第14講常見全等輔助線(二).

1、第14講 角分線及軸對稱類全等問題中考說明內(nèi)容ABC全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形與全等三角形之間的關(guān)系掌握兩個三角形全等的條件和全等三角形的性質(zhì)；會應用全等三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)問題會運用全等三角形的知識和方法解決有關(guān)問題知識網(wǎng)絡(luò)圖前章回顧1 倍長中線運用了那個最常見的全等模型？2 見到線段數(shù)量關(guān)系時，最常見的輔助線方法是？14.1角分線類全等概念辨析一 角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等二 角的平分線的判定：在角的內(nèi)部到一個角的兩邊的距離相同的點在這個角的平分線上三 角平分線的性質(zhì)及判定探究問題1：用符號語言來翻譯“角平分線上的點到角的兩邊的距離

2、相等”這句話請?zhí)钕卤恚簣D 形已知事項由已知事項推出的事項 問題2：用符號語言來翻譯”到角的兩邊距離相等的點是否在角的平分線上”.根據(jù)下表中的圖形和已知事項，猜想由已知事項可推出的事項，并用符號語言填寫下表：圖 形已知事項由已知事項推出的事項四 角平分線的做法1 在平分角的儀器中，,，則平分2 用尺規(guī)作已知角的平分線的方法：作法：（1）以點為圓心，以任意長為半徑，交角的兩邊于兩點；（2）分別以A、B兩點為圓心，以大于長為半徑畫弧，畫弧交于點；（3）過C點作射線OC所以，射線OC就是所求作的總結(jié)：（1） 去掉“大于的長”這個條件，所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角的平分線（2） 若分別以為圓心

3、，大于的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在的內(nèi)部，也可能在的外部，而我們要找的是內(nèi)部的交點，否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是的平分線了（3） 角的平分線是一條射線它不是線段，也不是直線，所以第二步中的兩個限制缺一不可（4） 這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明3 折紙?zhí)剿鹘瞧椒志€性質(zhì)：（1） 將一個準備好的沿著折疊，使得角的兩邊重合，點落在邊（2） 在折痕（即平分線）上任意找一點，（3） 過點折邊的垂線，得到新的折痕，其中，點是折痕與的交點，即垂足。（4） 將紙打開，新的折痕與邊交點為線段有什么關(guān)系？五 角分線類全等輔助線1 往角兩邊作垂線解讀：用角平分線上的點往角兩邊作垂線，這是常用

4、的輔助線，可以利用邊角邊構(gòu)造全等 2 往角兩邊截取相等的線段解讀：在角兩邊截取相等的線段，這也是角平分線常用的輔助線，常用于解決線段和差問題 3 過角平分線上的點作垂線解讀：過角平分線上的點作垂線，常用于構(gòu)造三線合一，構(gòu)造等腰三角形 4 過角平分線上的點作角一邊的平行線解讀：可以構(gòu)造等腰三角形，可以記作口訣：“角平分線+平行線，等角三角形現(xiàn)”。 總結(jié)：見角平分線考慮翻折、軸對稱，作垂線、平行線，截等線段例題精講【例1】 如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A1處B2處C3處D4處【討論一下】當題中的中轉(zhuǎn)站必須

5、在三條路內(nèi)，這是后還有幾處地址可選擇？【例2】 求證：的三條內(nèi)角角平分線必交于三角形內(nèi)部一點【討論一下】如圖，已知垂足分別為且，則_【例3】 已知的邊長比，點為內(nèi)角平分線的交點，則_【討論一下】已知的邊長比，點為內(nèi)角平分線的交點，則_【例4】 如圖，在中，是斜邊上的高，是的平分線，交于，過作，交于，求證：【討論一下】如圖所示，在Rt三角形ABC中，于H，AG平分，交CH于D，交BC于G，在BC上取BE=CG，連接ED，證明：是直角三角形【例5】 如圖所示：平分，、分別在、上求證：【討論一下】如圖平分， ，、分別在、上此時成立嗎？【例6】 如圖，中，平分交于點求證：【討論一下】已知等腰，的平分線

6、交于，求證【例7】 （2014年東城初二期末）在解決線段數(shù)量關(guān)系問題中，如果條件中有角平分線，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路，如：在圖中，若是的平分線上一點，點在上，此時，在上截取，連接，根據(jù)三角形全等判定（），容易構(gòu)造出全等三角形和，參考上面的方法，解答下列問題：如圖，在非等邊中，分別是，的平分線，且，交于點，求證：【討論一下】如圖，在中，、分別是、的角平分線，且，則的度數(shù)為_【例8】 （2014海淀初二期末）在四邊形中，是邊的中點如圖，若平分，則線段、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為_；（直接寫出答案）【討論一下】如圖平分，平分，若，則線段、的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；【例9】

7、如圖，在中，是上一點，交的延長線于，且求證：是的角平分線【討論一下】如圖，已知在中，,求證：【例10】 如圖，在中，、分別平分和，過點交于，交于，且求證：【討論一下】在中，和分別平分和，若，則的周長為_14.2對稱法與拼法圖全等概念辨析一. 對稱法：常用輔助線：垂直平分線、作對稱點或?qū)ΨQ圖形，折疊.二. 拼圖法：求證的條件所在的三角形內(nèi)，有一對相等角，且這對角的一對角邊對應相等，滿足這些條件即可應用拼圖法構(gòu)造全等形例題精講【例11】 如圖，在中，是邊上的一點，求的度數(shù)【例12】 如圖，是內(nèi)一點，且，求的度數(shù)【討論一下】如圖所示，是邊的中點，交于，交于求證：【例13】 已知，如圖1，四邊形是正方

8、形，點是邊的中點，且交正方形外角的平行線于點，求證：【討論一下】如圖2，如果把“點是邊的中點”改為“點是邊上（除，外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；全能突破 基礎(chǔ)演練【練1】 如圖所示，已知，平分,.求證：. 【練2】 如圖所示，那么_【練3】 如圖，是的角平分線，求證：【練4】 如圖，在中，是角平分線，且，求證：【練5】 如圖：在中，在中平分，且求證：【練6】 如圖，中，是的角平分線，請你說明【練7】 如圖，在中，是的角平分線，求證：【練8】 如圖，在中，已知，是的角平分線，垂足為求證：【練9】 在中

9、，是的平分線是上任意一點求證：能力提升【練10】 如圖，在中，、分別平分、，且與的交點為求證：【練11】 如圖，是的角平分線，于（1）求證：；（2）求證：【練12】 如圖，在四邊形中，平分，過作于，則等于多少度？【練13】 如圖中，平分，且平分，于，于. （1）說明的理由；（2）如果，求、的長.【練14】 如圖，在四邊形中，平分，于，猜想、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.【例14】 （2012年昌平）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，且，外一點滿足，平分，求的度數(shù)【練15】 (2013年八中初二期中)如圖，已知中，是內(nèi)一點，求的度數(shù)巔峰突破【練16】 （2014年海淀一模）在中，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接、（1）如圖1，當，時，的大小為