級(jí)數(shù)斂散性判別方法的歸納

1、級(jí)數(shù)斂散性判別方法的歸納 （西北師大）摘 要：無窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要組成部分，它是研究函數(shù)、進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析的一種工具，目前，無窮級(jí)數(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域，因而級(jí)數(shù)收斂的判別在級(jí)數(shù)的研究中亦顯得尤為重要，然而判定級(jí)數(shù)斂散性的方法太多，學(xué)者們一時(shí)很難把握，本文對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性的判別方法作了全面的歸納，以期對(duì)學(xué)者們有所幫助。關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù) ；收斂；判別 ；發(fā)散 一. 級(jí)數(shù)收斂的概念和基本性質(zhì)給定一個(gè)數(shù)列，形如 稱為無窮級(jí)數(shù)(常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)),用表示。無窮級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)之和，記為= 稱它為無窮級(jí)數(shù)的第n個(gè)部分和，也簡(jiǎn)稱部分和。若無窮級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于s.則稱無窮級(jí)數(shù)收斂，若級(jí)數(shù)的部分

2、和發(fā)散則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。研究無窮級(jí)數(shù)的收斂問題，首先給出大家熟悉的收斂級(jí)數(shù)的一些基本定理：定理1 若級(jí)數(shù)和都收斂，則對(duì)任意的常數(shù)c和d，級(jí)數(shù)亦收斂，且=c+d定理2 去掉、增加或改變級(jí)數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)并不改變級(jí)數(shù)的斂散性定理3 在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào)，既不改變級(jí)數(shù)的收斂性，也不改變它的和。定理4 級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：任給0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)mN和任意的自然數(shù)，都有以上是收斂級(jí)數(shù)的判別所需的一些最基本定理，但是，在處理實(shí)際問題中，僅靠這些是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，所以在級(jí)數(shù)的理論中必須建立一系列的判別法，這就是本文的主要任務(wù)。由于級(jí)數(shù)的復(fù)雜性，以下只研究正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別。二 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別各項(xiàng)都是

3、由正數(shù)組成的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有界，即存在某正整數(shù)M，對(duì)一切正整數(shù) n有M。從基本定理出發(fā)，我們可以由此建立一系列基本的判別法1 比較判別法設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果存在某正數(shù)N，對(duì)一切nN都有，則（i）級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；（ii）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散。例 1 . 設(shè)收斂，證明：收斂（>0）.證明：因?yàn)?0<<易知：收斂（積分判別法），又收斂，所以收斂。由比較判別法知收斂（>0）.例 2 . 證明：級(jí)數(shù)都是條件收斂的。 證： 不妨設(shè)x>0,則>0，當(dāng)n>時(shí)，0<<,此時(shí),且為單調(diào)遞減數(shù)列，且=0。由

4、萊布尼茨判別法知收斂。而當(dāng)n>時(shí)， =>0，=1又發(fā)散，由比較判別法知也發(fā)散。所以，級(jí)數(shù)都是條件收斂的。例 3. 證明級(jí)數(shù)收斂 證： 0< = < = . = = =0 由比值判別法知收斂，再由比較判別法知收斂，即有：級(jí)數(shù)收斂。根據(jù)比較原則，我們得到了兩個(gè)更為實(shí)用的判別法，即柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法。2 柯西判別法（根式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及正常數(shù)，（i）若對(duì)一切n，成立不等式1，則級(jí)數(shù)收斂。（ii）若對(duì)一切n，成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散。例 1 . 判別級(jí)數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?= 所以由根式判別法知級(jí)數(shù)收斂。3 達(dá)朗貝爾判別法（比值判別法） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

5、且存在某正整數(shù)及常數(shù)q（0q1）. （i）若對(duì)一切n，成立不等式q，則級(jí)數(shù)收斂。（ii）若對(duì)一切n，成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散。例 1 .判別級(jí)數(shù)的斂散性。 解：因?yàn)?= = >1 所以由比式判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散。4積分判別法積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對(duì)象來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。設(shè)f為1，+ )上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。例 1 .判別級(jí)數(shù)的斂散性。 解：設(shè)f(x)= ,則f(x)在3，+ 上非負(fù)遞減。若，這時(shí)有= = 當(dāng)小q1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)小q 1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散； 若,這時(shí)有= 對(duì)任意的q，當(dāng)時(shí)，取t>1,有=0 即該積分收斂。當(dāng)

6、時(shí)，有 =即該積分發(fā)散。5拉貝判別法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)r，（i）若對(duì)一切n，成立不等式1，則級(jí)數(shù)收斂。（ii）若對(duì)一切n，成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散。例 1 .判別級(jí)數(shù)（x>0）的斂散性。解：因?yàn)?= 1- = 所以由拉貝判別法知，當(dāng)小x1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)小x 1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；6對(duì)數(shù)判別法對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在，則當(dāng)q>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)q<1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。例 1判別級(jí)數(shù)=的斂散性。證明： = =ln 5>1因此有對(duì)數(shù)判別法可知級(jí)數(shù)=收斂。7雙比值判別法對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在= = ，則當(dāng)< 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)>時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。 例 1判別級(jí)數(shù)的斂散性。

7、證明：因?yàn)?由此知級(jí)數(shù)收斂。 例 2 判別級(jí)數(shù)的斂散性。 證明：這里，即> 有 = = = > 所以級(jí)數(shù)發(fā)散。8高斯判別法設(shè)是嚴(yán)格正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)=+，則關(guān)于級(jí)數(shù)的斂散性，有以下結(jié)論：（i）如果>1，那么級(jí)數(shù)收斂；如果<1，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。（ii）如果=1，>1，那么級(jí)數(shù)收斂；如果=1，<1，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。（iii）如果=1，>1，那么級(jí)數(shù)收斂；如果=1，<1，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。例1 Gauss 超幾何級(jí)數(shù)1+的斂散性，其中均為非負(fù)常數(shù)。解：因?yàn)?又因?yàn)?1-+，=1-+，所以=（1+）。根據(jù)高斯判別法可以判別： 如果x<1;或者x=1, ,那么級(jí)數(shù)收斂。 如果x>1;或者x=1, ,那么級(jí)數(shù)發(fā)散。參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）.下冊(cè)M.北京：高等教育出版社，2001.2李春江.級(jí)數(shù)收斂的判別方法J.