數(shù)列求和的各種方法

1、 數(shù)列求和的方法教學(xué)目標(biāo)1熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識解決相應(yīng)的問題教學(xué)內(nèi)容知識梳理1求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式()當(dāng)q1時，Snna1；()當(dāng)q1時，Sn.常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：， 1+3+5+(2n1)=，等(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)(4)倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和時所用的方法，將一個

2、數(shù)列倒過來排序，如果原數(shù)列相加時，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(5)錯位相減法這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，主要用于求anbn的前n項(xiàng)和，其中an和bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(6)并項(xiàng)求和法一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2. 常見的裂項(xiàng)公式(1)；(2)()；(3)()；(4)；(5)()(6)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則()數(shù)列求和題型考點(diǎn)一 公式法求和1.(2016新課標(biāo)全

3、國)已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求bn的前n項(xiàng)和.2.(2013新課標(biāo)全國，17)已知等差數(shù)列an的公差不為零，a125，且a1，a11，a13成等比數(shù)列.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a4a7a3n2.變式訓(xùn)練1.(2015四川，16)設(shè)數(shù)列an(n1，2，3，)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.2.(2014福建，17)在等比數(shù)列an中，a23，a581.(1)求an；(2)設(shè)bnlog3an，求數(shù)列b

4、n的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)二 錯位相減法1.(山東)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，是等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令 求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.2.(2015天津，18)已知數(shù)列an滿足an2qan(q為實(shí)數(shù)，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差數(shù)列.(1)求q的值和an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，nN*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.變式訓(xùn)練1.(2014江西，17)已知首項(xiàng)都是1的兩個數(shù)列an，bn(bn0，nN*)滿足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式；(2)若bn3n1，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.2.(2014四川

5、，19)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*).(1)若a12，點(diǎn)(a8，4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.3.(2015湖北，18)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.4(2015山東，18)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列b

6、n滿足anbnlog3an，求bn的前n項(xiàng)和Tn.5.(2015浙江，17)已知數(shù)列an和bn滿足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*).(1)求an與bn；(2)記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.6.(2015湖南，19)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13, nN*.(1)證明：an23an；(2)求Sn.考點(diǎn)三 分組求和法1.(2015福建，17)在等差數(shù)列an中，a24，a4a715.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnn，求b1b2b3b10的值.2.(2014湖南，16)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，nN

7、*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.變式訓(xùn)練1.(2014北京，15)已知an是等差數(shù)列，滿足a13，a412，數(shù)列bn滿足b14，b420，且bnan為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)四 裂項(xiàng)相消法1.(2015新課標(biāo)全國，17)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和2.(2011新課標(biāo)全國，17)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3a

8、n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和3.(2015安徽，18)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.變式訓(xùn)練1.(2013江西，16)正項(xiàng)數(shù)列an滿足：a(2n1)an2n0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.2.(2013大綱全國，17)等差數(shù)列an中，a74，a192a9.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.3.在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.考點(diǎn)

9、五 倒序相加法已知函數(shù)f(x)(xR)(1)證明：f(x)f(1x)；(2)若Sf()f()f()，則S_.變式訓(xùn)練1.設(shè)f(x)，若Sf()f()f()，則S_.考點(diǎn)六 并項(xiàng)求和1.(2012新課標(biāo)，16)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為_.2.(2014山東，19)在等差數(shù)列an中，已知公差d2，a2是a1與a4的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，記Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.變式訓(xùn)練1.(2014山東理，19)已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(1)n

10、1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.2.(2013湖南，15)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn(1)nan，nN*，則：(1)a3_；(2)S1S2S100_.考點(diǎn)七 數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和問題1.(2011北京，11)在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_變式訓(xùn)練1.(2013浙江，19)在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比數(shù)列.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.考點(diǎn)八 周期數(shù)列1.已知數(shù)列2 008,2 009,1，2 008，2 009，這個數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個

11、數(shù)列的前2 014項(xiàng)之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0變式訓(xùn)練1.(2012福建)數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012等于()A.1 006 B.2 012 C.503 D.0考點(diǎn)九 數(shù)列與不等式的應(yīng)用 1(2014新課標(biāo)全國，17)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由2(2013廣東，19)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有1

12、時，記cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.4(2015山東，18)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足anbnlog3an，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)?Sn3n3，所以2a133，故a13，當(dāng)n1時，2Sn13n13，此時2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因?yàn)閍nbnlog3an，所以b1，當(dāng)n1時，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；當(dāng)n1時，Tnb1b2b3bn(

13、131232(n1)31n)，所以3Tn1(130231(n1)32n)，兩式相減，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，經(jīng)檢驗(yàn)，n1時也適合綜上可得Tn.5.(2015浙江，17)已知數(shù)列an和bn滿足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*).(1)求an與bn；(2)記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*).由題意知：當(dāng)n1時，b1b21，故b22.當(dāng)n2時，bnbn1bn，整理得，所以bnn(nN*).(2)由(1)知anbnn2n.因此Tn2222323n2n，2Tn2

14、2223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN*).6.(2015湖南，19)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13, nN*.(1)證明：an23an；(2)求Sn.(1)證明由條件，對任意nN*，有an23SnSn13，因而對任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.兩式相減，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故對一切nN*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以3.于是數(shù)列a2n1是首項(xiàng)a11，公比為3等比數(shù)列；數(shù)列a2n是

15、首項(xiàng)a22，公比為3的等比數(shù)列.因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1).從而S2n1S2na2n23n1(53n21).綜上所述，Sn考點(diǎn)三 分組求和法1.(2015福建，17)在等差數(shù)列an中，a24，a4a715.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnn，求b1b2b3b10的值.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2

16、112)55211532 101.2.(2014湖南，16)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.解(1)當(dāng)n1時，a1S11；當(dāng)n2時，anSnSn1n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n(212222n)(12342n).記A212222n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n2.變式訓(xùn)練1.(2014北京，15)已知an是等差數(shù)列，滿足a13，a412，數(shù)列bn滿足b

17、14，b420，且bnan為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得d3.所以ana1(n1)d3n(n1，2，).設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為q，由題意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.從而bn3n2n1(n1，2，).(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，).數(shù)列3n的前n項(xiàng)和為n(n1)，數(shù)列2n1的前n項(xiàng)和為12n1.所以，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為n(n1)2n1.考點(diǎn)四 裂項(xiàng)相消法1.(2015新課標(biāo)全國，17)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；

18、(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)，a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnb1b2bn .2.(2011新課標(biāo)全國，17)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比

19、為q.由a9a2a6，得a9a，所以q2.由條件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)，故2()，2.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.3.(2015安徽，18)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題設(shè)知a1a4a2a38.又a1a49.可解得或(舍去).由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1，又bn，所以Tnb1b2bn1.變式訓(xùn)練1.(2013江

20、西，16)正項(xiàng)數(shù)列an滿足：a(2n1)an2n0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由a(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以an2n.(2)由an2n，bn，則bn，Tn.2.(2013大綱全國，17)等差數(shù)列an中，a74，a192a9.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.由得解得a11，d.an的通項(xiàng)公式為an.(2)bn，Sn.3.在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)b

21、n，求bn的前n項(xiàng)和Tn.答案（1）可求得（2）考點(diǎn)五 倒序相加法1.已知函數(shù)f(x)(xR)證明：f(x)f(1x)；變式訓(xùn)練1.設(shè)f(x)，若Sf()f()f()，則S_.考點(diǎn)六 并項(xiàng)求和1.(2012新課標(biāo)，16)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為_.理科解析當(dāng)n2k時，a2k1a2k4k1，當(dāng)n2k1時，a2ka2k14k3，a2k1a2k12，a2k3a2k12，a2k1a2k3，a1a5a61.a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)30611 830.答案1 830文科解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a

22、1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案D2.(2014山東，19)在等差數(shù)列an中，已知公差d2，a2是a1與a4的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，記Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解(1)由題意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)

23、由題意知bnan(n1).所以Tn122334(1)nn(n1).因?yàn)閎n1bn2(n1)，可得當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，當(dāng)n為奇數(shù)時，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn變式訓(xùn)練1.(2014山東理，19)已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(1)n1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)因?yàn)镾1a1，S22a122a12，S44a124a112，由題意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.當(dāng)n為偶數(shù)時，

24、Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn1.所以Tn2.(2013湖南，15)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn(1)nan，nN*，則：(1)a3_；(2)S1S2S100_.解析(1)Sn(1)nan.當(dāng)n3時，a1a2a3a3，當(dāng)n4時，a1a2a3a4a4，a1a2a3，由知a3.(2)Sn(1)nan當(dāng)n為奇數(shù)時，兩式相減得an1an1an，an；當(dāng)n為偶數(shù)時，兩式相減得an1an1an，即an2an1，故anSnS1S2S100.答案(1)(2)考點(diǎn)七 數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和問題1.(2011北京，11)在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_解析q38，q2，則an(

25、2)n1，|a1|a2|a3|an|122n22n1.答案22n1變式訓(xùn)練1.(2013浙江，19)在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比數(shù)列.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解(1)由題意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4，ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，d0，由(1)得d1，ann11，則當(dāng)n11時，|a1|a2|a3|an|Snn2n.當(dāng)n12時，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110，綜上所述：|a1|a2|a3|an|考點(diǎn)八 周期數(shù)列1.已知數(shù)列

26、2 008,2 009,1，2 008，2 009，這個數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個數(shù)列的前2 014項(xiàng)之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0答案 B變式訓(xùn)練1.(2012福建)數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012等于()A.1 006 B.2 012 C.503 D.0答案 A考點(diǎn)九 數(shù)列與不等式的應(yīng)用 1(2014新課標(biāo)全國，17)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明.證明(1)由an13an1得an13又a1，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列an，因

27、此an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知.因?yàn)楫?dāng)n1時，3n123n1，所以.于是1.所以60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意，2，2d，24d成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)，化簡得d24d0，解得d0或d4.當(dāng)d0時，an2；當(dāng)d4時，an2(n1)44n2，從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2或an4n2.(2)當(dāng)an2時，Sn2n.顯然2n60n800成立當(dāng)an4n2時，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值為41.綜上，當(dāng)an2時，不存在滿足題意的n；當(dāng)an4n2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.2(20