第五節(jié)小數(shù)和分?jǐn)?shù).

1、第五節(jié) 小數(shù)和分?jǐn)?shù)5.1 小數(shù)是十進位值計數(shù)值的延伸5.2 分?jǐn)?shù)表示為無限小數(shù)5.3 分?jǐn)?shù)和無限循環(huán)小數(shù)的互化5.4 0.9999 =1嗎？11小教數(shù)學(xué) 邱健 白鴻燕5.1 小數(shù)是十進制記數(shù)制的延伸1.小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)但是又獨立于分?jǐn)?shù)2.小數(shù)是十進制記數(shù)向相反方向延伸的結(jié)果3.小數(shù)的出現(xiàn)，是基于十進制表示數(shù)量的需要4.小數(shù)產(chǎn)生的本原在于計量的需要，并非分?jǐn)?shù)概念的附庸5.生活中小數(shù)的經(jīng)驗遠比分?jǐn)?shù)要多6.所以，小數(shù)比分?jǐn)?shù)容易學(xué)，分?jǐn)?shù)的抽象性更高1.十進位的小數(shù)為什么是最容易懂的分?jǐn)?shù)？ 因為他還沒有循環(huán)小數(shù)之累，相加相減是只要對準(zhǔn)小數(shù)位即可，無需通分找最小公倍數(shù)等技巧性的思考。 2.既然小數(shù)容易

2、學(xué)，那么只學(xué)特殊的10等份的分?jǐn)?shù)可以么？ 不行，因為有限小數(shù)只能表示一部分的分?jǐn)?shù)，大量的分?jǐn)?shù)的小數(shù)表示卻是無限循環(huán)小數(shù)。5.2 分?jǐn)?shù)表示為無限小數(shù)分?jǐn)?shù)的小數(shù)表示，可以用來整體地比較大小。局部來說，分?jǐn)?shù)的比較大小，通分后比較分子大小即可這是局部的關(guān)于兩個數(shù)的比較。整體上考察，全體正分?jǐn)?shù)是可以像自然數(shù)那樣從小到大排列起來。 如果把這些分?jǐn)?shù)一律化成有限或無限小數(shù)，然后按照整數(shù)位和小數(shù)位的位數(shù)，就可以依字典式的順序區(qū)分大小。把它們一一標(biāo)在數(shù)射線上，可以直觀地想象為：所有真分?jǐn)?shù)由小到大、密密麻麻地排列在0，1上，左邊為小，右邊為大，沒有最小的真分?jǐn)?shù)，也沒有最大的真分?jǐn)?shù)，兩個正分?jǐn)?shù)之間不會是空白，當(dāng)中還會

3、有無限多的真分?jǐn)?shù)。 這是分?jǐn)?shù)的半直觀幾何模型，數(shù)軸的雛形。5.3 分?jǐn)?shù)和無限循環(huán)小數(shù)的互化分?jǐn)?shù)和無限循環(huán)小數(shù)的互化 分?jǐn)?shù)化為小數(shù) 小數(shù)化為分?jǐn)?shù) 定理和推論分?jǐn)?shù)化為小數(shù)（1）能化為有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)（）能化為有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)（1/2=0.5） 最簡分?jǐn)?shù)的分母不含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)（2）能化為純循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)）能化為純循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)(1/3=0.3) 最簡分?jǐn)?shù)的分母只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)（3）能化為混循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)）能化為混循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù) (5/22=0.227) 最簡分?jǐn)?shù)的分母既含有質(zhì)因數(shù)2或5， 又含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)最簡最簡分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)分母只含分母只含2或或5的質(zhì)因數(shù)的質(zhì)因數(shù)分母只含分母只含2和

4、和5以外的質(zhì)因數(shù)以外的質(zhì)因數(shù)有限小數(shù)有限小數(shù)循環(huán)小數(shù)循環(huán)小數(shù)分母只含分母只含2和和5以外以外的質(zhì)因數(shù)的質(zhì)因數(shù)分母既含分母既含2和和5的質(zhì)因數(shù)的質(zhì)因數(shù)又含又含2和和5以外的質(zhì)因數(shù)以外的質(zhì)因數(shù)純循環(huán)小數(shù)純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)（1）化有限小數(shù)為分?jǐn)?shù)）化有限小數(shù)為分?jǐn)?shù)(4.8=4(8/10)=4(4/5) 把有限小數(shù)寫成十進制數(shù)，再化成最簡分?jǐn)?shù)（2）化純循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)）化純循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)(16.6=16(6/9)=16(2/3) 循環(huán)節(jié)數(shù)字所組成的數(shù)做分子，一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)的個數(shù)的9做分母得到純循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成的分?jǐn)?shù)。 （3）化混循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)）化混循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù) （0.30

5、9= =306/990=17/55） 把小數(shù)點后的數(shù)減去循環(huán)節(jié)前的數(shù)作為分子， 分母由9和0組成，9的個數(shù)為循環(huán)節(jié)的位數(shù)， 0的個數(shù)為小數(shù)點后不循環(huán)的部分的位數(shù)。309-3990定理及推論分?jǐn)?shù)的小數(shù)表示定理：設(shè) 是一最簡分?jǐn)?shù)，它能用g進位的純循環(huán)小數(shù)表示的充要條件是g和q沒有公因子。推論：如果g=10，那么一個 既約分?jǐn)?shù)能夠表示為純 循環(huán)小數(shù)的充要條件是 分母沒有2，5的因數(shù)。r rq5.4 0.9999.=1嗎？意見一：認(rèn)為相等，無限過程能夠最后達到意見二：認(rèn)為不相等，無限過程永遠達不到處理無限過程的方法是取極限0.9，0.99，0.999，.，0.999（n個9），.當(dāng)n +時，極限是1數(shù)列極限和函數(shù)極限一樣，變化過程中可以無限接近極限值，但不一定達到極限。那0.999. =1為錯？也不是，我們用等價類的概念加以說明。實數(shù)：（1）有理數(shù)（分?jǐn)?shù)），即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)（2）無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)所謂無限小數(shù)，是一個無限收斂數(shù)列（嚴(yán)格來說是滿足柯西收斂準(zhǔn)則的數(shù)列）兩個不同的無限數(shù)列可以表示同一個實數(shù)。在實數(shù)理論中，兩個收斂的有理數(shù)列an、bn，如果滿足an-bn 0，我們認(rèn)定他們是等價的。所有收斂的有理數(shù)列就劃成了等價類。0.999.是一