微分幾何第一章

1、微微 分分 幾幾 何何幾何幾何學(xué)學(xué)解析幾何微分幾何其它幾何初等幾何用微積分方用微積分方法研究幾何法研究幾何圖形的性質(zhì)圖形的性質(zhì)包括平面幾包括平面幾何和立體幾何和立體幾何何用代數(shù)的方用代數(shù)的方法研究圖形法研究圖形的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì)金融幾何金融幾何代數(shù)幾何代數(shù)幾何計算幾何計算幾何教材教材彭家貴、陳卿：彭家貴、陳卿：微分幾何微分幾何，高等教育出版社，高等教育出版社（20022002）參考書參考書書書梅向明、黃敬之：梅向明、黃敬之：微分幾何微分幾何（第四版），高（第四版），高等教育出版社出版（等教育出版社出版（20082008）陳維桓：陳維桓：微分幾何初步微分幾何初步，北京大學(xué)出版社，北京大學(xué)出版社

2、（19991999）周振榮、楊文茂、鄭高峰、趙瑋：周振榮、楊文茂、鄭高峰、趙瑋：微分幾何微分幾何，武漢大學(xué)出版社（武漢大學(xué)出版社（20082008）教材與參考書藍色字母代表向量、向量函數(shù)或者矩陣，藍色字母代表向量、向量函數(shù)或者矩陣，如如 a 、 r (u,v)、A 等等粉紅色字母代表特殊常數(shù)，如圓周率粉紅色字母代表特殊常數(shù)，如圓周率 p p 和和自然對數(shù)的底數(shù)自然對數(shù)的底數(shù) e 等等黃色字母代表特殊函數(shù)（如正弦函數(shù)黃色字母代表特殊函數(shù)（如正弦函數(shù) sinq q 等）、特殊空間（如歐氏空間等）、特殊空間（如歐氏空間 R3 、平面、平面R2 和實數(shù)集和實數(shù)集 R）、特殊向量（如單位坐標）、特殊向量

3、（如單位坐標向量，如向量，如 i 、 j 、 k ）或者變換群）或者變換群字母右上角的字母右上角的撇撇號代表對一般參數(shù)求導(dǎo)數(shù)，號代表對一般參數(shù)求導(dǎo)數(shù)，右上角或者頂上的右上角或者頂上的圓點圓點代表對弧長參數(shù)求代表對弧長參數(shù)求導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)符號說明第一章內(nèi)容概要本章討論三維歐氏空間的向量代數(shù)、向量微本章討論三維歐氏空間的向量代數(shù)、向量微積分、合同變換群等內(nèi)容，這些內(nèi)容是后面積分、合同變換群等內(nèi)容，這些內(nèi)容是后面討論曲線曲面的微分幾何時所需要的討論曲線曲面的微分幾何時所需要的向量代數(shù)包括向量的線性運算（加法和數(shù)向量代數(shù)包括向量的線性運算（加法和數(shù)乘）、向量積、內(nèi)積、混合積、向量的長度乘）、向量積、內(nèi)積、混

4、合積、向量的長度和夾角等內(nèi)容，其中拉和夾角等內(nèi)容，其中拉格朗日公式格朗日公式是這一節(jié)是這一節(jié)的重點的重點向量函數(shù)的微積分和普通函數(shù)的微積分基本向量函數(shù)的微積分和普通函數(shù)的微積分基本類似，所以本節(jié)作為一般了解類似，所以本節(jié)作為一般了解返回章首1.1向量代數(shù)向量代數(shù)內(nèi)容：向量積、內(nèi)積、混合積的性質(zhì)與計內(nèi)容：向量積、內(nèi)積、混合積的性質(zhì)與計算算重點：拉格朗日公式重點：拉格朗日公式返回章首集合集合 R3 = (x, y, z) | x, y, zR 稱為三維實向稱為三維實向量空間，其元素量空間，其元素 (x, y, z) 叫做一個向量。叫做一個向量。aijkO返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -

5、向量向量例如例如 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) 是是 R3 的三個向量。的三個向量。除了除了 i 、j 、k 這三個向量以外，我們一般用這三個向量以外，我們一般用藍色小寫英文字母或希臘字母表示向量，如藍色小寫英文字母或希臘字母表示向量，如a 、 r 、a a、 b b 等。等。幾何上，我們用一個箭幾何上，我們用一個箭頭表示向量，箭頭的起點頭表示向量，箭頭的起點叫向量的起點，箭頭的末叫向量的起點，箭頭的末端點叫向量的終點。端點叫向量的終點。再設(shè)再設(shè) a = (x, y, z)，lR，則，則 l 與與 a 的的數(shù)數(shù)乘乘定義為定義為 la = lxi + l

6、yj + lzk = (lx, ly, lz).設(shè)設(shè) a1 = (x1, y1, z1)，a2 = (x2, y2, z2)，則它們則它們的的和和定義為定義為 a1 + a2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). a1 a2 a1+a2a la 返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -線性運算線性運算設(shè)設(shè) i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) ，則任意，則任意向量向量 a = (x, y, z) 可表示為可表示為 a = xi + yj + zk（如（如圖）圖）aijkOzkyjxixi+yj= xi+yj+zk返回章首1.11.1

7、 向量代數(shù)向量代數(shù)- -向量向量設(shè)設(shè) ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是是 R3 中中的兩個的兩個向量，它們的向量，它們的內(nèi)積內(nèi)積定義為定義為a1 a2 = x1x2 + y1y2 + z1z2內(nèi)積內(nèi)積具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：正定正定性性a a 0，等式成立，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a = 0；對稱性對稱性a b = b a；線性線性性性a (kb + hc) = ka b + ha c向量向量 a 的的長度長度為為 |a| = (a a)1/2；長度長度為為 1 的的向量叫向量叫單位向量單位向量返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -內(nèi)積內(nèi)積1.11.1

8、向量代數(shù)向量代數(shù)- -兩個不等式兩個不等式定理定理. . 對對任意的兩個任意的兩個向量向量 a、bR3 有有下下面兩個不等式成立：面兩個不等式成立：許瓦滋不等式許瓦滋不等式a b |a| |b|閔可夫斯基不等式閔可夫斯基不等式|a + b| |a| + |b|這兩個不等式中的等式成立的充分必要條這兩個不等式中的等式成立的充分必要條件件是是 ab返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -兩向量的夾角兩向量的夾角向量向量 a 與與 b 的夾角為的夾角為如果兩個向量的夾角是如果兩個向量的夾角是 p p/2/2，就稱這兩個，就稱這兩個向量相互向量相互垂直垂直或或正交正交因此兩向量正交的充因此兩向量正

9、交的充分必要條件是它們的內(nèi)積為零分必要條件是它們的內(nèi)積為零arcco.|s|qa ba b由許瓦茲不等式可知由許瓦茲不等式可知 | cosq q | 1. .返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -距離距離兩兩個個向量向量 a、b 作為作為 R3 的的點，它們之間的點，它們之間的距離距離定義定義為為 d(a,b) = |a b|在在 R3 上上裝備裝備了這樣的距離函數(shù)之后就叫了這樣的距離函數(shù)之后就叫歐氏空間歐氏空間距離具有如下性質(zhì)：距離具有如下性質(zhì)： 正定正定性性d(a, b) 0，等式，等式成立成立當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a = b； 對稱性對稱性d(a, b) = d(b, a)； 三角不等

10、式三角不等式d(a, b) d(a, c) + d(c, b)返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -向量積向量積aba bq q伸出右手，讓大拇指和四指垂直，讓四指從伸出右手，讓大拇指和四指垂直，讓四指從向量向量 a 朝向量朝向量 b 旋轉(zhuǎn)一個較小的角度（旋轉(zhuǎn)一個較小的角度（小于小于180180）到達）到達 b，則大拇指所指的方向就是，則大拇指所指的方向就是 a b 的方向的方向（如圖）（如圖）設(shè)向量設(shè)向量 a、b 的夾角為的夾角為 q q，則它們的則它們的向量積向量積（也叫（也叫外積外積）a b 是這樣一個向量，其長度是這樣一個向量，其長度為為 |a b| = |a| |b| sinq

11、 q，方向滿足右手法則：，方向滿足右手法則：返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -向量積的性質(zhì)根據(jù)向量積的定義，我們有根據(jù)向量積的定義，我們有i j = k, j k = i, k i = j.反交換律：反交換律：a b = b a（見下圖）（見下圖）分配律：分配律：a (b + c) = a b + a c.aba babb a返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -向量積的計算公式向量積的計算公式12111222xyzxyzaaijk 注意：注意：| | a b | | 等于由等于由 a 和和 b 張成的平行張成的平行四邊形的面積四邊形的面積（如圖） 設(shè)設(shè) ai = (xi ,

12、yi , zi)（i = 1, 2）是是 R3 中的兩個中的兩個向量，則有：向量，則有：abq q|a|sinq q|a| |b| sinq q | |a b| | 返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -混合積混合積三個向量三個向量 a、b、c 的的混合積混合積定義為定義為 (a, b, c) = (a b) c向量的混合積滿足輪換不變性：向量的混合積滿足輪換不變性：(a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b).向量的混合積滿足反交換性，即交換兩個向量的混合積滿足反交換性，即交換兩個向量的位置改變混合積的符號，如向量的位置改變混合積的符號，如 (a, b, c) =

13、 (c, b, a)，等等，等等. .返回章首 注意：注意：| |(a, b, c)| | 等于由向量等于由向量 a、b、c 張成張成的平行四面體的體積的平行四面體的體積 （如圖）（如圖）bacq q| |a b| | q q| |c| |cosq q a b | |(a, b, c)| | = |(a b) c|=| |a b| | | |c| |cosq q=平行四面體的體積平行四面體的體積返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -混合積的幾何意義混合積的幾何意義1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -混合積的計算公式混合積的計算公式設(shè)設(shè) ai = (xi , yi , zi)（ i = 1

14、, 2, 3 ）是是 R3 中中的三的三個向量，則有：個向量，則有：兩個向量垂直的充分必要條件是它們的內(nèi)兩個向量垂直的充分必要條件是它們的內(nèi)積為零，兩個向量平行的充分必要條件是積為零，兩個向量平行的充分必要條件是它們的叉積為零，三個向量共面的充分必它們的叉積為零，三個向量共面的充分必要條件是它們的混合積為零要條件是它們的混合積為零111123222333(,).xyzxyzxyza a a返回章首1.11.1 向量代數(shù)向量代數(shù)- -拉格朗日公式拉格朗日公式設(shè) a、b、c、d 是 R3 的四個向量，則特別地有() ()a ca dabcdb cb d2222| |() .a aa bababa

15、bb ab b()()()().a c b da d b c返回章首看證明練習(xí)題練習(xí)題1證明證明 (a b) c = (a c) b (b c) a （提示：用分量驗證，并由此證明拉格朗（提示：用分量驗證，并由此證明拉格朗日公式日公式返回章首1.2 1.2 向量分析向量分析內(nèi)容：向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、泰勒公式、內(nèi)容：向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、泰勒公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則重點：鏈式法則重點：鏈式法則返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函數(shù)的極限向量函數(shù)的極限設(shè)設(shè) r(t) 是一個向量函數(shù)，是一個向量函數(shù)，a 是常向量，如果對是常向量，如果對任意的任意的 e e

16、0，存在，存在 d d 0，使得當(dāng)，使得當(dāng) 0 |t t0| d d 時，時，|r(t) a| e e 成立，則稱成立，則稱 a 是是 r(t) 當(dāng)當(dāng) t 趨趨向于向于 t0 時的時的極限極限，記為，記為 , , 或者記或者記為為 r(t)a ( (當(dāng)當(dāng) tt0) ) 0lim ( )tttra一元向量函數(shù)是形如一元向量函數(shù)是形如 r(t) = (x(t) , y(t) , z(t) 的向量，其中的向量，其中 x(t)、y(t)、z(t) 是普通的是普通的一元一元函數(shù)函數(shù)，叫該向量函數(shù)的，叫該向量函數(shù)的分量函數(shù)分量函數(shù)返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函數(shù)極限的計算向量函數(shù)極限的

17、計算這個定理表明這個定理表明對向量函數(shù)求極限就是對它的對向量函數(shù)求極限就是對它的每個分量求極限每個分量求極限這樣，向量函數(shù)的極限就轉(zhuǎn)這樣，向量函數(shù)的極限就轉(zhuǎn)化成普通函數(shù)的極限化成普通函數(shù)的極限定理定理. . 設(shè)設(shè) r(t) = (x(t), y(t), z(t)，a = (x0, y0, z0) ，則則0lim ( )tttra00lim ( ),ttx tx00lim ( ),tty ty00lim ( ).ttz tz當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函數(shù)的極限的性質(zhì)向量函數(shù)的極限的性質(zhì)推論推論. . （極限的運算性質(zhì)極限的運算性質(zhì)）設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng) tt0 時，時，

18、有有 r(t) a ，s(t) b ，l(t) c ，則我們，則我們有：有：r(t)s(t) ab，l(t)r(t) car(t) s(t) a br(t) s(t) a b返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函數(shù)的連續(xù)性向量函數(shù)的連續(xù)性如果當(dāng)如果當(dāng) t t0 時有時有 r(t) r(t0) 成立成立，則稱，則稱向量向量函數(shù)函數(shù) r(t) 在在 t0 處處連續(xù)連續(xù)；如果如果 r(t) 在在它它的定義域內(nèi)的每一點都連續(xù)，則的定義域內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱稱 r(t) 是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的和、差、積（內(nèi)積、向量積、連續(xù)函數(shù)的和、差、積（內(nèi)積、向量積、混合積、數(shù)乘）是連續(xù)的混合積

19、、數(shù)乘）是連續(xù)的r(t) = (x(t), y(t), z(t) 在在 t0 處處連續(xù)的充分必要連續(xù)的充分必要條件是每個條件是每個分量分量 x(t)、y(t)、z(t) 都在都在 t0 處處連續(xù)連續(xù)返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -一元向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一元向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯然，若顯然，若 r(t) 在一點在一點 t0 處可導(dǎo)，則它在該處可導(dǎo)，則它在該點處必定連續(xù)點處必定連續(xù)存在，則稱向量函數(shù)存在，則稱向量函數(shù) r(t) 在在 t0 處可導(dǎo)，而該處可導(dǎo)，而該極限就叫極限就叫 r(t) 在在 t0 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，記為，記為 r (t0)如如果果 r(t) 在它的定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在它

20、的定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱 r(t) 可導(dǎo)，此時可導(dǎo)，此時 r (t) 叫叫 r(t) 的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（也簡稱（也簡稱導(dǎo)數(shù)）導(dǎo)數(shù)）設(shè)設(shè) r(t) 是一元向量函數(shù)如果極限是一元向量函數(shù)如果極限000()( )limtttttt rr返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)向量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)向量函數(shù)向量函數(shù) r(t) = (x(t), y(t), z(t) 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為 r(t) = (x(t), y(t), z(t)設(shè)設(shè) l 是普通函數(shù)，是普通函數(shù)，r、s、u 都是向量函數(shù)，都是向量函數(shù)，則則 (lr) = lr + lr； (rs) = r s； (r s) = r

21、s + r s； (r s) = r s + r s； (r,s,u) = (r,s,u) + (r,s,u) + (r,s,u )返回章首 可導(dǎo)的向量函數(shù)可導(dǎo)的向量函數(shù) r(t) 具有固定長度的充要條具有固定長度的充要條件是件是 r (t) 垂直于垂直于 r(t) 可導(dǎo)的向量函數(shù)可導(dǎo)的向量函數(shù) r(t) 具有固定方向的充要條具有固定方向的充要條件是件是 r (t) 平行于平行于 r(t)1.21.2 向量分析向量分析- -具有固定長度和固定方向的向量函數(shù)具有固定長度和固定方向的向量函數(shù)返回章首看證明看證明1.21.2 向量分析向量分析- -一元向量函數(shù)的鏈式法則一元向量函數(shù)的鏈式法則定理定理

22、. . （一元向量函數(shù)的鏈式法則一元向量函數(shù)的鏈式法則）設(shè)設(shè) r(u) 可微的向量函數(shù)，可微的向量函數(shù)，u = u(t) 是可微的普通函是可微的普通函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) r(t) = r(u(t) 也可微，并也可微，并且且ddd.dddututrr返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -二元向量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)二元向量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè) r(u,v) 是二元向量函數(shù)，如果極限是二元向量函數(shù)，如果極限存在，則稱它為函數(shù)存在，則稱它為函數(shù) r(u,v) 在點在點 (u0,v0) 處關(guān)處關(guān)于于 u 的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，記為，記為 ru(u0,v0)；同樣，我們；同樣，我們可以定義關(guān)于可以定義關(guān)

23、于 v 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) rv(u0,v0)二元向量函數(shù)二元向量函數(shù)是形如是形如 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v) 的向量，其中的向量，其中 x(u,v)、y(u,v)、z(u,v) 是普通是普通的二元函數(shù)的二元函數(shù)00000(,)(,)limuuu vu vu rr返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -二元向量函數(shù)的微分二元向量函數(shù)的微分返回章首設(shè)設(shè) r(u,v) 是二元向量函數(shù)，令是二元向量函數(shù)，令 r = r(u0 + u, v0 + v) r(u0, v0).如果存在向量如果存在向量 a、b 使使 r = a u + b v + o( u)2 +

24、( v)2 1/2,則稱則稱 r(u,v) ) 在點在點 (u0,v0) 處處可微可微，而而 a u + b v就叫就叫 r(u,v) 在點在點 (u0,v0) 處的處的微分微分，記為，記為 dr(u0,v0) = a u + b vr 的微分簡記為的微分簡記為 dr = a u + b v 或或 dr = adu + bdv.定理定理. 如果如果 r 是可微向量函數(shù)，則是可微向量函數(shù)，則 dr = rudu + rvdv.返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -微分的計算微分的計算1.21.2 向量分析向量分析- -二元向量函數(shù)的鏈式法則二元向量函數(shù)的鏈式法則,suvuvssrrr.tuvuvttrrr定理定理. （鏈式法則鏈式法則）設(shè)設(shè) r(u,v) 可微如果可微如果 u = u(s,t) 和和 v = v(s,t) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函數(shù)的積分向量函數(shù)的積分