第三節(jié)多元函數(shù)的極值

1、第五節(jié)第五節(jié) 無(wú)約束極值與有約束極值無(wú)約束極值與有約束極值正確理解無(wú)約束極值和條件極值的概念。正確理解無(wú)約束極值和條件極值的概念。能熟練地求出函數(shù)的無(wú)約束極值。能熟練地求出函數(shù)的無(wú)約束極值。能熟練地運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法計(jì)算條件極值。能熟練地運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法計(jì)算條件極值。能熟練地計(jì)算函數(shù)的最大值、最小值。能熟練地計(jì)算函數(shù)的最大值、最小值。能解簡(jiǎn)單的極值應(yīng)用問(wèn)題。能解簡(jiǎn)單的極值應(yīng)用問(wèn)題。本節(jié)教學(xué)要求：本節(jié)教學(xué)要求：第四章 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用請(qǐng)點(diǎn)擊請(qǐng)點(diǎn)擊第五節(jié)第五節(jié) 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 無(wú)約束極值 有約束極值 變量替代法 拉格朗日乘數(shù)法無(wú)約束極值的形式目標(biāo)函數(shù)：nRXXfu

2、 , )(表現(xiàn)形式：XXf )(maxXXf )(min一一. .無(wú)約束極值無(wú)約束極值設(shè))(Xfu 在nRX)U(0內(nèi)有定義.若, )(U0XX 總有)()(0XfXf) )()(0XfXf則稱(chēng))(0Xf為函數(shù))(Xf的極大值(極小值).0X稱(chēng)為函數(shù)的極大點(diǎn)(極小點(diǎn)). 函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值.極大值和極小值的定義極大值和極小值的定義例例1函數(shù)221yxz在點(diǎn))0,0(處取極大值.函數(shù)22yxz在點(diǎn))0,0(處取極小值.例2 現(xiàn)在對(duì)已有的結(jié)果進(jìn)行分析, 看能否得到一點(diǎn)什么.例1函數(shù)221yxz在點(diǎn))0,0(處取極大值. 進(jìn)行分析：函數(shù)21xz(即固定 )0y在點(diǎn)0 x處取極大值,

3、 由一元函數(shù)取極值的必要條件, 有0)0, 0(xz取極大值, 由一元函數(shù)取極值的必要條件, 有類(lèi)似地, 函數(shù)(即固定 )0 x在點(diǎn)0y處21yz0)0, 0(yz 上半單位球面函數(shù)22yxz在點(diǎn))0,0(處取極小值.例2進(jìn)行分析： 上半空間中的圓錐面函數(shù)22yxz在點(diǎn))0,0(處偏導(dǎo)數(shù)不存在.固定 , )0(0 xy 發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的一元函數(shù)| xz ) |(yz 在)0(0yx處取極值. 將以上對(duì)兩例的分析與極值的定義綜合起來(lái), 你能得出什么樣的結(jié)論？如果偏導(dǎo)數(shù)存在, 則極值點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)必為零.使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).定理若在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù), 且在),(yxfz ),(00yx

4、處取極值, 則必有),(00yx . 0),( , 0),(0000yyxfxyxf（二元可微函數(shù)取極值的必要條件）（二元可微函數(shù)取極值的必要條件） . 0),( , 0),( , 0),( grad 000000yxJfyxfyxf或該結(jié)論還可寫(xiě)為處的切平面方程為0)()(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx由可微函數(shù)取極值的必要條件：0),(),(0000yxfyxfyx 此時(shí), 切平面平行于 xy 平面.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)),(00yx處可微且取),(yxf極值, 則相應(yīng)的曲面在點(diǎn)),(00yx),(yxfz 下面看看函數(shù)極值的幾何意義故切平面方程實(shí)際為 .0zz 定理若)(X

5、fu 在點(diǎn)0X具有偏導(dǎo)數(shù), 且在0X處取極值, 則必有0)(0ixXf. ), 2, 1(ni（n 元可微函數(shù)取極值的必要條件）元可微函數(shù)取極值的必要條件）該結(jié)論還可寫(xiě)為,0)(0XJf,0)(0Xf.0)( grad0Xf 函數(shù)的駐點(diǎn)以及使函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 稱(chēng)為函數(shù)的極值可疑點(diǎn). 函數(shù)在其極值可疑點(diǎn)處, 可能取極值,也可能不取極值.使函數(shù))(Xfu 零的點(diǎn)0X稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).的一階偏導(dǎo)數(shù)全為 這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題: 如何判斷函數(shù)在極值可疑點(diǎn)處是否取極值.定理(二元可微函數(shù)的極值判別法)記,),(2200yxxfA,),(200yxyxfB,),(2200yxyfC設(shè), 0),( g

6、rad ),(U(),(00002yxfyxCyxfz : ),( ),( , 0 ) 1 (002處取極值在點(diǎn)則yxyxfACB. , 0 ; , 0取極小值時(shí)取極大值時(shí)AA . ),( ),( , 0 )2(002的極值點(diǎn)不是則yxfyxACB . ),( , 0 ) 3(002是否極值點(diǎn)則不能判斷yxACB例例3 3求yxxyxyxf12153),(23的極值.解解聯(lián)立方程組, 求駐點(diǎn):01260153322xyfyxfyx解之得駐點(diǎn), )2, 1(, )2, 1(, )1, 2(. ) 1, 2(又,6xfAxx ,6yfBxy ,6xfCyy )(36222xyACB , 012 ,

7、 0)( ) 1 , 2() 1 , 2(2AACB , 012 , 0)( ) 1, 2() 1, 2(2AACB點(diǎn)) 1, 2(是極大點(diǎn), 極大值為. 28)1, 2(f , 0)( )2 , 1 (2ACB , 0)()2, 1(2ACB點(diǎn), )2, 1()2, 1(不是極值點(diǎn).故 )(36 222xyACB點(diǎn))1, 2(是極小點(diǎn), 極小值為 .28) 1 , 2(f3322( , )339f x yxyxyx練習(xí)練習(xí)222246110 xyzxyz( , )zz x y練習(xí)練習(xí). )( 上有定義在有界閉區(qū)域設(shè)函數(shù)Xfu并與內(nèi)的所有極值在求出 , )( Xf從中上的所有極值進(jìn)行比較在 ,

8、 )(Xf上的最大值和最小值.在它們就是取出最大者和最小者 )( ,Xf函數(shù)的最大值和最小值函數(shù)的最大值和最小值不一定能函數(shù)一般說(shuō)來(lái) )( , Xf. 值取得它的最大值和最小在 由于區(qū)域的邊界通常都比較復(fù)雜, 較困難的一件事情.所以求多元函數(shù)的最大值和最小值是比工程中遇到的函數(shù)大部分是連續(xù)的, 或者能保證在所討論的區(qū)域內(nèi), 取到它的最大值或最小值.如果知道可微函數(shù))(Xf的最大值或最小值一定在區(qū)域內(nèi)達(dá)到, 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)又僅有一個(gè)駐點(diǎn), 則該駐點(diǎn)一定是最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).如果, )()(CXf)(Xf為有界閉區(qū)域, 則函必在上取到它的最大值和最小值.數(shù)例例例4 4) 1 , 0(),0 , 1

9、(CBO (0,0),D 內(nèi)求到點(diǎn)在距離之平方和為最大及最小的點(diǎn).解xyOCBP , ),( yxP設(shè)所求點(diǎn)為222|PCPBOP2223322yxyx所求距離之平方和為 ),( 所在區(qū)域?yàn)樗簏c(diǎn)yxP1,0,0| ),(Dyxyxyx，設(shè)1,0,0| ),(Dyxyxyx區(qū)域：1,0,0| ),(Dyxyxyx目標(biāo)函數(shù)：最值問(wèn)題：, ),(maxDyxf),(minDyxf22233),(22yxyxyxf所討論的問(wèn)題歸結(jié)為下面的優(yōu)化問(wèn)題:區(qū)域:1,0,0| ),(Dyxyxyx目標(biāo)函數(shù):22233),(22yxyxyxf最值問(wèn)題:),(maxDyxf),(minDyxf求函數(shù)f在有界閉區(qū)域

10、D上的最大、最小值的一般步驟為：先求函數(shù)f在開(kāi)區(qū)域D上的極大、極小值點(diǎn);再求函數(shù)f在邊界D上的極大、極小值點(diǎn); 將所求出的極值(及邊界上的特殊點(diǎn)的函數(shù)值)進(jìn)行比較, 即可得出函數(shù)的最大、最小值. : D 內(nèi)在由方程組026 xxf026 yyf得到駐點(diǎn), ),(3131且 .),(343131f區(qū)域:1,0,0| ),(Dyxyxyx目標(biāo)函數(shù):22233),(22yxyxyxf最值問(wèn)題:),(maxDyxf),(minDyxf : D 上在xyOCBP , 10 , 0 : OB xy上在 , 223),( 2xxyxf故由一元函數(shù)求極值的方法, 得駐點(diǎn)：, ) ,(3100函數(shù)值：) ,(3

11、1f35區(qū)域:1,0,0| ),(Dyxyxyx目標(biāo)函數(shù):22233),(22yxyxyxf最值問(wèn)題:),(maxDyxf),(minDyxf : D 上在xyOCBP , 10 , 0 : OC yx上在 , 223),( 2yyyxf故由一元函數(shù)求極值的方法, 得駐點(diǎn)：, ) , (310函數(shù)值：) , (31035f區(qū)域:1,0,0| ),(Dyxyxyx目標(biāo)函數(shù):22233),(22yxyxyxf最值問(wèn)題:),(maxDyxf),(minDyxf : D 上在xyOCBP , 10 , 1 : BC xyx上在 , 366),( 2xxyxf故由一元函數(shù)求極值的方法, 得駐點(diǎn)：, ),

12、(2121函數(shù)值：), (2121f23區(qū)域:1,0,0| ),(Dyxyxyx目標(biāo)函數(shù):22233),(22yxyxyxf最值問(wèn)題:),(maxDyxf),(minDyxf綜上所述f) ,(31350f) , (31035f),(212123f),(313134邊界上端點(diǎn)值：,2)0, 0(f,3)0, 1 (f,3) 1 , 0(f區(qū)域:1,0,0| ),(Dyxyxyx目標(biāo)函數(shù):22233),(22yxyxyxf最值問(wèn)題:),(maxDyxf),(minDyxff),(313134區(qū)域:1,0,0| ),(Dyxyxyx目標(biāo)函數(shù):22233),(22yxyxyxf最值問(wèn)題:),(maxD

13、yxf),(minDyxf我們這道題，由于函數(shù)是可微的，其極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，所以只要求出D內(nèi)及邊界D上的駐點(diǎn)處的函數(shù)值，并與邊界上線段端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者就是函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值，最小者就是函數(shù)的最小值。一般情形也可仿此進(jìn)行，只需求出極值可一般情形也可仿此進(jìn)行，只需求出極值可疑點(diǎn)的函數(shù)值，不必判斷它是否為極值。疑點(diǎn)的函數(shù)值，不必判斷它是否為極值。例例例5 5求內(nèi)接于半徑為 a 的球且有最大體積的長(zhǎng)方體 .zxyOP球面球面解解選擇坐標(biāo)系, 使球心位于坐標(biāo)原點(diǎn), 則球面方程為2222azyx設(shè)所求長(zhǎng)方體在第一卦限中的頂點(diǎn)為 ),(Pzyx則長(zhǎng)方體的三個(gè)棱邊長(zhǎng)是 ,2 ,2 ,2zy

14、x長(zhǎng)方體體積為22288)2)(2)(2(yxaxyxyzzyxV區(qū)域：,222ayx,0 x,0y目標(biāo)函數(shù)：2228yxaxyV:D最值問(wèn)題：VDmax2DmaxV原問(wèn)題歸結(jié)為下面的優(yōu)化問(wèn)題:區(qū)域：:D,222ayx,0 x,0y目標(biāo)函數(shù)：2228yxaxyV最值問(wèn)題：2Dmax V)(64max22222Dyxayx由0022yVxV22222222ayxayx解之得,3ayx。3222ayxaz由0022yVxV22222222ayxayx解之得,3ayx。3222ayxaz應(yīng)用題, 僅有唯一的一個(gè)駐點(diǎn), 故該駐點(diǎn)即為極值點(diǎn), 從而所求球內(nèi)接長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)為 . 32222azyx區(qū)域：:

15、D,222ayx,0 x,0y目標(biāo)函數(shù)：2228yxaxyV最值問(wèn)題：2Dmax V)(64max22222Dyxayx 在例題中, 出現(xiàn)了一個(gè)相同的問(wèn)題,這個(gè)問(wèn)題已被我們輕松地解決了.應(yīng)滿足方程 對(duì)自變量附加一定條件的極值問(wèn)題就是有約束極值問(wèn)題 .例如, 上面講的求球內(nèi)接體積最大的長(zhǎng)方體的問(wèn)題, 就是一個(gè)有約束的極值問(wèn)題: 長(zhǎng)方體頂點(diǎn)必須位于球面上 , 其坐標(biāo)x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .二二. .有約束極值（條件極值）有約束極值（條件極值） 有約束極值(條件極值)的定義 , 0)( , 0)( ,| 1nmXXRXXLmn設(shè)若,0LX , )(U0XLX有)()(0XfXf

16、( 或,)()(0XfXf則稱(chēng))(0Xf為函數(shù))(Xf在約束條件,0)(1X)( ,0)(nmXm下的極大值 (或極小值). 這種極值通常簡(jiǎn)稱(chēng)為函數(shù)的條件極大(小)值. 這里的約束稱(chēng)為 等式約束. 有約束極值 帶等式約束的極值 帶其它約束的極值 無(wú)約束極值轉(zhuǎn)化nRXXfu , )(XXf )(max,0)(1X. t . s,0)(Xmmin 有約束極值 無(wú)約束極值 拉格朗日乘數(shù)法 變量替代法變量替代法變量替代法例現(xiàn)需用鋼板制造容積為2 m3 的有蓋的長(zhǎng)方體水箱，問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)用料最省？解 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,x,y, z則問(wèn)題歸結(jié)為下列有約束極值問(wèn)題：min, )(2xzy

17、zxyS t.s.2xyz)0,(zyx由約束條件,2xyz得,2xyz 代入目標(biāo)函數(shù)中，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下列無(wú)約束極值問(wèn)題：令02202222yxSxySyx唯一的駐點(diǎn)：當(dāng)水箱的長(zhǎng)、寬、高均為32)(m時(shí)，用料最省。故問(wèn)題： 求函數(shù)),(zyxfu 在0),(zyx下的極值.條件 運(yùn)用變量替代法求解有約束極值問(wèn)題時(shí), 往往會(huì)遇到困難 有時(shí)不能從條件中解出變量間的顯函數(shù)表示式. 自然我們會(huì)想到運(yùn)用隱函數(shù)及其有關(guān)的定理和方法.拉格朗日乘數(shù)法問(wèn)題： 求函數(shù)),(zyxfu 在條件0),(zyx下的極值.若, ),(zyxf,),(1Czyx則稱(chēng)),(zyxL),(zyxf),(zyx為該極值問(wèn)題的拉格

18、朗日函數(shù), 稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù). 轉(zhuǎn)化為拉格朗日函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題求解nRXXf )( max0)( . t . s1X0)(Xm構(gòu)造拉格朗日函數(shù)),(1mXL)(Xf)(11X)(Xmm由取極值的必要條件01xL0nxL01L0mL解方程組 駐點(diǎn) 進(jìn)行判別這部分確定隱函數(shù)關(guān)系這部分確定變量 xi 與i 間的關(guān)系例例例7 7求函數(shù)xyzzyxf),(在條件azyx1111下的極小值, 并證明此時(shí)不等式成立：311113xyzzyx其中, x、y、z、a 0為實(shí)數(shù).解解作拉格朗日函數(shù)),(zyxLxyzazyx1111令,02xyzLx,02yxzLy,02zxyLz,01111azyxL由這一部分找出zyx,與間的關(guān)系。代入此方程，求出拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)由前三式得,zyxxyz從而, zyx將它代入最后一式, 得到拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)：,3azyx)3