向量的極化恒等式與等和線的應用 學生版

1、極化恒等式 （1） （2）（1）（2）兩式相加得：結(jié)論：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.思考1：如果將上面（1）（2）兩式相減，能得到什么結(jié)論呢？ 極化恒等式對于上述恒等式，用向量運算顯然容易證明。那么基于上面的引例，你覺得極化恒等式的幾何意義是什么？幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.即：（平行四邊形模式）思考：在圖1的三角形ABD中（M為BD的中點），此恒等式如何表示呢？因為，所以（三角形模式）ABCM例1.(2012年浙江文15)在中，是的中點，則_ .目標檢測目標檢測例3.（2013浙江理7）在中,是邊上一

2、定點，滿足，且對于邊上任一點，恒有。則( )A. B. C. D. 例4. (2017全國2理科12)已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小是（ ）A. B. C. D.課后檢測1.在中，若，在線段上運動，的最小值為 2.已知是圓的直徑,長為2,是圓上異于的一點,是圓所在平面上任意一點,則的最小值為_3在中，若是所在平面內(nèi)一點，且，則的最大值為 4 若點和點分別是雙曲線的中心和左焦點，點為雙曲線右支上任意一點則的取值范圍是 .5在，已知點是內(nèi)一點，則的最小值是 .6.已知是單位圓上的兩點，為圓心，且是圓的一條直徑，點在圓內(nèi)，且滿足，則的取值范圍是（ ）A B C D7. 正

3、邊長等于，點在其外接圓上運動，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 8在銳角中，已知，則的取值范圍是 9. 平面向量基本定理系數(shù)的等和線【適用題型】平面向量基本定理的表達式中，研究兩系數(shù)的和差及線性表達式的范圍與最值?！净径ɡ怼浚ㄒ唬?平面向量共線定理 已知，若，則三點共線；反之亦然（二） 等和線 平面內(nèi)一組基底及任一向量，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。（1） 當?shù)群途€恰為直線時，；（2） 當?shù)群途€在點和直線之間時，；（3） 當直線在點和等和線之間時，；（4） 當?shù)群途€過點時，；（5） 若兩等和線關于點對稱，則定值

4、互為相反數(shù)；【解題步驟及說明】1、 確定等值線為1的線；2、 平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線，結(jié)合動點的可行域，分析何處取得最大值和最小值；3、 從長度比或者點的位置兩個角度，計算最大值和最小值；說明：平面向量共線定理的表達式中的三個向量的起點務必一致，若不一致，本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移固定的向量；若需要研究的兩系數(shù)的線性關系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和?！镜湫屠}】例1、給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點在以為圓心的圓弧上變動。若，其中，則的最大值是_。跟蹤練習：已知為的外心，若，則的最大值為_例2、在平面直角坐標系中，為坐標原點，兩定點

5、滿足，則點集所表示的區(qū)域面積為_.例3、如圖，在扇形中，為弧上不與重合的一個動點，若 存在最大值，則的取值范圍為_. 跟蹤練習：在正方形中，為中點，為以為直徑的半圓弧上任意一點，設，則的最小值為_.【強化訓練】1、在正六邊形中，是三角形內(nèi)（包括邊界）的動點，設，則 的取值范圍_.2、如圖，在平行四邊形中，為邊的三等份點，為的交點，為邊上的一動點，為內(nèi)一點（含邊界），若，則的取值范圍_.3、設分別是的邊，上的點，若 （為實數(shù)），則的值為_.4、梯形中，為三角形內(nèi)一點（包括邊界），則的取值范圍_.5、已知，點在內(nèi)，且，設，則的值為_.6、在正方形中，為中點，為以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點，設，則的最小值為_.7、已知，為實數(shù)）。若為以為直角頂點的直角三角形，則 取值的集合為_8、平面內(nèi)有三個向量，其中夾角為，的夾角為，且，若，則的值為_。9、如圖，是圓上的三點，的延長線與線