第1章極限理論

1、數(shù)學(xué)分析選講第一章 極限理論§1 極限初論一、 基本內(nèi)容1. 預(yù)備知識(1)函數(shù)的定義，構(gòu)成函數(shù)的要素：定義域、對應(yīng)法則，函數(shù)的值域，反函數(shù)，函數(shù)的四則運算與復(fù)合運算.(2)函數(shù)的幾何特性有界性 有界與無界的定義.單調(diào)性 單調(diào)遞增與遞減的概念.奇偶性 奇偶函數(shù)的定義及其圖象的對稱性，奇偶函數(shù)的四則運算性質(zhì).周期性 周期函數(shù)的定義及其函數(shù)圖象特征，基本周期.(3)初等函數(shù) 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù).(4)幾個重要的非初等函數(shù)符號函數(shù) ，顯然有.取整函數(shù)和尾數(shù)函數(shù)為的最大整數(shù)部分，為的非負(fù)小數(shù)部分，顯然有 且Dirichlet函數(shù):.Riemann函數(shù)：.2.數(shù)列與函數(shù)極限的定義(1)

2、 .(2) 在的任一領(lǐng)域之外僅含數(shù)列中的有限項.(3). (4) 有界數(shù)列與子列的概念.(5) .(6) ，和的定義，上述一系列定義中的極限為或的情形.(7)無窮大、小量，高階、同階及等價無窮小量的概念.3.收斂數(shù)列與函數(shù)極限的性質(zhì)收斂數(shù)列有有界性、唯一性、保號性、保不等式性、迫斂性、子列等方面的性質(zhì).函數(shù)極限的性質(zhì)有局部有界性、唯一性、局部保號性、局部保不等式性、迫斂性、歸結(jié)原則等方面的性質(zhì).無窮小量的運算性質(zhì)和等價無窮小量在四則運算方面的性質(zhì).4.數(shù)列與函數(shù)極限的存在性 數(shù)列極限的單調(diào)有界定理和柯西收斂準(zhǔn)則. 函數(shù)極限的單調(diào)有界定理和柯西收斂準(zhǔn)則、歸結(jié)原則.二、難點解析與重要結(jié)果1一個數(shù)集

3、無上界就是沒有上界，也即任何實數(shù)都不是它的上界2在關(guān)于原點對稱區(qū)間上有定義的函數(shù)必可表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和.3兩個周期函數(shù)周期之比為有理數(shù)時，則它們的和、差、積、商還是周期函數(shù).4是以任一有理數(shù)為周期的周期函數(shù)，且無最小正周期.5僅在處連續(xù)，在其它點處都不連續(xù).類似的僅在處連續(xù)，在其它點處都不連續(xù).6在中的任一無理數(shù)點處連續(xù)，任一有理數(shù)點處不連續(xù).7在上可積，且其積分值為.8為上在任一點的任一鄰域內(nèi)無界的函數(shù).9 定義（1）中的具有雙重屬性，任意性用來保證與之間的距離可任意小，相對穩(wěn)定性用來尋找，相應(yīng)于產(chǎn)生，但不是的函數(shù).在定義中添加條件,則定義沒有發(fā)生變化，此時唯一決定于，即為的函

4、數(shù)，只不過在按照定義證明問題時的難度變大了.10. 定義（1）和（2）分別從定量和定性兩個方面刻畫了數(shù)列以為極限的事實,在證明極限時多使用定義（1），但有時使用定義（2） 來證明會更簡捷.例如，證明：若，則.11. 以或為極限的數(shù)列是一類特殊數(shù)列，要注意它與發(fā)散數(shù)列和無界數(shù)列之間的區(qū)別與聯(lián)系. 一般地，趨于無窮的數(shù)列必?zé)o界，無界數(shù)列未必趨于無窮，但無界數(shù)列必有趨于無窮的子列，無界且非無窮大數(shù)列必既有收斂子列又有趨于無窮的子列.函數(shù)的無窮大量與數(shù)列有類似的性質(zhì).12. 定義（5）中的與定義（1）中的的性質(zhì)類似.13. 的定義將反過來,在的定義中,對所有的都能找到一個，使得當(dāng)時有成立,將上面的陳述

5、反過來即為,有這樣的一個,找不到滿足要求的,即所有的均不滿足要求,也即對所有的都能找到,這個依賴于,滿足,但有. 一般地，由可得，數(shù)列的 一個子列，使得.14. 的定義為，使得，但有.一般地，由可得，存在數(shù)列使得，但有.15. 有界數(shù)列不一定收斂，但有界數(shù)列至少有兩個收斂于不同極限的子列；任何數(shù)列必有單調(diào)子列. 16. 由保號性的證明知若；進(jìn)一步地有.17. 迫斂性與定義之間的聯(lián)系，極限的定義中在尋找時由于不一定要求最?。ù?）的 可以對不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯?，且一般是雙側(cè)同時放大，而迫斂性告訴我們在放大時也可以兩側(cè)分別放大. 18. 單調(diào)數(shù)列收斂的充分必要條件是它有一收斂子列.19. 歸結(jié)原則

6、的條件可減弱為：存在的充分必要是任一嚴(yán)格遞增趨于的數(shù)列，其對應(yīng)的函數(shù)值組成的數(shù)列均收斂.20. 由柯西收斂準(zhǔn)則的逆否命題知,若數(shù)列發(fā)散,則,存在的兩個子列和使得.若不存在,則,存在,但21. 若，則.22. 若，且，則.23. 設(shè)均為正實數(shù)，則.24. Stolz公式設(shè)嚴(yán)格遞增，為任一數(shù)列，且，若 ，則 .設(shè)嚴(yán)格遞減，且，若 ，則 .25.，.26. 等價無窮小量的來源主要為taylor公式和函數(shù)的冪級數(shù)展開式.三、基本題型與方法1用極限的定義證明極限（1）直接解不等式（），得最?。ù螅┑?（2） 有時直接解不等式較困難，由于定義中沒要求求最小的，故可將進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯?，如，然后解不等式得，一?/p>

7、地不是最小的，但最小的是存在的。（3）分步放大；有時直接放大有一定的困難，特別在已知一極限的基礎(chǔ)上再證明另一極限的問題中，常需進(jìn)行多次地放大。注 在證明極限的過程中常用到的幾個著名的不等式：(1) Bernoulli不等式：當(dāng)時，,有.(2) Cauchy-Schwarz不等式：,總有.(3) 平均值不等式：，總有.(4) .例1用極限的定義證明下列極限(1) .(2) .(3) .證明 (1) 由于，若，即，且，即，所以，當(dāng)時，我們有.所以，當(dāng)時，有.所以，.(2)令所以，當(dāng)時，即時，有，所以，當(dāng)時，有.所以，.(3) 由于.限制，則，故.所以，取，當(dāng)時,有.故, .注 上述例題中的（1）給

8、出了用定義證明有理數(shù)列極限的一般方法，其具體做法是將分子的各項系數(shù)取絕對值后相加所得和再乘以分子的最高次冪，統(tǒng)計分母中與最高次相符號不同的項數(shù)，將其首項分成份，通過限制的范圍，將分母縮小為首項的.(2) 給出了速度相差指數(shù)倍的兩數(shù)列之比的極限證明的一般放大方法.(3)給出了一般地函數(shù)極限的證明方法.其做法是在表達(dá)式中分離出的成分,通過限制的范圍,求出剩余部分的一個有限上界將不等式放大.例2 (1)已知.證明.(2)設(shè)函數(shù)定義在上, 在每一個有限區(qū)間內(nèi)有界,并滿足.證明.分析 由于已知條件中僅知道，而要證明的是已知數(shù)列經(jīng)過運算后所得的表達(dá)式的極限問題，一般常用還原法來解決.即令，則，故將還原為,

9、從而可看出后面的表達(dá)式中各成分為待證極限的所作的貢獻(xiàn).證明 (1)由，故.考察 .由于，故.取，當(dāng)時，有.所以.(2) 由,故當(dāng)時,有.又在上有界,設(shè)在上有,且,使得,而.故當(dāng)時有.又,所以,使得當(dāng)時,有.所以,取,當(dāng)時有.所以, .注 (1)用Stolz公式一步即得.2.證明極限的存在性一般地,要證明極限是多少時常使用極限的定義來證明,但當(dāng)不知道極限是多少時,主要使用單調(diào)有界定理和柯西收斂準(zhǔn)則.例3 證明數(shù)列收斂.證明 由于,所以數(shù)列單調(diào)遞減.又 .所以數(shù)列單調(diào)遞減有下界,故收斂.注一般地，在證明單調(diào)性時，?？疾斓姆?，或者將與1進(jìn)行比較，在此過程中經(jīng)常用到導(dǎo)數(shù)方面的知識.另此數(shù)列的極限為歐

10、拉常數(shù)，故有，其中為無窮小量.例4 (1)證明數(shù)列收斂. (2)證明不存在.分析一般地,在遇到考察數(shù)列或函數(shù)的極限的存在性時,首先考察該數(shù)列或函數(shù)的單調(diào)性,若單調(diào)則多用單調(diào)有界定理來解決,否則再考慮使用柯西收斂準(zhǔn)則.顯然本題中的數(shù)列和函數(shù)均不單調(diào),故選用柯西收斂準(zhǔn)則來處理.證明 (1) ,由于, 所以可取,當(dāng)時,對任意的自然數(shù) ,總有,由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂. (2) 取,取充分大,使得,則,顯然有,但是,.所以不存在.注在使用柯西收斂準(zhǔn)則證題的第一步必是放大,在數(shù)列中通過適當(dāng)?shù)胤糯笕サ?在函數(shù)中通過適當(dāng)?shù)胤糯笕サ粢粋€點.3.求極限（1）利用極限的性質(zhì)求極限；（2）利用初等變形求極限；例5

11、求下列極限（1）；（2）已知，且，求.解 （1）令，則，所以 .所以.（2）由于，又，故；由例2知，所以.注（1）中使用錯位相減法求出表達(dá)式的縮寫式，求縮寫式的方法還有利用部分分式定理來拆項，利用求和公式來求和等方法.（2）中使用的是用初等變形轉(zhuǎn)化為已知極限來求的，使用此方法的前提是熟練掌握一些極限表達(dá)式的極限.；由，故若，且，則等.(3)利用羅必達(dá)法則和泰勒公式求極限;例6 求.解 由于,故由歸結(jié)原則知.注一般地,大多數(shù)關(guān)于數(shù)列的不定式極限,均可通過此方法來解決.(4) 利用定積分的定義求極限;例7 求.解 由于而所以.注此類題目的特征是項之和與一與同階的無窮小量之積,要特別注意定積分定義中

12、點的取法與區(qū)間的分發(fā)的靈活性所導(dǎo)致的題目的復(fù)雜性,由于無窮乘積可通過去對數(shù)轉(zhuǎn)化為無窮求和,所以有時無窮乘積的極限也可用此法來解決.例如求.(5) 利用迫斂性例6 證明證明 由于，故有即有所以， 當(dāng)時，有.所以，.例7 (1)設(shè)為個大于的實數(shù),求. (2)設(shè)在區(qū)間上連續(xù),試證 .解 (1)設(shè),則.而,所以=.(2)設(shè)，在區(qū)間上連續(xù),故存在使得，且，使得當(dāng)時有所以，而，所以，當(dāng)時有，即有所以四、綜合舉例例8 設(shè)時，證明.分析 若令,則,故將還原為來處理.證明 由于,故,當(dāng)時,有.又,故對上述當(dāng)時有.所以當(dāng)時,且有,即 .所以.故.注此題的解法又稱為“擬合法”.再例如例9 設(shè)在上連續(xù),證明:. 分析

13、 首先要找出的來源，易見，故將還原為來考察.證明 由于在上連續(xù),故,當(dāng)時有.又由于,所以,當(dāng)時有.所以, ,當(dāng)時,有,所以,. 例10 設(shè)，且.證明 .(東北師大)分析令,則,故可將寫成來考察.證明 由于 .由,知,當(dāng)時,有,且,使得有.又,故,當(dāng)時,有.所以,取,當(dāng)時有.所以, .注以上三題均通過改寫中的,使之與具有相類似的形式,故這種方法又稱為擬合法.例11 設(shè)實數(shù)列滿足,證明.證明 (法一)由,故,當(dāng)時,有.令,則,所以又由于,故,當(dāng)時有.取,當(dāng)時有,所以.(法二) 令,則嚴(yán)格遞增趨于,且,故.例12 已知數(shù)列滿足,證明.證明 由,故,當(dāng)時,有.即當(dāng)時,有, , .相加得.兩邊同除得,即

14、.又,故,當(dāng)時有.取,當(dāng)時有.所以.注 上面兩個例題的方法具有很強(qiáng)的典型性,已知某定距離上的函數(shù)值之差,而要考察函數(shù)值自身的性質(zhì),常使用到該方法.即據(jù)已知寫出一系列不等式,將這些不等式相加得距離變大的點處的函數(shù)值之差.stolz公式的證明就使用的是該方法.也適用于函數(shù)極限的問題中，如例13 設(shè)函數(shù),滿足,且,證明.證明 由,故,當(dāng)時有.即當(dāng)時有,.相加得.由,在上式中令得,即,所以,即.例14 設(shè)，其中為正整數(shù)，求.解 (法一)令,則嚴(yán)格遞增趨于,且.據(jù)stolz公式知.(法二) .例15 設(shè)證明.(北師大)分析 本題要想從已知條件中找出很困難,此類題目一般都是通過stolz公式消去.證明 顯

15、然即數(shù)列單調(diào)遞減有下界,故收斂,且極限為0.所以數(shù)列嚴(yán)格遞增趨于,據(jù)stolz公式有例16 設(shè)證明 .證明 易見數(shù)列嚴(yán)格遞減趨于,所以數(shù)列嚴(yán)格遞增趨于,據(jù)stolz公式有注上面兩例的共同特征是給出的是一個無窮小量,而要考察的是該無窮小量的某一無窮大倍的極限問題,其一般方法是通過stolz公式,消去倍數(shù),還原為已知的來考察.例17 求下列極限(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10).解(1) 由于,故有,所以,即.同理,所以.(2) 當(dāng)時,顯然有.當(dāng)時,由于,所以.(3)由于所以.(4) ,可將看成是函數(shù)在上關(guān)于分割: ,取所作的積分和,由于在上可積,所以

16、.(5)由于,其中,所以.(6),其中.(7).(8) .(9) 由于，所以.(10) 考察級數(shù),由于所以由比式判別法知級數(shù)收斂,所以.2極限續(xù)論一基本內(nèi)容。1基本概念（1）上確界：設(shè)S為一實數(shù)集，為一實數(shù)，如果 （i），有. (ii) ,使得.則稱為數(shù)集S的上確界,記為.（2）下確界:設(shè)S為一實數(shù)集, 為一實數(shù),如果 （i） ，有. (ii) ,使得+. 則稱為數(shù)集S的下確界,記為.（3）聚點：設(shè)S為一實數(shù)集, 為一實數(shù),如果在的任一領(lǐng)域中均含有中的無窮多個點，則稱為的一個聚點.（4）數(shù)列的聚點：設(shè)為一數(shù)列為一實數(shù)，如果的任一領(lǐng)域也均含的無窮多項；則稱為的一個聚點.數(shù)列的最大（?。┚埸c稱為的

17、上（下）極限.2.基本結(jié)論（1）確界原理有上界的非空數(shù)集有上確界存在，有下界的非空數(shù)集有下確界存在.（2）單調(diào)有界原理單調(diào)有界數(shù)列有極限存在.（3）柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充要條件是,，當(dāng)時，有|<.（4）閉區(qū)間套定理若閉區(qū)間列滿足：（i），有;(ii) .則存在唯一的實數(shù)，使得（n=1,2,.）.（5）聚點定理有界無窮點集有聚點存在.（6）致密性定理有界數(shù)列必有收斂子列.（7）有限覆蓋定理設(shè)H是閉區(qū)間的一個開覆蓋，則必可從H中選出有限個開區(qū)間它們也能覆蓋.二.難點解析于有用結(jié)果1、關(guān)于確界的定義（1）設(shè)為一非零實數(shù)集，為的一個上界，則的充要條件是存在，使.（2）設(shè)為一非零實數(shù)集，為的一個

18、下界，則的充要條件是存在，使.2、確界的性質(zhì)（1）設(shè)、兩非空數(shù)集，定義，則.特別的 ，其中、為兩個實數(shù).（2）設(shè)、兩非空有界數(shù)集，且，則.（3）設(shè)、兩非空有界數(shù)集，則；.（4）設(shè)與均為上有定義的有界函數(shù)，且，有，則. （5）設(shè)為上的有界函數(shù)， ，設(shè)；則.（6）數(shù)集有最大（?。?shù)的充要條件是.、關(guān)于聚點的定義（）設(shè)為一數(shù)集, 為一實數(shù), 則為的聚點的充要條件是在的任一領(lǐng)域中均含有中的一個異于的點.（）設(shè)為一數(shù)集, 為一實數(shù), 則為的聚點的充要條件是在中的互異點列，使得.（）若，則為的一個聚點.、關(guān)于單調(diào)數(shù)列的極限（）單調(diào)遞增數(shù)列的極限是它的上確界；（）單調(diào)遞減數(shù)列的極限是它的下確界；（）單調(diào)數(shù)列

19、收斂的充要條件是它的一個子列收斂.、關(guān)于區(qū)間套定理（）將閉區(qū)間套改成開區(qū)間套結(jié)論不真，但若改成嚴(yán)格開區(qū)間套，則結(jié)論仍然正確；（）若為區(qū)間套定理套出來的公共點，則,，當(dāng)時，有;（）將區(qū)間套定理中的條件（）去掉，僅破壞了結(jié)論中的唯一性.、有限覆蓋定理中的開覆蓋不能改，如改成閉覆蓋，則結(jié)論不成立.例如：是的一個閉覆蓋.、壓縮映像原理（）設(shè)是一個數(shù)列，如果滿足，使得有，則數(shù)列收斂.（）設(shè)將換成，則滿足，使得有則使得.、關(guān)于上、下極限（）,，當(dāng)時，有;（）,數(shù)列中有無窮多項大于.設(shè)，則存在的子列，使得;關(guān)于下極限有類似的結(jié)論.三、基本題型與方法1、利用定義證明問題此類問題的解決主要依賴于對一些基本概念的

20、深刻理解.例1 設(shè)且，則必可以從S中選出一個嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，使.證明：由于且，故 （i），有； （ii）使.取，則，使；取，則，使即且；取，則，使即且；如此下去，則得數(shù)列使得嚴(yán)格遞增，且.例2 設(shè)為單調(diào)數(shù)列，證明，若存在聚點，則必是唯一的且為的確界.證明：不妨設(shè)單調(diào)遞增，若無上界，則，于是，當(dāng)時，有，所以的領(lǐng)域中至多含有中的前項，因此不是的聚點，由的任意性可知，沒有聚點存在矛盾，故數(shù)列有上界，所以數(shù)列收斂，且收斂于的上確界。即，即為的聚點。設(shè)是的聚點，即為的某一子列的極限，而由海涅定理知的任一子列均收斂于，所以有唯一聚點.例 3 證明證明：設(shè) 假設(shè)A+B>C，由下極限的定義，對有無窮多

21、個，使.取，則有無窮多個，使 .又因此對上述，只有至多有限個，使也只有至多有限個，使，因而只有至多有限個使得矛盾.2、遞推形式的極限此類問題的處理一般是首先通過單調(diào)有界定理成壓縮映像原理證明極限存在，然后對遞推公式的兩邊求極限，最后解方程得到極限值.若遞推公式的生成函數(shù)是一次函數(shù)一般是利用遞推公式直接求此表達(dá)式后求極限.例4 設(shè)試確定的斂散性解：由于 ； ； ， 所以. 所以時，發(fā)散；時，收斂，且.當(dāng)時，收斂，時，發(fā)散.當(dāng)時，收斂，時，發(fā)散.若遞推公式是由有理函數(shù)給出此類問題一般是先通過考察遞推形式來確定的范圍，然后，再由的范圍來確定函數(shù)的單調(diào)性，或通過求其發(fā)生函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的界，用壓縮映像原理來

22、解決.例5 設(shè)，證明收斂.證明：由于，知， 所以，即有， 又由所以，.所以數(shù)列單調(diào)遞增有上界，故收斂.例6 設(shè)，證明數(shù)列收斂.證明：顯然故，即， 令，則 所以， 所以， 故由壓縮映像原理知數(shù)列收斂.若遞推公式是由一些簡單的無理函數(shù)給出此類問題一般是通過觀察來猜測數(shù)列的單調(diào)性和有界性，然后用數(shù)學(xué)歸納法來證明你的結(jié)論。例7 （1）設(shè)求. （2）設(shè)證明存在并求其值.解：（1）由于，假設(shè)時，有，則當(dāng)時，有.由數(shù)列歸納法知，數(shù)列嚴(yán)格遞增，又顯然，假設(shè)，則 .即數(shù)列有上界，故由單調(diào)有界原理知：數(shù)列收斂，設(shè)，則有，解得.（2）由于 假設(shè)當(dāng)n=k+1時，有；則當(dāng)n=k+1時，有，且.即數(shù)列為單調(diào)遞增上有界數(shù)列

23、，故收斂，且易得.若遞增公式由抽象函數(shù)給出此類問題多使用壓縮映像原理解決例8 假設(shè)連續(xù)函數(shù)，滿足（1）（2），使構(gòu)造數(shù)列：，證明 收斂，其極限滿足.證明：顯然有界，且，由于，故，由壓縮映像原理知數(shù)例收斂，.由的連續(xù)性及遞推關(guān)系式易得.3.閉區(qū)間套定理的常見使用方法閉區(qū)間定理的使用時尋找具有一定的性質(zhì)的點。一般需要尋找具有一定特征的點時可考慮使用閉區(qū)間套定理，其關(guān)鍵是構(gòu)造區(qū)間套，常用的區(qū)間套的構(gòu)造方法是使每個閉區(qū)間的端點具有不同的屬性，或者是去想個小區(qū)間上具有某種性質(zhì).例9 設(shè)在上無界，證明在至少存在一點，使在該點的鄰域無界.證明：由于在上無界，將等分得兩個區(qū)間則至少在其中一個區(qū)間上無界，記其為

24、，再將等分，則至少在其中一個閉區(qū)間上無界，記其為，如此下去，則得一閉區(qū)間到滿足：（1） （2）（3）在上無界則由（1），（2）及閉區(qū)間套定理，存在唯一的，且在的任一個鄰域內(nèi)無界.假設(shè)在的某鄰域內(nèi)有界，則，當(dāng)時，有.由的選取知，在上無界，所以，在內(nèi)無界矛盾.例10 用閉區(qū)間套定理 證明確是原理.證明：設(shè)為一非空有上界的無窮點集，為的一個上界，取，若為的最大數(shù)，則即為的上確界，結(jié)論成立。否則記為，則點不是的上界，是的一個上界，考察的中點,若不是的上界，則記=，若是的上界，則記=，對上仿上討論，如此下去，則得一閉區(qū)間到滿足：（1） ，（2）=，（）（3）,不是的上屆，為的上界.由（1）（2）及閉區(qū)間

25、套定理，！.下證即為S的上確界，若，使，則由（），知，當(dāng)時，有，這與為的上界矛盾，所以，為的一個上界，由于，及，故,當(dāng)時，有，而不是的上界，故，使，故有，即不是的上界，由確界的定義知，為的上確界.4.有限覆蓋定理的常見使用方法有限覆蓋定理它實現(xiàn)了無限的飛躍，而有限集具有最大，最小及排序等一系列的性質(zhì)。使用有限覆蓋定理的關(guān)鍵是構(gòu)造開覆蓋，使得每個小區(qū)間上具有某種屬性，如函數(shù)在每個區(qū)間上有界，或每個小區(qū)間上符號相同，或每個小區(qū)間上僅含有限個某種特性的點等。例11 用有限覆蓋定理證明確界原理.、證明：設(shè)為一非空有上屆數(shù)集，為的一個上界，取，若為的上界，則為的最大數(shù)，也為上確界，結(jié)論成立，否則記，假設(shè)

26、中的每個數(shù)均不是的上確界，若不是的上界，即，使，所以，使中的每個數(shù)均不是的上界，若是的上界，但不是上確界，故，使也是的上界，所以，可取，使中的每個數(shù)均是的上界。令=，則覆蓋，由有限覆蓋定理從中可選出有限個，設(shè)為，且,它們也能覆蓋，設(shè),由于不是的上界，的選取知中的每個數(shù)均不是上界，又，不妨設(shè)，則.而中的每個點均不是上界，故中的每個點也均不是上界，如此下去，次以后，設(shè),中的每個點均不是的上界，這與為的上界，且屬于某個矛盾.所以，在中有一個數(shù)為的上確界.例12證明：若一組開區(qū)間，覆蓋，則，當(dāng)且時，使.證明：由有限覆蓋定理，從中可選有有限個區(qū)間，不妨設(shè)為，它們也能覆蓋，將這些端點從小到大排成一列。相同

27、的總是取其一，不妨設(shè)為，其中，令>0，則當(dāng)且時，必，使.四 綜合舉例例13 令，且 證明收斂.解： 易見>0，且即為有界數(shù)列，又 所以數(shù)列單調(diào)，由于，則遞增，兩邊取權(quán)限得： ，解得 .例14設(shè)，滿足： ；證明：（1）若有界，則有界； （2）若收斂，則收斂.證明：由遞推公式得： (1)若有界，則得，,于是 , 即有界.(2)若收斂，設(shè) 由于有界 所以有界， 設(shè), .=.由于，故當(dāng)時，有，從而當(dāng)時，有.所以 =.例15 設(shè)，為常數(shù)。證明 數(shù)列收斂，并求.證明： 由于，且，故>0； 令，故， 故當(dāng)時，有.故.由壓縮映像原理知，數(shù)列收斂，設(shè)。=,對=，兩邊求權(quán)限得： 即,所以.例16 證正項級數(shù)收斂，數(shù)列：，證明：是遞增收斂數(shù)列.證明： 由得 即為遞增收斂數(shù)列由數(shù)列歸納法易得，又由遞推公式：有； 兩邊平方得: 從而而數(shù)列收斂，所以有界，數(shù)列收斂.例17設(shè)在上有定義，且是上每一點的極限均存在且為0，證明 ：在上可積，且.證明： 由于=0，故，當(dāng)時有令，則覆蓋，由有限覆蓋定理，其中存在有限個區(qū)間，它們也能覆蓋，由的性質(zhì)知，在上除幾個點外，有