非線性04自然界非線性動力學(xué)系統(tǒng)與電路模擬

1、第四章 自然界非線性動力學(xué)系統(tǒng)與電路模擬本章是上一章的繼續(xù)，講述各種類型的單元非線性電路，不同的是上一章的電路來源于電子電路內(nèi)部，本章則來源于自然界的其它動力系統(tǒng)。非線性科學(xué)是跨學(xué)科的綜合自然科學(xué)，非線性電路是非線性科學(xué)中的一個部分，現(xiàn)代非線性電路科學(xué)既要從其它非線性學(xué)科中借鑒經(jīng)驗與吸收成果，將它們的知識充實自己的專業(yè)領(lǐng)域，又要將電子電路的經(jīng)驗與成果應(yīng)用到整個非線性學(xué)科中。在這里，其它非線性動力系統(tǒng)的電路模擬仍然具有一定的意義，而不僅僅是玩玩電路游戲而已，這要從兩個方面來看。第一，通過電路模擬，使得其它非線性動力系統(tǒng)的某些不易觀察的現(xiàn)象用電路模擬形象化地顯示出來，例如圓周映射復(fù)雜現(xiàn)象的顯示;

2、還能節(jié)約被模擬系統(tǒng)的實驗成本，例如某些量子效應(yīng)實驗。第二，非線性動力系統(tǒng)的電路模擬結(jié)果能夠直接應(yīng)用于非線性電路系統(tǒng)，例如描述大氣運動的洛倫茨方程能夠應(yīng)用于混沌保密通信。所以電路模擬既體現(xiàn)電路研究的成果與貢獻(xiàn)，又體現(xiàn)電路研究對于其它學(xué)科的知識吸收。非線性動力系統(tǒng)電路模擬的內(nèi)容非常豐富，本章僅舉幾個實例，讀者完全能夠使用這一思想實現(xiàn)自己需要的電路模擬。第一節(jié) 自然界與自然科學(xué)的非線性系統(tǒng)由于非線性自然現(xiàn)象的客觀存在性與自然科學(xué)工作者的研究積極性，非線性科學(xué)的發(fā)展來勢兇猛，使得電子學(xué)學(xué)科的非線性研究如火如荼。非線性科學(xué)是典型的交叉科學(xué)，非線性電路的研究與其它學(xué)科的非線性研究已經(jīng)完全融為一體。就目前來

3、看，非線性研究整體發(fā)展很快且規(guī)模很大的學(xué)科有數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、生理學(xué)與醫(yī)學(xué)、機械工程學(xué)等，在這一切的發(fā)展中電子計算機的應(yīng)用起著舉足輕重的作用。非線性電子學(xué)的發(fā)展很有特色，它一方面及時地借鑒其它學(xué)科的成功經(jīng)驗促進(jìn)本學(xué)科的發(fā)展，另一方面積極地把自己的成果推廣應(yīng)用到其它學(xué)科中去，使非線性電子學(xué)具有特別重要的地位，這已經(jīng)被近期歷史所證明。數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)是人類取之不盡用之不竭的知識源泉，而電子學(xué)（包括電工學(xué)）從中獲得所需也為之有所貢獻(xiàn)?，F(xiàn)狀是，非線性數(shù)學(xué)中的很大一部分成果可以直接應(yīng)用于電子學(xué)，例如多數(shù)非線性微分方程與迭代方程，只要它的解是有限值就很可能用電子電路實現(xiàn)，這是因為電子電

4、路是由穩(wěn)壓電源提供能量的，而穩(wěn)壓電源提供的電壓或電流是有限值。理解這一點很重要，它劃清了用電子電路模擬數(shù)學(xué)非線性微分方程的范圍。物理學(xué)真實反映了我們的自然界，也是電子電路科學(xué)技術(shù)的發(fā)源地。物理學(xué)中的很大一部分成果可以直接應(yīng)用于電子學(xué)，非線性物理運動就是這樣的運動。物理學(xué)的機械運動規(guī)律基本與電路動態(tài)特性相同，所以機械運動規(guī)律研究的成果很容易轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的電子電路。機械運動中，有保守力系統(tǒng)與非保守力系統(tǒng)，保守力系統(tǒng)能量守恒，對應(yīng)的電子電路由單純的儲能元件實現(xiàn)，比較特殊; 非保守力系統(tǒng)一般有不含信息的能量輸入，并且還有能量的損耗，這就是耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，對應(yīng)的電子電路由儲能元件與耗能元件實現(xiàn)，是通用電子電

5、路，物理學(xué)的耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是重要系統(tǒng)，是物理學(xué)與其它學(xué)科交叉研究的重要分支學(xué)科，又是物理學(xué)與生物學(xué)之間的交叉，具有重要的地位，電子電路研究與之加盟很有意義。其它學(xué)科的成果也都深刻地促進(jìn)非線性電子電路的發(fā)展，例如混沌保密通信電路的一個思想就是使用幾個混沌方程混合后傳送保密信息，混沌方程越多保密性能越好，這要求有較多的混沌類型供設(shè)計者選擇。從這里看到，非線性電路的發(fā)展需要其它學(xué)科的非線性研究的眾多成果。從電子電路自身來看，實現(xiàn)非線性電路功能從兩個方面考慮，一個是以電子計算機為核心，使用基于電子計算機技術(shù)的路線，使用離散的數(shù)字邏輯信號; 一個是以模擬電路為核心，使用基于模擬電子技術(shù)的路線。實際應(yīng)用中使

6、用二者的結(jié)合，單純使用單一技術(shù)的實際系統(tǒng)已經(jīng)很少了。非線性電子電路技術(shù)中，有三個實際技術(shù)被廣泛使用，一是DSP技術(shù)（數(shù)字信號處理器），二是PLD（可編程邏輯器件），三是單片機系統(tǒng)（嵌入式計算機系統(tǒng)）。原則上說，以上三個技術(shù)中的任何一個技術(shù)都能實現(xiàn)非線性電路的設(shè)計。使用傳統(tǒng)模擬電子元件設(shè)計非線性設(shè)計的元件有電阻、電容、電感、二極管、運算放大器、加法器與減法器、乘法器與除法器、微分器或積分器，還有以上電路的組合如超電容、超電感、絕對值電路、仿真電感等。這些為設(shè)計非線性電路設(shè)計提供了保證，各種運動方程轉(zhuǎn)換成具體電路就很容易了。能夠轉(zhuǎn)換成電子電路的非線性動力系統(tǒng)很多，著名的動力系統(tǒng)與代表方程有李納德方

7、程、范德坡方程、杜芬方程、洛倫茲方程、洛斯勒方程、依儂迭代等。本章主要研究目的與研究范圍是：用現(xiàn)代電子線路方法模擬至今已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的大部分混沌運動現(xiàn)象，研究方法是：在設(shè)計具體電子電路中，一面設(shè)計具體電路，一面用計算機仿真方法模擬具體電路。這與前面提到的仿真實驗是不同的，前面的仿真實驗是用仿真軟件仿真各種“微分方程”，是“仿真理論模型”，本章研究的仿真實驗是“仿真電子電路”，是電子線路實際設(shè)計，仿真目的是輔助設(shè)計具體電路，具有實踐性。第二節(jié) 人口模型理論及其電路模擬一、人口模型與邏輯斯蒂映射在達(dá)爾文提出生物進(jìn)化論之后，馬爾薩斯（1766-1834）提出人口增長理論，認(rèn)為人口的凈增長率為常數(shù)，即單位時

8、間內(nèi)人口增長率與人口總數(shù)成正比，設(shè)t時刻人口數(shù)為p(t)，則有7 4-1其解為，a=0.029，時間單位為年。用此模型估算某些國家1700-1961年的人口數(shù)目時竟然驚人的吻合。但是這個模型是發(fā)散的，不能以此長期預(yù)報?？紤]到人類生存環(huán)境的有限性，Verhulst認(rèn)為人口增長率既和人的生育能力a成正比，也和與地球容納的人口總數(shù)有關(guān)的常數(shù)b有關(guān)，關(guān)系是，設(shè)地球容納的人口總數(shù)= 4-2則改進(jìn)的人口模型為 4-3例如，1980年5月1日，我國公布1979年底為97092萬人，當(dāng)時人口增長率1.45%，將a=0.029、dp/dt=0.029代入，有0.029-b×9.7092×10

9、8=0.0145，得到我國人口極限約為a/b=19.42億。欲將微分方程式4-3改寫成迭代方程，將寫為， 4-4A得 4-4B為了使其簡捷，顯然應(yīng)該寫成 4-4括號內(nèi)第一項寫成1是歸一化的考慮，表示人口總數(shù)為1。這就是著名的邏輯斯蒂映射，本書已經(jīng)在第2章第3節(jié)列出，它還可以以其它形式寫出來，式4-4的形式稱為標(biāo)準(zhǔn)邏輯斯蒂映射。它有3個因素構(gòu)成:x是變量，表示“人口”，下標(biāo)n表示“代”，x取值01。表示增長系數(shù)，<1人口衰落，>1人口發(fā)展。（1-xn）表示環(huán)境限制因素。標(biāo)準(zhǔn)邏輯斯蒂映射的分岔圖與對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)如圖4-1與圖4-2所示。圖4-1與圖4-2可以用光盤程序VB1010

10、.FRMVB1015.FRM運行得到。圖4-1中，=13的一段呈現(xiàn)的特性是周期1，=33.4左右的一段呈現(xiàn)的特性是周期2，之后分別是周期4、周期8、周期16等等，從=3.83后的一段呈現(xiàn)的特性是周期6、周期12、周期24等等。下面仔細(xì)分析周期1的一段曲線，代入式4-4，因為代入時可以去掉下標(biāo)，即是一個代數(shù)方程，有兩個變量：自變量x與參變量，對于自變量x，是二次代數(shù)方程。解x的二次代數(shù)方程，得第一個解是,不予討論，第二個解代入4-4得，由于x在01間，得到>1，即周期1開始于=1。下面分析周期2的一段，代入式4-4，因為即解之得 (a) (b)圖4-1 標(biāo)準(zhǔn)邏輯斯蒂映射的分岔圖 (a) (

11、b)圖4-2 標(biāo)準(zhǔn)邏輯斯蒂映射的李雅普諾夫指數(shù)由第一式，得到>3，即周期2開始于=3。再下面是周期4，類似計算方法原則上并不困難，就是解四次方程而已，但是已經(jīng)相當(dāng)復(fù)雜了，在此不再具體計算，結(jié)果是總結(jié)以上幾個數(shù)據(jù)，周期2的區(qū)間長度與周期1的區(qū)間長度之比是同樣方法得到周期4的區(qū)間長度與周期2的區(qū)間長度之比，依此類推，能夠得到一個收斂的極限值。理論物理學(xué)家費根堡姆（Feigenbaum M J）于1978年對邏輯斯蒂映射以及其它的映射與方程進(jìn)行全面、系統(tǒng)研究，找到這個區(qū)間長度之比收斂的極限值是4.66920，是普遍存在于自然界的普適常數(shù)-費根堡姆常數(shù)，如同于相對論中的光速常數(shù)與量子力學(xué)中的普朗

12、克常數(shù)，具有深刻的哲學(xué)意義，后面的論述表明電子電路中的形態(tài)也符合這一規(guī)律性。二、邏輯斯蒂映射的普遍性及其在電子電路中的存在形式盡管以上邏輯斯蒂映射是從人口模型推導(dǎo)出來的，但是，邏輯斯蒂映射是自然界的普遍現(xiàn)象，廣泛存在于機械、電磁、光學(xué)、氣象、生物、經(jīng)濟等等各種運動中，電子學(xué)電路中比比皆是26，44，如緒論一章中講到的周期信號施加到電感、電容、二極管串聯(lián)電路上就能夠以這樣的方式進(jìn)入混沌。它具有生物學(xué)、數(shù)學(xué)、哲學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)及其它學(xué)科的深刻意義。電子電路中存在邏輯斯蒂映射的根本原因是：從電子電路狀態(tài)變量提煉出的數(shù)學(xué)方程與其它學(xué)科領(lǐng)域的運動方程具有相同的形式，表明它們具有共同的規(guī)律性，電子電路方

13、程盡管具有自己的特點，共同規(guī)律性仍然是主要的。觀察電子電路中邏輯斯蒂映射圖象的方法是使用程序設(shè)計高級語言的顯示語句，程序設(shè)計高級語言如VB。以觀察杜芬方程電路中的邏輯斯蒂映射圖象為例，程序編寫比觀察蔡氏電路中的邏輯斯蒂映射圖象容易，下面分別介紹兩種電路中的邏輯斯蒂映射圖象顯示程序編寫思想。先介紹杜芬方程的，參見公式3-45，固定參變數(shù)a、b、，在VB中，先建立平面坐標(biāo)系，橫坐標(biāo)選杜芬方程的外力幅度變量f，縱坐標(biāo)選杜芬方程在滿足外力特定相位條件的響應(yīng)幅度變量x，之后編寫程序，顯示這些離散值，結(jié)果如圖4-3所示。(a) f=070 (b) f=010圖4-3 杜芬方程的邏輯斯蒂映射蔡氏電路中的邏輯

14、斯蒂映射圖象顯示程序編寫需要一些技巧，關(guān)鍵是如何選擇合適的“相位”。不象杜芬方程的周期外力，蔡氏電路中沒有類似的周期外力，方法是在蔡氏電路的三個變量VC1、VC2與IL中，原則上說可以取任意一個變量，在它的最大值處就可以說是一個特定的“相位”了。一個程序?qū)嵗?，取歸一化蔡氏電路的m0=-1/7、m1=2/7、=15, 以為橫坐標(biāo)軸，以y為縱坐標(biāo)軸，電路呈現(xiàn)邏輯斯蒂映射圖象，在以前已經(jīng)出現(xiàn)過，見圖3-13，VB仿真程序源代碼見光盤文件VB5250.FRM。所有非線性電路中的邏輯斯蒂映射圖象形式盡管差別很大，然而共性是主要的，都有費根堡姆常數(shù)作為標(biāo)志，并且與其它非線性動力系統(tǒng)相一致。在任何非線性電

15、路中的邏輯斯蒂映射圖象中，都是分形結(jié)構(gòu)。形成邏輯斯蒂映射圖象的所有非線性電路，非線性的形式可能很多，但是結(jié)果基本一致，整體規(guī)律性完全不變。三、邏輯斯蒂映射電路設(shè)計電子電路中的邏輯斯蒂映射應(yīng)用也很多。專門應(yīng)用就是設(shè)計，后面的章節(jié)涉及很多，現(xiàn)舉一例說明67。圖4-4(a)中，乘法器實現(xiàn)，放大器的放大倍數(shù)為，脈沖發(fā)生器及模擬開關(guān)控制迭代的節(jié)拍（即由xn產(chǎn)生xn+1的間隔），采樣保持器保持當(dāng)前值xn與xn+1。正常工作過程為：在電源上電的瞬間，模擬開關(guān)處于斷開狀態(tài)，控制放大器的輸出xn使其小于1，同時減法器實現(xiàn)1-xn運算，并將兩路結(jié)果分別保持在采樣保持器中，則系統(tǒng)輸出為xn；此刻，瞬間啟動模擬開關(guān)，

16、乘法器實現(xiàn)xn與（1-xn）相乘運算，經(jīng)放大器倍放大后，放大器的輸出便為，完成了式4-4的一次迭代運算，重復(fù)以上過程，即實現(xiàn)了邏輯斯蒂映射過程。為了防止電路受到干擾使輸出值xn大于1或電路因元器件精度的限制達(dá)到穩(wěn)定點（輸出恒為0.5V），在輸出端設(shè)計了比較器，當(dāng)輸出值大于1時，單穩(wěn)電路起作用，將初始值x0=0.38V電壓加到乘法器上，令電路再次進(jìn)入混沌狀態(tài)。由于電路存在的各種噪聲及元器件工作的不穩(wěn)定性，使得系統(tǒng)在相同的初始值情況下，運動軌跡也是不一樣的，這一點從某種意義上而言，也有利于圖4-4(a)所示系統(tǒng)處于混沌工作狀態(tài)。圖4-4(b、c)是脈沖發(fā)生器頻率為100kHZ，即每10S迭代一次，

17、該電路能夠產(chǎn)生頻域及自相關(guān)函數(shù)波形的輸出信號。圖4-3(b,c)示出=3.85時的有關(guān)波形，計算其李亞譜諾夫指數(shù)為0.692 9左右，大于零，理論計算亦表明此時信號處于混沌狀態(tài)，輸出的信號具有良好的白噪聲特性。(a) 邏輯斯蒂映射電路方框圖（b）混沌信號頻域波形 （c）混沌信號自相關(guān)波形圖 4-4 邏輯斯蒂映射方框圖及3 85時混沌信號頻域及自相關(guān)波形設(shè)一線性時不變系統(tǒng)，它的單位沖激響應(yīng)為h(t)，如輸入信號為x(t)，則可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(t)=x(t)* h(t)，根據(jù)相關(guān)原理，有 4-5式4-5中Ryy為系統(tǒng)輸出信號自相關(guān)函數(shù)；Rxx為系統(tǒng)輸入信號自相關(guān)函數(shù)；Rhh為系統(tǒng)單位沖激響

18、應(yīng)自相關(guān)函數(shù)。當(dāng)輸入信號為混沌信號時，則有：是混沌信號的方差。則 4-6此式表明，只要檢測到輸出信號y(t)，并求其自相關(guān)函數(shù)Ryy(t），那么，系統(tǒng)的功率譜估計為：Phh(w)=LRhh(t)，即可求得系統(tǒng)的頻率特性。圖4-5（a）為一已知低通濾波器，電阻 R=100，電容 C=150F，輸入信號為X(t），輸出信號為y(t）。理論計算，該低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)頻率響應(yīng)為 4-7則，對應(yīng)的幅一頻特性曲線如圖4-5(b）所示。如作用該系統(tǒng)的輸入信號X(t)為圖4-5所示的混沌信號，利用式4-6可直接通過求輸出信號的幅一頻特性來確定系統(tǒng)的頻率特性，實際獲得的輸出響應(yīng)特性如圖4-5（c）所示。二者比

19、較可知，用混沌信號來估計系統(tǒng)的幅一頻特性是可行的。圖4-4(a)所示電路產(chǎn)生的混沌信號，不但可用于系統(tǒng)的特性分析，還可通過簡單的處理，產(chǎn)生混沌序列，用于保密通信或跳頻通信領(lǐng)域中。同時，如將圖4-4(a)中運算放大器的反饋電阻用熱敏電阻或壓敏電阻等敏感元器件來替代，則當(dāng)外界物理量發(fā)生變化時，可引起運算放大器放大系數(shù)的改變，此時輸出信號可經(jīng)倍周期分叉進(jìn)人混沌，從而可通過對輸出信號頻率特性的測量實現(xiàn)對外界溫度或材料損傷程度的檢測。（a）RC電路 （b）理論計算幅頻特性 （C）實際測試幅頻特性圖4-5 低通濾波器電路及幅頻特性第三節(jié) 圓周映射理論與頻率牽引電路實驗一個具有固有周期的系統(tǒng)在外來周期作用下

20、的雙周期動態(tài)特性歷來被人們所重視，在線性科學(xué)技術(shù)中，其動態(tài)屬性由諧振曲線描述，這早已為人熟知。非線性問題研究初期，雙周期系統(tǒng)動態(tài)特性是研究的典范。上世紀(jì)中葉，在數(shù)學(xué)科學(xué)中，數(shù)學(xué)家對于此類問題的研究取得了較大進(jìn)展，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要突破。這一問題是自然科學(xué)的基本問題，是人們對于自然界認(rèn)識的深化。在電子電路中涉及到兩個基本的電路-線性放大器與非線性LC振蕩器（面應(yīng)該更寬些），這是兩個在技術(shù)上相互獨立并且盡量避免影響的電路，現(xiàn)在將二者聯(lián)系起來綜合研究。因此，這是一個交叉問題。中心問題是圓周映射（Circle map）。圓周映射是關(guān)于自然界的周期運動相互影響而同步(Syncronazation)的

21、理論，反映自然界的周期的、準(zhǔn)周期(qusipriodicity)的與混沌的運動之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是一個周長為1的圓周上的點映射到自身上的迭代變換，有兩個控制參數(shù)，即二維的參數(shù)空間，它通向混沌的路徑比較復(fù)雜。表現(xiàn)為周期的、準(zhǔn)周期的和混沌的運動。一、同步鎖?，F(xiàn)象在17世紀(jì)荷蘭物理學(xué)家惠更斯（Huygens）注意到家里木板墻上兩掛鐘較近時會互相影響而同步。瑞利觀察到兩風(fēng)琴管靠近時音調(diào)一致，較遠(yuǎn)時則發(fā)生差拍。在電機工程技術(shù)中，工程師們用頻率較準(zhǔn)的石英振子來使電機同步。在涉及兩個頻率的動力學(xué)系統(tǒng)中同步是一種比較普遍的現(xiàn)象，但兩振動模式之間必需有非線性的耦合。最先將同步現(xiàn)象與混沌聯(lián)系起來的是拓?fù)鋵W(xué)家們。同

22、步現(xiàn)象稱為鎖相(phase locking)、鎖頻(frequency locking)或鎖模(mode locking)等11,12,16,63,68,70,72,73。目前，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家已對圓周映射理論進(jìn)行深入研究，并建立了相應(yīng)的物理模型，文獻(xiàn)12就通過一個振動水桶的滴水實驗建立了一個標(biāo)準(zhǔn)圓周映射，文獻(xiàn)174則通過起泡槍實驗對圓周映射進(jìn)行了研究。然而要對其進(jìn)行廣泛應(yīng)用，需要電子線路的支持，建立其相應(yīng)的電路模型。以兩個振蕩器的相互耦合來建立標(biāo)準(zhǔn)圓周映射，兩個振蕩器的關(guān)系如圖4-6。圖中振蕩器電路都是由放大器單元電路A與正反饋電路F組成。其中，圖4-6(a)為兩個振蕩器的頻率耦合，屬于相互

23、耦合，其電路模型如圖4-6(b)所示。若其中一個振蕩器的頻率穩(wěn)定，頻率耦合就是單向的，即單向耦合，這時可以將振蕩器演變成信號源，如圖4-6(c)所示。圖4-6 兩個振蕩器之間的相互耦合為了敘述方便，將振蕩器的輸出用通式形式的周期波形表示，為，不妨設(shè)，其中，f為振蕩頻率，波形如圖4-7(a)所示。將振蕩器輸出為鋸齒波，并將其幅度歸一化為1，波形如圖4-7(b)所示。設(shè)Vm1為電壓振蕩器的歸一化振幅。Vm1Vo1(a)tVo2(b)t0Vo2(t)(c)tntn+1tn+2t(a) 振蕩器自由振蕩時的輸出波形 (b) 振蕩器自由振蕩時的輸出波形(c) 振蕩器被鎖相時輸出波形的分析圖4-7 兩振蕩器

24、相互耦合的輸出波形將振蕩器的輸出耦合到振蕩器，其輸出波形見圖4-7(c)，設(shè)鋸齒波斜率為c，即 ，則由圖4-7(c)可以看出： 4-8設(shè)歸一化相位，則由4-8式得到： 4-9設(shè)，代表兩振動的頻率之比；設(shè)，稱為非線性耦合的強度，當(dāng)被確定之后，k取決于激勵信號的歸一化幅度Vm1，則式4-9變?yōu)椋?（模1） 4-10這個映射就是標(biāo)準(zhǔn)正弦圓周映射12,16,70,175，它含有K和兩個參數(shù)。若是有理數(shù)，則迭代就是周期性的；若是無理數(shù)，迭代應(yīng)該是非周期性的，這又分兩種情況，若K值非常小，迭代確實是非周期性的；然而，若K值稍微增加時，迭代又成為周期性的，頻率為接近無理數(shù)的一個有理數(shù)。對任何周期序列，定義：

25、 4-11它與初值x0無關(guān)，稱為卷饒數(shù)(winding number)。當(dāng)為有理數(shù)時，=。當(dāng)為無理數(shù)時，在非線性的作用下，系統(tǒng)的卷饒數(shù)可以被鎖定在有理數(shù)上，這就是同步鎖頻的原因。圖4-7(c)的研究目標(biāo)在傳統(tǒng)的電子電路中是不予研究的。傳統(tǒng)電子電路曾經(jīng)研究過信號源為正弦信號施加于線性LRC串聯(lián)電路的情況，LRC電路響應(yīng)是單峰幅頻特性曲線與單調(diào)相頻特性曲線。傳統(tǒng)電子電路不研究任何振蕩器被外界施加正弦信號源的電路，因為它意味著振蕩器遇到了干擾，造成頻率不穩(wěn)定，應(yīng)該從技術(shù)上予以避免。非線性電路研究恰好相反，對于這個問題特感興趣并進(jìn)行了深入細(xì)致的研究。仔細(xì)觀察圖4-6(c)，若Vs振幅為零，電路又回到了

26、原來的振蕩器，頻率是固有頻率fo，Vo是周期波形，n為整數(shù)。若Vs振幅不為零，圖中畫出，它與VF相加，先考慮Vs與VF線性相加且Vo是二者的線性相加的結(jié)果，則Vo是兩個獨立頻率的疊加，相圖表示為或者是周期波形或者是擬周期波形，取決于fs與fF之比是有理數(shù)還是無理數(shù)，將這種情況用映射方法來表示，是常數(shù)，是線性映射，表示與的遞推關(guān)系，注意兩個頻率的振幅一般是不同的。再考慮或者是Vs與VF非線性相加或者是Vo是二者的非線性相加的結(jié)果，二者的效果是一樣的，都表示信號源“改變”了振蕩電路的振蕩機制，參見圖4-7。若是有理數(shù)，則迭代就是周期性的; 若是無理數(shù)，迭代應(yīng)該是非周期性的，這又分兩種情況，若K值非

27、常小，迭代確實是非周期性的; 然而，若K值稍微增加時，迭代又成為周期性的，頻率為接近無理數(shù)的一個有理數(shù)，即，在 4-14中，是接近無理數(shù)的一個有理數(shù)，當(dāng)為有理數(shù)時，=。當(dāng)為無理數(shù)時，在非線性的作用下，系統(tǒng)的卷饒數(shù)可以被鎖定在有理數(shù)上。以上敘述說明，有了外界周期性的非線性耦合，振蕩器的相位與頻率脫離了原來的固有值，而原來的固有值是經(jīng)過線性電路理論的嚴(yán)格推導(dǎo)與大量的實驗以及經(jīng)過實踐驗證而得到的。當(dāng)外界周期性非線性耦合信號弱到零時，振蕩器的相位與頻率又回到原來的固有值，體現(xiàn)非線性與線性的辯證統(tǒng)一關(guān)系。當(dāng)外界周期性非線性耦合信號很弱但還不是零時，振蕩器的相位與頻率是原來的固有值與外界周期性信號值非常接

28、近的一個有理數(shù)，它使原來的同步范圍加寬了，形成新的結(jié)構(gòu)，這個結(jié)構(gòu)就是圓周映射理論研究的結(jié)構(gòu)，一個在線性理論中沒有的新的結(jié)構(gòu)。圓周映射理論說明人類在對自然規(guī)律的認(rèn)識上又前進(jìn)了一步，它所包含的意義還有待進(jìn)一步去發(fā)掘，對其進(jìn)行電路建模具有深刻的意義。本節(jié)用電路的模型得到標(biāo)準(zhǔn)正弦圓周映射，并通過在普通LC振蕩電路的頻率牽引實驗，證明了若振蕩器有了外界周期性的非線性耦合，相位與頻率脫離了原來的固有值。該電路的實驗數(shù)據(jù)內(nèi)容涵義深刻，對其進(jìn)行深入的研究有助于對圓周映射的理解。二、阿諾爾德舌頭先做一個粗略的數(shù)值實驗（見光盤文件VB4404.FRM）。對式4-13編寫程序，先在K的01的范圍內(nèi)取如下表的某幾個值

29、，對應(yīng)每個K值取的某些值，進(jìn)行迭代，觀察這些迭代值，發(fā)現(xiàn)確實有一些周期，如K=1的程序運行結(jié)果如下，6個K值的部分結(jié)果如表4-11所示(程序設(shè)計精度0.02)。圖4-8 K=1的數(shù)字實驗結(jié)果表4-1 圓周映射數(shù)字實驗的部分?jǐn)?shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果K周期1周期4周期3周期6周期2周期6周期3周期4周期110-0.140.280.34-0.360.36 0.48-0.520.660.64-0.660.720.86-10.90-0.140.280.34-0.360.36 0.48-0.520.660.64-0.660.720.86-10.70-0.10.270.340.50.660.730.9-10.50-0.

30、060.260.340.50.660.740.94-10.30-0.040.50.96-10.100.51通過數(shù)值實驗可以觀察到起始于k=0的每一個有理數(shù)所能鎖定的范圍隨k的增大而變寬，從而形成一個個楔形區(qū)域，如圖4-9所示。這些楔形區(qū)域通常稱為阿諾爾德舌頭（Arnol'd tongue）。在（0，1）中，總存在一些有限的區(qū)間來表示所有可能小于1的有理卷饒數(shù)，這些區(qū)間的寬度隨著k單調(diào)增加，并且在k1的情況下不會發(fā)生重疊。在k=1處阿諾爾德舌頭的寬度增大到開始彼此銜接。圖4-9給出了這時卷饒數(shù)與的關(guān)系，它是由無數(shù)個大大小小的平臺和階梯組成的，無論將其局部作多大倍數(shù)的放大，看上去總是類似的

31、，永遠(yuǎn)不能看清其階梯的細(xì)節(jié)。因此被稱魔鬼樓梯(devils staircase)。 圖4-9 阿諾爾德舌頭 圖4-10 魔鬼樓梯三、圓周映射分岔圖圖4-9畫出了阿諾爾德舌頭的圖形，有效范圍在K1，由此導(dǎo)致魔鬼樓梯的畫出。在K>1范圍，不存在阿諾爾德舌頭的概念，K的所有范圍的圖形是就是圓周映射的分岔圖。分岔圖可以以理論為根據(jù)畫出，類似圖4-9，也可以編寫程序畫出，見圖4-11(a)。圖4-11(a)中K<1的部分與圖4-9比較明顯變壞了，各個舌頭都伸不到底，這是因為此程序很費計算機CPU時間，但是此圖也有另外的一些好處。圖4-11(a)畫出了K的03及的01的部分，的其它部分與的01

32、的部分完全相同，以的01部分為周期。在K1的部分，黑色是周期與擬周期部分，應(yīng)該如圖4-9那樣伸到底并且無限稠密，在K>1的部分，呈現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)。作為輔助性說明，圖4-11(b)對圖(a)重畫一遍。應(yīng)該看到圖4-11的復(fù)雜性是深刻的，例如，某些地方出現(xiàn)兩條曲線的交叉，說明它是處于不同周期或擬周期的交叉，這些地方的動態(tài)特性的真正值如何理解是一個嚴(yán)重的問題，它使我們的認(rèn)識產(chǎn)生了困惑，又一次出現(xiàn)了認(rèn)識上的危機，其嚴(yán)重性并不亞于數(shù)學(xué)歷史上的三次危機，具有新的哲學(xué)意義，這就是圓周映射引起人們極大興趣的根本原因。(a) 用程序運行生成的圓周映射分岔圖 (b) 圓周映射分岔圖的結(jié)構(gòu)描述圖4-11 圓周映射

33、分岔圖圓周映射4-13式的不動點可用代入而得到 4-16穩(wěn)定條件為 4-17取穩(wěn)定的極限值f'(x),由4-16式和4-17式可以解出分岔線。取，可得 4-18這是兩條直線，為圖4-11(b)中下方兩條直線，這是準(zhǔn)周期運動轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谶\動的分岔線。取，可得 4-19這是一條雙曲線，對應(yīng)于圖4-11(b)中中間的曲線。當(dāng)隨k值增加而跨越該線時，穩(wěn)定的周期運動發(fā)生倍周期的分岔。這時k值大于等于2。圖4-11(b)中的上面曲線為對應(yīng)f'(x)=0的臨界線。對應(yīng)在這條線上的k、值使映射有非常穩(wěn)定的序列。如果繼續(xù)增大k值則出現(xiàn)兩條倍周期的分岔線。隨k值繼續(xù)增大，則因迅速的倍周期分岔而進(jìn)入混

34、沌運動。如果沿著曲線軌跡運動，則會存在一個在幾何上不再變化的吸引子。這樣，混沌吸引子與周期吸引子可以同時存在。在圓周映射中，除上述的從倍周期過渡到混沌外，還存在著從準(zhǔn)周期運動變?yōu)榛煦邕\動的情況。為此我們從圓周映射的李雅普諾夫指數(shù)來討論。圖4-12（a）到(k)分別給出了k=0.2、0.8、0.9、0.99、1、1.2、2、3、5時李雅普諾夫指數(shù)與的關(guān)系。在圖4-12(a)到(d)中0，(e)中k=1.0，都不存在混沌運動，與前面分析結(jié)果相同。在圖4-12（f）到(k)中k=>1，出現(xiàn)了>0的混沌情況。例如圖4-12（f），在K>0.34時即出現(xiàn)了>0的混沌情況，此處的位

35、置在k、參數(shù)空間中位于4-17式表示的直線的下方，即還在準(zhǔn)周期向周期運動轉(zhuǎn)變的分岔線下方。在這樣的區(qū)域出現(xiàn)混沌，顯然是與倍周期分岔無聯(lián)系的，因而只能是從準(zhǔn)周期運動進(jìn)入混沌運動的，這是在邏輯斯蒂映射中沒有的情況。正是由于圓周映射有兩個參數(shù)，故而它走向混沌的道路是豐富多樣的。 (a)k=0.2 (b) k=0.8 (c) k=0.9 (d) k=0.99 (e) k=1 (f) k=1.2 (g) k=2 (h) k=3 (i) k=5圖4-12 圓周映射的李雅普諾夫指數(shù)四、法利樹圓周映射的卷曲數(shù)用分?jǐn)?shù)p/q表示，從圖4-11所示的阿諾爾德舌頭對應(yīng)的卷曲數(shù)的寬度看出各個卷曲數(shù)排列順序，用法利數(shù)表示

36、。圖4-13畫出了01范圍內(nèi)最前面5級法利數(shù)，上圖是法利樹的生成法，第一級用0/1與1/1表示此圖的范圍，第二級是1/2，是上面2個法利數(shù)的“法利和”，表示為(p1/q1)(p2/q2)=(p1+q1)/(p2/q2)。下圖是法利樹的表示法，畫出了02的最前面5級法利數(shù)。圖4-13 法利樹的生成法（上）與結(jié)構(gòu)（下）法利數(shù)的運算規(guī)則及其在動力學(xué)方面的應(yīng)用屬于符號動力學(xué)的范圍67-69。五、LC振蕩器的頻率牽引實驗圓周映射的電子線路實驗驗證是頻率牽引實驗63，在普通LC振蕩器實驗的基礎(chǔ)上經(jīng)簡單改變即可實現(xiàn)，該實驗是在普通LC振蕩器的放大器三極管發(fā)射極回路串聯(lián)一個電阻Rin，外加輸入正弦波信號從此點

37、注入振蕩器，如圖4-14所示。圖4-14 LC振蕩器的頻率牽引實驗電路圖若圖4-14電路中的放大器放大倍數(shù)為A，反饋電路(LC諧振電路)的反饋系數(shù)為F，且LC電路的參數(shù)為L、C、R，按照其基本原理，振幅平衡條件與振蕩頻率分別為： 4-20及 4-21正弦波信號輸入至振蕩器，則振蕩器可能與外信號同步，即頻率牽引，外加正弦波信號頻率fi在f0附近時頻率牽引現(xiàn)象最容易實現(xiàn)，這種情況的頻率之比是1。頻率牽引現(xiàn)象觀測的實驗電路如圖4-15所示，示波器置于李薩如圖形測量法。圖4-15 LC振蕩器的頻率牽引實驗電路儀器連接圖圖4-15中，振蕩器輸出頻率fo可以被外加正弦信號頻率fin牽引，以輸入信號的頻率與

38、幅度為坐標(biāo)做平面坐標(biāo)系，則頻率牽引的關(guān)系應(yīng)該如圖4-16所示，圖4-16也就是圖4-9或者說是圖4-11。若fin在nf0附近(n為正整數(shù))則振蕩頻率可被牽引為fin/n; 若fi在f0/n附近，則振蕩頻率可被牽引為nfi。如圖4-16（理論）與圖4-17（某次實測）所示。圖4-16 頻率牽引的實驗數(shù)據(jù)范圍圖4-17 一次實測記錄圖4-17中，在Vin=0處，電路4-22是標(biāo)準(zhǔn)振蕩器，輸出頻率是固有頻率f0,處于x軸上; 在Vin很小的范圍內(nèi)，電路可以看作有一個干擾，仍然是振蕩器，輸出頻率f0，處于圖4-17的靠近x軸的范圍; 在Vin很大的范圍內(nèi)，放大器主要是放大Vin，輸出頻率等于fin，

39、處于圖4-17的上方;其余范圍電路處于兩個頻率競爭的狀態(tài)，呈現(xiàn)出非常復(fù)雜的圖形分布。由圖4-17可見，它與圖4-11(a)相差很遠(yuǎn)，本來應(yīng)該一致。例如LC振蕩器固有頻率f0約為68KHZ，注入頻率的外加信號源的輸出幅度保持Vin為0.2V不變，改變fin，畫fin-v0坐標(biāo)系，振蕩器輸出電壓隨輸入頻率的關(guān)系如圖4-18(a)所示，發(fā)現(xiàn)輸出有許多“諧振峰”，峰值最大的在f0，次之的在(1/2)f0與(3/2)f0，再次之的在(1/4)f0、(3/4)f0、(5/4)f0與(7/4)f0，依此類推。對照線性電路，諧振峰只有一個，并且出現(xiàn)在f0。條件同上，在振蕩器輸出端測出的輸出頻率如圖4-18(b

40、)所示，在許多“頻率段”范圍內(nèi)，輸出頻率與輸入頻率相同，這正是“魔鬼樓梯”的反映。(a)輸出振幅與輸入頻率的關(guān)系曲線 (b)輸出頻率與輸入頻率的關(guān)系曲線圖4-18 非線性耦合中頻率牽引輸出的振幅及頻率與輸入頻率的關(guān)系如圖4-19，使fin與f0略有少許差別，若Vin由零逐漸增加，測出的李薩如圖形與正弦波形則由(a)經(jīng)過(b)逐漸變到(c)，仔細(xì)觀察圖形變發(fā)現(xiàn)，圖(b)是雙頻現(xiàn)象，其信號是差拍信號。對應(yīng)的運動是擬周期振蕩，頻率之比也許是有理數(shù)，也許是無理數(shù)，沒有任何實際意義，因為二者在實際頻率概念上是無法區(qū)分的，即使技術(shù)上能夠區(qū)分也無法控制，因為二者都有穩(wěn)定性的問題，隨著環(huán)境溫度等條件的變化，頻

41、率比值在有理數(shù)與無理數(shù)之間變化。此時若緩慢、仔細(xì)地改變信號源的幅度與頻率，電路可能進(jìn)入混沌狀態(tài)，表現(xiàn)為波形怎么調(diào)試也不能穩(wěn)定下來，只能依靠操作者對于混沌的理解力與對于示波器操作技巧作出判斷了，判斷出是混沌波形，還是示波器沒有調(diào)試穩(wěn)定。若要嚴(yán)格地判斷是否顯示的是混沌，需要使用存儲示波器，將信號打印出來，反復(fù)、仔細(xì)地分析。(a) 輸出頻率為f0 (b) 輸出頻率為fin與f0 (c) 輸出頻率為fin圖4-19頻率牽引現(xiàn)象的實驗數(shù)據(jù)內(nèi)容很豐富，測量的數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)豐富多采的結(jié)構(gòu)，且測量結(jié)果不單一。也可以用其它類型的振蕩器(RC型、文式橋型等)進(jìn)行實驗。以上實驗結(jié)果表明：（1）該實驗是在極簡陋的實驗電

42、路上經(jīng)過僅一次實驗就完成的，說明該實驗的普遍性與有效性;（2）明顯可見，實驗結(jié)果圖4-17與理論圖形圖4-9、圖4-11(a）的差別很大，而且實驗過程中fo各種周期測量重復(fù)性比較差，周期1的覆蓋范圍比理論范圍大得多，說明電路的實際非線性可能更復(fù)雜。整體結(jié)論是，實際的頻率牽引在較大的非線性范圍內(nèi)，耦合程度與效應(yīng)具有很強的周期1效應(yīng)，使得在自然界基波共振（同頻共振）比以前想象得還要大，避免共振破壞應(yīng)當(dāng)引起更大的重視。第四節(jié) 洛倫茨方程及其電路模擬一、洛倫茨方程組的建立洛倫茨方程組于式2-38引入，重寫如下 4-22式4-22有3個變量x、y、z，x正比于大氣對流運動的強度，y正比于水平方向的溫度變

43、化，z正比于豎直方向的溫度變化。有3個參數(shù)變量、r、b，全為正數(shù)，是與空氣粘滯系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)有關(guān)的常數(shù)，r是引起對流和湍流有關(guān)的常數(shù)，b是與對流縱橫比有關(guān)的外形因素常數(shù)。洛倫茨方程是對于大氣運動的模型描述，已經(jīng)忽略了許多真實的大氣運動參數(shù)，可以理解為“玩具氣象”。方程的導(dǎo)出可以參見文獻(xiàn)7。二、洛倫茨方程組的數(shù)學(xué)分析7對于大氣的對流運動，洛倫茨取，對4-22進(jìn)行數(shù)學(xué)分析， 4-23式4-23的奇點為O（0，0，0），A（6，6，27），B（-6，-6，27）。在奇點處的線性近似系統(tǒng)的特征方程為 4-24其中是奇點坐標(biāo)，求得相應(yīng)的特征值為：（0，0，0）點相應(yīng)的特征值為，; （±6，&

44、#177;6，27）點相應(yīng)的特征值為，三個奇點都有正實部的特征值，都不穩(wěn)定。洛倫茨方程組4-22在三個奇點附近的軌線分布如圖4-20所示。 圖4-20 洛倫茨方程在三個奇點附近的軌線分布 圖4-21 洛倫茨方程奇異吸引子下面討論4-23的吸引子。取李雅普諾夫函數(shù) 4-25是一族同心橢球面。是上述橢球的外法線方向與方向場的數(shù)量積。具體地算得于是在橢球面 4-26的外面，即在4-26式的橢球面外面包圍4-26的光滑閉曲面上，4-22的軌線皆穿過閉曲面進(jìn)入曲面內(nèi)部。取一個這種光滑曲面為 4-27則奇點O、A、B與4-26橢球面皆包在4-27橢球面之內(nèi)。4-27橢球面V=C所圍之區(qū)域D是4-23軌線的

45、“捕捉區(qū)”，研究結(jié)果表明，4-23無閉軌，而且在D內(nèi)存在奇怪吸引子。見圖4-21，此奇怪吸引子的維數(shù)是2.06。數(shù)值計算表明，相軌線在A附近繞若干圈之后下沉，然后甩到左側(cè)，繼而在B附近繞若干圈再下沉，甩到右側(cè)在A附近繞若干圈，如此，忽左忽右地往復(fù)徘徊，且每次在A附近或B附近繞行的圈數(shù)是隨機的。這種確定系統(tǒng)4-23的內(nèi)部隨機性正是一種混沌表現(xiàn)，其長期行為是無法預(yù)報的。三、洛倫茨方程組仿真實驗洛倫茨方程組仿真實驗方法很多，現(xiàn)以MATLAB進(jìn)行仿真。在進(jìn)行仿真之前，先看一看MATLAB軟件內(nèi)建提供的兩個洛倫茨方程組的仿真程序。在命令窗口上鍵入“l(fā)orenz”就可顯示出洛倫茨方程組第一個仿真結(jié)果，是三

46、維顯示的相軌線流圖。在命令窗口上鍵入“l(fā)orenz2”則顯示出洛倫茨方程組第二個仿真結(jié)果，是二維顯示的電壓波形圖與相軌線流圖二種動態(tài)圖形，讀者可以實驗，以獲得感性認(rèn)識?，F(xiàn)放棄內(nèi)建的圖例，使用MATLAB設(shè)計仿真圖，方便于進(jìn)一步的編程。仿真圖與運行結(jié)果如圖4-22(a)(b)所示。 (a) 洛倫茨方程仿真圖 (b)洛倫茨方程奇異吸引子圖4-22 洛倫茨方程仿真圖與奇異吸引子二維相圖進(jìn)一步，不用MATLAB仿真，使用MATLAB軟件編寫程序，顯示三維相圖。MATLAB程序見光盤文件“MAT4317.M”與“MAT4316.M”，運行結(jié)果如圖4-23所示。 圖4-23 洛倫茨方程奇異吸引子三維相圖四

47、、MATLAB輔助洛倫茨方程組模擬電路設(shè)計在洛倫茨方程組的歸一化過程中，數(shù)值x、y、z和t，都已偏離了原始的物理意義，因此，在將其轉(zhuǎn)換成實際電路上，不妨將x、y和z的數(shù)值單位視為伏特數(shù)，而時間t的單位則視為秒。以此為標(biāo)準(zhǔn)，我們便可將實際電路修正得更為完備。1、電路元件輸入輸出限制的修正一般而言，運算放大器和集成模擬乘法器的輸入輸出限制，約在10V20V左右，現(xiàn)以20V為基準(zhǔn)，來限制各元件的輸入輸出電壓。原始的洛倫茨方程組電路方框圖如圖4-22(a)所示，為方便于具體電路設(shè)計，將其等效轉(zhuǎn)換為圖4-24的形式，其中，每個虛線框圖均為一個運算放大器或集成模擬乘法器，外接電阻或電容線路。A3、B5及C

48、4由積分器實現(xiàn)，A1、B1、B4及C2由反向放大器實現(xiàn)，A2、B3、C3由反向加法器實現(xiàn)，B2及C1以集成模擬乘法器來實現(xiàn)。圖4-24 洛倫茨方程模擬電路圖如果按照圖4-24焊接電路，實踐證明這個電路不能實現(xiàn)混沌輸出，為什么呢？電壓設(shè)計錯誤，繼續(xù)進(jìn)行下面的仿真：因為電路穩(wěn)壓電源一般在正負(fù)20V的范圍內(nèi)，仿真中在每個元件前后接上示波器，觀測波形的最大振幅。當(dāng)示波器分別接到xdot、ydot、zdot、x、y、z、xz輸出、xy輸出，得如表4-2中欄所示觀測值數(shù)據(jù)：表4-2 洛倫茨方程模擬電路中的最大電壓幅度示波器位置校正前最大振幅(V)校正后最大振幅(V)dotx1504.5doty2507.5

49、dotz3009.0x200.6y250.8z451.4xz輸出70021xy輸出40012因此，由表4-2的第二欄可以得知，示波器的最大振幅在xz輸出很大，為700V，其它點電壓也都很高。為了使電路的輸入輸出范圍限制在正負(fù)20V以內(nèi)，需要將所有的數(shù)值壓縮0.03倍。處理的方式為：在集成模擬乘法器xz及xy后，各加上一個1/0.03倍(33.3倍)的運算放大器，便可將洛倫茨方程組各電壓值壓縮0.03倍。按照這種方法仿真，仿真結(jié)果是，示波器顯示的振幅最大值果然約為21V(700×0.03=21V)，如表4-2右欄數(shù)據(jù)所示，實現(xiàn)了最大振幅在正負(fù)20V以內(nèi)的條件。2、積分常數(shù)的影響洛倫茨方

50、程組是歸一化的方程組，基波頻率在1Hz數(shù)量級，電子電路中，對于一般積分器，為使電路誤差值小，積分時間常數(shù)RC不能太小，通常RC值約為10-310-4，例如取RC=10-3 (R=1k，C=1F)，則三個積分器后的數(shù)值需同時放大1000倍，此時所得到的x-z相圖如圖4-25所示，這與原先的x-z相圖(圖4-26)完全一樣，唯一的差別僅在于：由于積分常數(shù)的關(guān)系，洛倫茨方程組中對時間取的微分dt也會放大1000倍，效果僅僅是頻率變快，導(dǎo)致x-y相圖(圖4-25)的精密度不如原始的圖形(圖4-26)。由此可見，積分常數(shù)對系統(tǒng)的混沌動態(tài)特性是不構(gòu)成影響的。 圖4-25 積分器參數(shù)改變后的相圖 圖4-26

51、 積分器參數(shù)改變前的相圖3、集成模擬乘法器Km的修正在實際元件中，集成模擬乘法器的輸出入方程式為其中，Vx及Vy為差分輸入；Vo為差分輸出；Km為一常數(shù)，其值為1/10(V-1)。為了使輸出輸入方程式符合，有兩個方法調(diào)整：一是調(diào)整乘法器的外接線路，使Km值為1(V-1)；二是在集成模擬乘法器后加上放大倍率為10的運算放大器修正。經(jīng)過這些修正，最終的電路設(shè)計如圖4-27所示。見光盤程序EWB4313.EWB。圖4-27 洛倫茨方程模擬具體電路圖4、洛倫茨電路模型總結(jié)：以上得到實現(xiàn)洛倫茨方程組的具體電路4-27。統(tǒng)計圖4-27所需用到的元件，總數(shù)為12個運算放大器，2個集成模擬乘法器。根據(jù)以上仿真的數(shù)據(jù)結(jié)果，由于集成模擬乘法器所需要的精度極高，最好需選用1596型等級以上的乘法器；而在運算放大器方面，使用的等級約在uA741以上即可。另外，在線路中亦可加接數(shù)個電位器，配合仿真的數(shù)據(jù)，便可迅速調(diào)整出x-z的混沌相圖。習(xí)題四一、對于邏輯斯蒂映射，完