熱學(xué)第三版答案

1、第一章 溫度1-1 在什么溫度下,下列一對溫標(biāo)給出相同的讀數(shù)：（1）華氏溫標(biāo)和攝氏溫標(biāo)；（2）華氏溫標(biāo)和熱力學(xué)溫標(biāo)；（3）攝氏溫標(biāo)和熱力學(xué)溫標(biāo)？解：（1）         當(dāng) 時，即可由 ，解得         故在 時  （2）又      當(dāng) 時 則即      解得：         

2、0; 故在 時，  （3）       若 則有       顯而易見此方程無解，因此不存在 的情況。1-2 定容氣體溫度計的測溫泡浸在水的三相點槽內(nèi)時，其中氣體的壓強為50mmHg。      （1）用溫度計測量300K的溫度時，氣體的壓強是多少？      （2）當(dāng)氣體的壓強為68mmHg時，待測溫度是多少？ 解：對于定容氣體溫度計可知：    

3、;     (1)         (2) 1-3 用定容氣體溫度計測得冰點的理想氣體溫度為273.15K，試求溫度計內(nèi)的氣體在冰點時的壓強與水的三相點時壓強之比的極限值。解：根據(jù) 已知  冰點 。1-4 用定容氣體溫度計測量某種物質(zhì)的沸點。 原來測溫泡在水的三相點時，其中氣體的壓強 ；當(dāng)測溫泡浸入待測物質(zhì)中時，測得的壓強值為 ,當(dāng)從測溫泡中抽出一些氣體,使 減為200mmHg時,重新測得 ,當(dāng)再抽出一些氣體使 減為100mmHg時,測得 .試確定待測沸點的理想氣體溫度.解：

4、根據(jù)          從理想氣體溫標(biāo)的定義： 依以上兩次所測數(shù)據(jù),作T-P圖看趨勢得出 時,T約為400.5K亦即沸點為400.5K.          題1-4圖1-5 鉑電阻溫度計的測量泡浸在水的三相點槽內(nèi)時，鉑電阻的阻值為90.35歐姆。當(dāng)溫度計的測溫泡與待測物體接觸時，鉑電阻的阻值為90.28歐姆。試求待測物體的溫度，假設(shè)溫度與鉑電阻的阻值成正比，并規(guī)定水的三相點為273.16K。解：依題給條件可得 則 故 1-6 在歷史上，對攝氏溫標(biāo)

5、是這樣規(guī)定的：假設(shè)測溫屬性X隨溫度t做線性變化 ，即，并規(guī)定冰點為 ，汽化點為 。設(shè) 和 分別表示在冰點和汽化點時X的值，試求上式中的常數(shù)a和b。解： 由題給條件可知 由（2）-（1）得  將（3）代入（1）式得1-7 水銀溫度計浸在冰水中時，水銀柱的長度為4.0cm；溫度計浸在沸水中時，水銀柱的長度為24.0cm。（1）       在室溫 時，水銀柱的長度為多少？（2）       溫度計浸在某種沸騰的化學(xué)溶液中時，水銀柱的長度為25.4cm，試求溶液的溫度。解

6、：設(shè)水銀柱長 與溫度 成線性關(guān)系：  當(dāng) 時， 代入上式  當(dāng) ， （1） （2） 1-8 設(shè)一定容氣體溫度計是按攝氏溫標(biāo)刻度的，它在冰點和汽化點時，其中氣體的壓強分別為 和 。（1）當(dāng)氣體的壓強為 時，待測溫度是多少？（2）當(dāng)溫度計在沸騰的硫中時（硫的沸點為 ），氣體的壓強是多少？解：解法一 設(shè)P與t為線性關(guān)系： 由題給條件可知：當(dāng) 時有當(dāng) 時得： 由此而得（1） （2） 時解法二 若設(shè)t與P為線性關(guān)系 利用第六題公式可得：由此可得：（1） 時           

7、;            （2） 時              1-9 當(dāng)熱電偶的一個觸點保持在冰點，另一個觸點保持任一攝氏溫度t時，其熱電動勢由下式確定：     式中         題1-9題（1）     

8、60;                   題1-9圖（2）題1-9圖（3）（1）       試計算當(dāng) 和 時熱電動勢 的值，并在此范圍內(nèi)作 圖。（2）       設(shè)用 為測溫屬性，用下列線性方程來定義溫標(biāo) ： 并規(guī)定冰點為 ，汽化點為 ，試求出a和b的值，并畫出 圖。（3） 

9、0;     求出與 和 對應(yīng)的 值，并畫出 圖（4）       試比較溫標(biāo)t和溫標(biāo) 。解：令         （1） （2） 在冰點時 ，汽化點 ，而 ， 已知解得： （3） 當(dāng) 時   當(dāng) 時   當(dāng) 時   當(dāng) 時   （4）溫標(biāo)t和溫標(biāo) 只有在汽化點和沸點具有相同的值， 隨 線性變化，而t不隨 線性變化，所以用 作測溫屬性的 溫標(biāo)比t溫標(biāo)優(yōu)越，計算方便，但日

10、常所用的溫標(biāo)是攝氏溫標(biāo)，t與 雖非線性變化，卻能直接反應(yīng)熟知的溫標(biāo)，因此各有所長。1-10 用L表示液體溫度計中液柱的長度。定義溫標(biāo) 與L之間的關(guān)系為 。式中的a、b為常數(shù)，規(guī)定冰點為 ，汽化點為 。設(shè)在冰點時液柱的長度為 ，在汽化點時液柱的長度，試求 到 之間液柱長度差以及 到 之間液柱的長度差。解：由題給條件可得：             （1）          

11、0;  （2）解聯(lián)立方程（1）（2）得：   則 1-11 定義溫標(biāo) 與測溫屬性X之間的關(guān)系為 ，其中K為常數(shù)。（1）設(shè)X為定容稀薄氣體的壓強，并假定在水的三相點為 ，試確定溫標(biāo) 與熱力學(xué)溫標(biāo)之間的關(guān)系。（2）在溫標(biāo) 中，冰點和汽化點各為多少度？（3）在溫標(biāo) 中，是否存在0度？解：（1）根據(jù)理想氣體溫標(biāo) ，而X=P      （1）由題給條件，在三相點時   代入式代入（1）式得：  （2）（2）冰點 代入（2）式得汽化點   代入（2）式得（3）若 ，則 從數(shù)學(xué)上看， 不小于0，說明

12、 有0度存在，但實際上，在此溫度下，稀薄汽體可能已液化，0度不能實測。1-12 一立方容器，每邊長20cm其中貯有 ， 的氣體，當(dāng)把氣體加熱到 時，容器每個壁所受到的壓力為多大？解：對一定質(zhì)量的理想氣體其狀態(tài)方程為 因 ，而 故 1-13 一定質(zhì)量的氣體在壓強保持不變的情況下，溫度由 升到 時，其體積將改變百分之幾？解：根據(jù)方程 則體積改變的百分比為 1-14 一氧氣瓶的容積是 ，其中氧氣的壓強是 ，規(guī)定瓶內(nèi)氧氣壓強降到 時就得充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶，今有一玻璃室，每天需用 氧氣 ，問一瓶氧氣能用幾天。解：先作兩點假設(shè)，（1）氧氣可視為理想氣體，（2）在使用氧氣過程中溫度不變

13、。則：由    可有 每天用掉的氧氣質(zhì)量為 瓶中剩余氧氣的質(zhì)量為 天1-15 水銀氣壓計中混進(jìn)了一個空氣泡，因此它的讀數(shù)比實際的氣壓小，當(dāng)精確的氣壓計的讀數(shù)為 時，它的讀數(shù)只有 。此時管內(nèi)水銀面到管頂?shù)木嚯x為 。問當(dāng)此氣壓計的讀數(shù)為 時，實際氣壓應(yīng)是多少。設(shè)空氣的溫度保持不變。題1-15圖解：設(shè)管子橫截面為S，在氣壓計讀數(shù)為 和 時，管內(nèi)空氣壓強分別為 和 ，根據(jù)靜力平衡條件可知，由于T、M不變根據(jù)方程 有 ，而 1-16 截面為 的粗細(xì)均勻的U形管，其中貯有水銀，高度如圖1-16所示。今將左側(cè)的上端封閉年，將其右側(cè)與真空泵相接，問左側(cè)的水銀將下降多少？設(shè)空氣的溫度保持不變

14、，壓強 題1-16圖解：根據(jù)靜力平均條件，右端與大氣相接時，左端的空氣壓強為大氣壓；當(dāng)右端與真空泵相接時，左端空氣壓強為 （兩管水銀柱高度差）設(shè)左端水銀柱下降    常數(shù)   即 整理得 ： （舍去）1-17 圖1-17所示為一粗細(xì)均勻的J形管，其左端是封閉的，右側(cè)和大氣相通，已知大氣壓強為 ，今從J形管右側(cè)灌入水銀，問當(dāng)右側(cè)灌滿水銀時，左側(cè)水銀柱有多高，設(shè)溫度保持不變，空氣可看作理想氣體。題1-17圖解：設(shè)從J形管右側(cè)灌滿水銀時，左側(cè)水銀柱高為h。假設(shè)管子的直徑與 相比很小，可忽略不計，因溫度不變，則對封閉在左側(cè)的氣體有： 而 （S為管的截面積）解得：

15、 （舍去）    1-18 如圖1-18所示，兩個截面相同的連通管，一為開管，一為閉管，原來開管內(nèi)水銀下降了 ，問閉管內(nèi)水銀面下降了多少？設(shè)原來閉管內(nèi)水銀面上空氣柱的高度R和大氣壓強為 ，是已知的。           題1-18圖   解：設(shè)截面積為S，原閉管內(nèi)氣柱長為R大氣壓為P閉管內(nèi)水銀面下降后，其內(nèi)部壓強為。對閉管內(nèi)一定質(zhì)量的氣體有：      以水銀柱高度為壓強單位：   取正

16、值，即得 1-19 一端封閉的玻璃管長 ，貯有空氣，氣體上面有一段長為 的水銀柱，將氣柱封住，水銀面與管口對齊，今將玻璃管的開口端用玻璃片蓋住，輕輕倒轉(zhuǎn)后再除去玻璃片，因而使一部分水銀漏出。當(dāng)大氣壓為 時，六在管內(nèi)的水銀柱有多長？解：                    題1-19圖設(shè)在正立情況下管內(nèi)氣體的壓強為 ，以水銀柱高度表示壓強，倒立時，管內(nèi)氣體的壓強變?yōu)?，水銀柱高度為    

17、0;                                         由于在倒立過程溫度 不變，       &#

18、160;                 解之并取 的值得 1-20 求氧氣在壓強為 ，溫度為 時的密度。解：已知氧的密度 1-21 容積為 的瓶內(nèi)貯有氫氣，因開關(guān)損壞而漏氣，在溫度為 時，氣壓計的讀數(shù)為 。過了些時候，溫度上升為 ，氣壓計的讀數(shù)未變，問漏去了多少質(zhì)量的氫。解：當(dāng) 時，容器內(nèi)氫氣的質(zhì)量為： 當(dāng) 時，容器內(nèi)氫氣的質(zhì)量為： 故漏去氫氣的質(zhì)量為1-22 一打氣筒，每打一次可將原來壓強為 ，溫度為 ，體積 的空氣壓縮到容器內(nèi)。設(shè)

19、容器的容積為 ，問需要打幾次氣，才能使容器內(nèi)的空氣溫度為 ，壓強為 。解：打氣后壓強為： ，題上未說原來容器中的氣體情況，可設(shè)原來容器中沒有空氣，設(shè)所需打氣次數(shù)為 ，則得： 次1-23 一氣缸內(nèi)貯有理想氣體，氣體的壓強、摩爾體積和溫度分別為 、 和 ，現(xiàn)將氣缸加熱，使氣體的壓強和體積同時增大。設(shè)在這過程中，氣體的壓強 和摩爾體積 滿足下列關(guān)系式： 其中 為常數(shù)（1）求常數(shù) ，將結(jié)果用 ， 和普適氣體常數(shù) 表示。（2）設(shè) ，當(dāng)摩爾體積增大到 時，氣體的溫度是多高？解：根據(jù) 理想氣體狀態(tài)方程 和過程方程 有（1） （2） 而 ，則 1-24 圖1-24為測量低氣壓的麥克勞壓力計的示意圖，使壓力計與

20、待測容器相連，把貯有水銀的瓶R緩緩上提，水銀進(jìn)入容器B，將B中的氣體與待測容器中的氣體隔開。繼續(xù)上提瓶R，水銀就進(jìn)入兩根相同的毛細(xì)管 和 內(nèi)，當(dāng) 中水銀面的高度差 ，設(shè)容器的容積為 ，毛細(xì)管直徑 ，求待測容器中的氣壓。    題1-24圖解：設(shè) 管體積 ，當(dāng)水銀瓶R上提時，水銀上升到虛線處，此時B內(nèi)氣體壓強與待測容器的氣體壓強相等。以B內(nèi)氣體為研究對象，當(dāng)R繼續(xù)上提后， 內(nèi)氣體壓強增大到 ，由于溫度可視為不變，則根據(jù)玻-馬定律，有   由于 1-25 用圖1-25所示的容積計測量某種輕礦物的操作步驟和實驗數(shù)據(jù)如下：（1）打開活拴K，使管AB和罩

21、C與大氣相通。上度移動D，使水銀面在n處。（2）關(guān)閉K，往上舉D，使水銀面達(dá)到m處。這時測得B、D兩管內(nèi)水銀面的高度差 。（3）打開K，把400g的礦物投入C中使水銀面重密與對齊，關(guān)閉K。（4）往上舉D，使水銀面重新到達(dá)m處，這時測得B、D兩管內(nèi)水銀面的高度差 已知罩C和AB管的容積共為 ，求礦物的密度。題1-25圖解：設(shè)容器B的容積為 ，礦物的體積為 ， 為大氣壓強，當(dāng)打開K時，罩內(nèi)壓強為 ，步驟（2）中罩內(nèi)壓強為 ,步驟（4）中，罩內(nèi)壓強為 ，假設(shè)操作過程中溫度可視不變，則根據(jù)玻-馬定律知未放礦石時： 放入后： 解聯(lián)立方程得 1-26 一抽氣機轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)/分，抽氣機每分鐘能夠抽出氣體 ，設(shè)容

22、器的容積 ，問經(jīng)過多少時間后才能使容器的壓強由 降到 。解：設(shè)抽氣機每轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)時能抽出的氣體體積為 ，則 當(dāng)抽氣機轉(zhuǎn)過一轉(zhuǎn)后，容器內(nèi)的壓強由 降到 ，忽略抽氣過程中壓強的變化而近似認(rèn)為抽出壓強為 的氣體 ，因而有 ，當(dāng)抽氣機轉(zhuǎn)過兩轉(zhuǎn)后，壓強為當(dāng)抽氣機轉(zhuǎn)過n轉(zhuǎn)后，壓強 設(shè)當(dāng)壓強降到 時，所需時間為 分，轉(zhuǎn)數(shù) 1-27 按重量計，空氣是由 的氮， 的氧，約 的氬組成的（其余成分很少，可以忽略），計算空氣的平均分子量及在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的密度。解：設(shè)總質(zhì)量為M的空氣中，氧、氮、氬的質(zhì)量分別為 。氧、氮、氬的分子量分別為 ?？諝獾哪枖?shù)則空氣的平均摩爾質(zhì)量為即空氣的平均分子量為28.9。空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的密度

23、1-28 把 的氮氣壓入一容積為 的容器，容器中原來已充滿同溫同壓的氧氣。試求混合氣體的壓強和各種氣體的分壓強，假定容器中的溫度保持不變。解：根據(jù)道爾頓分壓定律可知 又由狀態(tài)方程 且溫度、質(zhì)量M不變。1-29 用排氣取氣法收集某種氣體（見圖1-29），氣體在溫度為 時的飽和蒸汽壓為 ，試求此氣體在 干燥時的體積。  題1-29圖解：容器內(nèi)氣體由某氣體兩部分組成，令某氣體的壓強為 則其總壓強 干燥時，即氣體內(nèi)不含水汽，若某氣體的壓強也為 其體積V，則根據(jù)PV=恒量（T、M一定）有 1-30 通常稱范德瓦耳斯方程中 一項為內(nèi)壓強，已知范德瓦耳斯方程中常數(shù)a，對二氧化碳和氫分別為 和 ，試

24、計算這兩種氣體在 ，0.01和0.001時的內(nèi)壓強， 解：根據(jù)內(nèi)壓強公式 ，設(shè) 內(nèi)壓強為 的內(nèi)壓強 。當(dāng) 時，當(dāng) 時當(dāng) 時1-31 一摩爾氧氣，壓強為 ，體積為 ，其溫度是多少？解：由于體積 較小，而壓強較大，所以利用狀態(tài)方程則必然出現(xiàn)較大的誤差，因此我們用范氏方程求解式中 1-32 試計算壓強為 ，密度為 的氧氣的溫度，已知氧氣的范德瓦耳斯常數(shù)為 ， 。解：設(shè)氧氣的質(zhì)量為 ，所占的體積為 ，則有 根據(jù)范氏方程 則有 代入數(shù)據(jù)得： 1-33 用范德瓦耳斯方程計算密閉于容器內(nèi)質(zhì)量 的二氧化碳的壓強。已知容器的容積 ，氣體的溫度 。試計算結(jié)果與用理想氣體狀態(tài)方程計算結(jié)果相比較。已知二氧化碳的范德瓦

25、斯常數(shù)為 ， 。解：（1）應(yīng)用范氏方程計算：得出： 代入數(shù)據(jù)計算得：（2）應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程：小結(jié)：應(yīng)用兩種方程所得的P值是不同的，用范氏方程所得結(jié)果小于理想氣體方程所得的P值。其原因是由于理想氣體狀態(tài)方程忽略分子間作用力和氣體分子本身所占的體積，所以使得計算的壓強大于真實氣體的壓強。第二章 氣體分子運動論的基本概念 2-1 目前可獲得的極限真空度為10-13mmHg的數(shù)量級，問在此真空度下每立方厘米內(nèi)有多少空氣分子，設(shè)空氣的溫度為27。解： 由P=n K T可知n =P/KT= =3.21×109(m 3)注：1mmHg=1.33×102N/m22-2 鈉黃光的波長為5

26、893埃，即5.893×10-7m，設(shè)想一立方體長5.893×10-7m， 試問在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，其中有多少個空氣分子。解：P=nKT PV=NKT其中T=273K P=1.013×105N/m2N=個2-3 一容積為11.2L的真空系統(tǒng)已被抽到1.0×10-5mmHg的真空。為了提高其真空度，將它放在300的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出吸附的氣體。若烘烤后壓強增為1.0×10-2mmHg，問器壁原來吸附了多少個氣體分子。解：設(shè)烘烤前容器內(nèi)分子數(shù)為N。，烘烤后的分子數(shù)為N。根據(jù)上題導(dǎo)出的公式PV = NKT則有： 因為P0與P1相比差103數(shù)量，而烘烤

27、前后溫度差與壓強差相比可以忽略，因此 與 相比可以忽略個2-4 容積為2500cm3的燒瓶內(nèi)有1.0×1015個氧分子,有4.0×1015個氮分子和3.3×10-7g的氬氣。設(shè)混合氣體的溫度為150,求混合氣體的壓強。解：根據(jù)混合氣體的壓強公式有 PV=（N氧+N氮+N氬）KT其中的氬的分子個數(shù)： N氬=（個） P=（1.0+4.0+4.97）1015Pa mmHg2-5 一容器內(nèi)有氧氣，其壓強P=1.0atm,溫度為t=27，求(1) 單位體積內(nèi)的分子數(shù)：(2) 氧氣的密度；(3) 氧分子的質(zhì)量；(4) 分子間的平均距離；(5) 分子的平均平動能。解：(1) P

28、=nKT n=m-3(2) (3)m氧=g(4) 設(shè)分子間的平均距離為d，并將分子看成是半徑為d/2的球，每個分子的體積為v0。V0=cm(5)分子的平均平動能為：（爾格）2-6 在常溫下(例如27)，氣體分子的平均平動能等于多少ev?在多高的溫度下，氣體分子的平均平動能等于1000ev?解：(1)（J）leV=1.6×10-19J(ev)(2)T=2-7 一摩爾氦氣，其分子熱運動動能的總和為3.75×103J,求氦氣的溫度。:解: 2-8 質(zhì)量為10Kg的氮氣，當(dāng)壓強為1.0atm,體積為7700cm3 時，其分子的平均平動能是多少？解: 而 J2-9 質(zhì)量為50.0g，

29、溫度為18.0的氦氣裝在容積為10.0L的封閉容器內(nèi)，容器以v=200m/s的速率作勻速直線運動。若容器突然靜止，定向運動的動能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運動的動能，則平衡后氦氣的溫度和壓強將各增大多少？ 解：由于容器以速率v作定向運動時，每一個分子都具有定向運動，其動能等于，當(dāng)容器停止運動時，分子定向運動的動能將轉(zhuǎn)化為分子熱運動的能量，每個分子的平均熱運動能量則為 T= 因為容器內(nèi)氦氣的體積一定，所以故P=，又由得：P=（atm ）2-10 有六個微粒，試就下列幾種情況計算它們的方均根速率：(1) 六個的速率均為10m/s；(2) 三個的速率為5m/s,另三個的為10m/s；(3) 三個靜止，另三個的

30、速率為10m/s。解：（1） （2） （3）2-11 試計算氫氣、氧氣和汞蒸氣分子的方均根速率，設(shè)氣體的溫度為300K，已知氫氣、氧氣和汞蒸氣的分子量分別為2.02、32.0和201。解： m/s2-12 氣體的溫度為T = 273K,壓強為 P=1.00×10-2atm,密度為=1.29×10-5g(1) 求氣體分子的方均根速率。(2) 求氣體的分子量，并確定它是什么氣體。解：（1） （2）m=28.9該氣體為空氣2-13 若使氫分子和氧分子的方均根速率等于它們在月球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？解：在地球表面的逃逸速率為 V地逸=在月球表面的逃逸速率為V月逸=又根據(jù)

31、 當(dāng)時，則其溫度為TH2=TO2=當(dāng)時TH2=TO2=2-14 一立方容器，每邊長1.0m，其中貯有標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氧氣，試計算容器一壁每秒受到的氧分子碰撞的次數(shù)。設(shè)分子的平均速率和方均根速率的差別可以忽略。 解：按題設(shè)米/秒設(shè)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下單位容器內(nèi)的分子數(shù)為n，將容器內(nèi)的分子按速度分組，考慮速度為vi的第i組。說單位體積內(nèi)具有速度vi的分子數(shù)為ni，在時間內(nèi)與dA器壁相碰的分子數(shù)為ni·vixdt·dA，其中vix為速度vi在X方向上的分量，則第i組分子每秒與單位面積器壁碰撞次數(shù)為ni·vix，所有分子每秒與單位面積器壁碰撞次數(shù)為：即在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下n=2.69×

32、;1025m-32-15 估算空氣分子每秒與1.0cm2墻壁相碰的次數(shù)，已知空氣的溫度為300K，壓強為1.0atm，平均分子量為29。設(shè)分子的平均速率和方均根速率的差別可以忽略。解：與前題類似，所以每秒與1cm2的墻壁相碰次數(shù)為：2-16 一密閉容器中貯有水及飽和蒸汽，水的溫度為100，壓強為1.0atm，已知在這種狀態(tài)下每克水汽所占的體積為1670cm3，水的汽化熱為2250J/g（1） 每立方厘米水汽中含有多少個分子？（2） 每秒有多少個水汽分子碰到水面上？（3） 設(shè)所有碰到水面上的水汽分子都凝結(jié)為水，則每秒有多少分子從水中逸出？（4） 試將水汽分子的平均動能與每個水分子逸出所需能量相比

33、較。 解：（1）每個水汽分子的質(zhì)量為：每cm3水汽的質(zhì)量則每cm3水汽所含的分子數(shù)（2）可看作求每秒與1cm2水面相碰的分子數(shù)D，這與每秒與1cm2器壁相碰的分子數(shù)方法相同。在飽和狀態(tài)n不變。（3）當(dāng)蒸汽達(dá)飽和時，每秒從水面逸出的分子數(shù)與返回水面的分子數(shù)相等。（4）分子的平均動能每個分子逸出所需的能量顯而易見E，即分子逸出所需能量要大于分子平均平動能。2-17 當(dāng)液體與其飽和蒸氣共存時，氣化率和凝結(jié)率相等，設(shè)所有碰到液面上的蒸氣分子都能凝結(jié)為液體，并假定當(dāng)把液面上的蒸氣分子迅速抽去時液體的氣化率與存在飽和蒸氣時的氣化率相同。已知水銀在0時的飽和蒸氣壓為1.85×10-6mmHg，汽化

34、熱為80.5cal/g，問每秒通過每平方厘米液面有多少克水銀向真空中氣化。解：根據(jù)題意，氣化率和凝結(jié)率相等P=1.85×10-6mmHg =2.47×10-4Nm-2氣化的分子數(shù)=液化的分子數(shù)=碰到液面的分子數(shù)N，由第14題結(jié)果可知：則每秒通過1cm2液面向真空氣化的水銀質(zhì)量2-18 已知對氧氣，范德瓦耳斯方程中的常數(shù)b=0.031831mol-1，設(shè)b等于一摩爾氧氣分子體積總和的四倍，試計算氧分子的直徑。解：2-19 把標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下224升的氮氣不斷壓縮，它的體積將趨于多少升？設(shè)此時的氮分子是一個挨著一個緊密排列的，試計算氮分子的直徑。此時由分子間引力所產(chǎn)生的內(nèi)壓強約為多大

35、？已知對于氮氣，范德瓦耳斯方程中的常數(shù)a=1.390atml2mol-2，b=0.039131mol-1。解：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)西224l的氮氣是10mol的氣體，所以不斷壓縮氣體時，則其體積將趨于10b，即0.39131，分子直徑為：內(nèi)壓強P內(nèi)=atm注：一摩爾實際氣體當(dāng)不斷壓縮時（即壓強趨于無限大）時，氣體分子不可能一個挨一個的緊密排列，因而氣體體積不能趨于分子本身所有體積之和而只能趨于b。2-20 一立方容器的容積為V，其中貯有一摩爾氣體。設(shè)把分子看作直徑為d的剛體，并設(shè)想分子是一個一個地放入容器的，問：（1） 第一個分子放入容器后，其中心能夠自由活動的空間體積是多大？（2） 第二個分子放入容器

36、后，其中心能夠自由活動的空間體積是多大？（3） 第NA個分子放入容器后，其中心能夠自由活動的空間體積是多大？（4） 平均地講，每個分子的中心能夠自由活動的空間體積是多大？由此證明，范德瓦耳斯方程中的改正量b約等于一摩爾氣體所有分子體積總和的四倍。解：假定兩分子相碰中心距為d，每一分子視直徑為d的小球，忽略器壁對分子的作用。（1） 設(shè)容器四邊長為L，則V=L3，第一個分子放入容器后，其分子中心與器壁的距離應(yīng)，所以它的中心自由活動空間的體積V1=（L-d）3。（2） 第二個分子放入后，它的中心自由活動空間應(yīng)是V1減去第一個分子的排斥球體積，即：(3)第NA個分子放入后, 其中心能夠自由活動的空間體

37、積:(4) 平均地講，每個分子的中心能夠自由活動的空間為： 因為，所以容積為V的容器內(nèi)有NA個分子，即容器內(nèi)有一摩爾氣體，按修正量b的定義，每個分子自由活動空間，與上面結(jié)果比較，易見：即修正量b是一摩爾氣體所有分子體積總和的四倍。第 三 章 氣體分子熱運動速率和能量的統(tǒng)計分布律 3-1 設(shè)有一群粒子按速率分布如下：粒子數(shù)Ni24682速率Vi（m/s）1.002.003.004.005.00 試求(1)平均速率V；（2）方均根速率（3）最可幾速率Vp 解：（1）平均速率：(m/s) (2) 方均根速率(m/s)3-2 計算300K時，氧分子的最可幾速率、平均速率和方均根速率。解：3-3 計算氧

38、分子的最可幾速率，設(shè)氧氣的溫度為100K、1000K和10000K。解：代入數(shù)據(jù)則分別為：T=100K時 T=1000K時 T=10000K時 3-4 某種氣體分子在溫度T1時的方均根速率等于溫度T2時的平均速率，求T2/T1。解：因 由題意得： T2/T1=3-5 求0時1.0cm3氮氣中速率在500m/s到501m/s之間的分子數(shù)（在計算中可將dv近似地取為v=1m/s） 解：設(shè)1.0cm3氮氣中分子數(shù)為N，速率在500501m/s之間內(nèi)的分子數(shù)為N，由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑?N= Vp2= ，代入上式 N=因500到501相差很小，故在該速率區(qū)間取分子速率V=500m/s，又 V=1m/s（=

39、1.24）代入計算得：N=1.86×103N個3-6 設(shè)氮氣的溫度為300，求速率在3000m/s到3010m/s之間的分子數(shù)N1與速率在1500m/s到1510m/s之間的分子數(shù)N2之比。解： 取分子速率為V1=3000m/s V2=1500m/s, V1=V2=10m/s由5題計算過程可得：V1=N2= N/N2=其中VP=m/s =1.375，=0.687 解法2：若考慮V1=V2=10m/s比較大，可不用近似法，用積分法求N1，N2 dN= N1= N2= 令Xi= i=1、2、3、4利用16題結(jié)果: N1= （1） N2=（）其中VP= 查誤差函數(shù)表得： erf(x1)=0

40、.9482 erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722將數(shù)字代入（）、（）計算，再求得：3-7 試就下列幾種情況，求氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：（1） 速率在區(qū)間vp1.0vp1內(nèi)（2） 速度分量vx在區(qū)間vp1.0vp1內(nèi)（3） 速度分量vp、vp、vp同時在區(qū)間vp1.0vp1內(nèi)解：設(shè)氣體分子總數(shù)為N，在三種情況下的分子數(shù)分別為N1、N2、N3（1） 由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑?N=令v2=1.01vp，vi=vp，則，利用16題結(jié)果可得；查誤差函數(shù)表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468（2） 由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑毫睿?，利用誤差函

41、數(shù)：（3）令，由麥?zhǔn)纤俣确植悸傻茫?-8根據(jù)麥克斯韋速率分布函數(shù)，計算足夠多的點，以dN/dv為縱坐標(biāo)，v為橫坐標(biāo)，作1摩爾氧氣在100K和400K時的分子速率分布曲線。 解：由麥?zhǔn)纤俾史植悸傻茫簩?3.14，N=NA=6.02×1023T=100Km=32×10-3代入上式得到常數(shù)：A= （1）為了避免麻煩和突出分析問題方法，我們只做如下討論：由麥?zhǔn)纤俾史植悸晌覀冎溃瑔挝凰俾蕝^(qū)間分布的分子數(shù)隨速率的變化，必然在最可幾速率處取極大值，極大值為：令則得又在V=0時，y=0，V時，y0又 T1=100KT2=400K 由此作出草圖3-9根據(jù)麥克斯韋速率分布律，求速率倒數(shù)的平均

42、值。解：3-10一容器的器壁上開有一直徑為0.20mm的小圓孔，容器貯有100的水銀，容器外被抽成真空，已知水銀在此溫度下的蒸汽壓為0.28mmHg。（1） 求容器內(nèi)水銀蒸汽分子的平均速率。（2） 每小時有多少克水銀從小孔逸出？解：（1）（2）逸出分子數(shù)就是與小孔處應(yīng)相碰的分子數(shù)，所以每小時從小孔逸出的分子數(shù)為：其中是每秒和器壁單位面積碰撞的分子數(shù)，是小孔面積，t=3600s，故，代入數(shù)據(jù)得： N=4.05×1019（個）3-11如圖3-11，一容器被一隔板分成兩部分，其中氣體的壓強，分子數(shù)密度分別為p1、n1、p2、n2。兩部分氣體的溫度相同，都等于T。摩爾質(zhì)量也相同，均為。試證明

43、：如隔板上有一面積為A的小孔，則每秒通過小孔的氣體質(zhì)量為：證明：設(shè)p1p2，通過小孔的分子數(shù)相當(dāng)于和面積為A的器壁碰撞的分子數(shù)。 從1跑到2的分子數(shù)： 從2跑到1的分子數(shù)：實際通過小孔的分子數(shù)：（從1轉(zhuǎn)移到2）因t=1秒，T1=T2=T若P2P1，則M0，表示分子實際是從2向1轉(zhuǎn)移。3-12 有N個粒子，其速率分布函數(shù)為(1) 作速率分布曲線。(2) 由N和v0求常數(shù)C。(3) 求粒子的平均速率。解：（1） 得速率分布曲線如圖示（2）即 （3）3-13 N個假想的氣體分子，其速率分布如圖3-13所示（當(dāng)vv0時，粒子數(shù)為零）。（1）由N和V0求a。（2）求速率在1.5V0到2.0V0之間的分子

44、數(shù)。（3） 求分子的平均速率。 解：由圖得分子的速率分布函數(shù)： () () f(v)= ()(1) (2) 速率在1.5V0到2.0V0之間的分子數(shù) 3-14 證明：麥克斯韋速率分布函數(shù)可以寫作： 其中 證明：3-15設(shè)氣體分子的總數(shù)為N，試證明速度的x分量大于某一給定值vx的分子數(shù)為：（提示：速度的x分量在0到之間的分子數(shù)為）證明：由于速度的x分量在區(qū)間vxvx +dvx內(nèi)的分子數(shù)為：故在vx范圍內(nèi)的分子數(shù)為： 由題意：令利用誤差函數(shù)得：3-16 設(shè)氣體分子的總數(shù)為N，試證明速率在0到任一給定值v之間的分子數(shù)為：其中，vp為最可幾速率。提示：證明：令 ，則由提示得：3-17 求速度分量vx大

45、于2 vp的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。 解：設(shè)總分子數(shù)N，速度分量vx大于2 vp的分子數(shù)由15題結(jié)果得：其中可直接查誤差函數(shù)表得：erf（2）=0.9952也可由誤差函數(shù)： erf（z）=將z=2代入計算得：erf（2）=0.97523-18 設(shè)氣體分子的總數(shù)為N，求速率大于某一給定值的分子數(shù)，設(shè)（1）v=vp（2）v=2vp，具體算出結(jié)果來。解：（1）v=vp時，速率大于vp的分子數(shù)：利用16題結(jié)果：這里（2）v=2vp時，則速率大于2vp的分子數(shù)為：3-19 求速率大于任一給定值v的氣體分子每秒與單位面積器壁的碰撞次數(shù)。解：由18題結(jié)果可得單位體積中速率大于v的分子數(shù)為：在垂直x軸向取器壁

46、面積dA，則速率大于v能與dA相碰的分子，其vx仍在0間，由熱學(xué)P30例題，每秒與單位面積器壁碰撞的速率大于v的分子數(shù)為： 3-20 在圖3-20所示的實驗裝置中，設(shè)鉍蒸汽的溫度為T=827K，轉(zhuǎn)筒的直徑為D=10cm，轉(zhuǎn)速為=200l/s，試求鉍原子Bi和Bi2分子的沉積點P到P點（正對著狹縫s3）的距離s，設(shè)鉍原子Bi和Bi2分子都以平均速率運動。解：鉍蒸汽通過s3到達(dá)P處的時間為：在此時間里R轉(zhuǎn)過的弧長為： 代入數(shù)據(jù)得：3-21 收音機的起飛前機艙中的壓力計批示為1.0atm，溫度為270C；起飛后壓力計指示為0.80atm，溫度仍為27 0C，試計算飛機距地面的高度。 解：根據(jù)等溫氣壓

47、公式： P=P0e - 有In = - H = - In 其中In =In = -0.223，空氣的平均分子量u=29.H= 0.223× =2.0×103(m)3-22 上升到什么高度處大氣壓強減為地面的75%？設(shè)空氣的溫度為0 0C. 解：由題意知： =0.75 故H = -In 代入數(shù)據(jù)得：H =2.3×103(m)3-23 設(shè)地球大氣是等溫的，溫度為t=5.0 0C,海平面上的氣壓為P0=750mmHg,令測得某山頂?shù)臍鈮篜=590mmHg,求山高。已知空氣的平均分子量為28.97. 解：H = - In 代入數(shù)據(jù)得：H=2.0×103(m)3-

48、24 根據(jù)麥克斯韋速度分布律，求氣體分子速度分量vx的平均值，并由此推出氣體分子每一個平動自由度所具有的平動能。 解：（1） x= -vx2f(vx)dv x =2 0vx2( ) e - vx2dv x = v -1p 0vx2 e - vx2dv x查熱學(xué)附錄3-1表得： x= Vp-1( )3/2= 同理可得： y= x= (2)分子總的平動能： 2= 2= = m x= 同理得： = = 可見，氣體分子的平均動能按自由度均分，都等于 KT.3-25 令= mv2表示氣體分子的平動能，試根據(jù)麥克斯韋速率分布律證明，平動能在區(qū)間+d內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：f()d= (KT) -3/

49、2 e-/KTd 根據(jù)上式求分子平動能的最可幾值。 證明：（1） f(v)dv =4( )3/2e v2v2dv = (KT) -3/2( v2)1/2e-mv2/2KTd( ) = mv2 故上式可寫作： F()d= (KT) -3/2 e -/KTd(2) 求最可幾值即f()為極大值時對應(yīng)的值。 = (KT) -3/2 e -/KT(- )+e- - = (KT) -3/2e - ( - - /KT)=0 - - =0 得: p = = 3-26 溫度為27 0C時，一摩爾氧氣具有多少平動動能？多少轉(zhuǎn)動動能？ 解：氧氣為雙原子氣體，在T=300K下有三個平動自由度，兩個轉(zhuǎn)動自由度。 由能均

50、分定理得： = RT = ×8.31×300 = 3.74×103 (J) = RT = 8.31×300 = 2.49×103(J) 3-27 在室溫300K下，一摩托車爾氫和一摩爾氮的內(nèi)能各是多少？一克氫和一克氮的內(nèi)能各是多少？ 解：U氫= RT =6.23×103(J) U氮= RT =6.23×103(J) 可見，一摩氣體內(nèi)能只與其自由度（這里t=3,r=2,s=0）和溫度有關(guān)。 一克氧和一克氮的內(nèi)能： U= U氫= = = 3.12×103(J) U氮= = = 2.23×103(J)3-28

51、求常溫下質(zhì)量為M=3.00g 的水蒸氣與M=3.00g的氫氣的混合氣體的定容比熱 解：設(shè)Cv1 、Cv2 分別為水蒸氣和氫氣的定容比熱，Cv1 、Cv2分別為水蒸氣和氫氣的定容摩爾熱容量。在常溫下可忽略振動自由度，則有： Cv1= R =3R Cv1= = Cv2= R =2.5R Cv2= = Cv = = = ( + ) = 5.9 (J/gK)3-29 氣體分子的質(zhì)量可以由定容比熱算出來，試推導(dǎo)由定容比熱計算分子質(zhì)量的公式。設(shè)氬的定容比熱Cv = 75CalKg-1K-1,求氬原子的質(zhì)量和氬的原子量. 解：（1）一摩爾物質(zhì)定容熱容量為：Cv =ucv,對理想氣體來說： Cv = (t+r

52、+2s)R 分子質(zhì)量m = = = (t+r+2s)R = (t+r+2s) (Cv=75cal/kgk) (2) 氬是單原子分子，故Cv = R =3(Cal/molK) 故氬的原子量u= = 4.0×10-2(Kg/mol) 分子質(zhì)量m= = 6.6×10-26(Kg)3-30 某種氣體的分子由四個原子組成，它們分別處在正四面體的四個頂點： （1）求這種分子的平動、轉(zhuǎn)動和振動自由度數(shù)。 （2）根據(jù)能均分定理求這種氣體的定容摩爾熱容量。 解：（1）因n個原子組成的分子最多有3n個自由度。其中3個平動自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度，3n-1個是振動自由度。這里n=4，故有12個自由

53、度。其中3個平動、個轉(zhuǎn)動自由度，6個振動自由度。 (2) 定容摩爾熱容量： Cv= (t+r+2s)R = ×18×2= 18（Cal/molK）第四章   氣體內(nèi)的輸運過程41.氫氣在 ， 時的平均自由程為 × m，求氫分子的有效直徑。解：由 得： 代入數(shù)據(jù)得： （m）42.氮分子的有效直徑為 ，求其在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均自由程和連續(xù)兩次碰撞間的平均時間。解： 代入數(shù)據(jù)得： （m）    代入數(shù)據(jù)得：    （s）43.癢分子的有效直徑為3.6× m，求其碰撞頻率，已知：（1）

54、氧氣的溫度為300K，壓強為1.0atm；         （2）氧氣的溫度為300K，壓強為1.0× atm解：由 得 代入數(shù)據(jù)得：    6.3× （ ）      （ ）44.某種氣體分子在 時的平均自由程為 。    （1）已知分子的有效直徑為 ，求氣體的壓強。    （2）求分子在 的路程上與其它分子的碰撞次數(shù)。   

55、  解：（1）由 得：               代入數(shù)據(jù)得：                        （2）分子走 路程碰撞次數(shù)       

56、0;      （次）45.若在 下，癢分子的平均自由程為 ，在什么壓強下，其平均自由程為 ？設(shè)溫度保持不變。     解：由 得                       46.電子管的真空度約為 HG，設(shè)氣體分子的有效直徑為 ，求 時單位體積內(nèi)的分子數(shù)，平均自由程和碰撞頻率。  &#

57、160;  解：         （2）         （3）若電子管中是空氣，則              47.今測得溫度為 壓強為 時，氬分子和氖分子的平均自由程分別為 和 ，問：     （1）氬分子和氖分子的有效直徑之比是多少？     

58、（2）    時， 為多大？     （3）     時， 為多大？解：（1）由 得：        （2）假設(shè)氬分子在兩個狀態(tài)下有效直徑相等，由 得：     （3）設(shè)氖氣分子在兩個狀態(tài)下有效直徑相等，與（2）同理得：     48.在氣體放電管中，電子不斷與氣體分子相碰撞，因電子的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于氣體分子的平均速率，所以后者可以認(rèn)為是靜止不動的。設(shè)電子的“有

59、效直徑”比起氣體分子的有效直徑 來可以忽略不計。     （1）電子與氣體分子的碰撞截面 為多大？     （2）證明：電子與氣體分子碰撞的平均自由程為： ，n為氣體分子的數(shù)密度。解：（1）因為電子的有效直徑與氣體分子的有效直徑相比，可以忽略不計，因而可把電子看成質(zhì)點。又因為氣體分子可看作相對靜止，所以凡中心離電子的距離等于或小于 的分子都能與電子相碰，且碰撞截面為：   （2）電子與氣體分子碰撞頻率為：        （ 為

60、電子平均速率）        49.設(shè)氣體分子的平均自由程為 試證明：一個分子在連續(xù)兩次碰撞之間所走路程至少為x的幾率是 解：根據(jù) （4.6）式知在 個分子中自由程大于x的分子占總分子數(shù)的比率為 由幾率概念知：對于一個分子，自由程大于x的幾率為 ，故一個分子連續(xù)兩次碰撞之間所走路程至少為x的幾率是 。410.某種氣體分子的平均自由程為10cm、在10000段自由程中，（1）有多少段長于10cm？（2）有多少段長于50cm？（3）有多少段長于5cm而短于10cm？（4）有多少段長度在9.9cm到10cm之間？（5）有多少段長度

61、剛好為10cm？解： 個分子中按不同自由程分布的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率與一個分子在 段自由程中按不同自由程分布幾率相同，即 個分子在某一自由程的分子數(shù)就是 段自由程中具有這個自由程的段數(shù)。故可表示自由程長于x的段數(shù)（1）設(shè)長于10cm的段數(shù)為 ，總段數(shù)為      （段）（2）設(shè)長于50cm的段數(shù)為      （段）（3）設(shè)長于5cm短于10cm的段數(shù)為     （段）（4）設(shè)長度在9.9cm到10cm之間的段數(shù)為 （段）    （5）按統(tǒng)計規(guī)律，不能確定

62、長度剛好為10cm的有多少段。411.某一時刻氧氣中有一組分子都剛與其它分子碰撞過，問經(jīng)過多少時間后其中還能保留一半未與其它分子相碰。設(shè)氧分子都以平均速率運動，氧氣的溫度為300K，在給定的壓強下氧分子的平均自由程為2.0cm。解：考慮分子在t時間內(nèi)走了x路程未被碰的分子數(shù)與總分子數(shù)中自由程大于x的分子數(shù)相等。設(shè)自由程大于x的分子數(shù)為N，則      （s）412.需將陰極射線管抽到多高的真空度（用mmHg表示），才能保證從陰極發(fā)射出來的電子有90能達(dá)到20cm遠(yuǎn)處的陽極，而在中途不與空氣分子相碰？解：設(shè)從陰極發(fā)射出來的電子有 個，自由程大于20cm的電子有N個，則 故 由本章第8題知：若溫度為 ，因空氣的主要成分是氮氣，故由熱學(xué) 例題1得空氣分子的有效直徑的近似值： 代入數(shù)據(jù)得：413.由電子槍發(fā)出一束電子射入壓強為 的氣