微積分基礎(chǔ)知識

1、緒論緒論1課程名稱課程名稱微積分上微積分上計(jì)劃學(xué)時(shí)計(jì)劃學(xué)時(shí)80 考核形式考核形式考試（學(xué)分）考試（學(xué)分）課堂紀(jì)律課堂紀(jì)律作業(yè)問題作業(yè)問題課前預(yù)習(xí)、重點(diǎn)聽講、簡記筆記、課前預(yù)習(xí)、重點(diǎn)聽講、簡記筆記、整理咀嚼、后作練習(xí)整理咀嚼、后作練習(xí)2參參 考考 書書 目目微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 編（高等教育出版社）編（高等教育出版社）31. 基礎(chǔ)基礎(chǔ): 函數(shù)函數(shù) , 極限極限, 連續(xù)連續(xù) 2. 微積分學(xué)微積分學(xué): 一元微積分一元微積分(上冊上冊)(下冊下冊)3. 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無窮級數(shù)無窮級數(shù)5. 常微分方程常微分方程主要內(nèi)

2、容主要內(nèi)容多元微積分多元微積分 高等數(shù)學(xué)研究的主要對象是高等數(shù)學(xué)研究的主要對象是函數(shù)函數(shù)，主要研究函數(shù)的，主要研究函數(shù)的分析分析性質(zhì)性質(zhì)（連續(xù)、可導(dǎo)、可積等）和（連續(xù)、可導(dǎo)、可積等）和分析運(yùn)算分析運(yùn)算（極限運(yùn)算、微分（極限運(yùn)算、微分法、積分法等）。那么高等數(shù)學(xué)用什么方法研究函數(shù)呢？這法、積分法等）。那么高等數(shù)學(xué)用什么方法研究函數(shù)呢？這個(gè)方法就是個(gè)方法就是極限方法極限方法，也稱為，也稱為無窮小分析法無窮小分析法。從方法論的觀。從方法論的觀點(diǎn)來看，這是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著標(biāo)志。點(diǎn)來看，這是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著標(biāo)志。 由于高等數(shù)學(xué)的研究對象和研究方法與初等數(shù)學(xué)由于高等數(shù)學(xué)的研

3、究對象和研究方法與初等數(shù)學(xué)有很大的不同，因此高等數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出以下顯著特點(diǎn)：有很大的不同，因此高等數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出以下顯著特點(diǎn)：概念更復(fù)雜概念更復(fù)雜理論性更強(qiáng)理論性更強(qiáng)表達(dá)形式更加抽象表達(dá)形式更加抽象推理更加嚴(yán)謹(jǐn)推理更加嚴(yán)謹(jǐn)4 因此在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真閱讀和深入鉆因此在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真閱讀和深入鉆研教材的內(nèi)容，一方面要透過抽象的表達(dá)形式，深刻理研教材的內(nèi)容，一方面要透過抽象的表達(dá)形式，深刻理解基本概念和理論的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，以及它們之間的內(nèi)在解基本概念和理論的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，正確領(lǐng)會一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，另一方面也聯(lián)系，正確領(lǐng)會一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，另一方面也要培養(yǎng)抽象

4、思維和邏輯推理的能力。要培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理的能力。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須做一定數(shù)量的習(xí)題，做習(xí)題不僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須做一定數(shù)量的習(xí)題，做習(xí)題不僅是為了掌握數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算方法，而且也可以幫助我是為了掌握數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算方法，而且也可以幫助我們更好地理解概念、理論和思想方法。但我們不應(yīng)該們更好地理解概念、理論和思想方法。但我們不應(yīng)該僅僅滿足于做題，更不能認(rèn)為，只要做了題，就算學(xué)僅僅滿足于做題，更不能認(rèn)為，只要做了題，就算學(xué)好了數(shù)學(xué)。好了數(shù)學(xué)。56極限方法極限方法1 1） 計(jì)算圓的周長計(jì)算圓的周長nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n 邊形邊形Orn )sinlim

5、2sinlim 22nnnSnrrrnn7 T0 xxoxy)(xfy CNM.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2 2）切線的斜率）切線的斜率8abxyo3)3)計(jì)算曲邊梯形面積計(jì)算曲邊梯形面積)(xfy 曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為iniixfA )(lim10 9111242n4)4)無窮級數(shù)無窮級數(shù)111lim242nn11(1)22lim1112nn10一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的對象的具有某種特定性質(zhì)的對象的全體全體.組成集合的事物稱為該集合的組成集合的事物稱為該集合的元素元素.,21naaaA )(xPxM P（x）表示元素具有性

6、質(zhì)）表示元素具有性質(zhì),Ma ,Ma 第第0 0章章 基本知識基本知識112.2.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a)., a(U 記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 xa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a. ax0 x), a(U ,)(鄰域的稱為點(diǎn)數(shù)集aaxx1.定義定義 設(shè)設(shè)x和和y是兩個(gè)變量，是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集，是一個(gè)給定的數(shù)集， 若對于若對于x D，變量變量y按照確定的法則總有按照確定的法則總有 確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是是x的函數(shù)的函數(shù)記作記作)(xfy 自變量自變

7、量因變量因變量.)(,000處的函數(shù)值處的函數(shù)值為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfDx .),(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集DxxfyyW 二、函數(shù)二、函數(shù)12函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: :定義域定義域與與對應(yīng)法則對應(yīng)法則.()D0 xx自變量自變量()W)(0 xfy對應(yīng)法則對應(yīng)法則f因變量因變量約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的一切實(shí)數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D1314 (1) 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy

8、當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn15(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x16 是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)17(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則對應(yīng)法則

9、用不同的式子來表示的函數(shù)用不同的式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).18三三. . 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), )(Dxxfy (1) 有界性有界性,Dx,A B使使( )Bf xA稱 )(xfA為上界，為上界，B為下界。為下界。 (2) 單調(diào)性單調(diào)性為為有界函數(shù)有界函數(shù).當(dāng)當(dāng),21Ixx21xx 時(shí)時(shí), )()(21xfxf若稱稱 )(xf為為 I 上的上的單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù) ;xy1x2x, )()(21xfxf若稱稱 )(xf為 I 上的單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù) .19xyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有且有,Dx若若, )()(xfxf則稱則稱 f (x) 為

10、為偶函數(shù)偶函數(shù);若若, )()(xfxf則稱則稱 f (x) 為為奇函數(shù)奇函數(shù). 說明說明: 若若)(xf在在 x = 0 有定義有定義 ,. 0)0(f)(xf為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)則當(dāng)必有必有例如例如,2)(xxeexfyxch 偶函數(shù)偶函數(shù)xyoxexexych雙曲余弦雙曲余弦 記記20例例1 1 判斷函數(shù)判斷函數(shù) 的奇偶性的奇偶性. .)1ln()(2xxxfy 解：解：)(1ln()(2xxxf )()1ln(2xfxx f( (x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù). .例例2 2 設(shè)設(shè)f(x)在在R R上定義，證明上定義，證明f(x)可分解為一個(gè)奇函數(shù)與一可分解為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和

11、。個(gè)偶函數(shù)的和。證明：設(shè)證明：設(shè)顯然顯然 g g( (x x) )是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，h h( (x x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù), ,而而 )()()(),()()(xfxfxhxfxfxg 2)()()(xhxgxf 故命題的證故命題的證. . 21(4) 周期性周期性,0,lDx且且,Dlx)()(xflxf則稱則稱)(xf為為周期函數(shù)周期函數(shù) ,to)(tf22xo2y2若若稱稱 l 為為周期周期 ( 一般指最小正周期一般指最小正周期 ).周期為周期為 周期為周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如例如, 常量函數(shù)常量函數(shù)Cxf)(狄里克雷函數(shù)狄里克

12、雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)為有理數(shù)x 為無理數(shù)為無理數(shù), 1,0四四. . 反函數(shù)反函數(shù)若函數(shù)若函數(shù))(:DfDf為單射為單射, 則存在逆映射則存在逆映射DDff)(:1稱此映射稱此映射1f為為 f 的的反函數(shù)反函數(shù) .xyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyDW1( )xfy反函數(shù)o22習(xí)慣上習(xí)慣上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP圖形關(guān)于直線圖形關(guān)于直線xy 對稱對稱 .單調(diào)性一致單調(diào)性一致2324例如例如 ,),(,xeyx對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)),0(,lnxxy互為反函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增它們都

13、單調(diào)遞增, 其圖形關(guān)于直線其圖形關(guān)于直線xy 對稱對稱 .指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)25例例1 1 證明若函數(shù)證明若函數(shù) y = y = f f (x)(x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)是奇函數(shù)且存在反函數(shù) x = x = f f 1 1(y), (y), 則反函數(shù)也是奇函數(shù)則反函數(shù)也是奇函數(shù)。證明：證明：).()()()(1111yfxxffxffyf 反函數(shù)是奇函數(shù)。反函數(shù)是奇函數(shù)。例例2 2.0101)(2的反函數(shù)的反函數(shù)求求 xxxxxf解解: : 當(dāng)當(dāng)x x 0 0時(shí)時(shí),y,y 1,1,1122 yxxy當(dāng)當(dāng)xx0 0時(shí)時(shí),y1,x=y-1,y N2 時(shí)時(shí), 有有2banx收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的

14、極限唯一.使當(dāng)使當(dāng) n N1 時(shí)時(shí), 2ba2ab2ab假設(shè)假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而從而2banx矛盾矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)則當(dāng) n N 時(shí)時(shí), ,max21NNN 取故假設(shè)不真故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式滿足的不等式47azynnnnlimlim)2(兩邊夾準(zhǔn)則兩邊夾準(zhǔn)則),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件由條件 (2) ,0,1N當(dāng)當(dāng)1Nn 時(shí)時(shí),ayn當(dāng)當(dāng)2Nn 時(shí)時(shí),azn令令,max21NNN 則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 有有,ayan,azan由條件由條件 (1)nnnzxya a即即

15、,axn故故 .limaxnn,2N48lim1(0)nnaa證明(P7)49例例. 證明數(shù)列證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的是發(fā)散的. 證證: 用反證法用反證法.假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列nx收斂收斂 , 則有唯一極限則有唯一極限 a 存在存在 .取取,21則存在則存在 N ,2121axan但因但因nx交替取值交替取值 1 與與1 , ),(2121aa內(nèi)內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在而此二數(shù)不可能同時(shí)落在21a21aa長度為長度為 1 的開區(qū)間的開區(qū)間 使當(dāng)使當(dāng) n N 時(shí)時(shí) , 有有因此該數(shù)列發(fā)散因此該數(shù)列發(fā)散 .50例例(P10) (P10) 證明證明 若若X2k-1a,Xa,X2

16、k2ka(k),a(k), 則則數(shù)列數(shù)列Xn收斂于收斂于a。證：對任證：對任0,0,K1,當(dāng)當(dāng)kK1 時(shí)時(shí)X2k 落在落在a-,a+,a+即即滿足滿足| |2k2k-a|-a|(1)(1) K2當(dāng)當(dāng)kK2時(shí)時(shí)X2k-1 落在落在a-,a+,a+即即滿足滿足| |2k-12k-1-a| -a| (2) (2) 取取N=max2KN=max2K1 1,2K,2K2 2-1,-1, 當(dāng)當(dāng)nN,必有必有XnXn落在落在a-,a+,a+即即滿足滿足| |n n-a| -a| 51例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnn