正態(tài)分布。 . 系統(tǒng)誤差2.4.4系統(tǒng)誤差的消除系統(tǒng)誤差的消除 作為一般的原則，消除系統(tǒng)誤差可以從以下兩方面著手:)防止系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生 采用完善的測量方法，正確地安裝和使用測量儀器、設備，保持穩(wěn)定的測量條件，防止外界的干擾等，可以避免系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。)掌握系統(tǒng)誤差的規(guī)律，對測定值引入更正值 在測量工作之前

19、，對測量儀器和設備進行校正，取得儀器示值與準確值之間的關(guān)系，確定各種更正公式或更正值曲線，以便對測定值引入更正值，消除系統(tǒng)誤差的影響。. 過失誤差2.5.1過失誤差與異常數(shù)據(jù)過失誤差與異常數(shù)據(jù) 由于測量工作中的錯誤、疏忽大意等原因引起的誤差，稱為過失誤差。為了發(fā)現(xiàn)過失誤差，可以對測定值做必要的檢查和校核。 在一個測量列中，可能出現(xiàn)個別的過大或過小的測定值，這種包含有巨大誤差的測定值，通常稱為異常數(shù)據(jù)。如果有充分的根據(jù)可以判定異常數(shù)據(jù)是由過失誤差引起的，則應予以舍棄。 對于原因不明的異常數(shù)據(jù)，只能用統(tǒng)計學的準則決定取舍。2.5.2異常數(shù)據(jù)的取舍原則異常數(shù)據(jù)的取舍原則)來伊達(Layard)準則

20、由概率積分表可知，絕對值大于 (近似于 )的殘差，出現(xiàn)的概率僅為0.0027，這是一個小概率事件。因此，殘差的絕對值大于 (即殘差極限值 )的測定值，可以看作過失誤差引起的異常數(shù)據(jù)，應予舍棄。 這就是來伊達準則。 . 過失誤差)肖維納(Chauvenet)準則 如殘差超過某個極限值的測定值，出現(xiàn)的概率等于或小于1/2n，可以認為是小概率事件。 也就是說，在n次測量中，這種測定值出現(xiàn)的次數(shù)等于或小于1/2，因而不應該發(fā)生。 如果出現(xiàn)了這種測定值，可以認為是過失誤差引起的異常數(shù)據(jù)而予以舍棄。 這就是肖維納準則。 設殘差服從正態(tài)分布，且分布參數(shù) 可用測量列的標準誤差 近似代替。于是，肖維納準則可用下

21、式表示: . 過失誤差 由式(-)可知， 。 因此根據(jù)測量次數(shù)n，可以求得 ，然后查概率積分表即可求出n 值。于是， 。 在實際工作中，可根據(jù)測量次數(shù)n，直接由表- 查得n 值。 . 過失誤差)格拉布斯(Grubbs)準則 設測定值服從正態(tài)分布，即 。根據(jù)貝塞爾方法，分布參數(shù) 可用測定值的誤差予以估計，即: 一個有限的測量列，可以看作從測定值總體中抽取的隨機樣本。如果 G ，則 是一個隨機變量。格拉布斯推導了隨機變量 的概率密度函數(shù)，因而選定信度(顯著性水平)，就可得到臨界值0，使得:其中， 是一個很小的數(shù)值，一般取為0.05、0.025或0.01。 . 過失誤差臨界值0 是測量次數(shù) 和信度

22、的函數(shù)，它的數(shù)值如表- 所示。 . 過失誤差 在一個測量列中，最大的或最小的測定值的殘差，如超過殘差極限值 ，即: 則認為該測定值是一個包含過失誤差的異常數(shù)據(jù)，應予舍棄。 這樣做犯錯誤(即把不是過失誤差引起的異常數(shù)據(jù)棄去)的概率為。 . 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理2.6.1測量結(jié)果的表達測量結(jié)果的表達 前已述及，通過有限次重復測量，我們不可能獲得被測參數(shù)的真值，但是可以用測定值的算術(shù)平均值 或加權(quán)平均值0 來近似地代替它。 這時，測定結(jié)果可以表達為:或0 設 組成一個有限的等精密度測量列，由測量條件決定的標準誤差為。 按照貝塞爾公式，標準誤差的估計值為 。 測定值的算術(shù)平均值 服從正態(tài)分布，即 ，所以， 是一個標準化正態(tài)分布的隨機變量，而 則是一個自由度為 的2 分布隨機變量，這兩個隨機變量互相獨立，所以