第八章：Black-Scholes期權(quán)定

1、第八章：Black-Scholes期權(quán)定價公式的應(yīng)用主要內(nèi)容n 支付紅利的股票的期權(quán)n 股指期權(quán)和貨幣期權(quán)n 期貨期權(quán)n 期權(quán)頭寸的套期保值支付紅利股票的期權(quán)n 現(xiàn)實的股票經(jīng)常是有紅利支付的n 考慮期權(quán)時關(guān)心的是期權(quán)有效期內(nèi)的紅利n 紅利經(jīng)常是可以被預(yù)測的（有效期內(nèi)）n 對紅利支付的兩種假設(shè)n 已知紅利數(shù)額n 已知紅利率n B-S公式不能直接用支付已知紅利數(shù)額nS=PV(Dividend)+PV(ST)n （歐式）期權(quán)的實際標(biāo)的是PV(ST)n 令： D=PV(Dividend)支付已知紅利數(shù)額(cont.)n期權(quán)定價（應(yīng)用B-S公式）：例：支付已知紅利數(shù)額股票的期權(quán)價格n假設(shè)n 某股票現(xiàn)價3

2、0元，價格波動率30%，1個月和7個月以后分別有2元的股利發(fā)放，考慮以該股票為標(biāo)的，執(zhí)行價為30元，有效期還有9個月的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。n 設(shè)此時無風(fēng)險利率為6%。n 解：n 首先我們來計算期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值：例：支付已知紅利數(shù)額股票的期權(quán)價格(cont.)例：支付已知紅利數(shù)額股票的期權(quán)價格(cont.)n查表得:n N(d1)=0.4067n N(d2)=0.3100n N(-d2)=1-N(d2)=0.6900n N(-d1)=1-N(d1)=0.5933n 最后，得到期權(quán)價格為：支付已知紅利率n對股票紅利支付的另一假設(shè)n 連續(xù)紅利率n 紅利隨時間連續(xù)支付，但紅利率（單位時間內(nèi)

3、紅利/股價）為一已知常數(shù)，記為a n 與連續(xù)復(fù)利的概念相似，a為名義年紅利率支付已知紅利率(cont.)n 與支付已知紅利數(shù)額相似n S=PV(Dividend)+PV(ST)n （歐式）期權(quán)的實際標(biāo)的是PV(ST)n 若將所得股利全部重新投資于股票，則期初的1股到期末可得expa(T-t)股，而期初的exp-a(T-t)股到期末可得1股，因此：n PV(ST) = exp-a(T-t)Sn 用exp-a(T-t)S代替B-S公式中的S即可對支付已知紅利率股票的歐式期權(quán)定價支付已知紅利率(cont.)n基于以連續(xù)紅利率支付股利的股票的歐式期權(quán)的B-S定價公式：股指期權(quán)n 期權(quán)標(biāo)的股票指數(shù)n 現(xiàn)

4、金結(jié)算n 定價方法n 把指數(shù)看作股票組合的價值n 組合中股票支付的紅利近似的連續(xù)紅利率n 套用支付已知紅利率股票的B-S公式n需估計指數(shù)波動率和紅利率貨幣期權(quán)n貨幣期權(quán)也稱為外匯期權(quán)n 期權(quán)持有者擁有以一定的匯率購買或出售某種外匯的權(quán)利n 或者說，貨幣期權(quán)的持有者擁有按事先商定的匯率將某種貨幣兌換為另一種貨幣的權(quán)利n 貨幣期權(quán)的定價n 貨幣期權(quán)的標(biāo)的是一種外國貨幣n 外國貨幣實際上就相當(dāng)于一種支付已知紅利率股票，其紅利率就是外幣的無風(fēng)險利率n 套用支付已知紅利率股票的B-S公式即可貨幣期權(quán)的定價公式用遠期匯率表示看漲與看跌的貨幣期權(quán)n 看漲期權(quán)n 有權(quán)以約定的匯率（以本幣）購買外匯n 看跌期權(quán)

5、n 有權(quán)以約定的匯率出售外匯（換取本幣）n 考慮以下兩個期權(quán)n 以B貨幣為本幣的購買A貨幣的看漲期權(quán)n 以A貨幣為本幣的出售B貨幣的看跌期權(quán)n它們的價值應(yīng)相等（期權(quán)規(guī)模要相等）例：看漲與看跌的貨幣期權(quán)n 期權(quán)合約An 期權(quán)持有者可以以1英鎊對1.6美元的匯率用美元購買62.5萬英鎊n 看漲期權(quán)，其價格用B-S公式中的看漲期權(quán)定價公式計算n 期權(quán)合約Bn 期權(quán)持有者可以以1美元對0.625英鎊的匯率出售100萬美元n 看跌期權(quán)，其價格用B-S公式中的看跌期權(quán)定價公式計算n 兩個期權(quán)比較n 上述兩個期權(quán)都規(guī)定期權(quán)持有者有權(quán)將100萬美元換成62.5萬英鎊，如果兩個期權(quán)的到期日相等的話，它們的價格也

6、應(yīng)該是相等的例：看漲與看跌的貨幣期權(quán)(cont.)例：看漲與看跌的貨幣期權(quán)(cont.)期貨期權(quán)n 期貨期權(quán)合約的標(biāo)的期貨合約n 期貨期權(quán)的執(zhí)行n 期權(quán)持有者將獲得一個期貨頭寸和數(shù)額相當(dāng)于期貨當(dāng)前價與期權(quán)執(zhí)行價之間差額的現(xiàn)金。n 期權(quán)出售者得到對應(yīng)的一個期貨頭寸，并付出一筆現(xiàn)金。n 因為期貨是每日結(jié)算的，期權(quán)執(zhí)行時能得到的期貨合約的協(xié)議價一定是當(dāng)時的期貨價，而期權(quán)合約規(guī)定的是得到一份事先確定的協(xié)議價的期貨合約，因此，協(xié)議價和當(dāng)時的期貨價之間的差額就用現(xiàn)金支付。例：期貨期權(quán)n 在CBOE交易的S&P500指數(shù)期貨期權(quán)n 期權(quán)的標(biāo)的物是一份S&P500指數(shù)期貨合約，該指數(shù)期貨合約的

7、規(guī)模是$250乘以指數(shù)。n 考慮一執(zhí)行價為1100點的S&P500指數(shù)期貨看漲期權(quán)合約。n 如果在到期日，S&P500指數(shù)期貨價為1160點的話，則該期權(quán)將被執(zhí)行，期權(quán)持有者將得到一個S&P500指數(shù)期貨的多頭頭寸和現(xiàn)金：(1160-1100)x$250=$15,000n 而如果在到期日，S&P500指數(shù)期貨價低于1100點的話，則該期權(quán)不會被執(zhí)行。例：期貨期權(quán)(cont.)n 再考慮一執(zhí)行價為1100點的S&P500指數(shù)期貨看跌期權(quán)合約。n 如果在到期日，S&P500指數(shù)期貨價為1060點的話，則該期權(quán)將被執(zhí)行，期權(quán)持有者將得到一個S&

8、P500指數(shù)期貨的空頭頭寸和現(xiàn)金：(1100-1060)x$250=$10,000n 而如果在到期日，S&P500指數(shù)期貨價高于1100點的話，則該期權(quán)不會被執(zhí)行。n 期權(quán)持有者在執(zhí)行期權(quán)后，如果不想繼續(xù)保持其期貨頭寸，可以立即無費用地平倉期貨期權(quán)的特點n 期貨期權(quán)的到期日n 一般來說，期貨期權(quán)合約的到期日通常比標(biāo)的期貨合約的最早交割日早幾天或同時n 期貨期權(quán)與直接期權(quán)的比較n 對歐式期權(quán)，到期日相同時，兩者相同n 對美式期權(quán)可能略有不同n 期貨期權(quán)的優(yōu)點n 期貨期權(quán)更易于交割n 期貨的價格更具權(quán)威性期貨期權(quán)的定價n 風(fēng)險中性世界中期貨價格的增長率n 期貨價格的期望增長率為零n 與支付

9、連續(xù)紅利率股票的比較n 紅利率a使股價增長率降低到r-an 期貨價格的變化等同于紅利率為r的股票價格的變化n 套用支付已知紅利率股票的B-S公式n 紅利率等于無風(fēng)險利率r期貨期權(quán)定價公式例：期權(quán)的風(fēng)險n 設(shè)：n 某股票當(dāng)前價25元n 以該股票為標(biāo)的，三個月后到期，執(zhí)行價為25的歐式看漲期權(quán)價格為2元n 假如到期時股價的可能范圍為20到35元n 若投資股票n 投資收益率的可能范圍在-20%到+40%之間n 若投資期權(quán)的話n 投資收益率在-100%到+400%之間期權(quán)的購買者n期權(quán)的收益波動性很大（見上例）n 以投機為目的購買期權(quán)n 風(fēng)險大n 以保值為目的購買期權(quán)n 風(fēng)險對沖n 相當(dāng)于購買保險期權(quán)

10、的出售者n 風(fēng)險很大n 收入有限n （或有）支出可能無限n 期權(quán)的出售者n 一般是銀行或金融機構(gòu)n 它們對客戶提供保險n 在場外交易（OTC）中，金融機構(gòu)出售非標(biāo)準(zhǔn)化的期權(quán)，其空頭頭寸往往面臨巨大的風(fēng)險，這種空頭頭寸無法通過在期權(quán)交易所購買相應(yīng)的期權(quán)合約來對沖n 金融機構(gòu)必須采取措施對它面臨的風(fēng)險進行管理，或者說對持有的期權(quán)頭寸進行套期保值抵補期權(quán)頭寸n 考慮一個金融機構(gòu)出售了上面例子中的期權(quán)n 設(shè)期權(quán)標(biāo)的為10萬股股票n 獲得期權(quán)費20萬元n 如果股價上升到35元，將支出100萬元n 希望采取措施來套期保值n 抵補期權(quán)頭寸策略（Covered Position）n 為了抵消股票價格上升帶來的

11、損失，在賣出期權(quán)的同時買入（ 10萬股）股票，作為保險n 抵補期權(quán)頭寸策略的問題止損策略（Stop-loss Strategy）n 理想：n 若到期時股票價格高于執(zhí)行價，則手中持有股票可交割，若低于執(zhí)行價，則手中沒有股票，也不必交割n 基本思路n 出售了一個看漲期權(quán)以后，當(dāng)股票價格高于執(zhí)行價時就持有股票，當(dāng)股票價格低于執(zhí)行價時就不持有股票止損策略示意圖止損策略的問題n 止損策略的表面結(jié)果n 履約成本小于期權(quán)價（有時為零）n 原因：止損策略的成本n 買賣價差n 必須等股價略微超出執(zhí)行價，即S=K+時才能買入股票，同樣，出售股票的決策也要等到股價略微低于執(zhí)行價，即S=K-時才能作出n 一進一出，在

12、每一股股票上就損失n 的取值是否越小越好呢？n 實際操作n 每隔一段時間觀測一次n 若發(fā)現(xiàn)股價已超出執(zhí)行價，則買入股票n 若股價已低于執(zhí)行價，則賣出股票n 間隔時間短近似相當(dāng)于的取值比較小，間隔時間長近似相當(dāng)于的取值比較大例：止損策略示例n 設(shè)：金融機構(gòu)出售了1份看漲期權(quán)n 獲得期權(quán)費20萬元n 期權(quán)標(biāo)的為10萬股股票n 股票當(dāng)前價為25元n 期權(quán)執(zhí)行價為25元n 金融機構(gòu)采用止損策略n 不考慮交易費用和貼現(xiàn)n 可能結(jié)果如下：例：止損策略示例 I例：止損策略示例 IIDelta套期保值n一種衍生證券的Delta定義為該衍生證券的價格變化對其標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的比率。n 對于一個以股票為標(biāo)的的衍生

13、證券，若其價格用f表示，則其Delta表示為：n或 當(dāng)股價變化很小時：Delta套期保值(cont.)n 按照Delta的定義，它實際上是衍生證券（組合）價格對標(biāo)的資產(chǎn)價格的敏感度，如果Delta等于零，則衍生證券（組合）的價格不隨標(biāo)的資產(chǎn)價格而變n Delta套期保值n 構(gòu)造一個組合，使它的Delta等于零n 例如n 以某股票為標(biāo)的資產(chǎn)的一種衍生證券，其Delta記為，對一份該衍生證券的空頭頭寸，購入份標(biāo)的股票，則整個頭寸的Delta為零。整個頭寸的價值將不隨標(biāo)的股票的價格而變。Delta套期保值(cont.)n 歐式看漲期權(quán) 和看跌期權(quán)的Delta：nn Delta套期保值的操作n 連續(xù)調(diào)整n 與二叉樹模型中的比較n Delta套期保值的實際效